Método lugar raíces control analógico II

UNIDAD I
Método del lugar de las raíces
Control Analógico II
M.I. Isidro Ignacio Lázaro Castillo

Antecedentes históricos
 En 1948 Walter R. Evans introdujo este
método que es gráfico y elegante para la
solución de ecuaciones algebraicas.
(s)  a sn
a sn1
 a s  K  0
1 1

Definición
Y(s)+R(s) E(s)
G(s)
El método del lugar geométrico de las raíces permite
representar gráficamente la posición de los polos de un sistema
de lazo cerrado cuando se varía un parámetro, normalmente es
la ganancia K.
La dinámica de un sistema de control retroalimentado queda
definida por medio de su función de transferencia
Y (s)

KG(s)
R(s) 1 KG(s)
-
K
Q(s)
G(s) 
P(s)

 Siendo su ecuación característica
1 KG(s)  0
O bien
KG(s)  1
 por lo que puede reescribirse en forma polar
de la siguiente manera
KG(s) KG(s)  1 0j

 Condición de módulo
KG(s) 1
 Y condición de ángulo
KG(s) 180 k360
 Donde
k  0,1,2,3,...

 Los valores de s que cumplen la condición de
módulo y ángulo corresponden a los polos del
sistema en lazo cerrado; Mientras que el
diagrama de los puntos del plano complejo
que únicamente satisfacen la condición de
ángulo constituyen el lugar de las raíces del
sistema.

EJEMPLO ILUSTRATIVO DEL CONCEPTO DE LUGAR
DE LAS RAÍCES
 Ejemplo.- Determinar el diagrama del lugar
de las raíces para el sistema de segundo
orden mostrado en la figura.
C(s)+
-
R(s) E(s)
K
1
s(s 2)
 Función de transferencia de lazo abierto
K
G(s)H (s) 
s(s 2)

 Función de transferencia de lazo cerrado
K
s2

 2s K
C(s)

G(s)
R(s) 1G(s)H (s)
 Ecuación característica
s2
 2s  K 0
 Resolviendo la ecuación tenemos
s 
2  4 4K
2
s  1 1 K

sí
 De esta última ecuación se observa que
la raíces serán reales si K  1 y complejas
K  1 .

 Lugar de las raíces de la ecuación
K=4
j
j 3
K=0
2 1 0
 j
K=0
 j 3
K=1
K=4

se puede observar que cualquier Además
punto del lugar de las raíces satisface la
condición de ángulo.
jj
j 3
Q
j 3
1 2 180 y   0
2 1 0
1
2
2 1 0
P
12
 j 3 j 3
a) b)
K 1 3  1

  tan
3 
60
  s  s  2  180
s(s 2)
1  tan
   60 180 120 2
 1 
 1 
 

 Por otro lado, de la ecuación puede
el factor de
de este sistema está
2 1
K2n
deducirse que
amortiguamiento
determinado por
  
 Por lo cual el valor de K está
íntimamente relacionado con el máximo
sobreimpulso del sistema.

Reglas para construir el lugar
de las raíces
1.- El lugar de las raíces es simétrico con
respecto al eje real.
 Dado que los coeficientes del polinomio
P(s) y Q(s) son reales entonces el
polinomio puede tener raíces
complejas solo en pares conjugados.

2.- Cada rama del lugar de las raíces
inicia en cada polo de lazo abierto y
termina en cada cero de lazo abierto o
en infinito. El número de ramas que
termina en infinito esta dado por
Num ramas= n - m
Donde
n - número de polos en lazo abierto
m – número de ceros en lazo abierto

3.- Cualquier punto en el eje real es
parte del lugar de las raíces sí y solo sí
el número de polos y ceros a su derecha
es impar.
 Esta propiedad debe satisfacer la condición de ángulo
en cualquier punto del eje real del plano s. Para que
un punto P pertenezca al lugar de la raíces es
necesario que satisfaga la ecuación
KG(s) 180 k360
Donde k  0,1,2,3,...

