Libro mat 1

Doris Cetina
E. Verónica Jiménez
Cuaderno de trabajo Secundaria
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.

Matemáticas 1. Cuaderno de trabajo.
Secundaria
D. R. © 2018, Ek Editores, S. A. de C. V.
Avenida Pío X núm. 1210, Col. Pío X,
Monterrey, Nuevo León, C. P. 64710.
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Miembro de la Cámara Nacional
de la Industria Editorial Mexicana
Reg. Núm. 3728
ISBN de la obra: 978-607-8521-49-4
Primera edición: mayo de 2018
Prohibida la reproducción y transmisión
parcial o total de esta obra en cualquier
forma electrónica o mecánica, incluso
fotocopia o en cualquier sistema para
recuperar información, sin permiso escrito
del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
Autoría
Doris Guadalupe del Carmen Cetina Vadillo
Elisa Verónica Jiménez Gutiérrez
Gerencia editorial
Salvador Yolocuauhtli Vargas Rojas
Coordinación editorial
María Teresa Peralta Ferriz
Edición
Miguel Quintero
Revisión técnica
René Antonio Núñez Mejía
José Luis Núñez Mejía
Isabel Lorena Vega Gordillo
Juan Daniel Garay Saldaña
Asistencia editorial
Perla M. Maldonado Almanza
Corrección de estilo
Adriana Sánchez Escalante
Gerencia de diseño
Marcela Novelo
Coordinación de diseño
Ivonne A. Lozano Rodríguez
Diseño de interiores y diagramación
Claudia Cantú
Itzel Davila V.
Stephanie Mtz. Solis
Diseño de portada
Mauro Machuca
Iconografía
© Shutterstock, Inc.
© Wikimedia Commons: 57.
Producción
Ángel Calleja Bonilla

Estimado estudiante:
Con base en los Aprendizajes Clave para la educación integral del Nuevo Mo-
delo Educativo (NME) y el campo de formación academica de Pensamiento
Matemático, Ek Editores pone en tus manos Matemáticas 1. Cuaderno de
trabajo. Secundaria, una herramienta que tiene la función de complementar
tu trabajo en el aula.
Conscientes de que las matemáticas pueden ser un desafío para la mayoría
de los alumnos, esta obra incluye diversas actividades que están diseña-
das para que pongas en práctica los procedimientos y las estrategias que
adquieras en tus clases y fortalezcas las habilidades, actitudes y destrezas
matemáticas, a fin de brindarte oportunidades para el logro de los aprendi-
zajes esperados de la asignatura.
Matemáticas 1. Cuaderno de trabajo. Secundaria se encuentra estructurado
en prácticas divididas en tres bloques, para que lo lleves a cabo como te indi-
que tu docente o de forma autónoma e identifiques los contenidos fácilmente
a la par que los estudias en tu salón de clase.
Las prácticas están diseñadas:
Para cubrir en su totalidad los temas del programa educativo.
Como una herramienta de consulta, ya que presenta un breve resumen con
los conceptos principales que te servirán para reconocer lo más importante
de cada tema.
Con el espacio suficiente para hacer tus operaciones, anotaciones, dibujos,
bosquejos, gráficas y esquemas, que te ayudarán a identificar errores y
fortalezas.
Al final de cada bloque se incluye una evaluación para que midas tu aprendi-
zaje, así como una sección de retos con problemas interesantes y de mayor
dificultad para que apliques tus conocimientos.
Estamos seguros que Matemáticas 1. Cuaderno de trabajo. Secundaria te
facilitará el camino para que adquieras una actitud positiva y crítica hacia las
matemáticas, desarrolles confianza en tus capacidades y perseverancia al
enfrentarte a los problemas y seas capaz de tomar tus propias decisiones.
Los editores
Presentación
3

Bloque 2 58
Eje:
Número,
álgebra
y
variación
Eje:
Número,
álgebra
y
variación
Práctica 1. Fracciones y decimales 10
Práctica 2. Orden de fracciones y decimales 14
Tema Número
AE Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones
no decimales usando la notación decimal. Ordena fracciones y números decimales.
Práctica 12. Sucesiones 60
Tema Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
AE Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza
para analizar propiedades de la sucesión que representan.
Práctica 3. Problemas de suma y resta de fracciones 20
Práctica 4. Problemas de suma y resta de decimales 24
Práctica 5. Problemas de suma de fracciones y decimales 26
Práctica 6. Suma y resta de números positivos y negativos 30
Tema Adición y sustracción
AE Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos
y negativos.
Práctica 7. Problemas de multiplicación de fracciones 38
Práctica 8. Problemas de multiplicación de decimales 42
Práctica 9. Problemas de división con decimales 44
Tema Multiplicación y división
AE Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales y de división con decimales.
Práctica 11. Porcentajes 48
Evaluación 54
Retos 56
Tema Proporcionalidad
AE Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de la cantidad base.
Práctica 10. Jerarquía de operaciones 46
AE Determina y usa la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números
naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división, sólo números positivos).
Conozco mi libro 6
Bloque 1 8
AE Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante
natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación).
Práctica 13. Regla de tres 66
Práctica 14. Proporcionalidad directa 68
Práctica 15. Relaciones de proporcionalidad 70
Índice
4 © Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.

Bloque 3 84
Eje:
Forma,
espacio
y
medida
Eje:
Análisis
de
datos
Tema Magnitudes y medidas
AE Calcula el perímetro de polígonos y del círculo y áreas de triángulos y cuadriláteros
desarrollando y aplicando fórmulas.
Práctica 20. Perímetro y área de polígonos 98
Práctica 21. Perímetro del círculo 102
Tema Probabilidad
AE Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento
a la probabilidad frecuencial.
Tema Estadística
AE Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares.
Práctica 24. Frecuencia absoluta y relativa 108
Práctica 25. Representaciones gráficas 110
Tema Probabilidad
AE Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento
a la probabilidad frecuencial.
Práctica 23. Experimentos aleatorios 106
Tema Estadística
AE Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana)
y el rango de un conjunto de datos y decide cuál de ellas conviene más en el análisis
de los datos en cuestión.
Práctica 26. Propiedades de la moda, media y mediana 114
Evaluación 116
Retos 118
Tema Ecuaciones
AE Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.
Práctica 16. Ecuaciones 74
Tema Funciones
AE Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular,
gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.
Práctica 17. Gráficas de proporcionalidad 76
Evaluación 80
Retos 82
Tema Figuras y cuerpos geométricos
AE Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros y determina
y usa criterios de congruencia de triángulos.
Práctica 18. Trazo de triángulos y cuadriláteros 86
Práctica 19. Criterios de congruencia de triángulos 94
AE Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero,
desarrollando y aplicando fórmulas.
Práctica 22. Volumen 104
5

Matemáticas 1, Cuaderno de trabajo. Secundaria, contiene:
Conozco mi libro
Entrada de bloque
Presenta un problema inicial que te
permitirá utilizar varias habilidades
y conocimientos, los cuales
necesitarás en las prácticas del
bloque.
Contenidos
Cada práctica señala el Eje,
Tema y Aprendizaje esperado
vinculado con el Programa del
Nuevo Modelo Educativo.
Las preguntas de esta sección
se basan en los aspectos
básicos que debes conocer.
Están planteadas para que
las respondas rápidamente,
de preferencia al inicio de
una sesión de clase, como
introducción al trabajo en tu
cuaderno.
Texto explicativo
Al inicio de cada práctica
encontrarás un resumen
sencillo y útil de lo que
has aprendido en clase.
Te resultará provechoso
para despejar dudas y
como fuente de consulta.
Las palabras clave están
resaltadas.
Prácticas
El libro está dividido en
prácticas que incluyen
ejercicios y actividades
para aplicar lo aprendido
en clase y perfeccionarlo.
6
Matemáticas rápidas

Actividades
Aquí encontrarás la parte
fundamental de tu cuaderno
de trabajo. Tiene diversidad de
ejercicios que te servirán para
practicar tus habilidades y resolver
problemas. Podrás trabajarlos
individualmente o en equipo,
durante la clase o de tarea.
En esta sección contestarás preguntas útiles para
profundizar en el tema que estás estudiando.
Evaluación
Evaluación
En cada bloque se presenta una
evaluación que te ayudará a medir tu
aprendizaje.
Retos
Al final de cada bloque encontrarás
una serie de problemas con mayor
grado de dificultad, más interesantes
y que buscan plantearte un desafío.
Resolverlos te permitirá avanzar en tu
dominio de las matemáticas.
7
Preguntas de reflexión

8
Bloque 1
Eje: Número, álgebra y variación
Tema Número
Tema Adición y sustracción
Tema Multiplicación y división

9
Selecciona 5 arreglos diferentes y en cada uno realiza lo siguiente:
Ÿ Calcula el promedio de los cinco números. Escribe lo que observas.
Ÿ Suma los cinco números y señala de qué número es múltiplo.
Ÿ Calcula el producto del número de arriba y el de abajo. Eleva al cuadrado el
número del centro y réstale 100. ¿Qué observas?
Considera distintos arreglos en cruz dentro del tablero y para cada uno
contesta lo siguiente.
1 ¿Cuáles son los números que incluye el arreglo?
2 ¿Hay alguna relación entre el número de arriba y el de abajo?
3 ¿Existe alguna relación entre el número de la izquierda y el de la
derecha? ¿Cuál?
4 Si se conoce el número que está arriba ¿se puede saber cuáles son los
demás?
5 ¿La suma de los cinco números es par o impar?
6 ¿Qué relación tiene el número de arriba con el número del centro?
7 ¿Qué relación tienen los tres números de la fila del centro?
8 ¿Qué relación tienen los tres números de la columna del centro?
Problema basado en la actividad de Andrew Derer
de Math Science Innovation Center and Art Stoner of A+Compass
Problema
Observa el siguiente tablero.
Analiza la relación que existe
entre los números del tablero
que forman una cruz, como en
los siguientes ejemplos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2
11 12 13
22
79
88 89 90
99
27
36 37 38
47
9
Respuesta libre (R. L.)
R. L.

1
Práctica
1. ¿Cuál es el
perímetro de un
cuadrado cuyo
lado mide 6.5 m?
2. ¿Cuál es el área de
un cuadrado cuyo
lado mide 5 cm?
3. ¿Cuál es el 60% de
150?
4. ¿Cuál es el área de
un rectángulo que
mide 4 m de base
y 3.1 m de altura?
5. ¿Cuál es la mitad
de
1
3
?
El valor de los números decimales se define según las posiciones que ocu-
pan sus cifras. Observa la siguiente tabla.
Por ejemplo, para el número 789.413 tenemos:
Para obtener el valor del número, cada cifra se multiplica por su valor posi-
cional y se suman los resultados:
(7 × 100) + (8 × 10) + (9 × 1) + (4 +
1
10
) + (1 ×
1
100
) + (3 ×
1
1 000
)
Fracción
1
5
El numerador es el número de
partes sombreadas y
el denominador es el número
de partes iguales en que está
dividido el entero.
Decimal
1 ÷ 5 = 0.2
Se divide el número de partes
sombreadas entre el número de
partes en que se divide el entero.
Los decimales y las fracciones son similares debido a que ambos repre-
sentan una parte de un entero.
Por ejemplo, si un entero se divide en cinco partes iguales, cada una se
puede representar como un decimal o como una fracción.
Fracciones y decimales
Eje Número, álgebra
y variación
Tema Número
AE Convierte
fracciones decimales
a notación decimal y
viceversa. Aproxima
algunas fracciones
no decimales usando
la notación decimal.
Ordena fracciones y
números decimales.
Millares
Centenas
Decenas
Unidades
Décimas
Centésimas
Milésimas
Diezmilésimas
Valor
posicional
1000 100 10 1 .
1
10
1
100
1
1000
1
10000
Centenas
Decenas
Unidades
Décimas
Centésimas
Milésimas
Diezmilésimas
Número 7 8 9 . 4 1 3
10
26 m
25 cm2
90
12.4 m2
1
6
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Todos
los
derechos
reservados,
Ek
Editores,
S.
A.
de
C.
V.

Cada uno de los resultados es el valor relativo de la cifra correspondiente. A
esta forma de escribir un número se le llama notación desarrollada.
Los decimales pueden ser:
Ÿ Finitos. Cuando terminan en una posición. Por ejemplo:
0.4, 0.8, 2.54
Ÿ Infinitos. Cuando no terminan en una posición. Por ejemplo:
4.4237…, 3.1415…, 2.893457…
Ÿ Periódicos. Cuando sus cifras se repiten en un orden fijo. Se utiliza una
línea horizontal para indicar los dígitos que se repiten. Por ejemplo:
0.2222 = 0.2, 0.717171 = 0.71, 3.45353535 = 3.4535.
Para convertir un número decimal a fracción se utiliza como denomi-
nador el valor de la posición de la cifra con menor valor relativo. El nu-
merador es el número que se forma con las cifras que se encuentran a
la derecha del punto decimal; la parte entera está dada por las cifras a la
izquierda del punto.
Ejemplos:
0.80=
8
100
=
2
25
6.5= 6
5
10
= 6
1
2
7.028= 7
28
1 000
= 7
14
500
= 7
7
250
0.33792=
33 792
100 000
Todas las fracciones se pueden expresar como un decimal con cierto gra-
do de exactitud. Las fracciones que pueden expresarse con denominador
10, 100, 1000 o cualquier potencia de 10, se llaman fracciones decimales.
Ejemplos:
75
100
3
10
23
1000
11
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A.
de
C.
V.

1
Práctica
1 Representa como decimal y fracción las partes sombreadas de las sigui-
entes figuras.
Actividades
Para convertir una fracción decimal en un número decimal basta con anali-
zar el denominador. Si el denominador es 10 se refiere a décimos, si es 100
a centésimos. Veamos algunos ejemplos:
75
100
= 0.75 y se lee: setenta y cinco centésimos
3
10
= 0.3 y se lee: tres décimos
23
1000
= 0.023 y se lee: veintitrés milésimos
Hay fracciones que no pueden expresarse con denominador de alguna po-
tencia de 10. En estos casos, para convertir la fracción a decimal se divide
el numerador entre el denominador.
Ejemplos:
1
5
12
= 1 +
5
12
= 1.41666... = 1.416
1
3
= 1 ÷ 3 = 0.333... = 0.3
9
11
= 9 ÷ 11 = 0.818181... = 0.81
a)
Decimal: Fracción:
c)
Decimal: Fracción:
e)
Decimal: Fracción:
g)
Decimal: Fracción:
b)
Decimal: Fracción:
d)
Decimal: Fracción:
f)
Decimal: Fracción:
h)
Decimal: Fracción:
12
0.6 0.625
2
3
5
8
0.4
0.5
0.4 0.75
0.5
0.8c
4
9
6
12
2
5
3
4
1
2
5
6
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los
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de
C.
V.

2 Escribe los siguientes decimales en forma fraccionaria.
4 Escribe cada una de las siguientes fracciones en su forma decimal.
3 Identifica cuáles de las siguientes fracciones son decimales y exprésalas
con denominador 10, 100, 1000…
a) 0.04 =
d) 0.007 =
g) 1.001 =
j) 0.723 =
m) 0.1 =
p) 3.335 =
s)
6.025 =
b) 0.75 =
e) 0.154 =
h) 0.35 =
k)
0.08 =
n) 0.0002 =
q) 5.523 =
t) 10.0 =
c) 0.03 =
f) 0.728 =
i) 0.010 =
l)
0.012 =
o) 0.234 =
r) 10.008 =
a)
3
5
=
c)
1
6
=
e)
5
3
=
g)
3
25
=
i)
7
4
=
k)
1
8
=
b)
1
4
=
d)
1
2
=
f)
2
25
=
h) 1
27
50
=
j)
1
9
=
l)
3
8
=
a)
1
3
=
d)
2
3
=
g)
9
10
=
j)
15
20
=
m)
11
2
=
p)
21
5
=
s)
821
35
=
b)
1
10
=
e)
5
6
=
h)
1
18
=
k)
11
99
=
n)
34
12
=
q)
73
4
=
t)
2 544
100 =
c)
1
8
=
f)
4
9
=
i)
17
18
=
l)
19
21
=
o)
58
13
=
r)
97
9
=
13
1
25
3
4
3
100
7
1000
77
500
91
125
1
1
1000
7
20
1
100
723
1000
2
25
3
250
1
10
1
5000
117
500
3
67
200 5
523
1000 10
1
125
6
1
40
10
1
60
100
25
100
50
100
8
100
154
100
77
50
12
100
175
100
No es fracción decimal
=
0.3 0.1 0.125
0.6 0.83 0.4
0.9 0.05 0.94
0.75 0.1 0.904761
5.5 2.83 4.461538
4.2 18.25 10.7
3.45714285 25.44
©
Todos
los
derechos
reservados,
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Editores,
S.
A.
de
C.
V.

Práctica 2
La recta numérica es una línea en la que se representan cantidades. Des-
pués de fijar una posición para el cero, a su derecha se sitúan los números
positivos, de menor a mayor. La parte fraccionaria de un número se en-
cuentra a la derecha de su parte entera, antes del entero que le sigue.
Ejemplos:
El número 1.4 se encuentra entre el 1 y el 2. Para ubicar su parte fraccio-
naria se divide el espacio entre estos enteros en diez partes iguales y se
localizan las 4 décimas.
El número 3.73 se encuentra entre el 3.7 y el 3.8. Para ubicarlo, se divide el
espacio entre ellos en diez partes iguales (cada una es una centésima) y
se localiza la tercera.
El número
3
4 no tiene parte entera y se localiza entre el 0 y el 1. El denomi-
nador indica que el espacio entre ellos se divide en cuatro partes iguales. El
numerador indica en cuál de las divisiones se encuentra el número (en este
caso, en la tercera).
Orden de fracciones y decimales
1. ¿Cuál es el 75%
de 28?
2. ¿Cuál es el
perímetro
de una
circunferencia de
1 cm de radio?
(Considera pi
como 3.1416)
3. ¿Cuánto es 100
veces 0.1?
de 1.5?
5. ¿Cuántas veces
es mayor 0.5
que 0.02?
y variación
Tema Número
AE Convierte
fracciones decimales
a notación decimal y
viceversa. Aproxima
algunas fracciones
no decimales usando
la notación decimal.
Ordena fracciones y
números decimales.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 10
3.73
3.7 3.8
1.5
1 2
1.4
0 1
3
4
14
21
6.2832 cm
10
0.75
25
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de
C.
V.

El número 5
1
3 tiene 5 enteros, entonces se encuentra entre el 5 y el 6. El
denominador indica que el espacio entre 5 y 6 se divide en tres partes igua-
les. El número se localiza en la primera de las tres divisiones que indica el
numerador.
Un entero también puede representarse mediante figuras. Una fracción
puede representarse mediante parte de esas mismas figuras.
Ejemplos:
0 5 1
1
3
= 1, entonces
Si
Si
Si
= 1, entonces
= 1, entonces
=
1
6
=
2
3
= 6
15
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Práctica 2
1 Escribe en cada recta numérica el número decimal que se indica.
3 Localiza en cada recta numérica el número que se indica.
2 Escribe en cada recta numérica la fracción que se indica.
Actividades
a) b)
b)
b) 1
2
5
a)
a) 5.8
c) d)
d)
d) 3
2
3
c)
c) 8.93
g) 7.47 h) 7
1
4
e)
e)
e) 3.295 f) 9
4
10
i) 5.175
j) 10
1
6
11 12
9 10
20 21
4 6
3.7 3.8
0 2
1
6.4 6.5
8.42 8.43
5 6
2 3
5 6
9 10
3 4
1 2
8.9 9
3.2 3.3
16
11.6 6.45
8.428
4.4
3.74
9 3
4
20 1
2
1 2
5
1 2
5
3 2
3
9 4
10
7 1
4
2 5
9
5 9
10
10 1
6
5.8
7
7.4 7.47
5.175
5.17 10
8
7.5
5.18 11
8.93
3.295
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C.
V.

5 Escribe la fracción que representa la figura con respecto a la unidad.
a)
b)
c)
d)
e)
4 Indica la estatura de cada niño.
1.60 m 1.65 m 1.70 m
1.40 m
1.50 m
1.50 m 1.55 m 1.60 m
= 1, entonces =
= 1, entonces =
= 1, entonces =
= 1, entonces =
= 1, entonces =
Si
Si
Si
Si
Si
17
1
3
2
1 1
2
1
3
1
2
1.55 m
1.61 m
1.68 m 1.48 m
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Práctica 2
6 Escribe la fracción que representa la figura con respecto a cada suma.
a)
b)
c)
d)
e)
+ = 1, entonces =
+ +
= 1, entonces =
+
+ + +
= 1, entonces =
+ = 1, entonces =
+
+ = 1, entonces =
Si
Si
Si
Si
Si
18
1
4
1
3
1
1
1
6
1 1
3
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7 Escribe la fracción que representa la figura con respecto a cada resta.
a)
b)
c)
d)
e)
+ − =
= 1, entonces
− =
= 1, entonces
+ + + − + =
= 1, entonces
− =
−
= 1, entonces
− − =
= 1, entonces
Si
Si
Si
Si
Si
19
1
2
2
1 1
2
1
4
2
3
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Práctica 3
Para sumar o restar fracciones se deben seguir las siguientes reglas.
Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman los numerado-
res y el denominador permanece igual. Por ejemplo:
2
5
+
1
5
=
3
5
Si las fracciones tienen distinto denominador, se encuentra el mínimo co-
mún múltiplo de los denominadores y se escribe una fracción equivalente
a cada una con el mínimo común múltiplo como denominador. Luego, se
suma o resta. Por ejemplo:
1
4
+
4
20
=
5
20
+
4
20
=
9
20
Si se tienen números con parte entera y parte fraccionaria (llamados tam-
bién fracciones mixtas), cada una se escribe como una fracción impropia
antes de sumar o restar. Por ejemplo:
6
3
4
+ 3
1
3
=
27
4
+
10
3
=
81
12
+
40
12
=
121
12
= 10
1
12
Muchos problemas pueden resolverse sumando y restando números frac-
cionarios.
Ejemplos:
Calcula el perímetro de la siguiente figura.
5
3
4
+ 5
3
4
+ 3
1
3
+ 3
1
3
=
23
4
+
23
4
+
10
3
+
10
3
=
69
12
+
69
12
+
40
12
+
40
12
=
218
12
= 18
1
6
El perímetro de la figura mide 18
1
6
cm.
Si Martín mide 1
3
5 de metro y en el último año creció
1
20
de metro, ¿cuánto
medía hace un año?
1
3
5
−
1
20
=
8
5
−
1
20
=
32
20
−
1
20
=
31
20
= 1
11
20
Hace un año, Martín medía 1
11
20
m, es decir, 1.55 m.
1. 2286.9 ÷ 9 =
Escribe el símbolo
>, < o = según
corresponda:
2. 67 843 67 834
3.
1
100 0.01
4. 6 066 ÷ 6 1 101
5. 80 × 90 72 ÷ 10
Problemas de suma y resta de fracciones
y variación
Tema Adición y
sustracción
AE Resuelve
problemas de suma
y resta con números
enteros, fracciones y
decimales positivos
y negativos.
3
1
3
cm
3
1
3
cm
5
3
4
cm
5
3
4
cm
20
254.1
>
=
<
>
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1 Resuelve las siguientes sumas y restas de fracciones.
a)
1
5
+
3
5
b)
5
7
+
6
7
c)
10
3
−
2
3
d)
13
14
−
5
14
e)
11
12
−
7
12
f) 4
6
8
+ 6
5
8
g) 6
1
5
− 2
2
5
h)
5
7
+
2
3
i)
4
5
−
4
9
j)
5
6
+
7
9
k)
1
2
−
3
12
l) 2
1
3
+ 3
1
2
m) 7
5
8
− 4
2
8
n) 3 +
4
5
o) 1 +
1
3
+
3
4
2 Resuelve los siguientes problemas.
a) En el tiempo que duró un apagón de energía eléctrica, Viviana utilizó dos
velas: la primera le duró
2
3
de hora y la segunda la necesitó por los
3
4
de
hora restantes que se mantuvo el apagón.
Ÿ ¿Cuánto tiempo duró el apagón?
Ÿ ¿A qué hora regresó la electricidad si el apagón comenzó a las 8:15
p.m.?
Actividades
21
9 horas 40 minutos de la noche
1 5
12
de horas
= 4
5
= 11
7
= 2 2
3
= 4
7
= 1
3
= 11 3
8
= 3
4
5
= 1
8
21
= 16
45
= 111
18
= 1
4
= 5 5
6
= 3 3
8
= 3 4
5
= 2 1
12
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Práctica 3
b) En una ferretería se venden clavos de cualquier tamaño a 20 pesos por
kilo. Si Juan, el carpintero, compra
1
4
kg de clavos de
1
2
pulgada,
1
2
kg de
1
4
de pulgada y
2
8
kg de
1
8
de pulgada, ¿cuántos kilos de clavos compró
en total y cuánto dinero gastó?
c) Tres candidatos competían para la alcaldía de una ciudad. El primer can-
didato obtuvo
2
5
partes de los votos y el segundo
7
15
de los votos.
Ÿ ¿Qué fracción de los votos obtuvo el tercer candidato?
Ÿ ¿Cuál candidato ganó la elección?
d) Elisa inscribió a su perro en una escuela de entrenamiento. Si cada sesión
dura
3
4
de hora y el perro estuvo solamente 3 sesiones y
1
4
de hora, ¿cuántas
horas el perro estuvo en la escuela?
e) La familia Oliveros pasó la mitad de sus vacaciones en Oaxaca,
1
3
de
ellas en Veracruz y el resto en Chiapas. ¿Qué fracción de sus vacaciones
pasaron en Chiapas?
f) La familia Rincón gasta una tercera parte de su salario en renta, una
cuarta parte en alimentos y una quinta parte en servicios médicos. ¿Qué
parte de su salario le queda a la familia para otros gastos?
22
1 kg de clavos
$20.00 pesos
2
15
de los votos
2 1
2
horas
El segundo
1
6
de sus vacaciones en Chiapas
13
60
de su salario
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h) ¿Qué fracción del área total del círculo representa el área sombreada?
g) ¿Cuál es el perímetro del siguiente cuadrilátero?
i) ¿Qué fracción de la siguiente figura es roja?
j) ¿Qué parte de la siguiente figura es azul?
7 1
2
cm
5 1
3
cm
6 cm
9 5
6
cm
1
4
23
1
12
1
4
es azul
1
4
es roja
28 2
3
cm
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Práctica 4 Problemas de suma y resta de decimales
y variación
Tema Adición
y sustracción
AE Resuelve
problemas de suma
decimales positivos
y negativos.
1 Haz las siguientes operaciones. Acomoda los números de manera
vertical.
Actividades
Para sumar y restar decimales se siguen los siguientes pasos:
1. Escribimos un decimal debajo del otro alineando los puntos decima-
les. De esta manera quedan colocadas las posiciones de los números
(décimos debajo de décimos, unidades debajo de unidades, etc.).
2. Suma o resta.
Ejemplos:
Suma 33.05 + 182.573
33.050
+ 182.573
215.623
Resta 284.56 - 120.1
284.56
− 120.10
164.46
a) 2.1 + 24.11 + 1.143 + 183
c) 1875.234 − 23.65
e) 4.25 + 12 + 8.7
b) 0.915 + 12.6 + 100.8 + 0.1 + 42.648
d) 237.1 − 111.89
f) 98.125 − 0.7569
1. 49 ÷ 7 =
2. 36 = 4 ×
3. ¿Cuáles son los
cuatro primeros
múltiplos de 9?
4. ¿Cuál es el nombre
de la siguiente
figura:
24
= 24.95
= 1851.584
= 210.353
= 97.3681
= 157.063
= 125.21
7
9
9, 18, 27, 36
Dodecágono
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a) En una carrera de relevos de 800 m, los cuatro corredores tuvieron los
siguientes tiempos: 27.43 s, 31.2 s, 29,52 s y 28 s. ¿Cuál es el tiempo
total?
b) ¿Cuál sería el tiempo total si cada corredor lograra bajar su tiempo 0.30
segundos en promedio?
c) Renata tiene $2 840.75 en su cuenta de banco. Si expidió dos cheques,
uno de $1 020.30 y otro de $214.80. ¿Cuánto le quedó en su cuenta?
d) En los últimos 5 días, la cantidad de lluvia fue: 2.35 cm, 2 cm, 0.92 cm,
0.8 cm y 1.82 cm. ¿Cuánta lluvia cayó en los últimos 5 días?
e) Una palmera mide 7.5 metros y un árbol de mango mide 3.43 metros.
¿Cuál es la diferencia entre las alturas de los árboles?
f) Juan pesaba 63.7 kg y aumentó 2.5 kg el mes pasado. Este mes bajó
1.75 kg. ¿Cuánto pesa Juan?
g) Un número es 5.27 menor que la suma de 13.8 y 25.81. ¿Cuál es el número?
h) El precio de descuento de un artículo electrónico es $1903.50 menor que
el precio regular. Si el precio regular es de $7 830.90. ¿Cuál es el precio
del artículo con descuento?
25
116.15 segundos
114.95 segundos
$1605.65
7.89 cm
4.07 metros
64.45 kg
34.34
$5927.40
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Práctica 5
1 Utiliza la equivalencia de fracciones, el cálculo mental y la estimación de
resultados, para indicar el valor aproximado de las siguientes operaciones.
Explica tu procedimiento.
a)
6
13
+
1
100
+
30
31
b)
17
18
+
3
5
c)
15
7
+
20
21
d)
22
7
+
11
20
e)
1
30
+
11
5
+
23
12
f)
4
5
+
4
2
+
1
5
g)
6
7
+
3
4
Problemas de suma de fracciones
y decimales
1. 27.39 ÷ 11
2. ¿Qué fracción
de la figura está
sombreada?
3. ¿Qué porcentaje
de la figura está
sombreado?
4. 0.00073 × 1000
5. 986.14 ÷ 100
Actividades
y variación
Tema Adición
y sustracción
AE Resuelve
problemas de suma
decimales positivos
y negativos.
Ejemplo:

1
50
+
12
13
≈ 1 porque
1
50
es casi 0 y
12
13
es casi 1
26
≈ 1
2
+ 0 + 1 = 1 1
2
≈ 1 + 0.5 = 1 1
2
≈ 2 + 1 = 3
≈ 3 + 1
2
= 3 1
2
≈ 0 + 2 + 2 = 4
≈ 1 + 2 + 0 = 3
≈ 1 + 1 = 2
1
4
2.49
25%
0.73
9.8614
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2 Escribe dos números distintos de cero cuya suma sea el número que se
indica.
a) 0.98
b) 0.607
c) 0.1001
d) 5.002
e) 0.0034
f) 0.423
g) 0.002
h) 0.011
i) 3.25
3 Las siguientes mediciones son aproximaciones que se hicieron después
de realizar el cálculo correcto. Escribe para cada caso si es conveniente
o no considerar las aproximaciones y por qué.
a) Una cancha de futbol mide 48.7 m.
b) Después de un examen de la vista al cliente, sus lentes deben tener 1.25
dioptrías.
c) Para extraer la catarata en un ojo la incisión debe ser de 2.8 mm.
d) La inclinación de las trabes de un puente deben ser de 24.6º.
e) El peso de un bebé es de 8.475 kg.
27
0.9 + 0.08
0.6 + 0.007
0.1 + 0.0001
5 + 0.002
0.0017 + 0.0017
0.4 + 0.023
0.001 + 0.001
0.01 + 0.001
3 + 0.25
Aprox. 50 m
Respuesta libre (R. L.)
No se puede aproximar, el número debe ser exacto.
El corte debe ser exacto, sería irresponsable aproximar.
No podemos aproximar, la medida del ángulo debe ser exacta.
Podemos aproximar y decir que su masa es de 8.5 kg.
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Práctica
a) Lucas recorre 6.7 km en metro, 3.8 km en metrobús y
1
4 km caminando
para llegar a la Facultad de Medicina. ¿Cuál es la distancia total que Lucas
recorre desde que se sube al metro hasta que llega a la Facultad?
b) Helena entra a trabajar a las 8 a.m., se tarda 40 minutos para arreglarse,
25 minutos para desayunar y 3
4
de hora para llegar a su trabajo. ¿A qué
hora debe levantarse?
c) En un debate, cada uno de los cuatro participantes tiene 2.5 minutos para
exponer su propuesta, 1
1
2
minutos para hacer su comentario de cierre
y 8.5 minutos para responder preguntas de la audiencia.
Ÿ ¿Cuánto tiempo dispone cada candidato en total?
Ÿ ¿Cuanto tiempo dura el debate?
d) Amanda recorrió media hora en taxi para ir al aeropuerto, esperó 1
3
4 de
hora para que saliera el avión, el viaje duró 2
3
4
de hora y el taxi a casa de
su abuela tardó 5
8
de hora en llegar. ¿Cuánto tiempo empleó Amanda
en el viaje?
e) José organizó una función de cuatro películas continuas: la primera dura
1
1
2 horas; la segunda, 2.3 horas; la tercera, 1.75 horas; y la cuarta, 2
1
10
horas. ¿Cuánto tiempo durará la función?
5
28
Lucas recorre 10.75 km desde que sube al metro hasta que llega a la
Facultad.
1 hr 50 min, debe levantarse a las 6:10 a.m.
El debate dura 50 min.
7.65 horas.
5 horas y 5
8
de hora.
12.5 min
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f) En la siguiente tabla aparecen las puntuaciones de dos gimnas-
tas. Para obtener la puntuación se calcula el promedio de las cuatro
calificaciones. Indica cuál de las gimnastas obtuvo el primer lugar
y cuál fue la diferencia de puntuación.
Modalidad Gimnasta 1 Gimnasta 2
Caballo 18.892 20.476
Barras asimétricas 19.253 18.876
Barra de equilibrio 19.141 21.111
Manos libres 21.889 18.711
5 Completa los siguientes cuadrados de tal forma que la suma de cada co-
lumna, renglón y diagonal, sea el mismo resultado.
1.5 4 1
3
5
1.2
7
2
1
3 5.5 1.8
2
5
29
Gimnasta 1 obtuvo 14.74375 puntos de promedio.
Gimnasta 2 obtuvo 19.7935 puntos de promedio.
El primer lugar lo obtuvo la gimnasta 1. La diferencia en la puntuación
fue 0.00025.
5
5
2
4
5
1
5
1
2
5
4.5 0.6
2
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Práctica 6
Para sumar números negativos y positivos podemos utilizar el siguiente
método:
Ÿ En un recuadro como el anterior se representan de un lado los números
positivos y del otro los negativos.
Ÿ Cada sumando se acomoda representado por la misma cantidad de mar-
cas en el recuadro que le corresponda a su signo.
Ÿ Como cada marca representa un mismo valor, es decir, una unidad, una
marca positiva y una negativa, se pueden anular. Se tachan por parejas,
una negativa y una positiva.
Ÿ Una vez que ya no se puedan completar parejas para anular, uno de los
lados del recuadro quedará aún con marcas. La cantidad de marcas so-
brantes será el valor del resultado de la suma, dependiendo el lado del
recuadro en el que quedaron, será el signo que tendrá.
Ejemplo:
− 3 + 7
En el recuadro se ponen 3 marcas del lado de los negativos y 7 del lado de
los positivos. Se tacha uno de cada lado hasta que ya no queden pares por
tachar.
Quedaron cuatro marcas sin tachar del lado positivo. Por tanto, − 3 + 7 = 4.
1. ¿Cuánto vale
el área de un
rectángulo de
base
1
2
m y de
altura 2 m?
2. ¿Cuánto vale
el área de un
cuadrado cuyo
lado mide 5 cm?
de
1
5
?
4. ¿Cuál es la
expresión decimal
de
3
8
?
5. ¿Cuál es el 25%
de 40?
Suma y resta de números positivos
y negativos
y variación
Tema Adición y
sustracción
AE Resuelve
problemas de suma
decimales positivos
y negativos.
− +
− +
30
1 m2
25 cm2
0.375
10
1
10
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Para restar números negativos o positivos se utiliza un procedimiento si-
milar al anterior:
Ÿ El número al que se le restará otro, se colocará representado por la misma
cantidad de marcas en la parte del recuadro que le corresponde según su
signo. Los números que se le restarán se acomodan en el recuadro en la
parte contraria a su signo:
» Si el que se resta es un número positivo, éste se coloca en la parte
negativa del recuadro, representado por la misma cantidad de marcas.
» Si el que se resta es un número negativo, éste se coloca en la parte
positiva del recuadro, representado por la misma cantidad de marcas.
Ÿ Se anulan por pares, uno de cada lado. El resultado es la cantidad de mar-
cas sobrantes con el signo dependiendo del lado donde se encuentren.
Ejemplo:
−4 − (−5)
Por lo tanto:
−4 − (−5) = 1
−4 − (5)
Por lo tanto:
−4 − (5) = −9
Para sumar fracciones o decimales positivos y negativos se siguen las
mismas reglas que al sumar enteros.
Si sumas dos
números negativos,
el resultado:
Es un número
positivo.
Es un número
negativo.
Puede ser positivo
o negativo,
dependiendo de
cuáles sean los
números.
Si a un número
positivo le restas un
número negativo, el
resultado:
Es un número
positivo.
Es un número
negativo.
Puede ser positivo
o negativo,
dependiendo de
cuáles sean los
números.
Si a un número
negativo le restas un
número negativo, el
resultado:
Es un número
positivo.
Es un número
negativo.
Puede ser positivo
o negativo,
dependiendo de
cuáles sean los
números.
Pregunta de reflexión
− +
− +
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Práctica 6
Actividades
1 Resuelve las siguientes sumas utilizando los recuadros.
a) −3 + 6
c) −1 + 4
e) 2 + (−2)
g) −4 + (−3)
i) −6 + 3
k) −9 + 1
b) −7 + 8
d) −5 + 7
f) −3 + (−4)
h) −5 + 5
j) −6 + 4
l) 3 + (−8)
− + − +
− + − +
− + − +
− + − +
− + − +
− + − +
32
= 3
= 3
= 0
= −7
= −3
= −8
= 1
= 2
= −7
= 0
= −2
= −5
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2 Resuelve las siguientes sumas utilizando los recuadros.
a) 4 − 6
c) 2 − 5
e) −1 − 2
g)
2 − (−4)
i) 8 − 12
k) 4 − 9
b) 5 − 7
d) −2 − 2
f) −4 − (−1)
h) −7 − (−6)
j) −5 − (−2)
l) −10 − (−12)
− + − +
− + − +
− + − +
− + − +
− + − +
− + − +
33
= −2
= −3
= −3
= 6
= −4
= −5
= −2
= −4
= −3
= −1
= −3
= 2
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Práctica 6
3 Completa las siguientes tablas de sumas.
+ −3 −1 0 1 2 3
−4
−2
0
2
4
+ −1 1 2
−4 −6 −2
−4
−1
−3 −1
4 Escribe el número que falta para que se cumpla la igualdad.
a) 5 − = 2
c) −4 + = −9
e) − 6 = −8
g) − 5 = −3
b) 2 − = −4
d) + 9 = −2
f) + 7 = 4
h) 4 − = 6
34
−7 −5 −4 −3 −2 −1
−5 −3 −2 −1 0 1
−3 −1 0 1 2 3
−1 1 2 3 4 5

