Límite de funciones matemáticas

1. Tal vez ha estado usted en un estacionamiento en el
que puede “aproximarse” al automóvil de enfrente, pero
no quiere golpearlo ni tocarlo.

2. NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
LÍMITE
ACERCAMIENTO
Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se
aproxima a un valor a, podemos escribir:
L
f(x)
lim
a
x



3. LÍMITES
Si L es finito y ambos límites laterales
coinciden, se dice que el límite existe y vale L

4. Ejemplo Interpretativo sobre Límite
• Consideremos la función:
• Veamos el comportamiento de los valores de la
función cuando x toma valores muy cercanos a 1.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
x
1
1
)
(
3



x
x
x
f
X<1
X f(x)
0,8 2,44
0,9 2,71
0,95 2,8525
0,99 2,9701
0,999 2,9970
X>1
X f(x)
1,2 3,64
1,1 3,31
1,05 3,1525
1,01 3,0301
1,001 3,0030
Gráfica
Observe que cuando x toma valores
más y más próximos a 1 tanto para
valores mayores que 1 y menores
que 1, f(x) se acerca cada vez más
a un solo número que es el 3.
3
lim 1
1
1
3




x
x
x
•Básicamente, haremos que una variable “se aproxime” a un valor particular
y examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la función.

5. Límite de una Función
Definición:
El límite de f(x) cuando x se acerca (o tiende) a a, es el
número L, escrito:
Siempre que f(x) esté arbitrariamente cerca a L para toda
x lo suficientemente cerca, pero diferente de a
L
x
f
a
x


)
(
lim

6. Propiedades y teoremas de los
Límites
entonces
existe
x
g
y
x
f
Si
a
x
a
x
,
)
(
lim
)
(
lim


)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
[
lim x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x 





)
(
lim
).
(
lim
)]
(
).
(
[
lim x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x 



2. Para cualquier
entero positivo n.
n
n
a
x
a
x 

lim
1. Si f(x) = c, es una función
constante, entonces
c
c
x
f
a
x
a
x




lim
)
(
lim
3.
4.
5.
)
(
lim
)
(
[
lim x
f
c
x
cf
a
x
a
x 


Si f es una función polinomial
)
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x


6.
0
)
(
lim
,
lim )
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(



 

x
g
a
x
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x a
x
a
x
7.
8. n
a
x
n
a
x
x
f
x
f )
(
lim
)
(
lim




7. Estimación de un límite a partir de una
gráfica
existe
No
x
f
x


)
(
lim
2
2
)
(
lim
1


x
f
x
2
)
(
lim
1


x
f
x
En la gráfica A y B notamos los
valores de x cercanos a 1 tanto por la
izquierda como por la derecha,
siempre f(x) se acerca a 2
En la gráfica C, los valores
de x cercanos a 2 por la
izquierda y derecha
resultan f(x) distintos
A B C

8. EJERCICIO 1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
Lim f(x) = L =2
x 1
y
x
1 5
3
2

9. EJERCICIO 2
Lim f(x) no existe
x 1
y
x
1 5
2
1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?

10. EJERCICIO 3
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)
x 1

11. EJERCICIO 4
Dado el gráfico de f(x) :
3
3
5
5
-3
-3
3
3
-2
-2
x
x
f
f(x)
(x)
3.5
3.5
f(x)
d)
f(x)
c)
f(x)
b)
f(x)
a)
lim
lim
lim
lim
2
x
0
x
3
x
3
x






Encuentre:

12. Procedimiento para calcular
límites
Si es posible aplicar directamente las propiedades
anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto
a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a
cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4
implican funciones polinómicas es indistinto que nos
refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en
particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite
de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se
aplica a una función racional.
Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la
forma indetermidada 0/0 es posible calcular el límite pero,
previamente, hay que transformar la fórmula de la función
de tal modo que se pueda evitar la división por cero: para
lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos
eficaces como la factorización, la conjugada, etc.

13. Haciendo clic en cada ejercicio llegas a su solución.

14. 1. Solución
2. Solución
3. Solución
4. Solución

15. 5. Solución
6. Solución
7. Solución
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante,
luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no
obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite
aplicando el TL7

16. 8. Solución
9. Solución
10. Solución
Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada
0/0; por lo que, se debe factoriazar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del
TL6:
No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego
de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el
numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite:
Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8:

17. 11. Solución
12. Solución
El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma
indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la
expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7 y TL6:

18. Límites y manipulación algebraica
)
1
(
)
1
(
)
1
)(
1
(
1
1
2


 




x
x
x
x
x
x
1
1
1
2
lim 



x
x
x
2
1
1
)
1
(
lim
lim
1
1
1
1
2













x
x
x
x
x
Determinación de un límite por factorización
Determinar:
Si reemplazamos la variable x por el
valor -1 notamos que se convierte
en una indeterminación. Tenemos
que apoyarnos en la factorización
para su solución.
Luego:

19. PROBLEMA 1

















 





















3
x
si
,
1
x
1/
3
x
si
2,
x
f(x)
donde
f(x);
4)
2
3
2
3
:
Rpta
;
3x
4x
x
2
x
x
3)
1
:
Rpta
,
x
x
1
x
1
2)
1/4
:
Rpta
,
x
2
4
x
1)
2
3
x
1/3
1/3
2
3
2
1
x
0
x
0
x
lim
lim
lim
lim
3
Evalúe los siguientes límites:

20. PROBLEMA 2






















0
x
1,
x
0
x
4,
2x
f(x)
f(x);
lim
5)
x
2
x
4x
lim
4)
b
a
,
a
x
b
a
b
x
lim
3)
x
-
4
2
x
lim
2)
1
-
x
1
x
lim
1)
0
x
2
4
x
2
2
a
x
2
2
x
4
1
x
Utilice las reglas para calcular límites para determinar: