Este documento presenta varios ejercicios y problemas de optimización lineal. Incluye la representación matricial de problemas de optimización, la conversión de problemas a la forma estándar, el análisis de soluciones básicas y factibles, y la aplicación del método simplex para resolver problemas. También contiene ejemplos de cómo formular modelos de optimización lineal para diferentes situaciones del mundo real.

1. Optimizacion
Lista de ejercicios para la PC2
Representación matricial de un problema de optimización lineal: forma estándar
1. Considere el siguiente problema de optimización lineal:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2
2 6
2 4
, , , 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
    
   
   

maximizar z
sujetoa
a) Introduzca variables de holgura y grafique el espacio de requerimientos.
b) Interprete la factibilidad en el espacio de requerimientos.
2. Convierta el siguiente problema de optimización lineal a la forma estándar
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 5 4
7 2 3 4
2 4 8 3
5 3 2 9
1, 7, 0
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
  
  
    
  
  
maximizar z
sujetoa
3. Considere el problema de optimización lineal
1 2 3
1 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 3 7
2 4 6 7
3 5 3 5
4 9 4 4
2, 0 4, libre
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
   
  
  
    
   
maximizar z
sujetoa
Conviértalo a la forma estándar, pero no haga la sustitución 3 3 3' ´'x x x  . Sino que haga
lo que a continuación se indica: Pruebe que este problema puede ser reemplazado por un
problema equivalente con una variable y una restricción menos, eliminando 3x usando la
restricción de igualdad (esta es una técnica que se utiliza para tratar con variables libres).
4. Considere el poliedro en forma estándar  : ,n
x R Ax b x   0 con
,m n
A R m n
  y  rg A m
Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
a) El conjunto de soluciones óptimas es acotado
b) En cada solución óptima no más de m variables pueden ser positivas.
c) Si el problema tiene más de una solución, entonces tiene infinitas soluciones.
5. Considere el poliedro en forma estándar  : ,n
x R Ax b x   0
a) Pruebe que si dos bases distintas conducen a la misma solución básica factible, entonces
la solución básica factible es degenerada

2. b) ¿Vale el reciproco? Es decir, si una solución básica factible es degenerada, entonces
esta corresponden necesariamente a dos bases distintas.
Soluciones básicas y básicas factibles
1. Considere el siguiente sistemas de desigualdades lineales
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
2 2 3
, , 0
x x x
x x x
x x x
  
  

El punto  1 2;1 2;1 2
T
es factible. Compruebe si es solución básica.
2. Dado el problema de optimización lineal
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4
3
1 1
6
, , 0.
x x x
x mx x
mx x m x
x x x
x x x
  
  
   
  

z
:
maximizar
sujeto a
¿Para qué valores de m R puede constituir B una matriz básica para este problema?
1 1
1 1 ,
1 1 1
m
B m m
 
   
  
¿Cuál es la solución básica factible asociada a 0m 
3. Para
2 4 4 2 4
0 2 0 1 1
A
 
   
y
2
1
b
 
  
 
.
Determine cuál de los siguientes vectores son soluciones básicas de Ax b
a)  5,0,1,0, 1
T
 b)  3,0,0,0, 1
T
 c)  0,1,0, 1,0
T
 d)  0,0,0,1,0
T
Método Simplex
1. Pruebe que el problema de optimización lineal
T
z c x
Ax b
x



minimizar
0
sujeto a
Puede escribirse en la forma
0
1 1
ˆT
N N
N
N
z c x
B Nx B b
x
 



minimizar
sujeto a
0
Aquí ˆT
Nc es el vector de costos reducidos

3. 2. Resuelva el siguiente problema aplicando el método simplex, empezando con la solución
básica factible    1 2; 4;0
T
x x  .
1 2
1 2
1 2
1 2
2
3 4 12
2 12
, 0
z x x
x x
x x
x x
  
 
 

maximizar
sujeto a
(Sugerencia: Identifique la base inicial y encuentre su inversa).
3. Considere el siguiente problema de optimización lineal:
1 2
1 2
1 2
1
2
3 2
1
5 3 15
0
3
2
z x x
x x
x x
x
x
  
