El documento trata sobre el concepto matemático de límites, explicando su desarrollo histórico y ofreciendo una definición formal. Se presentan ejemplos gráficos y ejercicios prácticos para calcular límites y se discuten teoremas básicos relacionados con las operaciones de límites. También se menciona la importancia de la transformación de funciones indeterminadas para calcular límites de manera efectiva.

1. Límites de funciones
Complemento de Matemáticas

2. Introducción
El método matemático de límites se desarrolló como
resultado de una labor persistente de más de dos mil
años(desde los antiguos griegos hasta el siglo XIX),
sobre problemas que no podían resolverse mediante
métodos aritméticos, ni algebraicos ni de geometría.
Informalmente hablando se dice que el límite es el
valor al que tiende una función cuando la variable
independiente tiende a un número determinado o al
infinito.
Antes de establecer la definición formal del límite de
una función vamos a observar qué sucede con una
función particular cuando la variable independiente
tiende o se aproxima a un valor determinado.

3. Noción intuitiva
Considere la función definida por
Observe que 𝑓 no está definida en 𝑥 = 1, ya que en este punto
𝑓(𝑥) tiene la forma
0
0
, que carece de significado. Sin embargo,
aún podemos preguntarnos qué le está sucediendo a 𝑓 (𝑥)
cuando 𝑥 se aproxima a 1.
Para obtener la respuesta podemos hacer tres cosas:
 calcular algunos valores de 𝑓 (𝑥) para 𝑥 cercana a 1;
 mostrar estos valores en un diagrama esquemático, y
 bosquejar la gráfica de y = f (x).
Todo esto se ha hecho y los resultados se muestran en la figura
𝑓 𝑥 =
𝑥3
− 1
𝑥 − 1

5. Definición
Sea 𝑓 definida en un intervalo alrededor de 𝑥 = 𝑥0,
excepto posiblemente en 𝑥 = 𝑥0, si 𝑓 se aproxima
a tomar el valor 𝐿 cada vez que su variable
independiente 𝑥 se aproxima a tomar el valor 𝑥0, se
dice que 𝑓 tiene límite L conforme 𝑥 se aproxima a
𝑥0. Simbólicamente se denota como:
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿

6. Ejemplo
A continuación se presentan las gráficas de 3
funciones
En estos tres casos notamos que:
𝑎) lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 = 2 𝑏) lim
𝑥→1
𝑔 𝑥 = 2 𝑐) lim
𝑥→1
ℎ 𝑥 = 2

7. Ejemplo: Cálculo de límites de manera
gráfica
La siguiente figura representa la gráfica de una
función 𝑓:
Calcule:
𝑎) lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) 𝑏) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) 𝑐) lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) 𝑑) lim
𝑥→4
𝑓(𝑥)

8. Ejemplo: Cálculo de límites de manera
gráfica
A partir de la gráfica de la función 𝑓,
𝑎) lim
𝑥→−3+
𝑓(𝑥) 𝑏) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥)
Evalúe los siguientes
límites:
𝑐) lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) 𝑑) lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥)
𝑒) lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 𝑓) lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥)

9. Ejemplo: Con ayuda de GeoGebra grafique
la función y determine el límite indicado

10. Ejemplo
Esboce la gráfica de alguna función 𝑓 que cumpla
con todas las condiciones siguientes:
➢ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = −4, 4 − {−2}
➢ 𝑓 −4 = 0, 𝑓 −1 = 2, 𝑓 0 = 3, 𝑓 4 = 3
➢
lim
𝑥→−4+
𝑓 𝑥 = +∞ , lim
𝑥→−1−
𝑓 𝑥 = −∞ , lim
𝑥→−1+
𝑓 𝑥 = 2 ,
lim
𝑥→2−
𝑓 𝑥 = +∞ , lim
𝑥→2+
𝑓 𝑥 = +∞ , lim
𝑥→4−
𝑓 𝑥 = 0

11. Límites laterales

12. Gráficamente:

13. Ejercicio. A partir de la gráfica de la función f
evaluar los siguientes límites

14. Definición de límite en términos de 𝜺 − 𝜹
La expresión “El límite de 𝑓(𝑥) conforme 𝑥 se aproxima
a 𝑥0 es 𝐿” se escribe como
lo cual es equivalente:
Dado cualquier 𝜀 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que:
Si 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 entonces 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿

15. Teorema
Las reglas siguientes son válidas si lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = M (L y M
son números reales)
1. Regla de la suma: lim
𝑥→𝑥0
[𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ] = 𝐿 + 𝑀
2. Regla de la resta: lim
𝑥→𝑥0
[𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ] = 𝐿 − 𝑀
3. Regla del producto: lim
𝑥→𝑥0
[𝑓 𝑥 · 𝑔 𝑥 ] = 𝐿 · 𝑀
4. Regla del producto: lim
𝑥→𝑥0
[𝑘𝑓 𝑥 ] = 𝑘𝐿
por una constante
5. Regla del cociente: lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝑀
, 𝑀 ≠ 0
6. Regla de la potencia: lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 𝑚/𝑛 = 𝐿𝑚/𝑛, 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ+, con la
restricción de que si 𝑛 es par, 𝐿 > 0.

16. Ejemplos

17. Observación.
Cuando al sustituir 𝑥0 por 𝑥 en la función
obtenemos la forma indeterminada
0
0
es posible
calcular el límite pero, previamente, hay que
transformar la expresión de la función de tal modo
que se pueda eliminar los factores que hacen que la
función sea indeterminada. Para lograr este objetivo
disponemos de procedimientos algebraicos eficaces
como la factorización, racionalización, etc.

18. Estrategia para el cálculo de límites
Teorema(Funciones que coinciden en todo, salvo en
el punto)
Sea 𝑥0 un número real y 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 ≠
𝑥0 en un intervalo abierto que contiene a 𝑥0. Si existe el
límite de 𝑔(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima a 𝑥0, entonces
también existe el límite de 𝑓(𝑥) y
lim
𝒙→𝒙𝟎
𝒇 𝒙 = lim
𝑥→𝑥0
𝒈(𝒙)

19. EJEMPLO

21. Ejercicios

22. Ejercicios Adicionales
Calcule los siguientes límites:
a)
b)
c)
d)
lim
𝑥→0
𝑥 + 1 − 1
3
𝑥 + 1 − 1
lim
𝑥→0
1
1 − 𝑥
−
3
1 − 𝑥3
lim
𝑥→0
3
8 − 𝑥2 − 4 +𝑥2
𝑥
lim
𝑥→0
𝑚
𝑥 − 1
𝑛
𝑥 − 1

23. Más ejercicios adicionales