Cuaderno trabajo matamaticas_1_aprendizaje_refuerzo

ATEMÁTICAS :1
Cuaderno de trabajo
Cuadernodetrabajo:SECUNDARIA
SECUNDARIA
MATEMÁTICAS:
1
Silvia García Peña • Armando Solares Rojas • Jesús Rodríguez Viorato
ASESOR PEDAGÓGICO: David Block Sevilla
BASADO EN EL PROGRAMA OFICIAL
3/1/10 5:13:39 PM

Dirección de contenidos y servicios educativos
Elisa Bonilla Rius
Gerencia editorial
Hilda Victoria Infante Cosío
Edición
César Jiménez Espinosa,
Uriel Jiménez Herrera
Asesor pedagógico
David Block Sevilla
Autores
Silvia García Peña
Armando Solares Rojas
Jesús Rodríguez Viorato
Corrección
Abdel López Cruz,
Mauricio Del Río Martínez
Dirección de Arte
Quetzatl León Calixto
Diseño Gráﬁco
Factor 02
Diseño de portada
Claudia Adriana García,
Quetzatl León
Ilustración
Eliud Reyes Reyes
Diagramación
María Elena Amaro Guzmán,
César Leyva Acosta
Fotografía
© 2010 Thinkstock, Archivo SM,
Yina Garza, Elia Pérez, Ricardo Tapia
Producción
Carlos Olvera, Teresa Amaya
Cuaderno de trabajo. Matemáticas 1.
SERIE APRENDIZAJES Y REFUERZO
Primera edición, 2010
D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2010
Magdalena 211, Colonia del Valle,
03100, México, D.F.
Tel.: (55) 1087 8400
www.ediciones-sm.com.mx
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria
Editorial Mexicana
Registro número 2830
No está permitida la reproducción total o parcial
de este libro, ni su tratamiento informático, ni la
transmisión de ninguna forma o por cualquier
medio, ya sea electrónico, mecánico, por
fotocopia, por registro u otros métodos, sin el
permiso previo y por escrito de los titulares del
copyright.
Impreso en México/Printed in Mexico
 

3
PRESENTACIÓN:
Este cuaderno de trabajo se diseñó como un complemento de tus clases y de
tu libro de matemáticas para brindarte la oportunidad de repasar y practicar las
técnicas que vas aprendiendo; resolver nuevos problemas, enfrentarte a más
desafíos y conocer datos interesantes acerca de las matemáticas. En suma, para
que puedas aprender más.
Algunos ejercicios y actividades tal vez te parezcan fáciles mientras que en
otros deberás pensar un poco más para llegar a la respuesta correcta. Si no
logras resolver una actividad, te recomendamos que sigas con las demás y en
otro momento vuelvas a intentarlo.
Igual que tu libro, este cuaderno de trabajo se ha dividido en cinco bloques.
En cada bloque hay varias lecciones, conformadas por grupos de ejercicios y
actividades sobre algún contenido del programa. A su vez, dichas lecciones están
divididas en diferentes partes:
• “Repasemos”. Aquí encontrarás ejercicios sencillos con los que podrás practicar
las técnicas estudiadas en la lección o repasar las nociones aprendidas. Esta
sección sólo se incluye en los contenidos que así lo requieren.
• “Problemas y ejercicios”. Aquí podrás resolver situaciones diferentes a las de
tu libro, que te permitirán seguir aplicando los conocimientos aprendidos.
Estos ejercicios y problemas están ordenados del más sencillo al más difícil;
sin embargo hay que tener en cuenta que este orden es relativo, pues a veces
lo que para alguien es sencillo para otro no lo es. Los problemas marcados
con un icono son aquellos que consideramos más difíciles. Esta sección es
la única que está en todas las lecciones del cuaderno.
• “Y algo más...” Esta parte es como un cajón de sastre: hay de todo. En ella
hallarás acertijos, nuevos retos y desafíos, propiedades interesantes o datos
históricos relacionados con las matemáticas.
Por cada contenido de tu libro de texto hay un grupo de actividades en
el cuaderno de trabajo; excepto para los de “Justificación de fórmulas”, pues
los ejercicios y problemas sobre este tema se concentraron en el apartado de
“Aplicación de fórmulas”.
Esperamos que disfrutes este material, que lo vivas como una oportunidad
más para practicar, avanzar y profundizar en tus habilidades y conocimientos
matemáticos.
LOS AUTORES
 

4
GUÍA DE USO:
Entrada de bloque
En esta página se indican los aprendizajes
que esperamos que adquieras a lo largo
del bloque.
Recuadro de conocimientos y habilidades
Aquí se enuncia el conocimiento y habilidad que
ejercitarás.
Repasemos
En esta sección practicarás las técnicas
aprendidas, que utilizarás en las
actividades de la siguiente sección.
LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ
35
Aprendizajes esperados
Se espera que los alumnos…
1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones
con fracciones.
2. Resuelvan problemas que implican efectuar multiplicaciones con números decimales.
3. Justiﬁquen el signiﬁcado de fórmulas geométricas que se utilizan al calcular el perímetro
y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.
4. Resuelvan problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, con factor de
proporcionalidad entero o fraccionario y problemas de reparto proporcional.
BLOQUE
2
51
REPASEMOS
1. Completa la tabla y escribe en los óvalos los factores de proporcionalidad.
Las cantidades en la columna A deben ser proporcionales respecto a las de la
columna B, y las de B a las de la columna C.
Columna A
Columna B
Columna C
5
2
10
1
15
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
2. Observa los engranes de la figura y contesta.
Cuando el engrane A da una vuelta, el engrane B da
tres vueltas; y cuando el engrane B da una vuelta, el
engrane C da
1
4
de vuelta.
 Si el engrane A da una vuelta, ¿cuántas dará el
engrane C?
 Si el engrane A da ocho vueltas, ¿cuántas dará
el engrane C?
 En una configuración como la de la figura, el engrane A tiene 10 dien-
tes; B, ocho y C, quince. Si el engrane A da una vuelta, ¿cuántas dará C?
 Tres engranes: A, B y C conectados como en la figura giran de tal forma que
cuando A da una vuelta, B da tres y C, dos.
i) Si B da una vuelta, ¿cuántas dará C?
ii) Si B da cinco vueltas, ¿cuántas dará C?
APLICACIÓN SUCESIVA DE CONSTANTES DE PROPORCIONALIDAD
Interpretar el efecto de
la aplicación sucesiva
de factores constantes
de proporcionalidad en
situaciones dadas.
2.8
A
B
C
LECCIÓN 2.8
90
REPASEMOS
1. En un entrenamiento, una atleta corre 200 metros cada minuto. Completa la tabla.
Velocidad constante
Tiempo
(min)
Distancia
recorrida
(m)
0
1
2
3
4
60
2. De las reglas de correspondencia del lado derecho, subraya la que fue usada
para llenar la tabla.
¿Cuál es el valor de y para x = 100? y =3. En cada tabla se muestra una relación entre dos conjuntos de cantidades.
Calcula las cantidades faltantes y subraya la regla de correspondencia correcta.
REGLAS DE CORRESPONDENCIAAnalizar en situaciones
problemáticas la
presencia de cantidades
relacionadas y
representar esta relación
mediante una tabla y una
expresión algebraica. En
particular la expresión
de la relación de
proporcionalidad y kx,
asociando los significados
de las variables con
las cantidades que
intervienen en dicha
relación.
4.3
y 6x
y 2x
y x 6
y 2x 6
 Denota con d la distancia que recorrela corredora en metros y con t, el tiempotranscurrido en segundos. Escribe la reglade correspondencia que permite encontrarel valor de d a partir de t.
Tabla A
Tabla B
Tabla C
Perímetro del cuadrado
Edades
Área del cuadrado
Lado (L)
(cm)
Perímetro (P)
(cm) José (J)
(años)
Laura (L)
(años)
Lado (L)
(cm)
Área (A)
(cm2
)
0.5
2
5
0.5
0.25
1
4
10
1
1.5
2.5
2
2
2
3
2.5
1
7
4P L 1.5
L 2J 2
A L 0.2
P 4L
L 7J
A L2
P L 4
L J 6
A 2L
x y
0 6
1 8
2 10
5 16
10 26
LECCIÓN 4.3
 

5
Problemas y ejercicios
Aquí resolverás situaciones diferentes a las de tu libro de
texto y seguirás aplicando los conocimientos aprendidos.
Estos problemas y ejercicios están ordenados del más
sencillo al más difícil.
Los problemas marcados con el icono tienen
mayor grado de dificultad.
Y algo más...
Este apartado es como un cajón de sastre: hay
de todo. Hallarás acertijos, nuevos desafíos,
propiedades interesantes o datos históricos
relacionados con las matemáticas.
18
Y ALGO MÁS…
Hay una historia muy famosa referente al genio de Johann Carl
Friedrich Gauss (1777-1855), el príncipe de las matemáticas, y niño
prodigio. Se cuenta que en la primaria, su profesor, tratando de
mantener ocupados a los alumnos, les pidió que sumaran en su
cuaderno los números de 1 a 100. Para su sorpresa, en cuestión
de segundos, Gauss levantó la mano y dio la respuesta (5 050).
El maestro creyó que Gauss había hecho trampa y le pidió que
explicara su procedimiento. Johann aclaró que bastaba con poner
todos los números en una lista y sumarlos convenientemente:
1 + 100 101
2 + 99 101
3 + 98 101
4 + 97 101
…
Y así sucesivamente hasta llegar a 50 51 101. De esta forma, la suma ori-
ginal se transforma en 50 sumandos de cifra 101, lo cual equivale a multiplicar
50 101.
Otra manera de ver el método de Gauss (conocido ahora como “sumar a la
Gauss”) es alinear cada una de las parejas, como se muestra abajo.
suma 1 2 3 4 … 98 99 100 (100 sumandos)
suma 100 99 98 97 … 3 2 1 (100 sumandos)
2 suma 101 101 101 101 … 101 101 101 (100 sumandos)
Es decir, 2 veces la suma es igual a 100 101 10 100. De aquí que la suma
de los números de 1 a 100 es 5 050.
Con este método de sumar de Gauss se obtiene una fórmula para calcular la
suma de los números de 1 a n:
1 2 3 … n
n(n 1)
2
Verifica en tu cuaderno que esta fórmula sirve para obtener la suma de 1 a n para
algunos valores de n. Por ejemplo, la suma de 1 2 3 4 … 10.
Johann Carl Friedrich Gauss
77
1. Marca con una ✔ la respuesta correcta.
 En Michoacán se llevó a cabo un estudio con 138 estudiantes de secundaria
entre 12 y 17 años de edad. De ellos, 46 son de la escuela A, 46 de la escuela
B y 46 de la escuela C. ¿Cuál de las gráficas corresponde a estos datos?
(Fuente: http://www.medicina.umich.mx/ﬁsio_h/memorias/obesidad.pdf)
GRÁFICAS DE BARRAS Y CIRCULARES
Interpretar información
representada en gráficas
de barras y circulares
de frecuencia absoluta
y relativa, provenientes
de diarios o revistas y de
otras fuentes. Comunicar
información proveniente
de estudios sencillos,
eligiendo la forma de
representación más
adecuada.
3.8
50%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
A B C
A
C
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
A
B
C
A
B
C
46%
33.33% 33.33%
33.33%
46%
46%
LECCIÓN 3.8
Con este método de sumar
suma de los números de 1
Verifica en tu cuaderno
algunos valores de
12
14.Contesta.
En una tienda hay una balanza como la que muestra la figura. Para pesar un ob-
jeto, éste se coloca sobre el platillo derecho y después se quitan o ponen pesas
en el platillo izquierdo hasta equilibrar la balanza. El peso del objeto es la suma
de las pesas colocadas.
En la tienda sólo hay cuatro pesas para la balanza, pero el dueño asegura que con
ellas pesa todos los objetos de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg…,14 kg y hasta 15 kg.¿Cuál es el peso de cada pesa en esta tienda?
Y ALGO MÁS…
Trucos de magia
Un mago hizo un truco de números en una ocasión. Le dijo a una persona del
público que pensara en un número entero de 1 a 15. Después mostró a la per-
sona las cuatro tarjetas con números que aparecen abajo y le indicó que señalara
en qué tarjetas estaba el número pensado. Inmediatamente, el mago adivinó el
número pensado.
El truco está en sumar el primer número de cada carta que señaló la persona.
Por ejemplo, si pensó en el 13, debió de señalar las cartas a), b) y d). Entonces,
al sumar 1, 4 y 8 obtenemos el número 13.
Utiliza las tarjetas dibujadas arriba y presenta este truco de magia a algunos
compañeros.
 ¿Por qué funciona el truco? (Pista: representa los números de 1 a 15 en el
sistema de numeración “palito-bolita”.)