  
 


maximizar
sujeto a
a. Resuelva el problema gráficamente.
b. Formule el problema en forma de tabla para el método simplex y obtenga una solución
básica factible inicial.
c. Efectúe un pivoteo. Después de un pivoteo,
i) Indique los vectores básicos
ii) Indique los valores de todas las variables
iii) Diga si la solución es óptima
4. Escriba la tabla simplex de un problema de optimización lineal relativo a la iteración en
que:
5
1
1
4
3 1 2 2 2 1 0
0
, 2 1 5 , 1 , , 4 , 1 3
7
1 2 7 4 1 2 2
B B N
x
x x B c c b N
x

         
                        
                  
5. La siguiente tabla fue obtenida en la solución de un problema de optimización lineal con
criterio de minimización.
1x 2x 3x 4x 5x 6x LD
0 a 0 b c 3 d
?
0 -2 1 e 0 2 f
1 g 0 -2 0 1 1
0 0 0 h 1 4 3
Encuentre condiciones sobre los parámetros , ,...,a b h para que se cumpla lo siguiente:
a) La base actual es óptima.
b) El problema tiene solución óptima única (con la base dada en la tabla).
c) La base actual es óptima pero existen óptimos alternativos.
d) El problema es no acotado.

4. Formulación de modelos de optimizacion lineal
1. Un fabricante de acero produce cuatro tamaños de vigas: pequeña, mediana, larga y extra
larga. Estas vigas se pueden producir en cualquiera de tres tipos de máquinas: A, B y C.
A continuación se indican las longitudes (en pies) de las vigas que pueden producir las
máquinas por hora.
MÁQUINA
VIGA A B C
Pequeña
Mediana
Larga
Extra Larga
300
250
200
100
600
400
350
200
800
700
700
600
Suponga que cada máquina se puede usar hasta 50 horas por semana, y que los costos de
operación por hora de estas máquinas son $30.00, $50.00 y $80.00, respectivamente.
Además, suponga que semanalmente se requieren 10 000, 7 000, 6 000 y 6 000 pies de
los distintos tamaños de las vigas I. Formule el problema como un problema de
optimización lineal
2. Un fabricante de muebles tiene tres plantas que requieren semanalmente 500,
700 y 600 toneladas de madera. El fabricante puede comprar la madera a 3
compañías madereras. Las dos primeras compañías madereras tienen
virtualmente una oferta ilimitada, mientras que, por otros compromisos, la
tercera compañía no puede surtir más de 500 toneladas por semana. La primera
compañía maderera utiliza el ferrocarril como medio de transporte y no hay
límite al peso que puede enviar a las fábricas de muebles. Por otra parte, las
otras dos compañías madereras usan camiones, lo cual limita a 200 toneladas el
peso máximo que puede enviar a cualquiera de las fábricas de muebles. En la
tabla siguiente se proporciona el costo de transporte de las compañías
madereras a las fábricas de muebles ($ por tonelada).
MAQUINA
COMPAÑÍA
MADERERA
1 2 3
1 2 3 5
2 2.5 4 4.8
3 3 3.6 3.2
Formule este problema como un programa lineal y resuélvalo usando LINDO

5. 3. Una compañía dispone de $30 millones para distribuirlos el próximo año entre sus tres
sucursales. Debido a compromisos concernientes a la estabilidad del nivel de empleados
y por otras razones, la compañía ha establecido un nivel mínimo de fondos para cada
sucursal. Estos fondos mínimos son de $3, $5 y $8 millones, respectivamente. Debido a
la naturaleza de su operación, la sucursal 2 no puede utilizar más de $17 millones sin una
expansión grande de capital nuevo. La compañía no está dispuesta a efectuar tal
expansión en este momento. Cada sucursal tiene la oportunidad de efectuar distintos
proyectos con los fondos que recibe. Para cada proyecto se ha establecido una tasa de
ganancia (como un porcentaje de la inversión). Por otra parte, algunos de los proyectos
permiten sólo una inversión limitada. A continuación se proporcionan los datos de cada
proyecto.
SUCURSAL PROYECTO TASA DE GANANCIA
LÍMITE SUPERIOR
DE INVERSIÓN
1
1 8% $6 millones
2 6% $5 millones
3 7% $9 millones
2
4 5% $7 millones
5 8% $10 millones
6 9% $4 millones
3
7 10% $6 millones
8 6% $3 millones
Formule este problema como un programa lineal y resuélvalo usando LINDO