1 3 4
5 6
7
−2 0
−5 −4 −3
−3 −5 −3 −2 −1
−2 −4 −3 −2 0
−1 −2 0 1
3 6
(−5) −11
−2 −3
2 (−2)
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5 Resuelve las siguientes operaciones.
a) −
13
5
+ 1
1
2
− 2
1
3
=
c) 1
3
4
− 12 =
e) −
3
4
− (−2 +
3
5
)=
g) −5.4 + (−8.3) =
i) 9.6 − 11.3 =
k) −
1
3
−(−
2
5
) + (−
2
3
)=
m) −
3
2
− (−
5
4
) + (−
5
12
) − ( 2
3
)=
o)
3
5
+ (−
3
10
) =
q) 123.19 − (−32.5) + (−201.2) =
b) −6
5
9
− 5
1
3
=
d) −
5
6
+ 2
1
2
=
f)
3
4
− (−
1
3
) =
h) 5.9 + (−8.7) − (1.2) =
j) −6.7 − (−5.4) + (−1.1) =
l) 0.8 + (−1.3) − (−5.3) − (2.8) =
n) 3.1 + (−2.4) + 8.3 + 4.2 + (−13.5) =
p) −11.2 + (−2.3) − (4.5) − (−3.1) =
r) −23.7 + (−12.1) − (−0.64) + (−11.8) =
a) Sara compró siete dulces que cuestan $3.45 cada uno. ¿Cuánto gastó
en total?
b) Marco compró cinco discos para su fiesta de cumpleaños. Dos discos
le costaron $150.30 cada uno y los otros tres le costaron $99.99 cada
uno. ¿Cuánto pagó por los cinco discos?
c) Felipe lleva coloreado
3
7
partes de un dibujo. ¿Qué fracción del dibujo le
falta por colorear?
d) ¿Qué fracción representa la parte azul de la siguiente figura?
35
5
3
13
20
13
12
3
10
− 3
5
−10 1
4
− 103
30 − 107
9
− 4
3
−13.7
−1.7
−4
−2.4
2
−0.3
−14.9
−46.96
−45.51
$ 24.15
$600.57
4
7
3
16
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Práctica
e) Alejandra se comió
2
12
de un pastel y le regaló a su hermana la mitad de
lo que quedaba. ¿Qué fracción del pastel sobró?
f) En una mañana de invierno, el termómetro registró una temperatura de
−3°C. Si la temperatura aumentó 17°C máximo ese día, ¿cuál fue la tem-
peratura máxima que se alcanzó?
g) Elisa pagó con un cheque sin fondos por $150 y su banco le cobró una
multa de $50. Ella depositó inmediatamente $100 en su cuenta. ¿Cuál
es su saldo?
h) Un submarino descendió −40.5 m y más tarde descendió −38.6 m. ¿A
qué profundidad se encuentra ahora?
6
7 Explica cómo puedes averiguar cuál de las siguientes fracciones es
menor: −
1
2
y −
3
4
8 Explica cómo puedes averiguar cuál de los siguientes números es mayor:
−0.6 y −0.25.
9 Escribe <, > , = , según corresponda.
a) −
7
4
−
3
2
c)
1
9
−
3
4
e) −1.45 0.01
b) −8.75 −8.453
d) −
2
5
−
1
2
f) −
3
5
−0.6
36
−$100
Se encuentra a −79.1 metros.
Una manera de averiguarlo es localizarlas en la recta numérica y ver cuál
de ellas está más cerca del cero, ésa será la mayor.
Una manera de averiguarlo es localizarlos en la recta numérica y ver cuál
de ellos está más cerca del cero. En este caso, −0.25 está más cerca del
cero que −0.6
Entonces el mayor es −0.25.
−
1
2
es mayor ya que está más cerca
del cero.
14°C
5
12
−1
−
3
4
−
1
2
−
1
4
1
4
0
< <
>
=
>
>
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11 Completa la siguiente tabla. Escribe los resultados en forma fraccionaria.
a) Ricardo pagó con su tarjeta de crédito en el almacén y como resultado
su estado de cuenta señala que su saldo es de -$620. Inmediatamente
depositó $55 y al día siguiente $190. ¿Cuál es su saldo actual?
b) Una receta para preparar ensalada de manzana indica que se necesita
un kilo y medio de manzanas. En el supermercado venden paquetes de
2
1
4
kg. ¿Cuánta manzana sobra después de preparar la ensalada?
c) En el atlas de Geografía se señalan las alturas de ciertas montañas y la
profundidad de algunas fosas marinas:
a b a + b a − b b − a
−8.5 3.2
−
3
4
−1.5
3.8 −9.6
Fosa de las Marianas Pacífico sur (Islas Marianas) −11.034 km
Fosa de las Caimán Mar Caribe (S Cuba) −7.680 km
Fosa de Sigsbee Golfo de México −3.750 km
Pico del Aconcagua Mendoza, Argentina 6.959 km
Pico de Orizaba Orizaba, Veracruz 5.702 km
Volcán Popocatépetl Estado de México 5.452 Km
Utiliza la tabla anterior para responder las siguientes preguntas:
Ÿ ¿Cuál es la diferencia de profundidad entre la fosa de las Marianas
y la fosa de Sigsbee?
Ÿ ¿Cuál es la diferencia de altura entre el Pico de Orizaba y el volcán
Popocatépetl?
Ÿ ¿Cuál es la diferencia entre el Pico del Aconcagua y la fosa de las
Marianas?
37
−5.3= −5 3
10
−11.7 = −11 7
10
11.7 = 11 7
10
−2.25 = −2 1
4
0.75 = 3
4
−0.75 = − 3
4
−5.8 = −5 4
5
13.4 = 13 2
5
−13.4 = −13 2
5
Su saldo actual es de −$375
Sobra
3
4
kg de manzana
−7.284 km
250 metros
17993 km
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Práctica 7
1. 64 ÷ 8
2. 60 = × 15
3. 63 = 9 ×
4.
3
5
+
1
9
=
5. Escribe como
fracción impropia
a 2
3
7
.
Problemas de multiplicación de fracciones
Para multiplicar dos fracciones se multiplica el numerador por el numera-
dor y el producto es el numerador de la nueva fracción; el producto de los
denominadores es el denominador de la nueva fracción.
Cuando el producto de dos fracciones es 1, se dice que una de las fracciones
es el inverso multiplicativo de la otra.
Ejemplos:
El inverso multiplicativo de
5
4
es
4
5
.
2
3
es
3
2
.
1
6
es
6
1
.
1
2
es
2
1
.
Para dividir dos fracciones, el resultado es el producto de la primera fracción
por el inverso multiplicativo de la segunda.
Ejemplos:
2
3
÷
5
4
=
2
3
×
4
5
=
8
15
3
5
÷
2
3
=
3
5
×
3
2
=
9
10
4
9
÷
1
6
=
4
9
×
6
1
=
24
9
6
7
÷
1
2
=
6
7
×
2
1
=
12
7
Actividades
y variación
Tema Multiplicación
y división
AE Resuelve
problemas de
multiplicación con
fracciones y decimales
y de división con
decimales.
1 Escribe qué parte de la figura está sombreada en cada uno de los
siguientes cuadrados.
38
32
45
17
7
= 8
4
7
1
5
1
2
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4 Traza las líneas necesarias en cada figura para que represente la multipli-
cación que se indica. Escribe el resultado.
2 En la siguiente figura están unidas las dos figuras del ejercicio 1. Indica
qué parte representa
1
2 de
1
5 .
3 Escribe qué parte de las figuras está sombreada y qué parte representa
1
3
de
2
5 , cuando se unen las figuras.
5 Elabora un diagrama, similar a los del ejercicio anterior, que ilustre las
siguientes multiplicaciones. Escribe el resultado.
a)
1
2
de
1
3
= b)
1
3
de
2
3
= c)
1
4
de
2
3
=
a)
3
4
de
1
2
=
b)
1
5
de
3
4
= c)
3
4
de
2
3
=
39
1
3
de 2
5
es 2
15
1
3
× 2
3
= 2
9
1
4
× 2
3
= 2
12
1
2
× 1
3
= 1
6
1
5
× 3
4
3
4
× 2
3
3
4
× 1
2
1
10
1
3
2
5
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Práctica 7
6 Apóyate en el diagrama y completa lo que falta para indicar de qué multi-
plicación se trata:
7 Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado.
d) de =

e) de =
a)
5
4
×
5
10
c)
5
4
×
3
10
e)
4
6
×
7
8
g)
1
10
×
5
2
b )
9
8
× 11
d)
3
2
×
1
7
f)
5
7
×
3
2
h)
25
4
×
7
3
a)
1
2
de = b)
1
3
de =

c) de =
40
1
6
1
12
1
6
1
18
2
3
3
4
6
12
2
3
1
5
2
15
3
4
2
5
6
20
= 25
40
= 5
8
= 15
40
= 3
8
= 28
48
= 7
12
= 5
20
= 1
4
= 99
8
= 3
14
= 15
14
= 175
12
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a) Jacinto entrena en una pista de 800 m. Empieza trotando los primeros
3
4
de la pista y después corre a toda velocidad. ¿Cuántos metros trota?
b) Roxana está vendiendo un terreno en
1
4
de millón de pesos. Para que se
venda pronto, decidió reducir el precio a la mitad. ¿Cuánto cuesta el terreno
ahora?
c) Carolina y Alfredo están haciendo carreras en bicicleta. Juan da la señal de
salida y les indica cuándo deben detenerse. Carolina avanzó
4
5
de kilómetro,
mientras que Alfredo recorrió
2
3
de lo que avanzó Carolina. ¿Cuánto avanzó
Alfredo?
d) En la clase de carpintería el maestro dividió una tabla de 3
1
2
m en
6 pedazos iguales. ¿Qué parte de metro mide cada pedazo?
e) Arturo utilizó 1
1
4
litros de pintura para pintar
1
3
de la sala. ¿Cuántos cuartos
de pintura necesita para pintar la sala completa?
f) La maestra reportó que nueve de sus estudiantes reprobaron y que sólo
2
3
aprobaron. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?
g) Paulina recibe un pago de $60 la hora. Si trabaja 3 horas al día, de lunes a
viernes, ¿cuánto recibe de pago a la semana?
h) Antonio quiere nadar 300 m en una alberca de 33 metros de largo. ¿Cuántas
vueltas debe dar a la alberca?
Como 0.001 es igual
que
1
1 000 , dividir
entre
1
1 000 es lo
mismo que:
Encontrar la
milésima parte.
Dividir entre 1 000.
Multiplicar por
1 000.
41
Avanza 600 m trotando.
$ 125 000
533.3 km
7
12 m
10
4 litros.
27 alumnos.
9 vueltas.
$900 a la semana.
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Práctica 8 Problemas de multiplicación de decimales
1 Resuelve las siguientes multiplicaciones.
Actividades
b) 0.7
× 3
d) 1.2
× 7
f) 1.1
× 3.2
h) 5.6
× 7.2
j) 32.7
× 0.41
l) 42.901
× 12.20
n) 1.112
× 0.310
a) 0.3
× 4
c) 3.6
× 5
e) 7.8
× 9
g) 2.7
× 6.0
i) 7.24
× 6.16
k) 313.00
× 94.90
m) 0.280
× 7.3
y variación
y división
AE Resuelve
problemas de
multiplicación con
y de división con
decimales.
1.
10.2
0.9
+ 8.01
271
2. Calcula el 20%
de 30.
3.
+ 5.34
16
4.
3
8
de 24
5. Un almuerzo para
una excursión
contiene una
naranja de $5.10,
una zanahoria de
$1.25, un sándwich
de $15.50, una
galleta de $3.75 y
un cuarto de leche
de $5.40. ¿Cuál
será el precio que
hay que pagar por
10 almuerzos?
42
1.2
18
70.2
16.2
44.5984
29703.7
2.044
2.1
8.4
3.52
40.32
13.407
523.3922
0.34472
290.11
21.34
6
9
$310
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a) En un restaurante el menú de niños cuesta $45.80. ¿Cuánto cuesta llevar
a 10 niños a comer?
b) En una tienda venden agua embotellada a $7.75 cada una. Si compras 8
botellas, ¿cuánto gastarás?
c) Una pista para correr mide 3.450 km. Si Ana corre 3 vueltas diarias, ¿cuán-
tos kilómetros corre diariamente? ¿Cuántos kilómetros corre en una se-
mana si descansa un día a la semana?
d) Un chef calcula que cada persona se come en promedio 0.275 kg de
carne de un asado. ¿Cuánta carne necesita para 35 personas?
e) Si el salario mensual de Juan es de $10 500 y cada mes ahorra 0.25 de
su sueldo, ¿cuánto ahorra en un año?
Cuando
multiplicamos por
un número decimal
menor que uno,
¿cuándo es más
chico el producto que
los factores?
Nunca
Siempre
Algunas veces
o) 38.700
× 5.170
q) 9.979
× 0.3021
s) 0.302
× 53
p) 13.312
× 7.540
r) 1.401
× 12.01
t) 72.900
× 1.600
43
$458
$62
10.35 km diarios. 62.1 km a la semana.
9.625 kg
$31500
200.079
3.0146559
76.406
100.37248
16.82601
116.64
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Práctica 9 Problemas de división con decimales
y variación
y división
AE Resuelve
problemas de
multiplicación con
y de división con
decimales.
1 Resuelve las siguientes divisiones.
Actividades
b) 3 600 ÷ 10
d) 9 000 ÷ 10 000
f) 67 ÷ 3
h) 13 488 ÷ 55
j) 11 496 ÷ 49
l)
23.68 ÷ 3
n)
388.5 ÷ 15
a) 15 ÷ 10
c) 5 738 ÷ 100
e) 8 516 ÷ 1 000 000
g) 4 545 ÷ 7
i) 6 782 ÷ 13
k) 2.54 ÷ 4
m) 11.24 ÷ 7
1.
48
6
=
2. 4 × N = 36, ¿cuánto
vale N?
3. Escribe los
primeros cuatro
múltiplos de 7.
4.
2
9
de 27 =
5. En el gimnasio de
una escuela hay
65 asientos rojos,
40 lugares para
permanecer de
pie y 142 asientos
azules. ¿Cuántos
asientos hay en
total?
44
8
N = 9
7, 14, 21, 28
6
207
= 1.5
= 57.38
= 0.008516
= 649.28
= 521.6
= 0.635
= 1.605
=360
= 0.9
= 22.3
= 245.23
= 234.6
= 7.893
= 25.9
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a) En una rifa se recaudaron $278 071. Si se van a repartir las ganancias
entre cuatro asociaciones de beneficencia en partes iguales, ¿cuánto
dinero obtendrá cada asociación?
b) Si Andrea obtuvo las calificaciones mostradas en la tabla, ¿cuál es su
promedio bimestral?
3er bimestre
Materia Calificación
Español 7.7
Matemáticas 9.5
Biología 8.3
Inglés 8.3
Educación Física 10
Arte 9.2
c) La gravedad terrestre es aproximadamente igual a 9.81
m
s2. Si la grave-
dad lunar es aproximadamente una sexta parte de la terrestre, calcula la
gravedad lunar.
Al dividir un número
entre un decimal
menor a uno, el
cociente será:
Mayor que el
dividendo.
Menor que el
dividendo.
A veces mayor
y a veces menor
que el dividendo.
o) 714.84 ÷ 64
q) 9 320.41 ÷ 1.50
s) 10 927.532 ÷ 0.172
p) 8 777.25 ÷ 16.2
r) 332.925 ÷ 10.211
t) 11 415 ÷ 25.9
45
$69 517.75
1.635
m
s2
8.83
= 11.16
= 6 213.60
= 63 532.1
= 541.8
= 32.60
= 440.7
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Práctica 10
1. El costo de
inscripción a
un periódico
es de $24.50
a la semana.
¿Cuánto cuesta la
inscripción anual?
2. Resuelve las
siguientes
operaciones:
Ÿ
2
3
×
3
5
=
Ÿ
2
3
÷
3
5
=
Ÿ
2
3
+
3
5
=
Ÿ
2
3
−
3
5
=
Jerarquía de operaciones
y variación
Tema Adición
y sustracción
AE Determina
y usa la jerarquía
de operaciones y
los paréntesis en
operaciones con
números naturales,
enteros y decimales
(para multiplicación
y división solo números
positivos).
Cuando en una expresión aparecen varias operaciones, algunas
de las cuales están entre paréntesis, se buscan los resultados de
cada una de ellas, yendo de los paréntesis internos hacia los externos.
Los paréntesis indican, por lo tanto, el orden en que deben hacerse las
operaciones.
Ejemplo:
4 × [3 + (10 ÷ 2)] = 4 × [3 + (5)] = 4 × [8] = 32
[(4 × 3) + 10] ÷ 2 = [(12) + 10] ÷ 2 = [22] ÷ 2 = 11
(4 × 3) + (10 ÷ 2) = (12) + (5) = 17
Observa cómo los resultados varían según se colocan los paréntesis.
Si en una expresión con varias operaciones no hay paréntesis, existe una
serie de reglas que permiten llevarlas a cabo de manera única. Estas re-
glas se conocen como jerarquía de operaciones y son las siguientes:
Ÿ Se resuelven potencias y raíces (si las hay).
Ÿ Multiplicaciones y divisiones (si las hay).
Ÿ Las sumas y restas (si las hay).
Algunas operaciones funcionan como paréntesis. Por ejemplo, para re-
solver:

8 × 4 − 5 × 2
11
=
32 − 10
11
= 22
11
= 2
la división entre 11 es la última que se hace.
1 Resuelve las siguientes multiplicaciones.
Actividades
a) 20 + 5 × 3
c)

50
10
× 5 − 6 × 3 − 2
b) 8 × 5 − 25 ÷ 5
d) 4 + 32
− 9
46
= 35
= 5
= 35
= 4
3
5
10
9
19
15
1
15
$1274
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2 En las siguientes operaciones, coloca paréntesis de tal forma que
obtengas el resultado que se indica.
a) 42
− 32
× 9 = −65
b) 6 × 5 − 25 ÷ 4 = −30
c) −20 + 4 ÷ 3 = −8
d) −42
− 4 ÷ 2 × = 6
e)
(8 + 2)2
− 8 × 40
g) 12 ÷ 3 − 5 + 4 ÷ 2 + 27
i) 5 × 20 + 23 + 3
k) 2(64 − 4 ÷ 2)
m)
1
2
+ 5 ×
3
2
o)
5
3
× 5 −
1
3
× 3 −
20
3
q)
(8 + 2)2
− 8 + 40
10
s)
2
5
÷
1
7
+
2
5
× 2 +
7
5
u) 15 × 20 + 6.1 × 10
w)
3
4
÷
1
2
+
1
2
÷
2
5
−
5
4
+
1
3
÷
3
2
f)
8 × 4 − 5 × 3
h) 7 × 6 − 40 ÷ 5 + 62
÷ 18 + 18
j) 2(64 − 4 ÷ 2)
l) 72 ÷ 2 + 18 ÷ 3 − 125 + 18 ÷ 9
n) 8.4 × 5 − 2.5 ÷ 5
p)
42
+ 32
5
− 9
r) 3.1 × 2 + 2.45 × 4
t) 7 × 1.6 − 40.5 ÷ 5 + 62
÷ 1.8 −
1
10
v)
2(64 − 4 ÷ 2)
124
x) 1.8 ÷ 0.9 + 1.7 × 0.2
47
= 42
– (32
× 9) = 16 – 81 = −65
= [6 × (5 − 25)] ÷ 4 = −120 ÷ 4 = −30
= −(20 + 4)÷ 3 = −8
= [(−4)2
− 4] ÷ 2 = (16 − 4) ÷ 2 = 6
= –220
= 28
= 126
= 124
= 8
=
2
3
= –22
= 5
= 361
=
31
18
= 17
= 54
= 124
= –81
= 41.5
= –4
= 16
= 23
= 1
= 2.34
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Práctica 11
1. ¿Cuántos
milímetros son
43.5 cm?
2. Un 75% de la altura
de un edificio
equivale a 10.8
metros. ¿Cuánto
mide el edificio
completo?
3. Memo trabaja de
medio tiempo en
una escuela y gana
$280 por hora.
¿Cuánto gana en
12 días si trabaja
5 horas diarias?
4. Calcula 657.05 × 9.
5. Cada uno de los
cuatro miembros
de la familia
de Juan come
una toronja en
el desayuno
diariamente.
¿Cuántas docenas
de toronja
consumen en una
semana?
Porcentajes
y variación
AE Resuelve
problemas de cálculo
de porcentajes, del
tanto por ciento y de
la cantidad base.
Un porcentaje es una fracción con denominador 100. Para representarlo
gráficamente utilizamos una retícula con 100 cuadritos, donde cada cuadrito
representa el 1%.
Observa cómo están representados los siguientes porcentajes:
Los 100 cuadritos representan el entero. Si el entero es 120, ¿cuánto repre-
senta cada cuadrito?
120 ÷100 = 1.2
Por tanto, si queremos calcular el 20% de 120, procedemos de la siguiente
manera: si el 1% de 120 es 1.2, entonces el 20% será 1.2 x 20 = 24
Para calcular el tanto por ciento de una cantidad:
1. Se calcula el 1% dividiendo la cantidad entre 100.
2. Se multiplica el resultado por el porcentaje que queremos calcular.
75
100 = 0.75
75% 14%
1%
98%
14
100 = 0.14
98
100 = 0.98
1.2
48
435 mm
14.4 m
$16 800
5 913.45
Dos docenas y cuatro
toronjas
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Ejemplos:
Si conocemos el porcentaje y queremos averiguar el valor del entero, es
decir, 15% de = 30, se realiza lo siguiente:
1. Se divide 30 ÷ 15 = 2 para averiguar el valor de un cuadrito.
2. Este valor se multiplica por 100 para averiguar cuál es el entero
2 × 100=200
Ejemplos:
Si conocemos el valor del porcentaje y el valor del entero y queremos ave-
riguar qué tanto por ciento es, es decir, % de 150 = 120, se procede de
la siguiente manera:
1. El entero vale 150, entonces podemos averiguar el 1%: 150 ÷ 100 = 1.5
2. Para conocer qué porcentaje de 150 es igual a 120, dividimos
120 ÷ 1.5 = 80
Ejemplos:
1 Representa gráficamente los siguientes porcentajes. Escríbelos en forma
de fracción y decimal.
Actividades
12% de 300
300 ÷ 100 = 3
3 × 12 = 36
35% de = 175
175 ÷ 35 = 5
5 × 100 = 500
35% de 500 = 175
% de 25 = 5
25 ÷ 100 = 0.25
5 ÷ 0.25 = 20
20% de 25 = 5
60% de 40
40 ÷ 100 = 0.4
0.4 × 60= 24
83% de = 166
166 ÷ 83 = 2
2 × 100 = 200
83% de 200 = 166
% de 90 = 40.5
90 ÷ 100 = 0.9
40.5 ÷ 0.9 = 45
45% de 90 = 40.5
150% de 90
150 ÷ 100 = 1.5
1.5 × 90 = 135
40% de = 180
180 ÷ 40 = 4.5
4.5 × 100 = 450
40% de 450 = 180
% de 90 = 63
90 ÷ 100 = 0.9
63 ÷ 0.9 = 45
70% de 90 = 63
a) 40%
Fracción:
Decimal:
b) 55%
Fracción:
Decimal:
49
40
100
0.40
55
100
0.55
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Práctica 11
2 Representa gráficamente y calcula el tanto por ciento de la cantidad que
se indica.
c) 8%
Fracción:
Decimal:
e) 170%
Fracción:
Decimal:
a) 18% de 150

c) 2% de 32

e) 12% de 2340

d) 3%
Fracción:
Decimal:
b) 30% de 220
d) 1.5% de 80

f) 0.5% de 12

50
8
100
0.08
3
100
0.03
170
100
1.7
32 ÷ 100 = 0.32
0.32 × 2 = 0.64
150 ÷ 100 = 1.5
1.5 x 18 = 27
80 ÷ 100 = 0.8
0.8 × 1.5 = 1.2
220 ÷ 100 = 2.2
2.2 x 30 = 66
2340 ÷ 100 = 23.40
23.40 × 12 = 280.8
12 ÷ 100 = 0.12
0.12 × 0.5 = 0.06
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3 Calcula los porcentajes que se indican.
a)
15% de 60
b) 8% de 200

c) 33% de 9

d) 14% de 560

e) 56% de 320
f) 67% de 386

g) 46% de 2 783
h) 18% de 0.37
i) 38% de 34.6
j) 70% de 0.436

k) 0.2% de 930

l) 0.63% de 852

m) 256% de 3
n) 25% de 27
o) 75% de 4.655
p) 34% de 15
q) 40% de 2 000
r) 1 000% de 36
s) 0.05% de 6 325
t) 20% de 930
51
= 9
= 16
= 2.97
= 78.4
= 179.2
= 258.62
= 1280.18
= 0.0666
= 13.148
= 0.3052
= 1.86
= 5.3676
= 7.68
= 6.75
= 3.49125
= 5.1
= 800
= 360
= 3.16
= 186
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Práctica 11
4 Calcula qué tanto por ciento es la primera cantidad de la segunda.
a) % de 35 = 7

b) % de 35 = 46
c) % de 300 = 249

d) % de 27 = 17.82
e) % de 56 = 78.4
f) % de 16 = 9.92
g) % de 400 = 10

h) % de 900 = 9
i) % de 18 = 3.015

j) % de 1472 = 460
k) % de 27.86 = 4.179

l) % de 56 = 58.24
m) % de 165 = 23.1

n) % de 374 = 157.8
o) % de 978 = 42.34

p) % de 187.3 = 93.65
q) % de 99 = 716

r) % de 8.15 = 0.58
s) % de 290 = 29

t) % de 2 430 = 1458
52
20
131.42
83
66
140
62
2.5
1
16.75
31.25
15
104
14
42.19
4.33
50
723
7.11
10
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5 Completa correctamente las afirmaciones.
a) 9% de = 11
b) 25% de = 740
c) 0.05% de = 45

d) 10% de = 0.904
e) 73% de = 5.16

f) 210% de = 1314
g) 19% de = 612

h) 36% de = 253.7
i) 1.05% de = 0.005

j) 150% de = 8390
k) 20% de = 125

l) 0.34% de = 1.5
m) 57% de = 144.3

n) 66% de = 82
o) 25% de = 40

p) 95% de = 63.07
q) 45% de = 720

r) 13.02% de = 9
s) 73.8% de = 2037

t) 80% de = 25
¿De qué número
5 400 es el 300%?
16 200
162
1 800
3 600
53
122.2
2 960
90 000
9.04
7.07
625.71
3 221
704.7
0.476
5 593.3
625
441.2
253.2
124.2
160
66.4
1600
69.1
2 760.2
31.25
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Evaluación
Evaluación
Subraya la respuesta correcta.
1.
3
4 escrito en su forma decimal es:
a) 7.5 b) 0.133 c) 1.33 d) 0.75
2. Para cercar una barda de 6
3
4 metros de largo, Nicolás compró 8
1
2 metros
de alambre. ¿Cuánto alambre le sobró?
a) 2
1
2 m b) 1
1
2 m c) 1
3
4 m d) 1
1
4 m
3. De un tinaco que estaba lleno de agua se extrajo la mitad y luego
1
5 del volu-
men original. ¿Qué parte del tinaco quedó con agua?
a)
2
7 b)
3
10 c)
1
2 d)
7
10
4. El número 0.125 escrito como fracción irreducible es igual a:
a)
1
8 b)
125
10 c)
12
5 d)
125
100
5. El resultado de escribir
1
3 en forma decimal es:
a) 0.13 b) 0.3 c) 0.33 d) 0.333
6. Al resolver la operación 5 + 8 × 2 − 24 ÷ 4 + 1.5 × 4 se obtiene:
a) 8 b) 26 c) 25 d) 6
7. Si un par de zapatos tenis cuestan $825 con 16% de IVA incluido, ¿cuál es el
precio de los zapatos sin el impuesto del IVA?
a) $ 957 b) $732 c) $809 d) $711.20
8. El 40% de 1200 es:
a) 48 b) 480 c) 4 800 d) 4.8
9. En el mercado el precio de la manzana es de $28.50 el kilo. ¿Cuánto debo
pagar por 3
1
4 kg?
a) $99.75 b) $106.90 c) $96.90 d) $92.60
10.
3
5 del total de alumnos de una escuela son niños y la tercera parte quiere
pertenecer al equipo de futbol. ¿Qué parte del total quiere estar en el equipo
de futbol?
a)
1
5 b)
1
3 c)
5
9 d)
3
5
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11. En cuál de las siguientes rectas están localizados correctamente los siguien-
tes números:

7
6
, 1
3
, 2
2
3 y
5
6
a)
b)
c)
d)
12. El termómetro marcó −5 ºC a las 6 a.m. y tres horas después la temperatura
aumentó 3 ºC. ¿Qué temperatura marcó el termómetro a las 9 a.m.?
a) −8 ºC b) 2 ºC c) −2 ºC d) 8 ºC
13. A las 5 a.m. Renata observó que la temperatura era -1 ºC y al mediodía había
aumentado 8 ºC. ¿Cuál era la temperatura al mediodía?
a) 9 ºC b) −7 ºC c) 7 ºC d) -9 ºC
14. Después de la escuela Eugenia tiene 4 horas para sus actividades vesper-
tinas. Ocupa la mitad de ellas en hacer su tarea y
1
4 en su clase de karate.
¿Cuánto tiempo ocupa para hacer su tarea y cuánto para la clase de karate?
a) Tarea: 1 hora y karate: 1 hora b) Tarea: 1 hora y karate: 2 horas
c) Tarea: 2 horas y karate: 2 horas d) Tarea: 2 horas y karate: 1 hora
15. Al multiplicar 6.487 x 0.7 el resultado es:
a) 45.409 b) 454.09 c) 4540.9 d) 4.5409
16. La altura del Nevado de Toluca es de 4 680 metros. A una tercera parte de su
altura se encuentra un refugio para los alpinistas. ¿A qué altura se encuentra
el refugio?
a) 1 560 m b) 1 650 m c) 3 120 m d) 3 210 m
1
3
5
6
7
6
2
3
2
1 2 3
5
6
1
3
7
6
2
3
2
1 2 3
1
3
7
6
5
6
2
3
2
1 2 3
1
3
5
6
7
6
2
3
2
1 2 3
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Retos Para finalizar tu trabajo, te proponemos los siguientes desafíos.
1. Seguramente has resuelto cuadrados mágicos. El primero y más básico de
ellos es el que usa los números del 1 al 9. Colócalos, sin repetición, en las
casillas, de manera que todos los renglones, las columnas y las diagonales
sumen 15.
2. Averigua si el siguiente cuadrado es mágico:
3. Completa los siguientes cuadrados de forma que sean cuadrados mágicos:
8
3
1
3 2
1
5
3
7
3
4
3 3
2
3
13 11
12
9 7
12
1
2
4
15
2
23
2
5
2
7 8
3
13
2
11
5 6
21
2
3
2
9
25
2
1
9
2
56
6
8 10
14
6
1
8
7
5
3
2
9
4
17
2
7
2
19
2
11
2
2 10
R. L.
R. L.
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Alberto Durero es un pintor alemán que nació en Núremberg, Alemania, en 1528.
Es el artista más famoso del renacimiento alemán. Una de sus obras más mis-
teriosas es Melancolía I. Observa el cuadro que aparece en el extremo superior
derecho.
En el siguiente cuadro se reproduce el que aparece en la obra.
4. Comprueba que el cuadrado de Durero es un cuadrado mágico.
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Suma de columna 1
Suma de columna 2
Suma de columna 3
Suma de columna 4
Suma de fila 1
Suma de fila 2
Suma de fila 3
Suma de fila 4
Suma de diagonal 1
Suma de diagonal 2
Otra maravilla del cuadrado mágico de Durero:
Suma los números de las esquinas
Suma los 4 números del centro
¿Qué observas?
57
34
34
34
R. M. Todos los resultados son iguales.
34 34
34 34 34
34 34
34 34
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58
Bloque 2
Eje: Número, álgebra y variación
Tema Patrones, figuras geométricas
y expresiones equivalentes
Tema Ecuaciones
Tema Funciones

59
59
Problema
Abre una hoja de cálculo del programa Excel en la computadora y sigue
las siguientes instrucciones:
1 En la celda A5 introduce un número inicial.
2 En la celda B5 escribe “= A5*7.5”, esto quiere decir que el número
de la celda A5 se multiplica por 7.5.
3 En la celda C5 escribe “= B5+30.48”, esto significa que al resultado
de la celda B5 se le suma 30.48.
4 En la celda D5 escribe “= C5*16.9”, esto quiere decir que el resultado
de la celda C5 se multiplica por 16.9.
5 En la celda E5 escribe “= D5/18.2”, esto significa que el resultado de
la celda D5 se divide entre 18.2. Este resultado es el final.
Ÿ Introduce el número 0 en la celda A5. Comprueba que el resultado es 28.30285.
Ÿ Cuando el número final es 87.65, ¿cuál es el número inicial?
Ÿ Cuando el número final es 360.8475, ¿cuál es el número inicial?
Ÿ Cuando se duplica el número inicial, ¿qué sucede con el número final?
Ÿ Explica cómo se relaciona el proceso en la hoja de cálculo con la expresión
16.9(7.5n + 30.48).

Práctica
60
12
y variación
Tema Patrones,
figuras geométricas
y expresiones
equivalentes
AE Formula
expresiones algebraicas
de primer grado a
partir de sucesiones
y las utiliza para
analizar propiedades
de la sucesión que
representan.
Sucesiones
1. Encuentra el
mínimo común
múltiplo de 20 y 15
2. 50% de 80
3. 75% de 80
4. 25% de 80
5. 20% de 80
Una sucesión numérica es un arreglo de números que siguen un or-
den basado en una regla. Podemos encontrar la regla de una suce-
sión si analizamos el patrón que sigue.
Ejemplos:
2, 8, 14, 20, 26, 32…
Regla: Sumar 6 cada vez.
4, 20, 22, 110, 112, 560...
Regla: Multiplicar por 5 y sumar 2 alternadamente.
1 Encuentra la regla mediante la cual se forman las siguientes sucesiones
numéricas y calcula el siguiente término en cada caso.
a) 9, 19, 28, 38, 47, 57,
Regla:
b) 10, 11, 21, 22, 32, 33,
Regla:
c) 7, 10, 15, 18, 23, 26,
Regla:
d) 1, 11, 21, 31, 41, 51,
Regla:
e) 9, 18, 22, 31, 35, 44,
Regla:
f) 1, 10, 15, 24, 29, 38,
Regla:
g) 4, 11, 17, 24, 30, 37,
Regla:
Actividades
60
40
60
20
16
66
43
31
61
48
43
43
Suma 10 y suma 9
Suma 1 y suma 10
Suma 3 y suma 5
Suma 10
Suma 9 y suma 4
Suma 9 y suma 5
Suma 7 y suma 6
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61
h) 6, 10, 16, 20, 26, 30,
Regla:
i) 8, 9, 18, 19, 28, 29,
Regla:
j) 4, 9, 19, 24, 34, 39,
Regla:
k) 10, 28, 25, 43, 40, 58,
Regla:
l) 3, 23, 19, 39, 35, 55,
Regla:
m) 5, 25, 14, 34, 23, 43,
Regla:
n) 6, 24, 18, 36, 30, 48,
Regla:
o) 5, 17, 11, 23, 17, 29,
Regla:
p) 8, 25, 10, 27, 12, 29,
Regla:
q) 5, 2, 14, 11, 23, 20,
Regla:
r) 9, 2, 13, 6, 17, 10,
Regla:
s) 8, 4, 13, 9, 18, 14,
Regla:
2 Diseña tu propia sucesión y dásela a un compañero para que encuentre la
regla.
36
38
49
55
51
32
42
23
14
32
21
23
Suma 4 y suma 6
Suma 1 y suma 9
Suma 5 y suma 10
Suma 18 y resta 3
Suma 20 y resta 4
Suma 20 y resta 11
Suma 18 y resta 6
Suma 12 y resta 6
Suma 17 y resta 15
Resta 3 y suma 12
Resta 7 y suma 11
Resta 4 y suma 9
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62
Práctica 12
3 Encuentra la regla de las siguientes sucesiones numéricas y calcula el
siguiente término en cada caso.
a) 3, 21, 22, 154, 155,
Regla:
b) 3, 24, 38, 304, 318, 2544,
Regla:
c) 4, 20, 21, 105, 106, 530,
Regla:
d) 7, 63, 69, 621, 627, 5643,
Regla:
e) 7, 56, 69, 552, 565, 4520,
Regla:
f) 10, 80, 82, 656, 658, 5 264,
Regla:
g) 1, 19, 20, 380, 381, 7239,
Regla:
h) 5, 90, 101, 1818, 1829, 32922,
Regla:
i) 3, 9, 17, 51, 59, 177,
Regla:
4 Imagina que existe una máquina transformadora de números que al intro-
ducir una cantidad se le aplica una regla y sale otro número.
Si el es el número que entra y es el que sale, encuentra el número que
sale de la máquina en cada caso y escribe la regla que lo transformó.
1085
2558
531
5649
4533
5266
7240
32933
185
Multiplica por 7 y suma 1
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63
1 3
2 5
3 7
4 9
5
6
10
100
53
1 1
2 2
3 3
4 4
5
6
10
100
20
1 13
2 19
3 25
4 31
5
6
10
100
61
1 6
2 9
3 12
4 15
5
6
10
100
27
1 6
2 11
3 16
4 21
5
6
10
100
36
1 3
2 3
3 3
4 3
5
6
10
100
3
1 1
2 3
3 5
4 7
5
6
10
100
87
1 2
2 5
3 8
4
5
6
10
100
110
1 9
2 18
3 27
4
5
6
10
100
81
11
13
21
201
5
6
10
100
26
31
51
501
11
14
17
29
299
18
21
33
303
9
11
19
199
37
43
67
607
3
3
3
3
36
45
54
90
900
= • 2 + 1
= • 3 + 3
= 2 − 1 = 3 − 1 = 9
= • 5 + 1 = 3
= • 6 + 7
20
7
37
8
44
9
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9
26
= • 1
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64
Práctica 12
1 0
2 9
3 18
4
5
6
10
100
90
1 1
1
2
2 2
3 2
1
2
4 3
5
6
10
100
7
1 2
1
2
2 3
1
2
3 4
1
2
4
5
6
10
100
12
1
2
5 Las siguientes figuras están formadas con palillos. Para obtener las reglas
que permiten calcular cuántos palillos se necesitan para formarlas, llena
las tablas en cada caso. Considera que h representa la altura, b la base y n
el número de palillos.
a)
b 1 2 3 4 10
n
Regla:
b)
= 9 − 9 = 1
2 + 1 = + 1 1
2
4 7 10 13 31
n= 3b + 1
3
1
2
4
6
51
27
36
45
81
891
12 11
11
5
1
2
6
1
2
7
1
2
11
1
2
101
1
2
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65
b 1 2 3 4 10
n
Regla:
b 1 2 3 4 10
n
Regla:
b 1 2 3 4 10
n
Regla:
c)
d)
5b + 2
7b + 3
9b + 4
7 12 17 22 52
10 17 24 31 73
13 22 31 40 94
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Práctica
66
y variación
AE Calcula valores
faltantes en problemas
de proporcionalidad
directa, con constante
natural, fracción o
decimal (incluyendo
tablas de variación).
13 Regla de tres
1. 82 ÷ 9 =
2. 60 = × 12
3. 72 = 9 ×
4.
8
9 ×
4
5 =
5. Escribe como
fracción impropia
5
1
7
La regla de tres es un procedimiento que se utiliza cuando se cono-
cen tres cantidades y se busca una cuarta, bajo la suposición de que
dichas cantidades tienen un comportamiento directamente proporcio-
nal. Para resolver una regla de tres simple, a partir del planteamiento,
se hace una multiplicación cruzada y se simplifica.
Ejemplo:
10 calculadoras cuestan 900 pesos.
a) ¿Cuánto cuestan 12 calculadoras?
Como hay un comportamiento proporcional, las razones son iguales,
entonces:
10 calculadoras
900 pesos
=
12 calculadoras
x pesos
(900 pesos)(12 calculadoras) = (10 calculadoras)(x pesos)
Para saber el valor de x:
x =
(900 pesos) (12 calculadoras)
10 calculadoras
x =
10 800
10
= 1080 pesos
1 Resuelve los siguientes problemas utilizando la regla de tres.
a) Si cinco boletos para una obra de teatro cuestan 1400 pesos, calcula el
costo de:
Ÿ 7 boletos
Ÿ 13 boletos
Ÿ 15 boletos
Actividades
$ 1960
$ 3640
$ 4200
9
5
8
32
45
36
7
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67
b) Un panadero utiliza
1
2
kg de harina para hacer dos baguettes de pan.
Calcula cuánta harina necesita para hacer:
Ÿ 3 baguettes
Ÿ 7 baguettes
Ÿ 12 baguettes
c) Un lavacoches cobra 150 pesos en un fraccionamiento por lavar cinco
coches. Calcula cuánto cobraría por lavar:
Ÿ 10 coches
Ÿ 18 coches
Ÿ 35 coches
d) En un avión comercial caben 255 pasajeros. Calcula cuántos pasajeros
caben en:
Ÿ 3 aviones
Ÿ 5 aviones
Ÿ 8 aviones
e) Ana tarda
3
4 de hora en promedio para realizar dos ejercicios de mate-
máticas. ¿Cuánto tardará en realizar tres ejercicios?
¿Por qué la regla
de tres no funciona
para cambiar grados
Centígrados a grados
Fahrenheit?
Porque la relación
entre ºC y ºF no
es una relación
directamente
proporcional.
Porque la relación
entre ºC y ºF
involucra una
fracción.
La regla de tres
sí funciona para
convertir ºC a ºF.
Ninguna de las
anteriores.
3
4 kg
1 3
4 kg
9
8 h
3 kg
$ 300
$ 540
$ 1050
765 pasajeros
1275 pasajeros
2040 pasajeros
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Práctica
68
y variación
AE Calcula valores
de proporcionalidad
decimal (incluyendo
14 Proporcionalidad directa
1. Dibuja la figura
simétrica de A
respecto al eje E.
2. Encuentra el área y
el perímetro de la
siguiente figura.
3. Escribe los
múltiplos de 7
que se encuentran
entre 40 y 71.
4. 5204 − 3979
=
5. 6829 − 1294
=
E
A
1.3 cm
1.2 cm
0.5
cm
Una razón se utiliza para comparar dos números. Se escribe como
una fracción simplificada.
Ejemplo:
Si hay 7 niñas y 12 niños en un salón de clase, la razón de niñas a
niños se puede escribir de las siguientes formas:
7
12
, 7 a 12 o 7:12
Una proporción está formada por dos razones equivalentes. Si dos
razones no son equivalentes, no son proporcionales. En una propor-
ción los productos cruzados son iguales.
Ejemplo:
Encuentra si las razones siguientes son proporcionales.
5
8
y
20
32
5 × 32 = 8 × 20
160 = 160
Por lo tanto, son proporcionales.
Encuentra el valor faltante n en la siguiente proporción.
n
5
=
3
30
n × 30 = 3 × 5
n = 3 × 5
30
n =
1
2
1 Escribe las siguientes razones como fracciones simplificadas.
a) 60 minutos a 15 minutos
b) 20 minutos a 60 minutos
c) 7 días a 2 semanas
d) 3 minutos a 120 segundos
Actividades
4
1
1
3
7
2
1
40
P = 3 cm A= 0.3 cm2
42, 49, 56, 63, 70
1225
5535
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69
e) 3 meses a 1 año
f) 10 metros a 4 metros
g) 7 aciertos de 10 preguntas
h) 4 metros : 200 centímetros
i) 2 canastas de 5 tiros
j) 25 estudiantes aprobados de 60 estudiantes
2 Determina si las siguientes razones son proporcionales.
a)
4
5 y
8
10
c) 6.44 y
8
5
e)
12
120 y
5
500
g) 1.55 y
6
30
i) 31.3 y 93.7
a)
3
15 =
n
45
c)
y
6 =
1
2
e)
7
5 =
n
15
g)
18
k =
6
5
i)
12
2 =
9
y
b)
9
15 y
4
6
d)
7
9 y
21
27
f) 2.15 y 8.420
h) 2.25 y 8.820
j)
1
10 y 0.11
b)
x
3 =
9
27
d)
k
8 =
12
16
f)
m
5 =
8.4
20
h)
1.4
1.2 =
n
6
j)
3
17 =
21
x
3 Encuentra el valor que cumple cada una de las siguientes proporciones.
3
1
5
2
7
10
1
50
2
5
5
12
Sí
n = 9
Sí
k = 6
No
x = 1
No
n = 21
No
m = 2.1
No
n = 7
No
k = 15
No
y = 1.5
No
x = 119
No
y = 3
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Práctica
70
y variación
AE Calcula valores
de proporcionalidad
decimal (incluyendo
Relaciones de proporcionalidad
15
1 Completa cada una de las siguientes tablas y escribe la expresión algebraica
que relaciona a las variables que aparecen en ella.
x 2.3 4.2 5.7 8.1 9.4
y 25.3 89.1 103.4
Ÿ Escribe una expresión algebraica que representa esta situación.
Ÿ ¿Cuál es el valor de k?
d 4 6 8 10 12
c 18.84 25.12
y 300 423 501 732 810
z 150.3 219.6
v 9 12 15 18 21
p 1440 1680
La gráfica muestra
los resultados de
una encuesta sobre
la preferencia de
colores.
1 ¿Cuántas personas
respondieron la
encuesta?
2. ¿Cuántas personas
no escogieron el
color blanco?
3. ¿Qué fracción del
total prefiere el
color azul?
4. ¿Cuántas personas
encuestadas
prefieren el color
azul?
Número
de
personas
en
miles
Verde Blanco Azul
8
6
4
2
0
Una relación de la forma y = kx describe una variación directamente
proporcional, en la que x es la variable independiente, y la variable
dependiente y k es la constante de proporcionalidad.
Actividades
a)
b)
c)
d)
12000
7000
1000
1
12
11
y = 11x
c = 3.14d
3.14
z = 0.3y
0.3
P = 80 v
80
46.2
12.56
90
720 960 1200
126.9 243
31.4 37.68
62.7
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71
a) Si para cubrir el piso de una habitación de 24 m2
se gastaron 2800 pesos,
¿cuál será el costo para cubrir el piso de una habitación de 53 m2
con los
mismos materiales?
b) Se necesitan 14 m de tela para hacer los trajes de ocho alumnos del
grupo de baile. ¿Cuánta tela se necesitaría si bailaran 12 alumnos?
c) Para acelerar un auto a 2
m
s2 se requiere de una fuerza de 2700 N. ¿Qué
fuerza se necesita para acelerar el mismo auto a 3.4
m
s2 ?
x 2.4 6.3 10.4 16.08 20.32
y 12.6 20.8
Ÿ Escribe la expresión algebraica que representa esta situación.
m 6.3 8.1 9 9.9 108
r 2.1 2.7
Ÿ Escribe la expresión algebraica que representa esta situación.
e)
f)
$6183.33
116.66
C = 116.66 A
21 m
T = 1.75 A
1.75
1350
4590 N
F = 1 350a
2
y = 2x
r =
1
3 m
1
3
4.8
3 3.3 36
32.16 40.64
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72
Práctica 15
d) Un estudiante escribe, en promedio, 215 palabras en 3 horas. Si tiene
que entregar un trabajo de 1400 palabras, ¿cuánto tiempo tardará en
escribirlo?
3 Resuelve los siguientes problemas escribiendo las proporciones corres-
pondientes.
a) Una foto de 12 × 15 cm se amplía a 30 × n cm, ¿cuál es el valor de n?
b) Raúl gana $150 por tres horas de trabajo. ¿Cuántas horas deberá de
trabajar para ganar $1000?
c) Si 2 kg de carne cuestan $80.60, ¿cuánto costarán 5 kg?
d) Si un automóvil recorre 550 km en 5 horas, ¿cuánto tiempo le llevará
recorrer 800 km?
e) Marco ahorra 20 pesos de cada 100 pesos que gana. Si en el año ahorró
$24000, ¿cuál fue su salario mensual promedio?
f) En la fila para comprar boletos para un concierto se tardan aproximada-
mente 1.5 min en atender a cada persona. Si tienes el turno 297, ¿cuánto
tiempo tendrás que esperar para comprar tu boleto en cuanto abran la
taquilla?
Si dos cantidades
no son directamente
proporcionales,
entonces:
si una aumenta,
la otra no puede
aumentar.
si una disminuye,
la otra no puede
aumentar.
no existe un
número fijo con
la característica
de que si una de
ellas se multiplica
por el número, se
obtiene la otra.
37.5
20 h
$201.50
7.27 h
7 h, 16.2 min
445.5 min
$120000
19.5 horas
71.66
P = 71.66t
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73
g) El récord olímpico de atletismo en el año 2008 fue de 9.69 segundos en
100 m. Si un automóvil va a una velocidad de 30
km
h
, ¿podrá el corredor
ir más rápido que el automóvil?
h) Renata va a su trabajo en bicicleta. Su recorrido fue de 36 km en 12 días.
¿En cuántos días recorrerá 84 km, si diario recorre la misma distancia?
i) En el mercado, 4 toronjas cuestan $34. ¿Cuál será el precio de 19 toronjas?
j) La receta para preparar arroz indica que para 4 personas se utilice una
taza y media de agua por cada taza de arroz. Eugenia va a preparar arroz
para 16 personas. ¿Cuántas tazas de arroz y cuántas de agua deberá
utilizar?
k) La receta que utiliza Eugenia para preparar panqué de chocolate, indica
que se necesitan 2 y media tazas de cocoa para un panqué de 4 perso-
nas. ¿Cuántas tazas de cocoa necesitará si va a preparar panqué para
60 personas?
l) Ana recorre 180 km en dos horas. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer
540 km si va siempre a la misma velocidad?
En 28 días.
$161.50
4 tazas de arroz y 6 tazas de agua.
Necesitará 37.5 tazas de cocoa.
6 horas.
Sí, el corredor iría a 37.17
km
h
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Práctica
74
y variación
Tema Ecuaciones
AE Resuelve
problemas mediante
la formulación y
solución algebraica de
ecuaciones lineales.
Ecuaciones
16
Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades
desconocidas que se llaman incógnitas.
Ejemplos:
Ÿ 6 + 3x = 9 + x La cantidad desconocida es x.
Ÿ y − 10 = 20 − y La cantidad desconocida es y.
Ÿ 2 − 5m = 10 + m La cantidad desconocida es m.
Para resolver una ecuación de primer grado es necesario conocer y
aplicar las propiedades de la igualdad. A continuación, te mostramos
algunas.
En toda igualdad:
Ÿ Si se suma el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue
conservando.
Ÿ
Si se resta el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue
conservando.
Ÿ Si se multiplica por el mismo número a ambos lados, la igualdad se
sigue conservando.
Ÿ Si se divide entre el mismo número a ambos lados, la igualdad se
sigue conservando.
Ÿ Una igualdad tiene la siguiente propiedad: si a + b = c entonces c =
a + b.
Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita que
satisface la ecuación, es decir, el valor de la incógnita que hace que
la igualdad se cumpla.
Ejemplo:
6 + 3x = 9 + x
Se resta x de cada lado:
6 + 3x − x = 9 + x − x
6 + 2x = 9
Se resta 6 de cada lado:
6 + 2x − 6 = 9 − 6
2x = 3
Se divide entre 2 cada lado:
x =
3
2
= 1.5
Para comprobar la respuesta se sustituye 1.5 en el lugar de x.
6 + 3(1.5) = 9 + 1.5
6 + 4.5 = 10.5
10.5 = 10.5
Si en ambos lados de la igualdad se obtiene el mismo resultado, esto
significa que x = 1.5 es la solución.
Escribe el nombre
de los siguientes
cuerpos.
1.
2.
3.
4.
5.
Pirámide pentagonal
Cilindro
Cono
Prisma triangular
Cubo
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75
1 Comprueba las siguientes soluciones.
a) Si y − 10 = 20 − y entonces y = 15
b) Si 2x + 5 = x − 4 entonces x = − 9
c) Si 2 − 5m = 10 + m entonces m = −
4
3
2 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 2x + 5 = 9
b) 3x + 1 = 5
c) 7x + 5 = 2x + 20
d) 3x − 8 = x + 2
e) 1.5x − 2.3 = 0.25x + 2
f) 2 (3x − 1) = 4 (x − 3)
g) 5(
3
4 x −
1
5 ) = 4(
1
2 x − 3)
3 Plantea la ecuación que corresponde a cada uno de los siguientes proble-
mas y resuélvela.
a) El perímetro de un rectángulo es 38 m. Si su largo es 7 m más que
el ancho, ¿cuánto mide de largo y cuánto mide de ancho?
b) Una cuerda de 27 cm de largo se divide en dos partes. Una parte
es 8 cm más grande que la otra. ¿Cuánto mide cada parte?
c) La suma de la cuarta parte y la tercera parte de un número es igual
al doble del número menos 17. ¿Cuál es el número?
Actividades
15 − 10 = 20 − 15 entonces 5 = 5
2(−9) + 5 = −9 −4 entonces − 13 = −13
x = 2
Ancho = 6 cm
Largo = 13 m
Una parte mide 9.5 cm y la otra parte mide 17.5 cm
12
x = 4
3
x = 3
x = 5
x = 3.44
x = −5
x = 44
7
2 – 5(– 4
3
) = 10 – 4
3
entonces 2 + 20
3
= 10 – 4
3
, es decir 26
3
= 26
3
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Práctica
76
y variación
Tema Funciones
AE Analiza y compara
situaciones de variación
lineal a partir de sus
representaciones
tabular, gráfica y
algebraica. Interpreta y
resuelve problemas que
se modelan con estos
tipos de variación.
Gráficas de proporcionalidad
17
1. Escribe
16
12
de tres
formas distintas.
2. 2.01 × 4 =
3. Calcula
3
4
÷ 12.
4. Calcula 16 ÷
1
2.
5. Escribe
3
8 en forma
decimal y en
porcentaje.
Una relación matemática puede representarse gráficamente en un
sistema de coordenadas.
Una relación de proporcionalidad y = kx es una expresión que permite
encontrar las parejas ordenadas (x, y) en las que cada valor de y se
encuentra al multiplicar un valor de x por el número k.
Ejemplo:
y = 2x
x −3 −1 0 2 3
y −6 −2 0 4 6
De la tabla se obtienen los puntos (−3, −6), (−1, −2), (0, 0), (2, 4),
(3, 6). Como los valores seleccionados para x son parte de una in-
finidad de valores posibles, se representa la relación uniendo estos
puntos con una línea recta continua, como se muestra en la siguiente
figura.
La gráfica de una relación de proporcionalidad:
Ÿ Es una línea recta.
Ÿ Pasa por el origen de coordenadas, es decir, que pasa por (0, 0).
Ÿ El valor de k determina la inclinación de la recta.
y
4
2
−4 −2 2 4
−2
−4
x
1 4
12
,1.3 , 8
6
32
0.375 37.5%
1
16
8.04
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77
1 Completa la siguiente tabla, traza la gráfica de la relación y = 1.5x y contesta
las preguntas.
x 0.5 1.5 2.5 3.5
y 3.75
Ÿ Con base en la gráfica, ¿cuál es el valor de y cuando x = 3?
Ÿ ¿Cuál es el valor de y cuando x = 4?
Actividades
2 Completa la siguiente tabla y traza la gráfica de la relación y =
1
2 x.
x 0 1 3 4
y
= 4.5
0.75 2.25 5.25
10
0 0.5 1.5 2 5
=6
y
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4
x
y
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
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78
Práctica 17
3 Calcula el valor de k a partir de la siguiente tabla. Dibuja la gráfica que
corresponde.
x −2 −1 0 1
y −1 −0.5 0 0.5
4 Dibuja la gráfica utilizando los datos de la siguiente tabla, emplea una es-
cala adecuada. Determina si la relación correspondiente es una relación
de proporcionalidad y establece la expresión matemática.
x 20 21 22 23
y 220 231 242 253
k = 0.5
y = 11x
300
200
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
y
x
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79
5 Encuentra la expresión matemática de la relación de proporcionalidad que
corresponde a las siguientes gráficas.
a)
b)
y
2
1
−2 −1 1 2
−1
−2
x
y
4
2
−4 −2 2 4
−2
−4
x
y = 2.5 x
y = 4
3
x
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Evaluación
Evaluación
80
1. El número de segmentos que contiene la figura que ocupa el quinto lugar en
la sucesión siguiente es:
1 2 3 4
a) 9 b) 10 c) 11 d) 8
2. ¿Cuál es la regla algebraica que permite hallar cualquier término de la suce-
sión anterior?
a) y = 2 × − 1 b) y = 2 × + 2
c) y = 4 × d) y = 3 × − 2
3. Para hacer chocolates hay que comprar 3 kg de azúcar por cada 6 kg de ca-
cao. ¿Cuánto cacao hay que comprar para 25 kg de azúcar?
a) 12.50 b) 50 kg c) 20 kg d) 40 kg
4. Indica la ecuación que describe la siguiente situación: el triple de un número
más 18 es igual a 42.
a)
x
3 + 18 = 42 b) 3x + 18 = 42
c) 3x − 42 = 18 d)
x
3 − 18 = 42
5. Si el salario de Miguel es x, indica la ecuación que describe la siguiente situa-
ción: las
3
4
partes del salario de Miguel son $18000.
a)
1
4 x = 18000 b)
4
3 x = 18000
c)
3
4 x = 18000 d) 4x = 18000
6. Si 7.5 n = 183.75, ¿cuánto vale n?
a) 24.5 b) 1378.125 c) 0.408 d) Ninguna de las anteriores
7. María mando reducir una foto de 36 cm de largo a
1
4 de su tamaño. Des-
pués, la redujo nuevamente
1
4 . ¿Cuál es la longitud final de la foto reducida?
a)
9
4 cm b) 6.75 cm c) 20.25 cm d) 27 cm
8. Marco leyó 20 páginas diarias y terminó su libro en 33 días. ¿Cuánto habría
tardado si hubiera leído 30 páginas diarias?
a) 10 días b) 22 días c) 25 días d) Ninguna de las anteriores
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81
9. Nicolás tiene que escribir un problema que se resuelva planteando la ecua-
ción 7x + 12 = 47. ¿Cuál de las siguientes opciones es un enunciado correcto
para el problema?
a) La edad de Renata es 47 años multiplicada por 7 y aumentada en 12.
b) Lya tiene 7 años aumentados en 12, que en total es 47.
c) 7 veces la edad de Regina, aumentada en 12 es igual a 47.
d) La edad de Ricardo es 47, 12 veces más que la edad de Helena aumentada
en 7.
10. Al resolver la ecuación x − 15 = 20 el resultado es:
a) x = 5 b) x = 20 c) x = 40 d) x = 35
11. Señala la ecuación algebraica que describe la siguiente situación: el triple de
la suma de un número y 20 es igual a 90.
a) 3(x + 20) = 90 b) 3x + 20 = 90 c) 3x + 90 = 20 d) 3(x + 90) = 20
12. Los primeros 4 términos de la sucesión cuya regla algebraica es y = 3x + 2
son:
a) 5, 8, 11 y 15 b) 5, 8, 11, 14 c) 5, 7, 9 y 11 d) 2, 5, 8, 1
13. y = −2x + 3 se puede representar en una tabla como:
a) b) c) d)
x y
−3 9
−1 5
1 1
3 −3
x y
−3 −9
−1 −5
1 −1
3 3
x y
−3 −3
−1 1
1 5
3 9
x y
−3 3
−1 −1
1 −5
3 −9
14. La representación algebraica de la siguiente gráfica es:
y
5
4
3
2
1
−1
−2
−3
−4
−5
0 1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1
x
0
a) y = − 2x + 1
b) y = 2x + 1
c) y = 2x − 1
d) y = − 2x − 1
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Retos
82
Para finalizar tu trabajo, te proponemos el siguiente desafío.
1. Escribe los tres términos que siguen en la siguiente sucesión:
1
5
,
2
15
,
4
45
,
8
135
,
16
405
, …
Los matemáticos han inventado distintas clasificaciones de los números relacio-
nadas con la divisibilidad. Existen los llamados números perfectos, que son aque-
llos que son iguales a la suma de sus divisores (excluyéndolos a ellos mismos).
Ejemplo:
Los divisores de 6 son: 1, 2 y 3. Si los sumamos se obtiene 1 + 2 + 3 = 6. Por tanto,
6 es un número perfecto.
2. Muestra que 28 y 496 son números perfectos.