1 9
113
135
157

2
11
3
14
6
157
10
4
13
5
14
6
157
12

8
139
1410
1511
12
1, 2, 4 y 8 kg
 

6
ÍNDICE:
Bloque 1 7
Lección 1.1 Sistemas de numeración ....................................................................................... 8
Lección 1.2 Representación de fracciones y decimales en la recta........................................... 13
Lección 1.3 Secuencias........................................................................................................... 15
Lección 1.4 Significado de algunas fórmulas geométricas....................................................... 19
Lección 1.5 Simetría respecto a un eje..................................................................................... 21
Lección 1.6 Proporcionalidad.................................................................................................. 25
Lección 1.7 Reparto proporcional ........................................................................................... 29
Lección 1.8 ¿De cuántas formas?............................................................................................ 32
Bloque 2 35
Lección 2.1 Problemas aditivos con fracciones y decimales ...................................................... 36
Lección 2.2 Multiplicación y división de fracciones...................................................................38
Lección 2.3 Multiplicación de decimales ..................................................................................40
Lección 2.4 Mediatriz y bisectriz .............................................................................................. 42
Lección 2.5 Polígonos regulares...............................................................................................46
Lección 2.7 Más problemas de proporcionalidad ..................................................................... 49
Lección 2.8 Aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad ..........................................51
Bloque 3 53
Lección 3.1 División con números decimales............................................................................54
Lección 3.2 Ecuaciones de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c..............................................58
Lección 3.3 Trazo de triángulos y cuadriláteros .........................................................................61
Lección 3.4 Perímetros y áreas.................................................................................................64
Lección 3.5 Proporcionalidad y regla de tres ............................................................................ 67
Lección 3.6 Porcentajes ........................................................................................................... 70
Lección 3.7 Frecuencia absoluta y relativa................................................................................ 74
Lección 3.8 Gráficas de barras y circulares ............................................................................... 77
Lección 3.9 Espacio muestral y comparación de probabilidades ............................................... 82
Bloque 4 85
Lección 4.1 Problemas de números positivos y negativos.........................................................86
Lección 4.2 Potenciación y raíz cuadrada .................................................................................88
Lección 4.3 Reglas de correspondencia....................................................................................90
Lección 4.4 Con regla y compás ..............................................................................................94
Lección 4.6 Área y perímetro del círculo ..................................................................................98
Lección 4.7 Gráficas de relaciones funcionales I......................................................................101
Bloque 5 107
Lección 5.1 Adición y sustracción de números con signo ....................................................... 108
Lección 5.2 Relaciones funcionales .........................................................................................112
Lección 5.3 Cálculo de áreas...................................................................................................117
Lección 5.4 Resultados equiprobables y no equiprobables ..................................................... 120
Lección 5.5 Proporcionalidad inversa ......................................................................................122
Lección 5.6 Media, mediana y moda ..................................................................................... 125
 

LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ
7
Aprendizajes esperados
Se espera que los alumnos…
1. Conozcan las características del sistema de numeración decimal (base, valor de posición,
número de símbolos) y establezcan semejanzas o diferencias respecto a otros sistemas
posicionales y no posicionales.
2. Comparen y ordenen números fraccionarios y decimales mediante la búsqueda de expre-
siones equivalentes, la recta numérica, los productos cruzados u otros recursos.
3. Representen sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa.
4. Construyan figuras simétricas respecto de un eje e identifiquen cuáles son las propieda-
des de la figura original que se conservan.
5. Resuelvan problemas de conteo con apoyo de representaciones gráficas.
BLOQUE
1
 

8
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
REPASEMOS
1. Escribe los números en sistema egipcio.
 13 =  15 =  51 =
 102 =  123 =  321 =
 1010 =  10131 =  2310 =
 111111 =
2. Escribe qué números representan los símbolos egipcios.
 =  =
 =  =
 =
3. Escribe los números en sistema chino.
 20 =  123 =
 321 = 1 230 =
 90 009 =  11 111 =
Identificar las
propiedades del sistema
de numeración decimal y
contrastarlas con las de
otros sistemas numéricos
posicionales y no
posicionales
1.1
LECCIÓN 1.1
 

9
4. Escribe en las líneas qué números representan los símbolos chinos.
   
   
5. Escribe los números en sistema maya.
 12 =  21 =  40 =
 80 =  421 =  1 111 =
6. Escribe qué valores representan los símbolos mayas.
  
  
 

10
7. Subraya el número egipcio escrito de manera correcta.
 

 
8. Resuelve las operaciones directamente. No transformes los números en
notación indoarábiga.
   

9. Marca con una ✔ el número chino escrito correctamente.
    
10.Marca con una ✔ el número maya escrito de modo correcto.
   
11.Contesta con números indoarábigos.
¿Cuál es el número menor que se forma utilizando exactamente
25 símbolos egipcios (con repeticiones)?
+ +− −

 

11
12.Lee el texto y contesta.
En cierto idioma, cuando se empieza a contar los números se escucha así:
“LLoa”, “Moa”, “La”, “Va”, “Le”,
El conteo prosigue así:
“Ay”, “Lob”, “Viu”, “Bey”, “Bi”
¿Cuál es el resultado de las operaciones?
 “Lob” + “Lloa” =  “Bi” − “Ay” =
13.Considera el sistema de numeración palito-bolita mostrado en la tabla.
| |O || |OO |O| ||O ||| |OOO |OO| |O|O |O|| ||OO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 Escribe cada número en el sistema “palito-bolita”.
13 = 16 = 41 =
Anota qué números representan estos símbolos del sistema “palito-bolita”.
|||| = |O|O|O = |OOO| =
Efectúa las operaciones. Escribe tu respuesta con el sistema de numeración
“palito-bolita”.
Contesta.
¿Cuál es la base del sistema “palito-bolita”?
¿Cuántos números pueden formarse con cuatro símbolos en el sistema “pa-
lito-bolita” (con repeticiones)?
| O | O | | |
+ | O O O O |
| O | O O |
+ | O | | O
| O | | |
– | | O |
| | | |
– | O |
| | | |
+ |
| | O O
+ | |
 

12
14.Contesta.
En una tienda hay una balanza como la que muestra la figura. Para pesar un ob-
jeto, éste se coloca sobre el platillo derecho y después se quitan o ponen pesas
en el platillo izquierdo hasta equilibrar la balanza. El peso del objeto es la suma
de las pesas colocadas.
En la tienda sólo hay cuatro pesas para la balanza, pero el dueño asegura que con
ellas pesa todos los objetos de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg…,14 kg y hasta 15 kg.
¿Cuál es el peso de cada pesa en esta tienda?
Y ALGO MÁS…
Trucos de magia
Un mago hizo un truco de números en una ocasión. Le dijo a una persona del
público que pensara en un número entero de 1 a 15. Después mostró a la per-
sona las cuatro tarjetas con números que aparecen abajo y le indicó que señalara
en qué tarjetas estaba el número pensado. Inmediatamente, el mago adivinó el
número pensado.
El truco está en sumar el primer número de cada carta que señaló la persona.
Por ejemplo, si pensó en el 13, debió de señalar las cartas a), b) y d). Entonces,
al sumar 1, 4 y 8 obtenemos el número 13.
Utiliza las tarjetas dibujadas arriba y presenta este truco de magia a algunos
compañeros.
 ¿Por qué funciona el truco? (Pista: representa los números de 1 a 15 en el
sistema de numeración “palito-bolita”.)


 
1 9
113
135
157


2
113
146
157
10
4
135
146
157
12


8
139
1410
1511
12
 

13
1. Anota los números que corresponden a los puntos indicados en cada recta.
2. Representa los números que se indican en cada recta. En algunos casos hay
más de una respuesta correcta.
12, 15 y 24
8, 14, 18 y 28
356, 368 y 378
REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES Y DECIMALES EN LA RECTA
Representar números
fraccionarios y decimales
en la recta numérica
a partir de distintas
informaciones, analizando
las convenciones de esta
representación.
1.2
75 114
2 412 6 900
2
5
5
4
3
5
0
1.2 1.3
1.25 1.26
360
6 18
6
LECCIÓN 1.2
 

14
1, 1
1
2
, 2
1
2
y 3
1
2
,
1
3
,
1
6
y
3
4
2
4
,
2
6
,
2
12
y
6
8
3
8
,
3
4
, y
3
2
1.5, 2.5 y 3.5
3. Un autobús salió de la Ciudad de México a las 10 h de la mañana y llegó a
Chilpancingo a la hora que marca el reloj, ¿cuánto tiempo transcurrió? Tacha
la cantidad que NO expresa el tiempo transcurrido.
Y ALGO MÁS…
Anota los números de 1 a 8 en cada casilla sin
que se toquen con su antecesor o sucesor en
ningún sentido, ni lateral ni diagonal.
1
4
1
4
1
8
2
2
 3:45 h  3.75 h
 3
1
4
h  225 min
 

15
REPASEMOS
1. Relaciona con una línea cada regla con la secuencia que genera.
 2n + 1
 3n − 1
 n2
+ 1
 5n − 2
2. Subraya la regla que genera la secuencia 1, 3, 7, 13, 21…
 2n – 1  n2
– n + 1  2n2
+ 1  3n + 7
3. En cada caso, completa la regla que genera la secuencia de la izquierda.
Recuerda que 0 también es un número, por lo que puedes ponerlo en los
recuadros.
 5, 10, 15, 20, … regla: n +
 5, 9, 13, 17, … regla: n +
 2, 5, 8, 11, … regla: n –
 11, 18, 25, 32, … regla: n +
 5, 12, 19, 26, … regla: n –
4. Observa las secuencias de figuras y contesta.
 Secuencia Cruces
…
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
SECUENCIAS
Construir sucesiones de
números a partir de una
regla dada. Determinar
expresiones generales
que definen las reglas de
sucesiones numéricas
y figurativas.
1.3
2, 5, 8, 11, …
3, 5, 7, 9, …
4, 6, 8, 10, …
2, 7, 12, 17, …
3, 7, 16, 32, …
2, 5, 10, 17, …
3, 8, 13, 18, …
4, 7, 10, 13, …
LECCIÓN 1.3
 

16
¿Cuántos puntos verdes tendrá la figura 5?
¿Cuántos habrá en la figura 10?
¿Y en la figura 2 000?
¿Cuántos habrá en la figura n?
¿Qué número de figura tendrá 2 008 puntos verdes?
 Secuencia Triángulos
…
¿Cuántos puntos verdes tendrá la figura 6?
¿Cuántos habrá en la figura 11?
¿Y en la figura 2 009?
¿Cuántos tendrá la figura n?
¿Cuál será la primera figura con más de 2 000 puntos verdes?
 Secuencia Palillos de dientes
…
¿Cuántos palillos se necesitan para formar la figura 5?
¿Cuántos se necesitan para formar la figura 10?
¿Y para formar la figura n?
 