 Demostración de la propiedad 3
P
j


0


4.- Si el número de ceros finitos es menor que
el número polos finitos (m < n ), entonces n-m
ramas del lugar de las raíces finalizan en
ceros en el infinito, las asíntotas de estas
ramas tiene como punto de intersección A , el
cual se determina por:
A
n -m
  Polosceros

con respecto Y tiene una inclinación 
al eje real dado por
A
A 
n m
2q 1
180
Donde
5.- Si el lugar de la raíces cruza el eje j
q  0, 1, 2, ..., n  m  1
para algún valor de K,
por el criterio
este puede
de Routh-obtenerse
Hurwitz.

6.- Los puntos de ruptura de entrada y
salida del lugar de las
determinan a partir de las
ecuación j
raíces se
raíces de la
j
dK
 0
ds
0 0d
Q(s) 
dK
ds ds
 P(s) 
   0
 
a) b)
a) Puntos de ruptura de salida b) puntos de ruptura de entrada.

7.- Los ángulos de partida del lugar de las
raíces de un polo complejo están dados
por
+ suma de ángulos de vectores dibujado a este polo de los ceros
d  180 suma de ángulos de vectores dibujados a este polo de otros polos
Los ángulos de llegada a un cero
complejo se pueden obtener de manera
similar usando
a 180 suma de ángulos de vectores dibujados a este cero de otros ceros
+ suma de ángulos de vectores dibujado a este cero de otros polos

Ejemplo.- Determinar el lugar de las
raíces del sistema de control mostrado
en la figura.
+
-
R(s) E(s)
K
1
s(s 3)(s  4)
i) Primero se toma la función de transferencia de
trayecto directo
K m  0
 
polos=
s  0
s  -3
s(s 3)(s  4) n 3 s  -4

ii) A continuación se procede a la aplicación de
la propiedad 3 para determinar cual intervalo
es lugar de las raíces

iii) Como n m  3 existen 3 ramas que van hacia
el infinito y la intersección de sus asíntotas se
pueden calcular por medio de
3 3
a 
0 3 4
 
7
 2.333
Y los ángulos de dichas asíntotas vienen dados
por
3
2q 1 
  180 para q  0,1,2a  
 
Así para q=0 2(0)1 
 a  180  60
3 

Si q=1
3
2(1)1 
 a  
 
180 180
Finalmente, si q=2
3
2(2)1 
 a  
 
180 300

 iv) Los puntos de ruptura se pueden
obtener de la propiedad 6, así llegamos a
Por lo que
P(s)
K  
Q(s)
 s(s 3)(s  4)
2
dK
ds ds
3
 7 12
  0
Por lo que derivando
3s2
14s 12  0

Resolviendo la ecuación cuadrática
s1  1.131
s2  3.535
Puede observarse que s2 no es lugar de
las raíces de acuerdo a la tabla 4.2, por
lo que el punto de ruptura está ubicado
en s1.

v) Para determinar los cruces con el eje ,
( 7 12) 7 12
LC
aplicamos el criterio de Routh-Hurwitz al
sistema retroalimentado
K
F.T. 
s(s  3)(s  4)

K

K
2
 3
 2
  
Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz a
1
K
s(s  3)(s  4)
s s3
 7s2
12s  K

 Del renglón de s2 si K  84,
7s2
84  0
7(s2
12)  0
sj 12  s1  3.464 j

s2  3.464j

Lugar de las raíces del sistema
del ejemplo
j
j 12
180 60

4 3 2.33 0
60
j 12

Ejercicio de Simulación
Determinar el lugar de la raíces usando Matlab® para un
sistema con retroalimentación unitaria cuya función de
transferencia de lazo abierto es
K
( ) 
s(s2
 4s 5)
% Por lo tanto el sistema es inestable tiene dos polos en el semiplano
derecho
>> % Uso del comando rlocus(num,den) para generar el lugar de las raíces
de G(s)H(s)
>> % Definición del polinomio del numerador y denominador de G(s)H(s):
F.T. delazo abierto
>> num=[1];
>> den=[conv([0 1 0],[1 4 5])];
>> rlocus(num,den)

Lugar geométrico de la raíces
obtenido por Matlab®.

Diseño de parámetros usando el método del
lugar de las raíces
 El método del lugar de las raíces es una herramienta
útil en el diseño de sistemas de control, con este
método se puede determinar el valor de la ganancia
en lazo abierto para que los polos de lazo cerrado
produzcan un factor de amortiguamiento que
originen un sobreimpulso deseado para el sistema.
 ,

 En ocasiones es necesario manipular la
ecuación característica del sistema
dinámico, con objeto de extender la
aplicación del método del lugar de las
raíces a dos o más parámetros.
Si la ecuación característica de un sistema
dinámico dada por
(s)  a sn
a sn1
  a s a  0
n n1 1 0

 Así, el efecto del coeficiente a1 puede
estudiarse reacomodando la ecuación
de la siguiente forma
a1s
1  0
a sn
a sn 1
...a s2
a
n n1 2 0
 O bien puede presentarse el caso en el
cual un parámetro  , no aparezca
solamente como coeficiente,
2
s3
(a )s a s a  0 s2
1  02 1 0
0
s3
a s2
a s a
2 1

Procedimiento para el diseño de parámetros usando el
método de lugar de las raíces
1. Usando la función coseno, obtenemos
cos 
n

n
  cos1

j Plano s
nj 12
 n
0

12
 jn
n

2. Se traza una línea en la gráfica del
lugar de las raíces del sistema
partiendo del origen con la inclinación
resultante.
3. e identifica el punto P en el cual cruza
el lugar de las raíces dicho segmento y
se trazan radios vectores dirigidos
desde los polos y ceros del sistema
dirigidos a este punto.

4. Para determinar el valor de la ganancia
K se utiliza la expresión:
KG (s) 1
P(s)P(s)
Q(s)
K 
1

Q (s)

 Ejemplo.- Para el sistema con retroalimentación
unitaria cuya función de transferencia de lazo abierto
se define como G(s). Determinar el valor de la
ganancia en lazo
dominantes de la
abierto K para que los polos
función de transferencia de un
sistema de segundo orden presente un %Mp=40%,
verifique si el sistema puede considerarse dominante
de segundo orden y en caso de que así sea calcule el
tp y ts.
K
G(s) 
(s 3)(s2
 4s 5)

 Al analizar la función de transferencia de


m 0
lazo abierto, tenemos
K
n 3(s 3)(s2
 4s 5)
s13

polos=s2  2i
s  2i 3

 ii) Como hay un polo real aplicamos la
regla 3, de tal manera que el lugar de las
raíces sobre el eje real corresponde al
intervalo [-3,-∞].
 iii) Debido a que hay más polos que
ceros finitos aplicamos la regla 4.
3
a 
3
 1

Como
3
2q 1 
  180 para q  0,1,2a  
 
Con q=0, q=1 y si q=2 llegamos a
3
 2(0) 1
a  180  60
  3
2(1)1 
  180 180a  
 
2(2) 1
3
 
  180  300a  
 

iv) Calculando los cruces con el eje
aplicando el criterio de Routh-Hurwitz,
K
G(s) Ks  3s2
 4s  5
FTLC 
G(s) 1

K

s3
 7s2
17s 15  K1
s  3s2
 4s  5
Para que se genere un renglón de ceros se debe cumplir
que K=104,

7s2
151040
7s2
17 0
Por lo tanto, los cruces con el eje
de polos
imaginario están en
s   17  4.123j
v) Debido a la existencia
complejos es aplicable la regla 7
 1 8 0  (   )
1 2d 1

 Cálculo del ángulo de partida d1
j
j
2
2

3 1
0
 j

De la figura tenemos
1
21  
  tan  90 0
 
Por lo tanto
2
11  
  tan  451
 
 180 (90  45 )  45d1
Como d 2 corresponde alcomplejo
conjugado de d1, tenemos
  452

ejemplo de diseño En este
como condición
sobreimpulso
se tiene
un máximo
con este datode 40%,
calculamos  , así tenemos
   0.28
1
1


ln 1 
  0.40
  

 Para factor de amortiguamiento, el
ángulo correspondiente es:
  cos1
(0.28)  73.73

 Tomando las coordenadas del punto P,
Para determinar K evaluamos
obtenemos los valores de a y b, así
s  0.806  2.77j
K 
Q(s)
P(s) s 0.8062.77 j
1 s0.8062.77 j
(s 3)(s2
 4s  5)
K 

K  (0.806  2.77 j  3)(2.884106.2232
 40.806  2.77 j 5)
s0.8062.77 j
Realizando operaciones
K  3.533 51.618 8.442 128.382
K  29.825

 Para verificar que el sistema es dominante de
segundo orden sustituimos el valor de K en la
función de transferencia de lazo cerrado.
LC
K
K29.825
FT 
s3
 7s2
17s 15  K
29.825
LCFT 
s3
 7s2
17s 15  29.825

 Obteniendo el polinomio característico
(s)  s3
 7s2
17s 15  29.825  s3
 7s2
17s  44.825
s1 5.388
Polos s  0.805 2.769 j 2
s  0.805 2.769 j 3

 Por lo cual se puede considerar un sistema
dominante de segundo orden. Reordenando la
Función de transferencia en términos de un
sistema dominante de segundo orden.
G(s) 
29.825
s  5.388s2
1.61s  8.314

 Si se aplican un escalón unitario al sistema con la
ganancia diseñada se produce la respuesta mostrada
en la figura, en donde se aprecia que el máximo
sobreimpulso no rebasa el 40%.

Referencias
1.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition,
1994.
2.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th
Edition, 2004.
3.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall,
4tª Edición, 2003.
4.- Dorf B., Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall,
10ª Edición, 2005.

5.- Hostetter G. H., Savant C. J., Stefani R. T., Sistemas de Control,
McGraw-Hill, 1ra Edición, 1990.
6.- Kuo C. B., Sistemas de Control Automático, Prentice Hall,
Séptima edición,
1996.
los Sistemas de Control,7.- Hernández R., Introducción a
Pearson, Primera
edición, 2010.
8.- Lázaro I., Ingeniería de Sistemas de Control Continuo, 2da
Edición, Ed. Universitaria.

UNIDAD 2
Análisis de Respuesta en Frecuencia

Antecedentes históricos
Los métodos de respuesta en frecuencia y
lugar de las raíces son la base del control
clásico.
Sistemas telefónicos: Un impulso significativo en sistemas de control.
Nyquist en 1932
•Método simple para determinar la estabilidad de lazo cerrado por
Medio de excitación seniodal permanente.
Bode en la década de 1940
•Método de respuesta en frecuencia más práctico que el de Nyquist.
Black en la década de 1940
•Método de respuesta en frecuencia, realimentación de amplificadores.

Hendrik Wade Bode 1905-1982
Natural de Estados Unidos de América,
trabajó en filtros eléctricos siendo hoy
considerada clásica su obra Network Analysis
and Feedback Amplifier Design. Trabajó
posteriormente durante la 2a guerra mundial
en sistemas balísticos de misiles y
comunicaciones en general.

Harry Nyquist 1889-1976
Nació en Suecia emigrando para los Estados Unidos
de America. Trabajó en la explicación cuantitativa del
ruido térmico en las comunicaciones, inventó el
sistema de transmisión de banda lateral vestigial (TV).
Quedó célebre por su famoso diagrama de
estabilidad.

Introducción
 El concepto
refiere a la
respuesta en frecuencia, se
respuesta que presenta un
sistema de control en estado estable ante una
entrada senoidal. En estos métodos, la
frecuencia de la señal de entrada se varía en
cierto rango, para monitorear la respuesta
sobre un intervalo de frecuencia que produce
el sistema tanto en magnitud como en fase.

Respuesta en estado estable de un sistema
ante una entrada senoidal
 Cuando una señal senoidal se aplica como entrada a
un sistema lineal invariante en el tiempo, el cual es
estable y con función de transferencia de la forma:
x(t)
x(t)
x A
 la respuesta producida por este tipo de sistemas tiene la misma
forma de la señal de entrada, la diferencia estriba en que la
salida tiene una amplitud y un defasamiento distinto al de la
señal de entrada.
t
Sistemalineal
estable G(s)
x(t) y(t)
t
T
 T
X(S)
G(S) 
Y (S)

Demostración
Podemos analizar el sistema descrito por
Así, considerando una entrada senoidal dada
por
X(S)
G(S) 
Y(S)
Como G(s) puede descomponerse en la forma
x (t)() xsent
A(s)
G(s) 
A(s)

B(s) (s  p1)(s  p2 ) (s  pn )

Por lo que la salida será
A s
X sY (s)()()
A(s)()
X s 
B(s)()()() s  p1 s  p2 s pn
Aplicando transformada de Laplace a la
entrada
Así
2s2
X(s) 
x
2 2
Y (s)
B(s)

A(s) x 
 
s  

 En el caso de los polos reales y
diferentes, tendríamos
R R R
11
21
 n1a

a*
s  j s  j
Y(s) 
, tenemos
s  pns  p1 s  p2
 Así aplicando L1
a Y(s)
1 2 np t p t p t
11 21 n1
a*
e jt
y(t) ae jt
R e  R e  R e
 Por lo que, para el estado estable, cuandot  ,
tenemos que e pt
 0 , ya que p1, p2,..., pn son
menores de cero.

 el mismo efecto se tiene si el sistema tiene
polos repetidos, ya que en este caso se
 Así, la salida tiende a
y(t) ae jt
a*
e jt
tendrían términos de la forma: , loste pt
s2
2js jw
cuales también tienden a cero si t .
 Así, en cualquier caso, en estado estacionario,
tenemos que
a 
G(s)()()x s  j  
xG  j
2

 Y su complejo conjugado resulta

s2
a*

xG(j)
2 j2

G(s)x(s  j)
s j
 Al emplear la notación de Euler,
Donde
G()j()
X()j

Y()j
 G j ej
1  ImG ()j 
  G ()jtan  ReG()j 
 

 De manera similar para el complejo conjugado
G( j)  G( j)e j
 G( j)e j
Por lo tanto en estado estable
2 j2 j
 xG( j)
e j
e jt
y(t)  
xG( j)
e j
e jt
2j
e j ()()t
e jt 
y(t)() x G j  
 
Utilizando la identidad de Euler
y(t)()()x G j sent 

 Así
y(t)  ysen(t )
Donde
y  x G(j)
 De esta manera el módulo y ángulo de la
función de transferencia de la planta son:
x(j)
G( j) 
y(j)
x()j
G()j 
y()j

Ejemplo
 Ejemplo Para un sistema
orden encontrar la salida
de primer
en estado
 La función de transferencia sinusoidal es
s  1X(s)
estable cuando la entrada es x(t)()xsent .
Y(s)

K
G()j 
K
j 1

 Obteniendo el ángulo y módulo
1
t 1 
 
  G ()j0 tan  1  tan
K
G()j 
12
 2
Por lo que en estado estable la respuesta del
sistema es
y(t)  x G( j)sen(t )
xk
sen(t  tan1
T)
12
T 2
y(t) 

Diagramas de Bode
 Para cualquier sistema lineal la función de
transferencia sinusoidal se obtiene sustituyendo s por
j en la función de transferencia del sistema. Por lo
general, se utilizan tres representaciones gráficas
para visualizar el comportamiento de de la función de
transferencia sinusoidal con respecto a la frecuencia,
los cuales son:
 1.- Diagramas de BODE.
 2.- Diagramas POLARES o de Nyquist.
 3.- Diagramas de magnitud logarítmica contra fase o
diagramas de Nichols.