Se conocen como números abundantes aquellos en los que la suma de los diviso-
res es mayor que el número mismo.
Ejemplo:
Los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4 y 6. Si los sumas 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, 16 >12.
Por tanto, 12 es un número abundante.
3. Encuentra cinco números abundantes.
Los números amigos son parejas de números en los que la suma de los divisores
de uno es igual al otro, y viceversa.
Ejemplo:
Para la pareja 220 y 284:
Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110.
Al sumarlos da el otro número:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Los divisores de 284 son: 1, 2, 4, 71, 142, 284
Al sumarlos da el otro número:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Por tanto, 220 y 284 son números amigos.
32
1215
, 64
3645
, 128
10935
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
18, 24, 30, etc.
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83
4. Muestra que 1184 y 1210 son números amigos.
Otra clasificación de los números se refiere a su acomodo a través de figuras.
Un número triangular es aquel que puede representarse con puntos que for-
men un triángulo equilátero.
1 3 6 10 15 21
5. ¿Cuáles serán los dos números triangulares que siguen?
Un número cuadrado se obtiene multiplicando otro número por sí mismo. Por
ejemplo: 16 se obtiene multiplicando 4 × 4, entonces 16 es un número cuadrado.
1 2 3 4 5 6
1 × 1 = 1 2 × 2 = 4 3 × 3 = 9 4 × 4 = 16 5 × 5 = 25 6 × 6 = 36
6. Dibuja el número cuadrado que sigue.
La siguiente figura muestra los primeros cinco números pentagonales.
1 5 12 22 35
7. Explica por qué se llaman así.
Suma de divisores de 1184: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 37 + 74 + 148 + 296 + 592 = 1210
Suma de divisores de 1210: 1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 22 + 55 + 110 + 121 + 242 + 605 = 1184
28 y 36
7 × 7 = 49
R. M. Se clasifican por la formación de pentágonos.
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Bloque 3
Eje: Forma, espacio y medida
Tema Figuras y cuerpos geométricos
Tema Magnitudes y medidas
Eje: Análisis de datos
Tema Probabilidad
Tema Estadística

Ÿ ¿Cuántos cubitos rojos necesita para cubrir el cubo azul?
Ÿ ¿Cuál es el volumen del cubo grande azul?
Ÿ ¿Cuál será el volumen del cubo una vez que haya quedado
cubierto con cubitos rojos?
Problema
Roxana acomodó cubos azules de 1 cm de arista
de tal manera que formó un cubo más grande de
10 cm de arista. Después, va a recubrir el cubo
azul con cubitos rojos de 1 cm de arista.
85
728 cubitos
1000 cm3
1728 cm3

Práctica 18
Los triángulos son figuras planas de tres lados y se clasifican según la
medida de sus lados o ángulos.
Según sus lados son:
Ÿ Equiláteros (tres lados iguales).
Ÿ Isósceles (dos lados iguales).
Ÿ Escalenos (tres lados diferentes).
Según sus ángulos son:
Ÿ Acutángulos (tres ángulos agudos).
Ÿ Rectángulos (un ángulo recto).
Ÿ Obtusángulos (un ángulo obtuso).
Trazo de triángulos y cuadriláteros
1. El papá de Adriano
le dio $200. Con
ese dinero compró
cuatro paquetes
de harina que le
costaron $23.50
cada uno. ¿Cuánto
le dieron de
cambio?
2. Calcula
mentalmente:
18 − 9, por 6, más
6, entre 2.
3. Calcula
mentalmente:
24 + 5, menos 9,
entre 2, por 6.
4. Calcula
mentalmente:
72 ÷ 8, por 3, más
3, entre 10.
Eje Forma, espacio y
medida
Tema Figuras y
cuerpos geométricos
AE Analiza la
existencia y unicidad
en la construcción
de triángulos y
cuadriláteros y
determina y usa
criterios de congruencia
de triángulos.
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$106
30
60
3

Ÿ Trapecios (un par de lados paralelos).
Ÿ Trapezoides (no tienen lados paralelos).
Los paralelogramos, a su vez, pueden ser:
Ÿ Romboides (dos pares de lados y de ángulos iguales entre sí).
Ÿ Rectángulos (cuatro ángulos rectos).
Ÿ Rombos (cuatro lados iguales).
Ÿ Cuadrados (cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales).
Los cuadriláteros son figuras planas de cuatro lados. Por el paralelismo de
sus lados se clasifican como:
Ÿ Paralelogramos (dos pares de lados paralelos).
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Práctica 18
Actividades
1 Para cada uno de los siguientes triángulos señala todas las características
que le correspondan.
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo
Escaleno
Isósceles
Equilátero
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo
Escaleno
Isósceles
Equilátero
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo
Escaleno
Isósceles
Equilátero
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo
Escaleno
Isósceles
Equilátero
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo
Escaleno
Isósceles
Equilátero
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo
Escaleno
Isósceles
Equilátero
18 18
18
10
5
8
28 35
30
16
22.6
16
13
8.5 8.5
216
216
150
88
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A.
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C.
V.

2 Escribe los números de los cuadriláteros que cumplen con cada una de las
siguientes características.
a) Rectángulo:
b) Rombo:
c) Cuadrado:
d) Paralelogramo:
e) Trapecio:
f) Trapezoide:
3 Utiliza tu juego de geometría y sigue los pasos para construir un triángulo
con los siguientes segmentos.
a) Mide el segmento AB con tu regla y reprodúcelo.
b) Abre el compás con la medida del segmento AC.
c) Apoya el compás en A y traza un arco.
d) Abre el compás con la medida del segmento BC.
e) Apoya el compás en B y traza un arco.
f) Marca la intersección de los dos arcos. Llama C a este punto.
g) Une los puntos A y C, y C y B.
h) Comprueba con tu regla que los lados del triángulo que se formó miden
lo mismo que los segmentos.
4 Escribe si los siguientes enunciados son verdaderos (V) o falsos (F).
a) Todos los trapezoides son cuadriláteros.
b) Todos los cuadriláteros son cuadrados.
c) Todos los paralelogramos son rectángulos.
d) Todos los cuadrados son trapezoides.
e) Todos los rectángulos son cuadriláteros.
f) Todos los rombos son cuadrados.
g) Todos los cuadrados son rombos.
h) Un trapecio isósceles es paralelogramo.
B C
A C
A B
1
2
3
4
5
6 7
8
9
10
11
12
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A.
de
C.
V.
3, 5, 12
1, 3, 6, 12
3, 12
1, 3, 6, 5, 9, 12
8, 11
7, 2, 4, 10
V
F
F
F
V
F
V
F
A B
C

Práctica 18
5 Describe cada uno de los pasos que se muestran para construir un triángulo
a partir de dos de sus ángulos y el lado adyacente a éstos.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
A A B B
A B
A
A
A
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A.
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C.
V.
Localizo un punto A.
Mido AB con el compás.
Trazo el segmento AB.
Con centro en el ] A señalo
un arco y tomo la medida
de la abertura.

