El documento presenta un resumen de conceptos básicos sobre funciones y límites en cálculo 1. Introduce las funciones lineales y cómo graficarlas, así como operaciones entre funciones como suma, multiplicación y composición. Explica el concepto de límite como el comportamiento de una función cuando la variable independiente tiende a acercarse a un valor dado. Define los tres elementos clave de un límite y analiza posibles resultados como un número, infinito o indeterminado. Finalmente, presenta propiedades de límites como constante, suma, producto y cociente.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
Diapositivas unidad 1 - Expresiones Algebraicas
Asignatura: Algebra, trigonometría y Geometría Analitica
Grupo: 551108_19
Tutor: Jaime Julio Buelvas
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
2.020
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
Diapositivas unidad 1 - Expresiones Algebraicas
Asignatura: Algebra, trigonometría y Geometría Analitica
Grupo: 551108_19
Tutor: Jaime Julio Buelvas
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
2.020
El tránsito entre la Modernidad a la Posmodernidad puede ser seguido a través de la transformación de los conceptos conducentes de cada uno de estos dos marcos conceptuales de la vida y el universo.
¿Qué son las ecuaciones? Esta presentación recorre desde los conceptos mas básicos hasta las ecuaciones exponenciales y logarítmicas, además de una aplicación a la resolución de problemas. Ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones polinómicas reducibles a ecuaciones de segundo grado, ecuaciones polinómicas en general, ecuaciones racionales e irracionales y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Problemas numéricos, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles, problemas con figuras geométricas y problemas de calcular el tiempo en el interés compuesto.
-.Primero se describen que son los vectores.
-.Despues se da un ejemplo de como escribir correctamente un vector en c++.
-.Se da un ejemplo explicando linea por linea.
Concepto básicos de java para programar con java.
En esta presentación encontraras desde los conceptos básicos hasta como instalar java y el JDK.
Para empezar a programa en java debes tener conocimiento de este lenguaje y su historia.
Seras capaz de hacer tu primer programa de java.
Explicacion de programa de progamacion orientada a objetos(en java)Diego Fernado Coronado
Se trata de un código hecho en poo en donde se explican solo los métodos que se encuentran allí.
Recordemos que los métodos son funciones de una clase. como por ejemplo Clase: alumno Objeto:nombre,apellido,edad.
Estudios han llegado a calcular una cifra de 6909 lenguas.
Muchas lenguas van desapareciendo de año a año.
En el mundo de hoy, donde la población mundial supera los seis mil millones de personas, la suma de 6909 idiomas es un número muy pequeño en relación a las de 10,000 o 12,000 lenguas que existían hace unos diez mil años.
El alfabeto inglés tiene 26 letras – las mismas que español excepto ñ
Aprender un idioma no es una tarea imposible, es solo cuestión de meterle ganas y toda la actitud.
El abecedario francés está compuesta por 26 letras y tiene características propias en su pronunciación, su estructura y escritura puede asemejarse al abecedario español, sin embargo en la realidad son muy diferentes.
El abecedario francés está compuesta por 26 letras y tiene características propias en su pronunciación, su estructura y escritura puede asemejarse al abecedario español, sin embargo en la realidad son muy diferentes.
El abecedario francés está compuesta por 26 letras y tiene características propias en su pronunciación, su estructura y escritura puede asemejarse al abecedario español, sin embargo en la realidad son muy diferentes.
El abecedario francés está compuesta por 26 letras y tiene características propias en su pronunciación, su estructura y escritura puede asemejarse al abecedario español, sin embargo en la realidad son muy diferentes.
El abecedario francés está compuesta por 26 letras y tiene características propias en su pronunciación, su estructura y escritura puede asemejarse al abecedario español, sin embargo en la realidad son muy diferentes.