 Los diagramas de Bode están formados por
dos gráficas: en la primera se presenta el
logaritmo de la magnitud de una función de
transferencia sinusoidal y en la otra el ángulo
de fase, en ambas se grafican contra la
frecuencia en la escala logarítmica.
G(j) = 20 log | G(j) | en decibeles (dB)
en gradosG( j)

Trazas de bode para factores
básicos
 Un sistema puede representarse como varias
funciones de transferencia en cascada
G(s)()()(G)1 s G2 s Gn s
G()j()()()G1 j G2 j Gn j

 Dado que cada término es una variable
compleja, podemos reescribirlos como
G()j()()() G1 j 1 G2 j 2 Gn j n
G()j()()() G1 j G2 j Gn j 1 2  n
 De esta manera el módulo y ángulo son:
G()j()()() G1 j G2 j Gn j
G()j 1 2  n

 Al tomar el logaritmo base 10 a la ecuación de
módulo
10 Gn jlog10 G()jlog  ()1l0oGg1 j()log 10 G(2) j  
 Por lo cual se concluye que para trazar el
Bode de magnitud de un sistema, se pueden
sumar las contribuciones debido a la magnitud
de los términos individuales.

Bode de un factor K
 Para obtener la gráfica de magnitud
logarítmica para una ganancia constante K
representada por
G(s)  K
 Obteniendo la F.T. sinusoidal
G()j  K
G j  20log10 K
 Obsérvese que el ángulo de fase es de cero
grados para el factor K

Bode de un factor integral y
un derivativo
 Consideremos la función de transferencia de
un integrador,
G(s)
s

1
 Donde su función de transferencia sinusoidal
es
magnitud en dB y ángulo, Obteniendo su
tenemos
G()j 
1
 
j
j 
10G j 20log  1   20log10  
 
0
  1 
   
  tan1      tan1
()90 
 
 
 

 Diagrama de bode del factor integrador
dB
1
j
20
 rad/seg0.1 1 10 100
 rad/seg0.1 1 10 100
-90°
-20
1
j

 Para el caso del factor derivativo
G(s)  s
 Valuándola en j tenemos que
G j j
 De esta forma su módulo en decibeles y su
ángulo son:
 10G j  20log   tan1    tan1
()90 0 
 

 Diagrama de Bode de un factor derivativo
j dB
20
 rad/seg0.1 1 10 100
 rad/seg0.1 1 10 100
j
90°
-20

Bode de un factor de primer
orden (1+ j)1
 Factor de primer orden en el denominador,
Donde su función de transferencia sinusoidal es
G(s) 
1
1s
Haciendo un análisis:
a) Para bajas frecuencias ( << 1) la magnitud se
aproxima a
G()j 
1
1 j
G j 20log 12
 2
 20log 1 0 dB
10 10

b) Para altas frecuencias ( >> 1) la magnitud
se aproxima a
c) En  = 1/ la magnitud es de
G j 20log10
12
 2
 20 log dB
10
Al valor de  = 1/ se le denomina frecuencia de
corte o punto de quiebre, esta representa la
intersección de las trazas de bajas y altas frecuencias
de un factor de primer orden.
G j  20log10 1 1  20log10 2  3 dB

 El ángulo de fase  para el factor 1/(1+ j)
está dado por
   tan1

Haciendo un análisis en frecuencia
a) Para una frecuencia =0, el ángulo de fase
es cero.
b) Para la frecuencia de corte  = 1/ , el
ángulo de fase es

   tan1   tan 1
1 45

c) Para el caso en el cual  , el ángulo es–90º.
 rad/seg
G()j dB
20
10 20
 rad/seg
-90°
-20
G ()j
1 1 1
20 5 2
1

2

5
  
1
20 5
1 1 1 2 5 10
2    
20
-45°

dB
 Considerando ahora el caso del factor de
primer orden en el numerador, tenemos
G(s)1   s
10 10
G j 20log 1 j  20log 12
 2
 Cabe señalar que una ventaja de los
diagramas de Bode es que para factores
recíprocos, por ejemplo, (1+j) las curvas de
magnitud y ángulo de fase solo cambian de
signo.

 Curva de magnitud y ángulo de fase para (1+j)
G()j dB
20
 rad/seg
G ()j
90°
1 1 1 1 2 5 10 20  rad/seg
20 5 2     
1 1 1 1
20 5 2 
2 5 1020
   
45°

Bode de un factor cuadrático [1+2(j /n) +
(j /n)2]1
La cual se puede reescribir como
2
n n
G(s)
s2
Consideremos ahora un sistema de segundo
orden de la forma
2
n
 2 s 
la función de transferencia sinusoidal es
2
1
2 1
n
s2

G (s)

 s 
 n
2 
n 
1
G ()j 
   
2
1 2  j
    j
 
 n   n 

 En una función de transferencia de segundo
orden se presentan varias situaciones.
 Si >1, el factor cuadrático se expresa como el
producto de dos factores de primer orden con
polos reales, en cuyo caso el Bode ya se
analizó.
 Si 0<<1 el factor cuadrático es el producto de
dos factores complejos conjugados.

 Obteniendo el módulo en dB es
10
1
G j 20log
    
2
1 2  j
    j
 
 n   n 
así
2
n
 
2
  
2
G()j20 log (1)2010log 1 10 
 2 
2   
  n 
10 2

 2

2
 
2
G()j20log 1   2  
 
 n   n 

 Analizando, observamos que:
1. Para frecuencias bajas 

 
.
1n
n
10G()j20log(1)0 
Esto significa que para bajas frecuencias el bode es una
recta de 0 dB.
.
Por lo que para altas frecuencias se comporta como una línea recta
con pendiente de -40 dB/década.
2. Para frecuencias altas n
n

   1
  2
n n
2

G j

 20log  40log

dB

 Se puede observar que la asíntota de baja
frecuencia intercepta a la de alta frecuencia
en  = n (frecuencia de corte),
2 10 
 
  2

2
 
2
G()j20log 1 10 
n
2    n
20log 2
 n   n 

 El ángulo de fase para el factor cuadrático
dado por
1 n

2






   tan1 

    
2
 
2 
 Para obtener un bosquejo podemos analizarla
de la siguiente forma
a) Para frecuencias bajas en  = 0 tenemos
1 2 j    j 
1   
n  n   n  
 1
 
   tan1  0   0

b) En cambio, para la frecuencia de resonancia
 = n, tenemos
 0 
 
   tan1  2    tan 1
 90
c) Para altas frecuencias obtenemos que en  =
,  = -180º.

 De manera similar se puede proceder para
obtener los diagramas de bode para el factor
[1+2(j /n) + (j /n)2]1, aprovechando que
simplemente hay que hacer un cambio de
signo en la magnitud y en el ángulo de fase.
2
n
s2
G(s)

 2 s 2
 n n
2

 2

2
  
2
G()j20log 110   2  
 
 n   n 
n

2

 
1


    
2


 
 tan  1 2  j  j  

2 
 n   n  1 

 
 n  

Frecuencia de resonancia r y el valor pico de
la resonancia Mr
 En el caso de los diagramas de Bode de factores
cuadráticos, existe una diferencia entre la curva real
de magnitud y su aproximación mediante asíntotas,
esta debe tenerse en cuenta cuando  < 0.707.
 Para calcular r se parte de la ecuación
 Puesto que el numerador es constante ocurrirá un
valor pico cuando la ecuación tenga un mínimo.
1
2
G()j 
 
2
  
2
1
 2  2
 
 n   n 

 Derivando e igualando a cero.
2
2

 
2
  
2
g()1   

2  
 n   n 
2 
2
  
2

2   2
   0
 n   n  
dg() d 
d

d
1

2 2
2
   
      
2 1 2  4  0      
  n  n   n  n 
dg()2

 
d
2
2

4  2

2 1
  0
n  n 
2 2
1  0
2
n

 Así, el valor mínimo de g() ocurre en
 Así, la frecuencia de resonancia se define
como
  1 22
n
Obsérvese que:
Conforme  tiende a cero .
Para  > 0.707 no hay pico de resonancia.
  1 22
r n para 0   0.707
r n

 La magnitud del pico de resonancia se puede
determinar
para
1
rM 
2 12 0   0.707
Mr
paraMr 1  0.707


Proceso de graficación de
diagramas de Bode
1.- Escribir
sinusoidal
la función de transferencia
como el producto de factores
básicos en la forma normalizada.
2.- Identificar la frecuencia de corte de cada
factor básico.
3.- Dibujar las curvas asintóticas y de ángulo de
fase.
4.- Si se requiere mayor precisión realizar las
correcciones apropiadas.

