DOCUMENTO

1. LIMITE DE UNA FUNCION
DEMETRIO CCESA RAYME

2. Definición de Limite
En matemática, el Límite es un
concepto que describe la tendencia
de una sucesión o una función, a
medida que los parámetros de esa
sucesión o función se acercan a
determinado valor. En cálculo
(especialmente en análisis real y
matemático) este concepto se
utiliza para definir los conceptos
fundamentales de convergencia,
continuidad, derivación,
integración, entre otros.
2

3. Definición de Límite
3
Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0.
Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿
si, para todo 𝜀 > 0, existe un número δ > 0 tal que para toda x
0< |x–x0|< δ  |f(x)–L| < 𝜀
• Por esta razón 0< |x–2|< δ en lugar de |x–2|< δ . Al considerar lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) ,no olvide que
ʄ en 2 carece de importancia.

4. Proceso de Calculo de Limites
4
x0
L
L +1/10
L–1/10
y = f(x)
O
hacer que | f (x) – L| < e = 1/10
x0
L
L +1/10
L–1/10
y = f(x)
O
Respuesta: | x – x0 | < d1/10 (un número)
x0+d1/10x0-d1/10
x0
L
L +1/100
L–1/100
y = f(x)
O
hacer que | f (x) – L| < e = 1/100
x0
L
L +1/100
L–1/100
y = f(x)
O
Respuesta: | x – x0 | < d1/100
x0+d1/100X0-d1/100

5. 5

6. 6
Ejemplo 01

7. 7
Ejemplo 02

8. 8

9. 9

10. 10
Ejemplo 4 : Demuestre que lim
𝑥→3
𝑥2
= 9

11. 11

12. 12

13. 13
Tarea 01:

14. 14
𝒇 𝒙 tiende a 𝐋 a medida que 𝐱 tiende a un numero 𝒂 puede
definirse informalmente de la siguiente manera.
𝑥 → 𝑎−
indica que x al numero 𝑎 cercano por la izquierda.
𝑥 → 𝑎+
indica que x al numero 𝑎 cercano por la derecha.
𝑥 → 𝑎 indica que x al numero 𝑎 cercano por ambos lados.
Ejemplos
𝑥 → 4−
indica que x es 3.99
𝑥 → 4+
indica que x es 4.01
𝑥 → 4 indica que x es 3.99 y 4.01
LIMITE : UN ENFOQUE CASI MATEMATICO

15. si podemos acercar arbitrariamente los valores de
f(x) a L para todas las x suficientemente cerca de a,
pero no igual a a.
Definición de Límite
Escribimos: Lxf
ax
=
→
)(lim
y decimos
“el límite de f(x) cuando x tiende hacia a, es igual a L”
x
f(x)
x
f(x)
a
L
Sea f una función definida en un intervalo abierto
alrededor de a (no necesariamente en a).
x
y

16. a
L
x
y
si podemos aproximar arbitrariamente los valores
de f(x) a L para todas las x suficientemente cerca
de a, pero menores que a.
Límite lateral izquierdo
Escribimos:
Lxf
ax
=−
→
)(lim
y decimos
“el límite de f(x) cuando x tiende hacia a desde la
izquierda, es igual a L”
Sea f definida en (c, a).
x
f(x)

17. 17
A continuación se muestra la gráfica de una función g.
Úsela para definir los valores, en caso de existir, de:
Ejemplo
)(lim
2
xg
x −
→
)(lim
2
xg
x +
→
)(lim
2
xg
x→
)(lim
3
xg
x −
→
)(lim
3
xg
x +
→
)(lim
3
xg
x→

18. Unicidad del límite
Si el límite de f(x) cuando x tiende hacia a existe,
entonces es único.
a
L
x
y
a x
y
Lxf
ax
=
→
)(lim si y solo si