El alfabeto del italiano es exactamente igual al de otras muchas lenguas, y casi igual al del español (exceptuando por las letras ñ y j, y por 4 letras "extranjeras", la w, k, x y la y), pero el sonido de algunas de ellas es diferente. Hay letras dobles con sonidos diferente a las simples. Al igual que el español, el italiano es una lengua con una ortografía bastante fonética, es decir se suele escribir como se pronuncia, salvo ciertas excepciones.
Hoy en día se esta considerando el portugués como tercera lengua oficial por su parecido al español
Pero no todo es parecido, ya que en el idioma portugués siempre muchas pronunciaciones diferentes
La mycoplasmosis aviar es una enfermedad contagiosa de las aves causada por bacterias del género Mycoplasma. Esencialmente, afecta a aves como pollos, pavos y otras aves de corral, causando importantes pérdidas económicas en la industria avícola debido a la disminución en la producción de huevos y carne, así como a la mortalidad.
1891 - 14 de Julio - Rohrmann recibió una patente alemana (n° 64.209) para s...Champs Elysee Roldan
El concepto del cohete como plataforma de instrumentación científica de gran altitud tuvo sus precursores inmediatos en el trabajo de un francés y dos Alemanes a finales del siglo XIX.
Ludewig Rohrmann de Drauschwitz Alemania, concibió el cohete como un medio para tomar fotografías desde gran altura. Recibió una patente alemana para su aparato (n° 64.209) el 14 de julio de 1891.
En vista de la complejidad de su aparato fotográfico, es poco probable que su dispositivo haya llegado a desarrollarse con éxito. La cámara debía haber sido accionada por un mecanismo de reloj que accionaría el obturador y también posicionaría y retiraría los porta películas. También debía haber sido suspendido de un paracaídas en una articulación universal. Tanto el paracaídas como la cámara debían ser recuperados mediante un cable atado a ellos y desenganchado de un cabrestante durante el vuelo del cohete. Es difícil imaginar cómo un mecanismo así habría resistido las fuerzas del lanzamiento y la apertura del paracaídas.
5. El comportamiento del
limite de una función es
cuando tiende a acercarse a
un valor dado “x” (pero
nunca es x)
Antes de ver este concepto de limite debes
recordar la definición de función y como esta
compuesta…..
Una función es como una máquina:
tiene una entrada y una salida.
Y lo que sale está relacionado de alguna
manera con lo que entra.
Y una
Funcion se
Compone de la
Siguientte
Manera:
𝐹 𝑥 = 𝑦 en donde x es la
variable independiente y a la
que le asignas los valores
Una vez explicado el concepto de
función. Ya se puede explicar el
limite para un valor dado en x.
Asi que vamos…..!!!!
6. lim
𝑥→𝐶
𝐹 𝑥 = 𝐿
Quiere decir
que “x” tiende
a c
Encuentras TRES (3)
elementos importantes en
un limite:
El f(x) la cual es la
función y a su vez es la
ecuación
El limite en donde x te
dice hasta donde quiere
llegar a ser
Y el resultado que es
hacia donde tiene que
llegar.
Entonces:
lim
𝑥→𝐶
𝐹 𝑥 = 𝐿
F(x)
L
C
A c le corresponde un
valor en el eje verical que
es L
Es saber hacia donde
van los valores de una
función, en cuanto “x”
se va acercando a C
• Cuando te acercas a C; hay una diferencia:
C
Dicha diferencia se puede anotar como:
𝒙 − 𝑪
Se pone en
valor
absoluto
porque no
nos
interesa el
signo
Supongamos que:
0 C=54
Diferencia
Reempllazamos “x”
𝒙 − 𝟓
𝟒 − 𝟓
−𝟏 = 𝟏
Diferencia
7. Mientras mas también te acerques a C; También va a ver una diferencia en
la vertical:
Esa, va a ser la diferencia
entre la función y hacia donde
tiende el limite.