Paso 6
Paso 5
Paso 7
A B
A B
C
A B
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A.
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C.
V.
Sobre el lado AB y con centro en A trazo un arco y señalo la medida de
la abertura del ] A.
Trazo el ] A.
Sigo el mismo procedimiento
con el ] B y trazo el triángulo.

Práctica 18
a) Mide con tu regla el lado AB y reprodúcelo.
b) Traza un arco sobre el ángulo A.
c) Reproduce el mismo arco sobre el segmento
AB con vértice en A.
d) Mide la abertura del ángulo A abriendo el
compás sobre las intersecciones del arco
con los lados del ángulo.
e) Traslada la abertura del ángulo A al segmen-
to AB poniendo la punta del compás en A y
cortando el arco que trazaste.
f) Mide la abertura del ángulo A y abre el com-
pás sobre las intersecciones del arco con
los lados del ángulo.
g) Traza el ángulo A.
h) Toma la medida del lado AC con el compás
y trasládala sobre el lado del ángulo.
i) Une B con C.
6 Utiliza tu juego de geometría y sigue los pasos para trazar un triángulo a
partir de dos de sus lados y del ángulo comprendido entre ellos.
7 Utiliza tu juego de geometría y sigue los pasos para construir la perpen-
dicular de un segmento que pasa por uno de sus extremos.
a) Traza un segmento AB.
b) Escoge un punto cualquiera fuera del seg-
mento y llámalo D.
c) Con centro en D, traza un arco que pase por
A y llama C a esta intersección.
d) Traza el diámetro que pasa por D desde
el punto C.
e) Traza la recta que conecta A con el otro
extremo del diámetro. Esta línea es perpen-
dicular al segmento original.
A
A
A
C
B
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A.
de
C.
V.
R. L.
A
C
B

8 Utiliza tu juego de geometría y traza los triángulos con los datos que se te
indican. Señala, en cada caso, qué tipo de figura se obtiene.
b)
c) 4 cm, 5 cm, 3 cm.
d)
e)
f)
a)
F F
N N
M M
G
K
a b
G
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V.
Triángulo obtusángulo escaleno
Triángulo escaleno
Triángulo rectángulo escaleno
Triángulo obtusángulo escaleno
Triángulo acutángulo isósceles
Triángulo acutángulo

Práctica 19 Criterios de congruencia de triángulos
1. Alicia obtuvo
las siguientes
puntuaciones
jugando boliche:
230, 197, 176, 195
y 206. ¿Cuál fue su
promedio en estos
cinco juegos?
2. Calcula 3
1
15
− 2
1
2
.
3. Ordena de menor a
mayor los números
0.7, 0.07, 7.00007,
0.007.
4. 5 −
3
5
5. 0.50 45.75
Eje Forma, espacio y
medida
Tema Figuras y
cuerpos geométricos
AE Analiza la
existencia y unicidad
en la construcción
de triángulos y
cuadriláteros y
determina y usa
criterios de congruencia
de triángulos.
Las figuras congruentes son las que tienen la misma forma y el mismo
tamaño. Es decir, cada una de sus partes coincide entre ambas figuras.
Cuando los ángulos y los lados de dos figuras congruentes coinciden, se
les llama correspondientes.
Para identificar los lados y ángulos correspondientes se utiliza la misma
marca.
B
A C
E
D F
Los segmentos:
BC y EF son correspondientes, están marcados con una raya.
AC y DF son correspondientes, están marcados con dos rayas.
AB y DE son correspondientes, están marcados con tres rayas.
Los ángulos:
A y D son correspondientes, están marcados con un arco.
B y E son correspondientes, están marcados con dos arcos.
C y F son correspondientes, están marcados con tres arcos.
Para indicar que dos triángulos son congruentes se utiliza el símbolo (≅).
Para nombrar dos triángulos congruentes, sus vértices deben ser escritos
en el mismo orden, por ejemplo:
Como I = T, J = R y H = S, entonces:
ΔIJH ≅ ΔTRS
I
J H
21°
69°
35 km 32 km
12 km
S
R
T
21°
69°
35 km
32 km
12 km
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A.
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C.
V.
200.8
0.007 < 0.07 < 0.7
< 7.00007
= 91.5
= 22
5
− 4
5

Criterios de congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si los tres lados y los tres ángulos de uno
de ellos son congruentes a los tres lados y los tres ángulos del otro.
La congruencia de dos triángulos puede demostrarse con ciertas condicio-
nes mínimas a las que llamamos criterios de congruencia.
Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)
Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno son respectiva-
mente correspondientes a los del otro.
Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)
Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo comprendido en-
tre ellos de un triángulo son respectivamente correspondientes a dos la-
dos y al ángulo comprendido entre ellos del otro triángulo.
Criterio ALA (Ángulo-Lado-Angulo)
Dos triángulos son congruentes si un lado y los ángulos adyacentes de un
triángulo son respectivamente correspondientes a un lado y a los ángulos
adyacentes del otro triángulo.
Actividades
1 La figura muestra dos triángulos congruentes. ΔABC ≅ ΔPQR.
a) Escribe cuáles son los lados correspondientes.
AB y BC y CA y
b) Escribe cuáles son los ángulos correspondientes
A y B y C y
A
B
C
R
P
Q
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PQ
P
QR
Q
RP
R

Práctica 19
2 Encuentra los lados y los ángulos que se piden.
a) ΔCAB ≅ ΔXVW
C
A B
50 cm
W
V
X
57°
33°
50 cm
92 cm
77 cm
CA =
C =
B =
b) ΔOMN ≅ ΔRTS
O
M N
T
S
R
50 cm
50 cm
45 cm 33 cm
61°
61°
78°
41°
41°
O =
OM =
ST =
c) ΔFHG ≅ ΔXVW

F
W
V
X
H G
78°
40°
50 km
45 km
33 km
62°
G =
VW =
FH =
WX =
96
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Ek
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S.
A.
de
C.
V.
77 cm
33º
57º
78º
33 cm
45 cm
40º
50 km
33 km
45 km

3 La siguientes figuras muestran parejas de triángulos congruentes, completa:
a) ΔABC ≅ Δ b) ΔBAC≅ Δ
c) ΔCAB ≅ Δ
4 Las siguientes parejas de triángulos son congruentes. Indica qué criterio de
congruencia se puede utilizar para demostrarlo, según los datos que se dan.
a) b)
c)
B C
A
40º
70º
Q R
P
70º
40º
A
B
C
5
3
4 P
Q
R
5
3
4
B
A
35º
C Q
P
35º
R
A C
B
80°
6
70°
6
H
J
I
A
B C
4.5
2.6
5.7
D
E
F
4.5
2.6
D
E
F
C
A
B
97
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de
C.
V.
ALA
DFE IHJ
FED
LLL o LAL
LAL

Práctica
1. Encuentra el valor
faltante en la
siguiente
proporción:
14
7
=
x
15
2. Escribe 0.34 en
forma de fracción
irreducible.
3. Calcula
mentalmente:
120 ÷ 2, ÷ 3 , ÷ 4.
4. Calcula
mentalmente:
2 × 10, − 8, ÷ 3 , × 7.
5. Calcula
mentalmente:
54 ÷ 6, × 5, + 4, ÷ 7.
20
Un polígono es una figura plana, cerrada y formada por segmentos de recta
llamados lados; a la intersección de sus extremos se les llama vértices.
Ejemplo:
Rectángulo
Para obtener el área del rectángulo podemos contar las unidades cuadradas
que contiene o multiplicar la base del rectángulo por la altura.
El perímetro se obtiene sumando los cuatro lados.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
4
3 Área = b × h
Área = 4 × 3
Área = 12 cm2
Perímetro = b + h + b + h
Simplificando:
Perímetro = 2b + 2h
Perímetro = 2(4) + 2(3)
Perímetro = 14 cm
Otros cuadriláteros y triángulo
El perímetro de todas las figuras se logra sumando sus lados y las fórmulas
para obtener el área se pueden obtener a partir de la fórmula del área del
rectángulo. A continuación, se presentan las fórmulas:
Cuadrado Triángulo
l
l
P = 4l
A = l2
h
P = a + b + c
A =
b × h
2
Perímetro y área de polígonos
Eje Forma, espacio
y medida
Tema Magnitudes
y medidas
AE Calcula el
perímetro de polígonos
y del círculo y
áreas de triángulos
y cuadriláteros
desarrollando y
aplicando fórmulas.
lado
vértice
c
a
b
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de
C.
V.
x = 30
5
28
7
17
50

Ejemplo:
Área = l ×
a
2
× número de lados = 8 ×
3
2
× 5 = 60 u2
Para calcular el perímetro de un polígono regular se multiplica la medida de
los lados por el número de lados del polígono.
Ejemplo:
Perímetro = (número de lados) (medida del lado) = (5)(8 u) = 40 u
Para calcular el área de un polígono, se divide en triángulos uniendo el centro
del polígono con cada uno de sus vértices. Como todos los triángulos son
iguales, se calcula el área de uno y se multiplica por el número de triángulos.
A la medida de la altura de cada triángulo se le llama apotema (a), y es la
distancia del centro del polígono al punto medio de uno de sus lados.
Área = l ×
a
2
× número de lados
8 u
a = 3 u
apotema
8 u
8 u
8 u 8 u
8 u
Trapecio Romboide
b
d
c
h
B
P = B + b + c + d
A =
(B + b) × h
2
b
a h
P = 2a + 2b
A = b × h
99
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de
C.
V.

Práctica 20
2 Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.
a)
d)
b) c)
e)
Actividades
1 Escribe si las siguientes figuras son o no polígonos de acuerdo con la de-
finición anterior.
a)
d)
b) c)
e) f)
2 cm
2 cm
2 mm
4 mm
13 cm
5 cm
11 cm
4 cm
15 cm
12 cm
21 cm
27 cm
10 cm
10 cm
3 cm
9 cm 12 cm
100
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C.
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Perímetro = 8 cm
Área = 4 cm2
Perímetro = 35 cm
Área = 58.5 cm2
Perímetro = 12 mm
Área = 8 mm2
Perímetro = 75 cm
Área = (21 × 15) + (12 × 9) = 315 + 108 = 423〖cm2
Perímetro = 29 cm
Área = 26 cm2
No
No
Sí
Sí
No No

a)
c)
b)
a)
d)
b) c)
e) f)
3 Calcula el área y el perímetro de los siguientes polígonos regulares.
94.15
u
78 u
31 u
26.8
u
78 u
67.54
u
33 u
15.69
u
67 u
46.1
u
58 u
89.25
u
4 Calcula el área de la parte sombreada en las siguientes figuras.
35 m
35 m
18 m
18 m
28 cm
32 cm
22 cm
20 cm
25 mm
24 mm
14 mm
14
mm
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C.
V.
Área = 29 374.8 u2
Perímetro = 624 u
Área = 25 882.5 u2
Perímetro = 580 u
Área = 2 492.4 u2
Perímetro = 186 u
Perímetro = 335 u
Área = 7 721.75 u2
Perímetro = 468 u
Área = 15 804.36 u2
Área = 2 071.08 u2
Perímetro = 264 u
Área = 352
−〖182
= 901 m2
Área = (28 × 32)−〖(22× 20) = 456 cm2
Área =
24 × 25
2
−〖
14 × 14
2
= 300 − 98 = 202 mm2

Práctica
1. 27.39 ÷ 3
2.
1
2
+
1
2
3.
1
2
×
1
2
4.
1
2
+
1
3
5. 986.1 × 3
21
Actividades
1 Encuentra el perímetro de los siguientes círculos. Considera π = 3.14
a) b)
c) d)
e) f)
La relación que existe entre la medida del diámetro y la medida de la
circunferencia, es decir, su perímetro, es una relación lineal de la siguiente
forma:
Perímetro = k × Diámetro
La constante de proporcionalidad (k) es un número cuyo valor aproximado
es 3.1415926535… y recibe el nombre de Pi(π).
Entonces:
Perímetro = π × Diámetro
Como es un número irracional, al realizar cálculos se utiliza como 3.1416
o 3.14. De esta manera, si se quiere encontrar el perímetro de un círculo,
basta con multiplicar el diámetro por π.
Perímetro del círculo
14 m
6 cm
2
5
cm
10
m
13
cm
9 cm
Eje Forma, espacio
y medida
Tema Magnitudes
y medidas
AE Calcula el
perímetro de polígonos
y del círculo y
áreas de triángulos
y cuadriláteros
desarrollando y
aplicando fórmulas.
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de
C.
V.
= 9.13
= 1
4
= 1
= 5
6
= 2 958.3
P = 37.68 cm P = 43.96 cm
P = 31.4 cm P = 81.64 cm
P = 28.26 cm P = 2.51 cm

Al dividir el perímetro
del círculo entre el
diámetro, se obtiene:
La longitud de
una cuerda
La longitud del
radio
El número pi
Ninguna de las
anteriores
1
4
cm
6
.
5
m
3 Un parque de forma circular de 7 m de radio tiene al centro una fuente
de 6 m de diámetro. Dibuja el esquema del parque y la fuente y calcula el
perímetro de cada uno.
2 La rueda de un camión tiene 180 cm de diámetro. ¿Cuánto avanza si dio
100 vueltas?
4 Se va a construir una barda de alambre alrededor de un jardín en forma de
semicírculo. ¿Cuánto alambre se necesita?
10 m
g) h)
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V.
P = 20.41 m2
P = 0.785 cm2
56 520 cm
25.7 m de alambre
Perímetro del parque: 43.98 m
Perímetro de la fuente: 18.85 m

Práctica 22
El volumen de un cubo se calcula multiplicando la medida de su lado
tres veces.
El volumen de un prisma es el producto del área de su base por su altura:
V = Abase
× altura = A × h
El volumen de una pirámide es la tercera parte del prisma construido
sobre la misma base y con la misma altura:
V = Ab
×
h
3
Los prismas y las pirámides se clasifican de acuerdo con la forma de
su base. Cuando la base es un polígono regular, se calcula su área con
la fórmula:
A = lado ×
apotema
2
Para calcular alguna de las cantidades que aparecen en las fórmulas de
volumen, se despeja la variable de la cantidad que se quiere conocer.
Ejemplo:
A partir del volumen de un cubo se puede conocer cuánto mide su lado.
Si el volumen del cubo es 125, entonces:
V = l3
= 125
l = 3
√125
Actividades
1 En una caja caben 10 cubos a lo largo, 6 a lo ancho y 5 de profundidad.
a) ¿Cuántos cubos caben en la base de la caja?
b) ¿Cuántos cubos caben en total en la caja?
c) Si los cubos miden un centímetro de lado cada uno, ¿cuál es el volumen
de la caja?
Volumen
el perímetro de un
cuadrado de lado
5.6 cm.
2.
75
100
= 16
=
18
3.
− 4.85
3.9763
4. El periódico El
diario del Este
tuvo un tiraje
de 4 439 200
durante el mes de
mayo. ¿Cuál fue
su promedio de
circulación por
día?
5. Calcula 5 − 1.82.
Eje Forma, espacio
y medida
Tema Magnitudes
y medidas
AE Calcula el volumen
de prismas rectos cuya
base sea un triángulo
o un cuadrilátero
desarrollando y
aplicando fórmulas. l
l
l V = l × l × l = l3
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V.
12
24
P= 22.4 cm
A= 31.36 cm2
–0.8737
143 200
3.18
60
300
300 cm3

2 Se quiere calcular el volumen de un prisma de base cuadrada. En la base
caben, de cada lado del cuadrado, 3 cubos de 1 cm3
y hacia arriba del prisma
caben 7 cubos de 1 cm3
.
a) ¿Cuál es el área de la base?
b) ¿Cuál es el volumen del prisma?
3 ¿Cuál es el volumen de una pirámide con base cuadrada de 3 cm de lado
y 7 cm de altura?
a) Se requiere construir una cisterna con una capacidad de 4 m3
de agua en
una superficie rectangular. Si la base es un rectángulo de 2 m de largo
por 1.3 m de ancho, ¿cuál debe ser la profundidad de la cisterna?
b) Un litro de leche está empacado en una caja en forma de prisma cua-
drangular. Si la altura del empaque es de 20.5 cm, ¿cuánto mide de lado
la base del empaque? Recuerda que un litro es igual a 1000 cm3
.
c) Se necesitan tapas de plástico para un juego de seis vasos que son
prismas octagonales. El apotema mide 3 cm y el área de las tapas
debe ser de 300 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la tapa?
d) La Gran Pirámide de Egipto ocupaba un volumen total de 7.6 millones de
metros cúbicos aproximadamente y su base cuadrada mide 230.3 m por
lado. Se piensa que estaba coronada por una pequeña pirámide de oro
sólido que desapareció. Si la altura actual de la Gran Pirámide es de 137
m, ¿cuál habría sido la altura máxima de la pequeña pirámide de oro?
e) Se tienen dos recipientes en forma de prisma rectangular y se sabe que
las dimensiones del recipiente más pequeño miden la mitad de las di-
mensiones del recipiente más grande. ¿Qué fracción del volumen del
recipiente grande representa el pequeño?
Supón que tienes
varios primas y
pirámides con la
misma base. ¿Cuáles
tienen el mismo
volumen?
Pirámide de
altura 2x
y prisma de
altura x
Pirámide de
altura a
y prisma de altura
1
3
a
Prisma de altura
2m y pirámide de
altura 6m
Prisma de altura
3s y pirámide de
altura s
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de
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V.
9 cm2
63 cm3
V = Ab x h
3
= 21cm3
6.3 m
La octava parte
h = 1.5 m
25 cm
7 cm