17
 Secuencia Torres
…
¿Cuántos bloques tiene en su base la figura n?
De las siguientes opciones, ¿cuál expresión representa el número de bloques
de la figura n?
n – 1 – 2 – 3 … – n 1 + 2 + 3 + … + n 1 + n n2
¿Cuántos bloques se necesitan para formar la figura 20?
5. Subraya la respuesta correcta.
 La regla de una secuencia es 5n + 3, ¿qué número es un término de dicha
secuencia?
125 126 127 128
 De las siguientes reglas, ¿cuál describe una secuencia en la que 2 000 apa-
rece como término?
7n + 3 7n + 4 7n + 5 7n + 6
6. Contesta.
En la figura se presenta una serie numérica acomodada en espiral. Un lugar a
la derecha y un lugar abajo del uno, está el tres; dos lugares a la derecha y dos
lugares abajo del uno, está el trece.
¿Qué número debe aparecer ocho lugares a la derecha y ocho lugares hacia abajo
del uno?
1 2
3 12
1314…0
45
6
7 8 9 10
11
 

18
Y ALGO MÁS…
Hay una historia muy famosa referente al genio de Johann Carl
Friedrich Gauss (1777-1855), el príncipe de las matemáticas, y niño
prodigio. Se cuenta que en la primaria, su profesor, tratando de
mantener ocupados a los alumnos, les pidió que sumaran en su
cuaderno los números de 1 a 100. Para su sorpresa, en cuestión
de segundos, Gauss levantó la mano y dio la respuesta (5 050).
El maestro creyó que Gauss había hecho trampa y le pidió que
explicara su procedimiento. Johann aclaró que bastaba con poner
todos los números en una lista y sumarlos convenientemente:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
4 + 97 = 101
…
Y así sucesivamente hasta llegar a 50 + 51 = 101. De esta forma, la suma ori-
ginal se transforma en 50 sumandos de cifra 101, lo cual equivale a multiplicar
50 × 101.
Otra manera de ver el método de Gauss (conocido ahora como “sumar a la
Gauss”) es alinear cada una de las parejas, como se muestra abajo.
suma = 1 + 2 + 3+ 4 + … +98 +99 +100 (100 sumandos)
+ suma =100 + 99 + 98 + 97 + … + 3 + 2 + 1 (100 sumandos)
2 × suma =101 +101+101+101+ … +101+101+101 (100 sumandos)
Es decir, 2 veces la suma es igual a 100 × 101 = 10 100. De aquí que la suma
de los números de 1 a 100 es 5 050.
Con este método de sumar de Gauss se obtiene una fórmula para calcular la
suma de los números de 1 a n:
1 + 2 + 3 + … + n =
n(n + 1)
2
Verifica en tu cuaderno que esta fórmula sirve para obtener la suma de 1 a n para
algunos valores de n. Por ejemplo, la suma de 1 + 2 + 3 + 4 + … + 10.
Johann Carl Friedrich Gauss
 

19
1. Con base en la siguiente figura, anota las áreas que se piden en términos de
a, b y h.
 Área del rectángulo ABCD:
 Área del triángulo BCS:
 Área del triángulo ADS:
 Área del triángulo ABS:
 Si a = 4 cm, b = 9 cm y h = 7 cm, ¿cuál es el área del
triángulo ABS?
 Si consideramos las medidas de a, b y h mencionadas en el inciso anterior,
¿cuál es el área del rectángulo ABCD?
2. La imagen de la derecha muestra un espejo cuadrado enmarcado con
12 rectángulos de aluminio. Calcula las medidas que se indican.
 Perímetro del marco:
 Área del espejo:
 Ancho de un rectángulo de aluminio:
 Largo de un rectángulo de aluminio:
 Área de un rectángulo de aluminio:
 Área del marco:
 Ahora calcula estas medidas suponiendo que a = 50 cm y b = 40 cm.
Perímetro del marco: Área del espejo:
Ancho de un rectángulo: Largo de un rectángulo:
Área de un rectángulo: Área del marco:
SIGNIFICADO DE ALGUNAS FÓRMULAS GEOMÉTRICAS
Explicar en lenguaje
natural el significado
de algunas fórmulas
geométricas,
interpretando las literales
como números generales
con los que es posible
operar.
1.4
D
A P
a b
h
S C
B
b
a
LECCIÓN 1.4
 

20
3. Éste es el croquis del patio de una escuela, está formado por cuatro
rectángulos iguales entre sí y cuatro triángulos también iguales.
 ¿Cuál es el área del patio?
 Si a = 16 m, b = 12 m y el períme-
tro del patio mide 136 m, ¿cuánto mide
el lado más largo de cada triángulo?
4. La estrella se formó con cinco triángulos como el que aparece dibujado.
 ¿Cuál es el perímetro de la estrella?
 ¿Cuál es el área de la estrella?
 Si el área de la estrella es 120 cm2
, ¿cuán-
to pueden medir a y b? (Hay muchas res-
puestas, menciona tres posibilidades.)
Y ALGO MÁS…
Un padre heredó a sus cinco hijos un terreno de forma cua-
drada, bajo las siguientes condiciones: Al mayor le tocaría la
cuarta parte del terreno, el resto (tres cuartas partes) sería re-
partido entre los demás hijos pero, para evitar problemas, las
cuatro partes deberían tener la misma forma y la misma área.
Muestra, en la figura, cómo quedará dividido el terreno.
a
b
a
bc
 

21
REPASEMOS
1. Identifica la figura simétrica al triángulo ABC y anota A’, B’ y C’ en los
vértices que corresponda.
2. Escribe si cada afirmación es falsa o verdadera.
Afirmación
¿Falsa o
verdadera?
a) Si dos segmentos son paralelos, sus simétricos respecto a
un eje también lo son.
b) Si dos segmentos son perpendiculares, sus simétricos
respecto a un eje también lo son.
c) Si un ángulo mide 45°, su simétrico respecto a un eje tiene
una medida diferente.
d) Si un segmento mide tres unidades, su simétrico respecto
a un eje mide tres unidades.
3. Encuentra los puntos simétricos a P, Q, R y S respecto a la recta azul
y denótalos con P’, Q’, R’ y S’, respectivamente.
SIMETRÍA RESPECTO A UN EJE
Construir figuras
simétricas respecto de un
eje, analizarlas y explicitar
las propiedades que se
conservan en figuras tales
como: triángulos isósceles
y equiláteros, rombos,
cuadrados y rectángulos.
1.5
A
C
B
P
Q
R
S
LECCIÓN 1.5
 

22
4. Traza el eje de simetría de cada pareja de triángulos simétricos.
5. Traza las figuras simétricas respecto al eje vertical.
6. Efectúa lo que se pide en el dibujo de la izquierda y contesta.
Traza la simétrica de la figura 1 respecto al eje x y llámala figura
2. Después, traza la simétrica de la figura 2 respecto al eje y,
nómbrala figura 3. Finalmente, traza la figura 4, simétrica de la
figura 3 respecto al eje x.
¿Qué relación guardan las figuras 1 y 4?
Eje
y
x
Figura 1
 

23
7. Traza con rojo el simétrico de cada segmento respecto a la recta verde.
8. En cada caso, traza la figura simétrica respecto al eje.
M N
R
B
C
E
A
D
P
Q
 

24
9. Completa las dos figuras. En cada caso todas las líneas verdes son ejes de
simetría de la figura.
10.La recta roja es perpendicular a la recta numérica y pasa por el punto que
corresponde al número 3.5. El punto A corresponde al número 6.25.
¿A qué número corresponde el simétrico al punto A res-
pecto a la recta roja?
Y ALGO MÁS…
En los mosaicos se usa la simetría. ¿Qué figuras simétricas encuentras en los
siguientes mosaicos?
3.5
6.25
A
 

25
REPASEMOS
1. Marca con una ✔ la respuesta correcta y contesta.
 ¿En cuál de las tablas se presenta una relación de proporcionalidad directa
entre las cantidades?
Receta para hacer chocolate
Cantidad de azúcar
(g)
Cantidad de cacao
(kg)
Porción chica 200 500
Porción mediana 400 1 000
Porción grande 600 1 500
¿Por qué la relación que elegiste es de proporcionalidad directa?
 La tablas corresponden a la conversión de unidades para medir distancia,
temperatura y peso. ¿En cuál de ellas la conversión NO es una relación de
proporcionalidad directa?
Conversión de unidades
de distancia
de temperatura
de peso
Pulgadas Centímetros Grados
celsius
Grados
Fahrenheit
Onzas Gramos
1 2.54 1 33.8 1 28.35
5 12.70 5 41.0 5 141.75
6 15.24 6 42.8 6 170.10
¿En qué te fijaste para saber que la relación NO es de proporcionalidad directa?
PROPORCIONALIDAD
Identificar y resolver
situaciones de
proporcionalidad
directa del tipo “valor
faltante” en diversos
contextos, utilizando de
manera flexible diversos
procedimientos.
1.6
Cobro por servicio de telefonía
celular de una compañía
Número de
llamadas
Monto a pagar
(pesos)
10 115
20 130
30 145
Edades de un padre y su hijo
Edad del padre
(años)
Edad del hijo
(años)
23 0
46 23
69 46
LECCIÓN 1.6
 

26
 Un automóvil viaja a una velocidad constante de 85 km/h, ¿qué tabla co-
rresponde a la relación entre la distancia y el tiempo del recorrido de este
automovil?
 ¿En cuál tabla no se representa una velocidad constante?
 ¿Qué velocidad en kilómetros por hora corresponde a la tabla 1?
2. A continuación se presentan algunas medidas del plano de una casa.
Medida del plano (cm)
Ancho de la sala-comedor 1.5
Largo de la sala-comedor 3.0
Ancho del terreno 4.5
Largo del terreno 9
Ancho del garaje 2
Ancho del pasillo 1
Largo del pasillo 3.75
 Completa la tabla con algunas de las medidas reales de la casa.
Medida real (cm)
Ancho de la sala-comedor 300
Largo de la sala-comedor
Ancho del terreno 900
Largo del terreno
Ancho del garaje
Ancho del pasillo
Largo del pasillo
 ¿Cuál es el factor de escala o constante de proporcionalidad que permite
encontrar las medidas reales a partir de las medidas del plano?
Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3
Tiempo
(horas)
Distancia
(km)
Tiempo
(horas)
Distancia
(km)
Tiempo
(horas)
Distancia
(km)
2 0 0 0 0
9 3 3 255
10 8 4 340
 

27
 Una de estas afirmaciones es falsa, ¿cuál?
Entre más grande es una distancia en el plano, más grande es la distancia
real que le corresponde.
A la suma de dos distancias del plano de la casa corresponde la suma de
dos distancias reales.
Si en el plano una distancia x es n veces más grande que una distancia y,
las distancias reales correspondientes (x y y respectivamente) cumplirán con
que x será n veces menor que y.
 ¿Cuál es el error de la afirmación? .
3. El dibujo da las medidas de la reproducción a escala de un barco de vela.
Medida de la
reproducción (cm)
Profundidad del casco 2
Largo del barco 15
Altura del mástil mayor 14
Altura del mástil menor 10.5
 La reproducción está hecha a una escala de 2 a 200. Completa la tabla con
las medidas reales que debe tener el barco.
Medida real (cm)
Profundidad del casco
Largo del barco
Altura del mástil mayor
Altura del mástil menor
 ¿Cuál es el factor de escala o constante de proporcionalidad para convertir
las medidas de la reproducción en las medidas reales?
 Aescala2a200,¿cuántodebemedirelanchodelapartetraseradelbarco(popa)
en la reproducción si su ancho real es de 500 cm?
 Si se hiciera una segunda reproducción a escala 3 a 450, ¿cuál reproducción
sería más grande, la primera o la segunda? y para convertir
las medidas de la reproducción en medidas reales, ¿cuál sería el factor de
escala?
 

28
4. Al hacer pruebas de laboratorio, un automóvil modelo X tiene la siguiente
especificación de consumo de gasolina: con su tanque lleno (50 ) recorre 50
kilómetros.
  Completa la tabla, que relaciona las distancias recorridas y la cantidad de
gasolina consumida por éste automóvil, suponiendo que las cantidades son
proporcionales.
 ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
Esta constante de proporcionalidad se llama “rendimiento del automóvil” e in-
dica la cantidad de kilómetros que recorre con un litro de gasolina.
La versión de este automóvil equipado con motor híbrido (que emplea tanto
gasolina como electricidad) tiene la siguiente especificación de consumo de ga-
solina: con su tanque lleno (50 ) recorre 1 100 km.
 Completa la tabla. para calcular algunas distancias y cantidades de gasolina
consumida por el automóvil híbrido.
Consumo de gasolina del automóvil
Modelo con motor híbrido
Cantidad de gasolina
()
Distancia recorrida
(km)
50 1 100
550
10
100
 ¿Cuál es el rendimiento del automóvil híbrido?
En la Ciudad de México, un taxi recorre 300 kilómetros diarios, en promedio.
 ¿Cuánta gasolina gastaría en un día un taxi modelo X?
 ¿Y cuánta gastaría en un día un taxi con motor híbrido?
Consumo de gasolina del automóvil modelo X
Cantidad de gasolina
()
Distancia recorrida
(km)
50 650
25
10
100
1
 

29
REPASEMOS
1. En un equipo de futbol los tres mejores goleadores se repartirán un premio
de $18 000.00 de manera proporcional, al número de goles que cada quien
anotó en la temporada.
El mejor goleador anotó doce goles.•
El segundo mejor anotó ocho goles.•
El tercero anotó cuatro goles.•
¿Cuánto le toca a cada jugador? Subraya la
opción correcta.
 $12 000.00 al mejor, $8 000.00 al segun-
do y $4 000.00 al tercero.
 $10 000.00 al mejor, $5 000.00 al segun-
do y 3 000.00 al tercero.
 $9 000.00 al mejor, $6 000.00 al segundo
y $3,000.00 al tercero.
Explica por qué el reparto que escogiste es proporcional al número de goles
anotados.
2. Cuatro personas efectuaron un trabajo en 90 días y se repartieron el dinero
ganado proporcionalmente al tiempo que trabajó cada uno. El dinero quedó
repartido como se muestra en la siguiente tabla.
 Completa la tabla para saber cuantos días trabajó cada quien.
Persona Dinero recibido
($)
Tiempo trabajado
(días)
A 5 000.00
B 4 000.00
C 3 000.00
D 6 000.00
 ¿Cuánto les pagaron en total a las cuatro personas por los 90 días de trabajo?
REPARTO PROPORCIONAL
Elaborar y utilizar
procedimientos para
resolver problemas de
reparto proporcional.
1.7
LECCIÓN 1.7
 

30
3. Los habitantes de tres comunidades harán una obra de drenaje que beneficiará
a todos. El costo de los materiales es de $3 500 000.00. En la comunidad A hay
700 habitantes; en la comunidad B hay 400 habitantes; y en la comunidad C
hay 30 habitantes.
 ¿Cuál de las siguientes tablas consideras que corresponde a un reparto justo
de los gastos? Márcala con una ✔.
 Si el reparto del costo se hiciera de manera proporcional a la can-
tidad de habitantes de cada una de las comunidades, ¿cuánto pagaría
cada habitante?
4. Dos inversionistas aportaron $45 000.00 y $55 000.00 para un negocio,
pero hubo una pérdida de $20 000.00. Si decidieron absorber la pérdida de
manera proporcional al dinero invertido, ¿cuánto dinero le quedó a cada uno?
Les quedó
5.Tres cuadrillas de obreros efectuaron un trabajo por el que
se pagó $24,000.00. Las cuadrillas cubrieron los días de
trabajo como se indica en la tabla.
El dinero del pago se repartirá de manera que cada obrero re-
ciba la misma cantidad de dinero por cada día trabajado.
 ¿Cuánto dinero le corresponde a cada cuadrilla?
Cuadrilla A: $ Cuadrilla B: $
Cuadrilla C: $
 ¿Cuánto dinero le corresponde por día a cada obrero? $
Comunidad Número de
habitantes
Cooperación
($)
A 700 2 000 000.00
B 400 1 000 000.00
C 300 500 000.00
habitantes
Cooperación
($)
A 700 1 750 000.00
B 400 1 000 000.00
C 300 750 000.00
habitantes
Cooperación
($)
A 700 700 000.00
B 400 400 000.00
C 300 300 000.00
Cuadrilla Número de
obreros
Días
trabajados
A
B
C
 

31
6. Gaby, Marina y Pati hicieron un trabajo y decidieron repartir el dinero que
ganaron de manera proporcional a la cantidad de horas que cada una dedicó.
En la tabla se muestra cuántas horas trabajó cada una.
Cantidad de horas
trabajadas
Gaby 2
Marina 3
Pati 4
 Si la diferencia entre lo que recibieron Pati y Gaby es $400.00, ¿cuánto dinero
ganaron en total? $
 ¿Cuánto percibió cada una?
Gaby: $ Marina: $ Pati: $
7. Una empresa otorgará un bono de puntualidad a sus empleados. El bono
es de $5 600.00 y se repartirá de manera proporcional a la puntualidad. Las
reglas para participar en el reparto son:
Si algún empleado cuenta con más de cinco retardos no participa en el•
reparto del bono.
Si hay un empleado sin retardos, éste recibe la mitad del bono y el resto•
se reparte de manera proporcional entre los demás empleados con
derecho a participar.
Si hay más de un empleado sin retardos, el bono se reparte sólo entre los•
empleados sin retardos.
A continuación se muestra la lista de retardos. Completa la tabla para saber
cuánto dinero del bono corresponde a cada empleado.
Empleado Número de
retardos
Cantidad de dinero que le corresponde
($)
A 4
B 6
C 2
D 0
E 7
F 1
 

32
1. Contesta.
 Una imprenta ofrece el servicio de impresión de invitaciones para quinceañe-
ras. La empresa ofrece lo siguiente:
Dos tipos de materiales: cartulina perilizada y papel albanene.•
Tres colores: verde, rojo y azul.•
Tres diseños: floreado, con mariposas y con corazones.•
¿Cuántas invitaciones distintas ofrece esta imprenta?
 Una biblioteca tiene cuatro salas, en cada una hay doce libreros, en cada li-
brero hay seis estantes, y en cada estante hay 20 libros.
¿Cuántos libros hay en la biblioteca?
 Una escuela permite estas prendas para el uniforme escolar femenino.
Más la posibilidad de usar estos accesorios.
Accesorios
Bufanda con el logo escolar Suéter guinda con el logo escolar
¿De cuántas formas distintas puede vestirse una estudiante para ir a la escuela?
¿DE CUÁNTAS FORMAS?
Resolver problemas
de conteo utilizando
diversos recursos,
tales como tablas,
diagramas de árbol y
otros procedimientos
personales.
1.8
Blusa azul Falda
Manga corta
con cuello
Manga larga
con cuello
Manga larga
sin cuello
Cuadriculada con guinda
y blanco
Guinda plana con un
contorno blanco
LECCIÓN 1.8
 

33
 El mapa de la derecha muestra las diferentes carreteras que se extienden en-
tre la ciudad A y la ciudad B.
¿Cuántas maneras hay de viajar de A a B avan-
zando siempre de izquierda a derecha?
Recientemente se construyó la carretera roja que se
muestra en el mapa, ¿de cuántas formas puede via-
jarse ahora?
 En un sorteo deben escogerse cuatro números de
un total de 10. ¿Cuántas maneras hay de hacer la
elección?
 En la ciudad de México, las placas de los automovilistas particulares llevan
primero tres dígitos y luego tres letras. Las letras posibles para las placas son
26, ya que no está permitida la ñ, ¿cuántas placas distintas puede haber?
 En un restaurante es posible pedir una hamburguesa con los siguientes in-
gredientes: jitomate, lechuga, cebolla, mayonesa, mostaza y kétchup. Por
ejemplo, puede pedirse una hamburguesa con ningún ingrediente o una con
sólo jitomate o una con solamente mayonesa y lechuga o una con todos los
ingredientes, etc. ¿Cuántas maneras distintas hay de pedir la hamburguesa?
 En un torneo de futbol participaron siete equipos. Si cada
equipo jugó cuatro partidos, ¿cuántos partidos hubo en
total?
 En ajedrez, la torre es una pieza que en cada movimien-
to se desplaza horizontal o verticalmente cuantas casillas
quiera y, a diferencia de la reina, no puede moverse en
diagonal. Diremos que una pieza es atacada por la torre
si dicha pieza se encuentra en una casilla que la torre al-
canza en un movimiento. En el tablero de ajedrez se mues-
tran ocho torres de manera que ninguna ataca a otra.
¿De cuántas maneras pueden acomodarse ocho torres sin
que se ataquen?
A B
A B
 

34
 El telégrafo era un dispositivo de comunicación muy popular que funcionaba
mediante pulsaciones. Para enviar mensajes se usaba la siguiente notación:
un sonido “bip” se representaba con un punto (•), y un “biiiip” más prolon-
gado, con un guión (—).
Todos los caracteres del alfabeto y los nueve dígitos se codificaron con esa no-
tación. Por ejemplo, •— es la “A” y —••• es la “B”. Esta codificación se conoce
como clave Morse. Para separar una letra de otra se usa una pausa sin sonido
con duración de aproximadamente cinco “bips” normales.
Cabe notar que en clave Morse no todas las letras tienen la misma cantidad de
símbolos; por ejemplo, “A” tiene dos (un punto y una raya) y “B” usa cuatro
(una raya y tres puntos).
¿Cuántos caracteres podrían codificarse con tres símbolos o menos (puntos,
guiones o ambos)?
¿Y con cuatro símbolos o menos?
¿Cuántos, con cinco símbolos?
Y ALGO MÁS…
El primer telégrafo se construyó en 1774, pero era muy poco práctico, pues usa-
ba 26 cables, uno por cada letra del abecedario. Por esa época dos alemanes lo
mejoraron para que sólo usara cinco cables. Pero F. B. Morse estaba convencido
de que era posible construir un telégrafo de un solo cable.
Morse unió sus fuerzas con Leonard Gale y Alfred Vail para construir un proto-
tipo de telégrafo de un solo cable. Su éxito se debió en gran medida al diseño
del código Morse, el cual permitió codificar todas las letras del abecedario para
transmitir con un solo cable.
En 1842, Morse obtuvo un apoyo de 30 000 dólares del Congreso de Estados
Unidos de América para llevar a cabo su plan de cablear a ese país. Más tarde,
en 1844, Morse envió su primer mensaje entre ciudades. Y en 1854, diez años
después de ese primer mensaje, el telégrafo se esparció por todo el territorio
estadounidense: ya había 23 000 millas de cableado de telégrafo.
a) Descifra el mensaje del recuadro con la clave Morse pre-
sentada a la izquierda.
El mensaje dice:
A •— N —• 1 •————
B —••• O ——— 2 ••———
C —•—• P •——• 3 •••——
D —•• Q ——•— 4 •••••
E • R •—• 5 •••••
F • •—• S ••• 6 —••••
G ——• T — 7 ——•••
H •••• U ••— 8 ———••
I •• V •••— 9 ————•
J •——— W •—— 0 —————
K —•— X —••—
L •—•• Y —•——
M —— Z ——••
• •—• • •••
—— ••— —•——
•—•• •• ••• — ———
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