𝐹 𝑥 − 𝐿
Diferencia
eje
m
pl
o
lim
𝑥→2
3𝑥 + 5 =11
Hay que analizarlo por definición:
X F(X)
1 8
1.5 9.5
1.9 10.7
1.99 10.97
1.999 10.997
Quiere ser o
TIENDE a
11
Posibles resultados de un
llimite
Caso 1
lim
𝑥⇒𝟓
(𝒙 𝟐 + 3)
Es posible analizarla con la tabla pero
hay un método mas sencillo
Lo mas sencillo es sustituir 5 por
𝑥2
lim
𝑥⇒𝟓
(𝒙 𝟐
+ 3) = 28
Cualquier numero perteneciente a los
números reales
Se puede decir que:
1er caso: si evalúas un limite y el resultado es
un numero y 0(cero) darás por terminado el
limite.
8. Caso 2
lim
𝑥⇒1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
Si reemplazo 1 en x
queda
0
0
lim
𝑥⇒1
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
=
0
0
Se puede decir que: 2do caso: cuando un resultado de
0
0
Es posible
analizarlo con
conceptos
algebraicos
Caso 3
lim
𝑥⇒∞
𝑥4
+ 3𝑥
𝑥2 − 5𝑥4 =
∞
∞
Es posible
analizarlo con
conceptos
algebraicos
Se puede decir que 3er caso: cundo el resultado de
∞
∞
lim
𝑥⇒∞
𝑥4 + 3𝑥
𝑥2 − 5𝑥4
9. LIMITE DE UNA FUNCION CONSTANTE
Evaluar el siguiente limite
lim
𝑥⇒3
8 = 8
Tiene como función a UNA constante
Siempre el
resultado va a
ser la misma
constante
Sin importar a
que valor tienda
x
pero
Por que
10. Si vemos el anterior limite como
una ecuación seria….
1) lim
𝑥⇒3
𝑓(𝑥) = 8
Se explica mejor gráficamente
X=3
8
No importa donde te
acerques; siempre va a
dar 8
2) lim
𝑥⇒1
2
5
11
=
5
11
El resultado
va a ser la
misma
constante
Siempre va a dar
5
11
3) lim
𝑥⇒0
2 = 2
Formula:
lim
𝑥⇒0
𝑐 = 𝑐
4)
El limite de la función f(x)=4
cuando x tiende a -2 es igual a:
lim
𝑥⇒−2
4 = 4
El limite de una
función constante
es 0
Resuelve los siguientes limites:
lim
𝑥⇒0
𝑥4 − 16
𝑥3 − 8
lim
𝑥⇒3
𝑥2 + 10
𝑥 + 10
lim
𝑥⇒1
𝑥3 + 1
𝑥2 + 1
lim
𝑥⇒4
𝑥 + 8
𝑥 − 2
lim
𝑥⇒7
𝑥2 − 5
𝑥3 − 6
11. PROPIEDADES DE LOS LIMITES
lim
𝑥⇒0
𝐶 = 𝐶
LIMITES DE UN CONSTANTE :
Este limite tiene como función a
una sola constante. Siempre el
resultado va a ser la misma
conttante.
LIUMITE DE UN PRODUCTO:
Al igual que el caso anterior, estas
funciones siempre se resolverán
por separado. en este caso se
multiplican.
LIMITE DE UNA SUMA:
Si se suman o se restan las
funcione de un limiite, siempre se
sumaran o se restaran cada una de
las funciones
LIMITE DE UN COCIENTE:
Cuando las funciones de un limite
son rracioonales cada función se
divde con otra.
lim
𝑥⇒𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim
𝑥⇒𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥⇒𝑎
𝑔(𝑥)
lim
𝑥⇒𝑎
𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 = lim
𝑥⇒𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥⇒𝑎
𝑔(𝑥)
lim
𝑥⇒𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔 𝑥
] =
lim
𝑥⇒𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥⇒𝑎
𝑔(𝑥)
𝑠𝑖 lim
𝑥⇒𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0
12. LIMITES DE UNA FUNCION:
LIMITE DE UNA POTENCIA
lim
𝑥⇒𝑎
𝑔[𝑓 𝑥 ] = 𝑔lim
𝑥⇒𝑎
𝑓 𝑥
g puede ser rauz,sin, cos, tg, csc, ctg
16. LIMITES INDETERMINADOS
Aquí, ya habias visto el comportamiento de un limite indeterminado () pero no
había tocado el tema a fondo…..