Práctica 23
Actividades
1 Escribe el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos
aleatorios:
a) Lanzar una moneda.
b) Extraer una bola de una urna que contiene 5 bolas de color: verde, rojo,
amarillo, negro y blanco.
Experimentos aleatorios
1. 30 × 100
2. Escribe los
primeros 4
múltiplos de 20.
3. Las medallas
olímpicas de
natación obtenidas
por Estados
Unidos, Gran
Bretaña y Rusia
son: 5, 1 y 4,
respectivamente.
¿Qué porcentaje
de medallas en
natación ganó
Estados Unidos?
4. Una moneda de
oro vale $26000.
Si Cecilia tiene 50
monedas de oro,
¿cuánto dinero
tiene?
Un experimento es aleatorio cuando no se puede predecir el resultado.
Ejemplo:
Al lanzar un dado puede salir 1, 2, 3, 4, 5 o 6, pero no se sabe con certeza
qué número se obtendrá.
Al conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio se le
llama espacio muestral.
Ejemplo:
El espacio muestral al lanzar un dado es el conjunto de números 1, 2, 3, 4,
5 y 6.
La probabilidad que se dé un resultado en un experimento aleatorio se mide
calculando la frecuencia con la que ocurre, es decir, el número de veces
que puede suceder entre el total de resultados posibles, este valor puede
estar entre 0 y 1.
Si A es un evento, entonces:
P(A) =
número de veces que puede suceder un evento
total de resultados posibles
Si P(A) = 0, el evento A no ocurre bajo ninguna circunstancia, es un evento
imposible.
Si P(A) = 1, el evento A siempre ocurre, se trata de un evento seguro.
Ejemplo:
Al tirar una moneda, el total de posibilidades es 2 (águila o sol). La proba-
bilidad de que caiga sol es
1
2
.
Eje Análisis de datos
Tema Probabilidad
AE Realiza
experimentos aleatorios
y registra los resultados
para un acercamiento
a la probabilidad
frecuencial.
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A.
de
C.
V.
= 3 000
20, 40, 60, 80
50%
$ 1
300 000
Águila, sol.
Bola roja, bola verde, bola amarilla, bola blanca, bola negra.

c) Extraer una carta de una baraja.
d) Tirar dos dados.
2 Escribe la probabilidad de que sucedan los siguientes eventos.
a) Al tirar un dado se obtenga un número menor que 4.
b) Al tirar dos dados la suma de las caras sea menor que 5.
c) Al tirar dos dados la suma de las caras sea mayor que 7.
d) Al tirar dos dados la suma de las caras sea múltiplo de 3.
3 Los siguientes datos son los resultados de realizar 9 veces un experimento
que consistió en dejar caer 20 cerillos sobre una rejilla de alambres paralelos.
Número de cerillos que caen a través de la rejilla: 5, 7, 4, 6, 8, 5, 3, 5, 7.
a) Calcula la probabilidad de que un cerillo atraviese la rejilla.
Si un evento tiene
una probabilidad
igual a uno, ¿cuál
de los siguientes
adverbios utilizarías
para describirlo?
Posiblemente
Tal vez
Definitivamente
Ninguno de las
anteriores
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A.
de
C.
V.
As, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10, J, Q, K y cada una puede ser: corazón,
diamante, espada o trébol: 52 cartas.
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3,2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4 ,2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
P(A) = 3
6 = 1
2
P(A) = 6
36 = 1
6
P(A)= 15
36 = 5
12
P(A)= 12
36 = 1
3
P(A)= 50
180 = 5
18

Práctica
1. 2 × 5 × 3
2. En el número 4.06,
¿qué dígito ocupa
el lugar de las
décimas?
3. (5 + 3)2
4. ¿Cuál es el mínimo
común múltiplo de
7 y 8?
5. Calcula
mentalmente:
63 ÷ 7, × 6, − 8, + 4,
÷ 10.
24
Cuando se realiza un estudio estadístico se reúne la información en una
tabla. La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un dato.
La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nú-
mero de datos.
Ejemplo:
Rosalía realizó una encuesta para saber el medio de transporte que utilizan
sus compañeros para ir a la escuela y registró los resultados en la siguiente
tabla.
Medio de
transporte
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia relativa
expresada en
porcentaje
Ángulo
A pie 2 0.066 6.6% 24º
Bicicleta 2 0.066 6.6% 24º
Transporte
público
1 0.033 3.3% 12º
Automóvil 13 0.433 43.3% 156º
Transporte
escolar
12 0.4 40% 144º
Total 30 1 100% 360º
Para mostrar esta información en una gráfica circular se calcula el ángulo
que corresponde a cada alumno, el cual está dado por:
ángulo por alumno =
360º
30
= 12º
En la última columna de la tabla se muestra el dato correspondiente depen-
diendo del número de alumnos o frecuencia absoluta.
La gráfica quedaría de la siguiente forma.
Frecuencia absoluta y relativa
A pie
Bicicleta
Transporte público
Automóvil
Transporte escolar
Medio de transporte para llegar a la escuela
13
12
2
2
1
Tema Probabilidad
AE Realiza
a la probabilidad
frecuencial.
Tema Estadística
AE Recolecta, registra
y lee datos en gráficas
circulares.
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A.
de
C.
V.
= 30
El cero
= 64
56
5

Actividades
1 Completa la siguiente tabla que muestra el número de horas que Germán
dedica a sus actividades.
Actividad
Número de horas
(frecuencia
absoluta)
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa
expresada en
porcentaje
Ángulo
Dormir 8
Ir a la
escuela
0.208
Hacer
tarea
60º
Comer 14.6%
Ver
televisión
1
Jugar 0.104
Total 24 1 100% 360º
2 Construye la gráfica circular que representa los datos de la tabla anterior.
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A.
de
C.
V.
5
4
3.5
2.5
0.333
0.166
0.146
0.041
33.3%
20.8%
16.6%
4.1%
10.4%
120°
75°
52.5°
15°
37.5°
Domir
Ir a la escuela
Hacer tarea
Comer
Ver televisión
Jugar

Práctica 25
Así como las gráficas de barras indican la frecuencia de un suceso, el ángulo
central en una gráfica circular lo hace.
La cantidad de ángulos centrales en los que se divide el círculo indica el
número de opciones del suceso. Para calcular de cuánto es, primero se
calcula lo que equivale para una unidad dividiendo 360º entre la suma de las
frecuencias, y después se suman las unidades que indica cada frecuencia
en particular.
Ejemplo:
En la siguiente tabla se muestran los datos de una encuesta sobre el medio
de transporte que utiliza un grupo de 23 niños para ir a la escuela.
Medio de
transporte
Registro Frecuencia
Caminando ||| 3
Bicicleta ||| 3
Automóvil |||| |||| 9
Autobús |||| ||| 8
Total 23
En la gráfica de barras se representan los medios de transporte en el eje X
y la frecuencia en el eje Y. Queda de la siguiente manera.
Representaciones gráficas
1. Encuentra el
máximo común
divisor de 24 y 36.
el perímetro de un
rectángulo cuyos
lados miden 3 cm
y 5 cm.
3. Escribe los
múltiplos de 8
que se encuentran
entre 39 y 73.
4. 7 204 − 7 179
5. 2 423 − 2 324
Caminando Bicicleta Automóvil Autobús
Medio de transporte
Cantidad
de
niños
10
5
0
Tema Probabilidad
AE Realiza
a la probabilidad
frecuencial.
Tema Estadística
AE Recolecta, registra
y lee datos en gráficas
circulares.
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A.
de
C.
V.
12
P = 16 cm
A = 15 cm2
40, 48, 56, 64, 72
= 25
= 99

Para elaborar la gráfica circular correspondiente, primero se calcula el án-
gulo para una unidad:
360º
23
= 15.652º
Entonces, para conocer el ángulo central que abarcará en el círculo cada
medio de transporte, a cada frecuencia se le multiplica por 15.652º. De esta
manera, se anota el ángulo en la columna correspondiente.
Medio de
transporte
Registro Frecuencia
Ángulo
correspondiente
Caminando ||| 3 46.96º
Bicicleta ||| 3 46.96º
Automóvil |||| |||| 9 140.87º
Autobús |||| ||| 8 125.22º
Total 23 360º
La gráfica circular queda de la siguiente forma.
Al construir una
gráfica circular los
ángulos dan exactos
cuando:
El total de
encuestados es
factor de 360º.
El total de
encuestados es
múltiplo de 360º.
El total de
encuestados es
un número primo.
El total de
encuestados es
un número impar.
Autobús
Caminando
Bicicleta
Automóvil
140.87°
125.22°
46.96°
46.96°
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A.
de
C.
V.

Práctica 25
Actividades
1 A un grupo de 30 niños se les preguntó cuál era su sabor de helado favorito.
La siguiente tabla muestra los resultados.
Sabor Registro Frecuencia Ángulo
Vainilla |||| 5
Chocolate |||| ||| 8
Fresa |||| |||| 9
Napolitano |||| ||| 8
Total 30 360º
a) Representa la información en una gráfica de barras.
b) Calcula el ángulo que representa a cada persona, indica el que correspon-
dería para cada sabor y representa la información en una gráfica circular.
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60°
96°
108°
96°
12 °
Vainilla
Chocolate
Fresa
Napolitano
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Vainilla Chocolate Fresa Napolitano

2 Realiza una encuesta en tu salón sobre la preferencia de los sabores
de helados de la tabla. Registra en la tabla los resultados que obtengas
y elabora la gráfica circular que corresponde.
Sabor Registro Frecuencia
Ángulo
correspondiente
Vainilla
Chocolate
Fresa
Napolitano
Total 360º
3 En el siguiente pictograma se muestra la información que registró una es-
cuela sobre la cantidad de niños de cada grado de secundaria que utilizan
la bicicleta para ir a la escuela.
Grado Cantidad de niños
Primero
Segundo
Tercero
a) ¿Cuál fue el total de alumnos encuestados?
b) ¿Cuál fue la frecuencia en cada uno de los grupos?
c) Si tuvieras que representar la información en un gráfica de barras o cir-
cular, ¿cuál elegirías y porqué?
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R. L.
No se puede saber
1° : 15, 2° : 18, 3° : 10
R. L.

Práctica 26
Media o promedio es el resultado de la suma de los valores de un conjunto
de datos dividido entre el número de datos.
Ejemplo:
Las calificaciones de Renata al final del curso fueron las siguientes.
Español 10 Inglés 9 Geografía 9.8
Matemáticas 10 Dibujo 9 Computación 9.3
Biología 9 Ed. Física 9.8
Formación Cívica
y Ética
9
Su promedio general es:
10 + 10 + 9 + 9.8 + 9 + 9 + 9 + 9.8 + 9.3
9
=
84.9
9
= 9.4
Moda es el dato que más se repite en un conjunto de datos.
Ejemplo:
En las calificaciones de Renata, el dato que más se repite es 9, por tanto, la
moda de ese conjunto de datos es 9.
Mediana, dado un conjunto de datos, se ordenan en forma creciente o de-
creciente, la mediana será el dato que divide al conjunto en dos partes
iguales. En el ejemplo que nos ocupa, al ordenar en forma decreciente las
calificaciones de Renata, podemos ver que el número que está en el centro
es 9.3, esa es la mediana.
10 10 9.8 9.8 9.3 9 9 9 9
Puede suceder que al ordenar los datos haya dos números al centro, por
ejemplo, en el siguiente conjunto de datos hay dos números al centro:
24 24 23 23 22 21 21 20 19 19
En este caso, la mediana es el promedio de ambos, es decir
22 + 21
2
= 21.5
¿Cuándo usar la media, la mediana o la moda?
Usar el promedio puede dar información errónea si hay algún dato que se
dispare de los demás. Por ejemplo:
En un negocio de lavado de autos hay 10 empleados y un dueño. Los em-
pleados ganan el salario mínimo, es decir, $88.36 al día y el dueño gana
$10000 al mes. Cada empleado gana $2650.80 al mes.
El promedio de estas cantidades es
2650.80 × 10 + 10000
11
=
36508
11
=
3318.90
El promedio de sueldos en este negocio es $3 318.90. Este dato no des-
cribe la situación salarial de la mayoría de los empleados, porque hay una
cantidad, 10 000, que se desvía mucho del resto. En estos casos no con-
viene usar el promedio.
Propiedades de la moda, media y mediana
1. Ordena los
siguientes números
de menor a mayor:
4
12
,
8
16
,
5
6
, 0.25.
2. Calcula 80% de
200.
3. 17 86.19
4. 55 66
5. ¿Cuántos vértices
tiene una pirámide
hexagonal?
Tema Estadística
AE Usa e interpreta las
medidas de tendencia
central (moda, media
aritmética y mediana) y
el rango de un conjunto
de datos y decide cuál
de ellas conviene más
en el análisis de los
datos en cuestión.
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0.25 <
4
12 <
8
16 <
5
6
160
5.07
1.2
7 vértices

Actividades
1 Los siguientes datos representan el número de hermanos que tienen los
alumnos de un grupo de 1º de secundaria.
Tabla 1
3 2 4 5 6 4 2 0 1 0 2 2 3
4 3 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2
a) Acomoda los datos de menor a mayor:
b) Completa la tabla y verifica que coincida con la gráfica.
Número de
hermanos
Frecuencia
0 2
1 6
2
3
4
5
6
c) ¿Cuál es el número que más se repite, es decir, la moda?
d) ¿Qué significa eso?
e) Calcula el promedio con los datos de la tabla 1.
f) ¿Cuál es la mediana?
Hay casos en lo que la moda no nos proporciona información relevante,
por ejemplo, si hay dos o tres modas.
La mediana puede ser útil siempre y cuando los demás valores no están
desviados. En el ejemplo de los salarios de los empleados que lavan co-
ches, la moda y la mediana describen mejor la situación salarial de los
empleados.
0 1 2 3 4 5 6
Número de hermanos
Frecuencia
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
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8
4
3
1
1
2
Que hay 8 alumnos en el grupo que tienen dos hermanos.
2.28
2
0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 6

Evaluación
Evaluación
1. El perímetro de una circunferencia cuyo radio es 2.1 m es: (considera pi =
3.14)
a) 13.8474 m b) 13.188 m c) 55.3896 m d) Ninguno de los
anteriores
2. Las calificaciones de Paola en el bimestre fueron las siguientes: 8.7, 6.5, 9.3,
8.3, 9.3, 10 y 7.2 ¿Cuál fue su promedio?
a) 9.88 b) 7.41 c) 8.47 d) Ninguno de los
anteriores
3. ¿Cuántos tablones de 3.75 m de largo se necesitarán para cercar un terreno
cuadrado de 30 m de lado?
a) 8 b) 16 c) 24 d) 32
4. Un rodillo de piedra de 4.13 m de perímetro da 18.9 vueltas rodando de un
extremo a otro del gimnasio. ¿Cuál es el largo del gimnasio?
a) 40.273 m b) 78.057 m c) 50.471 m d) Ninguno de los
anteriores
5. ¿Cuánto mide el perímetro de un octágono regular de 8 cm de lado y 3 cm de
apotema?
a) 24 cm b) 64 cm c) 96 cm d) Ninguno de los
anteriores
6. Indica la opción que aplica a los siguientes triángulos.
V
W
U
60°
45°
75°
G
60°
45° 75°
H I
a) ΔIHG ≅ ΔVUW
b) ΔIHG ≅ ΔUWV
c) ΔIHG ≅ ΔUVW
d) ΔIHG ≅ ΔWUV
7. ¿Cuál de las expresiones es la correcta sobre la congruencia de los siguientes
triángulos?
22°
42°
116°
G
H
I
22°
42°
116°
V
U
W
a) ΔIHG ≅ ΔVUW
b) ΔIHG ≅ ΔUWV
c) ΔIHG ≅ ΔUVW
d) ΔIHG ≅ ΔWUV
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8. Indica qué criterio de congruencia se aplica.
a) ALA
b) LAL
c) LLL
d) Ninguno de los anteriores. Los
triángulos no son congruentes
a) ALA
b) LAL
c) LLL
a) ALA
b) LAL
c) LLL
a) ALA
b) LAL
c) LLL
12. Calcula el volumen del prisma.
12 cm
7.5 cm
7.5 cm 7.5 cm
h = 6.5 cm
a) V = 585 cm3
b) V = 269.4 cm3
c) V = 296.4 cm3
d) Ninguno de los anteriores
13. Indica la media, mediana y moda.
10, 11, 3, 5, 7, 10, 9, 14, 16, 10, 2, 5, 7, 8, 3, 12, 18, 6, 4, 10, 15, 10, 15, 13, 8, 17
a) Media: 9.5 b) Media: 9 c) Media: 9.5 d) Media: 10
Moda: 10 Moda: 10 Moda: 9 Moda: 9.5
Mediana: 10 Mediana: 9 Mediana: 10 Mediana: 9
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Retos Para finalizar tu trabajo, te proponemos los siguientes desafíos.
1. La siguiente bandera tiene una cruz roja colocada sobre fondo blanco. Ambos
brazos tienen el mismo ancho. Si el área de la cruz roja es igual al área de la
parte blanca, ¿cuál es el ancho de los brazos de la cruz?
2. El número 1961 tiene la característica que si se pone de cabeza, el número
se lee igual. ¿Cuál es el siguiente número que tiene esta característica?
60 cm
91 cm
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V.
6009
21 cm

3. Dos hexágonos regulares están inscritos y circunscritos a una circunferencia
como se muestra en la figura.
Ÿ
Si el hexágono interior tiene un área de 3 u2
, calcula el área del hexágono
exterior.
4. A través de un espejo, Mariana ve el siguiente reloj. ¿Qué hora marca?
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V.
El hexágono exterior está formado por 24 triángulos iguales.
El interior por 18. Si 18 triángulos representan 3u2
, entonces:
18
3
= 24
x
, donde x = 24 x 3
18
= a 72
18
= 4u2
9:45 h

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