=
=
−
+
→
→
Lxf
Lxf
ax
ax
)(lim
)(lim
Lxf
ax
=
→
)(lim )(lim xf
ax →
no existe

19. Reglas para calcular
límites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limx→c f(x) = L y limx→c g(x)
= M (L y M son números reales)
1. Regla de la suma: limx→c [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta: limx→c [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto: limx→c f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto: limx→c k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente: limx→c f(x) / g(x) = L / M, M  0
6. Regla de la potencia: limx→c [f(x)]m/n = Lm/n
19

20. Tipos de
Indeterminación
20

21. 21

22. LÍMITES





=
=
=
−→
→
→
+
Lf(x)
Lf(x)
f(x)
lim
lim
lim
ax
ax
ax
Si L es finito y ambos límites laterales coinciden,
se dice que el límite existe y vale L
22

23. Operaciones Conocidas
23
¿ puedes detectar algún error?

24. Límites de
Polinomios
24
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limx→c P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución
si el límite del denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces
limx→c P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

25. Indeterminación 0/0
25
Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se
puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.
h
h
h
22
lim
0
−+
→
xx
xx
x −
−+
→ 2
2
1
2
lim
Ejemplo: Resolver los siguientes limites con indeterminación 0/0
Regla: Para resolver este tipo de indeterminación 0/0, se debe Factorizar
tanto denominador como denominador y simplificar luego remplazar el
limites.

26. Evaluar
26

27. Si f es un polinomio o una función racional y a está en
el dominio de f, entonces:
( ) ( )afxf
ax
=
→
lim
27
Sustitución directa

28. ( ) ( )xgxf
axax →→
= limlim
28
Formas indeterminadas
2
2x 1
2
lim
x x
x x→
+ −
−
Evaluar
h 0
2 2
lim
h
h→
+ −
2-x
2
2
5x
x
lim
2
3
2x
+−
→
a
g
y
L
a
f
y
L
gf 

29. Encuentre, si es que
existe...
29
20
1
lim
xx→
− − − − − − − − − −          
−
−
−
−
−
−
−







=
→ 20
1
lim
xx

30. Definición
• Sea la función f
definida a ambos
lados de a ,
excepto talvez en
el mismo a.
Entonces:
30
• significa que los
valores de f(x)
pueden hacerse
arbitrariamente
grandes (tan
grandes como se
quiera) tomando x
suficientemente
cerca de a pero
distinto de a.
=
→
)(lim xf
ax

31. Encuentre, si es que
existe...
31






−
−
→ 22 )2(
1
lim
xx
−=





−
−
→ 22 )2(
1
lim
xx
−−−−−−−−−−         
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−











32. Definición
• La recta x = a , se llama asíntota vertical de la curva
y = f(x) si por lo menos una de las siguientes
afirmaciones es verdadera:
32
=== +−
→→→
)(lim;)(lim;)(lim xfxfxf
axaxax
−=−=−= +−
→→→
)(lim;)(lim;)(lim xfxfxf
axaxax

33. 1. Hallar:
33
3
2
lim
3
2
lim
33 −− −+
→→ x
y
x xx
−−−−−−−−−−          
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−











34. EJEMPLO 1:
34

35. EJEMPLO 2:
35

36. EJEMPLO 3:
36

37. EJEMPLO 4:
37

38. EJEMPLO 5:
38

39. EJEMPLO 6:
39

40. ASÍNTOTAS
40

41. 41

42. La recta Y = b es una asíntota HORIZONTAL de la función Y =
f(x) si
42

43. 43

44. 44

45. La recta X = a es una asíntota VERTICAL de la función Y = f(x)
si
45

46. 46

47. 47

48. LIMITES
TRIGONOMETRICOS
48
lim
𝑥→0
sen 𝑥 = 0
lim
𝑥→0
sen 𝑥
𝑥
= 1
lim
𝑥→0
1−cos 𝑥
𝑥
= 0
lim
𝑥→0
cos 𝑥 = 1
lim
𝑥→0
arc sen 𝑥 = 0
lim
𝑥→0
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥
= 1
lim
𝑥→0
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥
= 1
lim
𝑥→0
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= 1
Donde se asume :
x= f(X)

49. 49

50. 50

51. 51

52. 52