1
Primero resuelves el limite
como ya lo sabes hacer…!
lim
𝑥⇒2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
lim
𝑥⇒2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
22
+ 3 ∙ 2 − 10
2 − 2
4 + 6 − 10
0
0
0
Indetermi
nado
No olvides
que:
0
𝑎
= 0
𝑎
0
=?
a≠ 0
¡pero tiene que haber otra
manera para que no de como
resultado una
indeterminación!
Y si lo resolvemos
dibujano la tabla?
17. lim
𝑥⇒2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
x F(x)
1 6
1.5 6.5
1.9 6.9
1.99 6.99
Recuerda
lo que
vimos al
principio
de limites
cuando x
se va
acercando
a otro
numero.
1 + 3 1 − 10
−1
=
−6
−1
= 6
2.25 + 3 1.5 − 10
−0.5
=
−3.25
−0.5
= 6.5
3.61 + 3 1.9 − 10
−0.1
= 6.9
3.960 + 3 1.99 − 10
−0.1
= 6.99
Vemos que el resultado quiere
llegar a 7.
Entonces ese será nuestro
resultado..¡
!funciona si¡, pero tiene que
haber otro método que tome
menos tiempo.
Ya lo probamos solucionándolo de forma directa y
dio indeterminado; ya lo solucionamos con la tabla
y funcono pero el problema es que lleva tiempo en
analizar las variables.
Y si lo solucionamos utilizando la
factorización….!
Claro¡¡¡¡ el caso de
factorización: 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 Recuerda los casos de factorización
19. Resolver el siguiente limite:
4
lim
𝑥⇒2
𝑥2
− 5𝑥 + 6
𝑥 − 2
= −1
Numerador: (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)
lim
𝑥⇒2
(𝑥 − 3)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)
𝑥 − 3
2 − 3
−1
Limites indeterminados con raíces
Continuando con los limites
indeterminados, a continuación vas a
aprender como resolver limites
indeterminados con raíces…..
lim
𝑥⇒2
𝑥 − 2
𝑥 − 1 − 1
Ok¡¡ primero lo debo
resolver de la forma
directa.
lim
𝑥⇒2
𝑥 − 2
𝑥 − 1 − 1
= lim
𝑥⇒2
2 − 2
2 − 1 − 1
=
0
1 − 1
=
0
0
𝑥 − 2
𝑥 − 1 − 1
⋅
𝑥 − 1 + 1
𝑥 − 1 + 1
=
(𝑥 − 2)( 𝑥 − 1 + 1)
( 𝑥 − 1)2−(1)2
(𝑥 − 2)( 𝑥 − 1)
(𝑥 − 2)
Lo que se hace
es multiplicar
por su
conjugado
lim
𝑥⇒2
𝑥 + 1 − 1
= 2 + 1 = 3
= 3 − 1 = 2
El limite
es 2
1
Recuerda estas bases algebraicas:
• Si multiplicas una constante por 1 te saldrá la misma contante5*1=5 en donde 5 es diferente de 0 .
• Cuando se divide lo mismo entre lo mismo, es igual a 1
2
2
= 1 siendo el denominador distinto de 0.
• Debes recordar la multiplicación de fracciones
3
5
⋅
7
2
los cuales se multiplican numerador por
numerador y denominador por denominador.
• Una multiplicación de binomios conjugados da como resultado una diferencia de cuadrados; es decir
si tu tienes un binomio y lo multiplicas por su conjugado serán los mismos términos con signo
contrario y al momento de multiplicarlos el resultado será una diferencia de cuadrados 𝑎 + 𝑏 (𝑎 −
20. lim
𝑥⇒1
𝑥2
− 8𝑥 − 9
𝑥 − 3
=
2
Numerador 𝑥2 − 8𝑥 − 9 = (𝑥 − 9)(𝑥 + 1)
𝑥2 − 8𝑥 − 9
𝑥 − 3
𝑥 + 3
𝑥 + 3
(𝑥2 − 8𝑥 − 9)
( 𝑥)2−(3)2
𝑥 9
Conjugado o
reciproco
Ya analice los términos del
denominador, pero aun no
eh acabado y dado que ya
factorice el (𝑥2
− 8𝑥 − 9)
del numerador, nada mas
me queda simplifica.
lim
𝑥⇒9
(𝑥 − 9)(𝑥 + 1)
(𝑥 − 9)
lim
𝑥⇒9
(𝑥 + 1)( 𝑥 + 3)
= 9 + 1 9 + 3
= 10 6 = 60
CASOS DE LIMITES INFINITOS
Recuerda que el infinito es un numero
muuuuuuuuuuuuuuyyyyyyyyyy grande¡¡¡¡ el cual su
representación es (∞)
En los limites también te puedes
encontrar con estos casos los cuales te
explicare paso a paso…..
Recuerda que siempre es recomendable hacer un
repaso a las operaciones algebraicas.
21. Caso 1
lim
𝑥⇒∞
1
𝑥
= 0
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑓 10 =
1
10
= 0.1
𝑓 100 =
1
100
= 0.001
𝑓 1000 =
1
1000
= 0.0001
𝑓 ∞ =
1
∞
= 0
En este caso se sustituyo x por un numero muy
grande y el resultado dio cada vez un numero
muy pequeño acercandoce a 0
Caso 2
lim
𝑥⇒∞
𝑐
𝑥
= 0
𝑐
𝑥
=
𝑐
1
∙
1
𝑥
=
𝑐
𝑥
En este caso se sustituye x por ∞, y como lo notas en la, figura no
importa cuantas veces lo multipliques el resultado siempre sera 0
Caso 3
lim
𝑥⇒∞
1
𝑥 𝑛 = 0
1
𝑥 𝑛
=
1
𝑥
∙
1
𝑥
∙
1
𝑥
… … .
En este caso se sustituye 𝑥 𝑛
por ∞, y como lo notas en la, figura no
importa cuantas veces lo multipliques el resultado siempre sera 0
22. Caso 4
lim
𝑥⇒∞
𝑐
𝑥 𝑛
= 0
𝑐
𝑥 𝑛
=
𝑐
𝑥
∙
𝑐
𝑥
∙
𝑐
𝑥
… … .
En este caso se sustituye 𝑥 𝑛
por ∞, y como lo notas en la, figura no
importa cuantas veces lo multipliques el resultado siempre sera 0
23. LIMMITES INFINITOS (OPOERACIONES BASICAS ).
Para poder solucionar limites infinito primero debes saber como se hacen las
operaciones básicas de los infinitos.
Infinito mas un numero
∞ ± 𝑐 = ∞
Infinito mas un infinito
∞ + ∞ = ∞
Infinito menos un infinito
∞ − ∞ = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
SUMAS CON INFINITO PRODUCTOS CON INFINITO
Infinito por una constante
∞ ∙ ±𝑐 = ±∞ si c ≠ 0
Infinito por infinito
∞ ∙ ∞ = ∞
Infinito por cero
𝑜 ∙ ∞ = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
COCIENTES CON INFINITO Y CERO
0 entre un numero
0
𝑐
= 0
Un numero entre 0
𝑐
0
= ∞
Un numero entre infinito
𝑐
∞
= 0
Infinito entre un
numero
∞
𝑐
= ∞
Cero entre infinito
Infinito entre cero
0
∞
= 0
∞
0
= ∞
Cero entre cero
0
0
= 𝑖𝑛𝑑.
Infinito entre infinito
∞
∞
= 𝑖𝑛𝑑
24. POTENCIAS CON INFINITO Y CERO.
Un número elevado a cero
𝑐0
= 1
Cero elevado a cero
00
= 𝑖𝑛𝑑.
Infinito elevado a cero
∞0
= 𝑖𝑛𝑑.
Cero elevado a un número
0 𝑐
=↣ 0 si c > 0 si c < 0
∞
Un numero elevado a infinito
0∞ =↣ 0 si c > 0 si 0 < c < 1
∞
Infinito elevado a infinito
∞∞
= ∞
Uno elevado a infinito
1∞ = 𝑖𝑛𝑑.
LIMITES INFINITOS EJERCICIOS
lim
𝑥⇒∞
2𝑥 + 5
8 − 𝑥
= −2
1
Como siempre
primero lo debes
resolver de la
manera directa
𝑓 ∞ =
2 ∞ + 5
8 − ∞
=
∞
−∞
Listo¡ ya lo resolvi de la forma
directa y como dio infinito entre
menos infinito, ahora lo vamos a
solucionar algebraicamente
lim
𝑥⇒∞
2𝑥 + 5
8 − 𝑥
= −2
2𝑥 + 5
8 − 𝑥
⋅
1
𝑥
1
𝑥
=
2𝑥 1
𝑥
+ 5 1
𝑥
8 1
𝑥
− 𝑥 1
𝑥
=
2𝑥
𝑥
+
5
𝑥
8
𝑥
−
𝑥
𝑥
= lim
𝑥⇒∞
2 + 5
𝑥
8
𝑥
−1
=
2
−1
= −2
Conjugado
Da 0
Da 0
27. Temario capitulo 2
19. Concepto de la derivada
20. Concepto geométrico de la derivada
21. Uso de la pendiente en la derivada
22. Derivar con la regla de los 4 pasos│ej
1, 2, 3 y 4
23. Derivar con la regla de los 4 pasos│ej
5
24. Derivar con la regla de los 4 pasos│ej
6
25. Derivar con la regla de los 4 pasos│ej
7
29. Temario capitulo 3
26. Derivar funciones│constante
27. Derivar funciones│variable X
28. Derivar funciones│producto CX
29. Derivar funciones│suma y resta
30. Derivar una variable con potencia│ej 1
31. Derivar una variable con potencia│ej 2
32. Derivar con raíz cuadrada│ejercicio 1
33. Derivar con raíz cuadrada│ejercicio 2
34. Derivar funciones con potencia | ej 1
35. Derivar funciones con potencia | ej 2
36. Derivar funciones con potencia | ej 3
37. Derivar funciones con potencia | ej 4
38. Derivar funciones con potencia | ej 5
39. Derivar producto de funciones
40. Derivar cociente de funciones
41. Derivar funciones│ejercicios 1, 2, 3 y 4
42. Derivar funciones│ejercicios 5 y 6
45. Temario capitulo 11
74. Aplicación de la derivada│razón de
cambio│ej 2
75. Aplicación de la derivada│razón de
cambio│ej 3
76. Aplicación de la derivada│razón de
cambio│ej 4
71. Aplicación de la derivada│velocidad y
aceleración
72. Aplicación de la derivada│recta
tangente
73. Aplicación de la derivada│razón de
cambio│ej 1
47. Temario capitulo 12
77. Gráficas y Puntos críticos de una
función
78. Máximo y mínimo de una
función│primer derivada
79. Máximo y mínimo de una función│1er
derivada│ej 1a
80. Máximo y mínimo de una función│1er
derivada│ej 1b
81. Máximo y mínimo de una
función│segunda derivada
49. Temario capitulo 13
82. Intro a los problemas de optimización
83. Optimización│área de un cilindro
84. Optimización│área de un rectángulo
85. Optimización│volumen de una caja
sin tapa│parte 1
86. Optimización│volumen de una caja
sin tapa│parte 2