Ejemplo
G(s)
 Ejemplo Elaborar el diagrama de bode del
siguiente sistema

5(s4)
s(s2)(3 s32
) s 
1) La función de transferencia normalizada es.
   
2
s 2
5(4)1s
   20 1s
 
 4   6  4 
    G(s)  
s2
  1   1  s2
s 1 3 
  

 

3s
1 s  s 1 
3s
 1
3 3  2 3 3 

 Los factores de la función de transferencia
sinusoidal son, para el numerador
1 2
6
G ()j, 
20
G j   j  
()1  
 4 
Y para el denominador
3 4 5 2
1
3
j
3
G ()j()1s , j(,) G j   j   G j  2 
 

j 3 1

y G4(s)
2) Las frecuencias de corte:
para G2(s)c 2  4 rad/seg
c 4  2 rad/seg
para G5(s), dado que =0.5, su frecuencia
de corte es
  1 22

r n 3 1 2(0.5)12
.22 rad/seg

 Para G1(s) por ser constante su ángulo
de fase es cero y su magnitud es
1G ()j20log
 20 510  10.4 dB
 6 
 Para G2(s) por ser un factor de primer orden
en el numerador su ángulo de fase varía entre
0° y 90° y en c2=45°. Para bajas frecuencias
su magnitud es cero y a partir de c2= 4
rad/seg tiene una ganancia de 20 dB/década.

 En el caso del integrador G3(s), su fase
es una constante de -90° y su magnitud
tiene una pendiente de – 20 dB/década.
 En G4(s) se tiene un ángulo de fase que
va de 0° a -90° y en c4=-45°. Por otro
lado, se magnitud es cero a bajas
frecuencias y en c2= 2 rad/seg tiene
una ganancia de -20 dB/década.

dB
20
-20
10.45 G1(s)
G2(s)
G4 (s)G(s)
 rad/seg
1 2 4 10 100
-40

-45°
-90°
G(s)
G3(s)G5 (s)
 rad/seg
1 2 4 10 100
90°
45°
G3(s)
2
G (s)
1
G (s)
G4 (s)
-180°
G5(s)
-270°

 Por último, para en G5(s) por ser un factor de
segundo orden en el denominador su ángulo de fase
va de 0° a -180° y en la frecuencia de resonancia
toma el valor -90°. Su magnitud es de cero para bajas
frecuencias y a partir de r=1.5 rad/seg presenta una
pendiente de -40 dB/década, mientras que su
magnitud de pico de resonancia esta dado por
2
1 1
rM   1.15
2 12
2(0.5)1 0.5
M r  1.21 dB

Identificación de sistemas usando la respuesta
a la frecuencia
Proceso
u(t)
y(t)
 La identificación de la planta consiste en
determinar la función de transferencia de está
a partir de mediciones experimentales. Para lo
cual, se emplea un generador senoidal y un
analizador de señales.
x(t)
t
Au

Generadorsenoidal
Analizador de señales
Ay

 Considere el siguiente sistema

 Realizando la identificación de factores
básicos

Diagramas polares o de
Nyquist
 Para poder construir el diagrama de Nyquits,
se requiere calcular la magnitud y el ángulo
de fase para cada frecuencia , la cual debe
variar desde cero hasta infinito.
 Una ventaja al utilizar un diagrama polar es
que se presenta las características de
respuesta en frecuencia de un sistema en
todo el rango de frecuencias, en un sólo
diagrama.

Diagramas polares de factores
básicos
 Factor integral y derivativo
Considerando el caso del factor integral
j
G()j 
1
En su forma polar tenemos
0G()j90 
1
  j
1

1
 
j  

0 Real
Imaginario
  0
  
0 Real
Imaginario
  
 Para el caso del factor derivativo
  0
a) b)
G()j  j G()j90 

 Considerando el factor de primer orden
 Su representación en forma polar es
Factores de primer orden 1 j 1
G j
1
1 j
 Evaluando para algunos valores de ,
tenemos
1
G()jtan  
1 1
1 j 12
 2
si  0  G(0j)1  y0

1
2
si 
1
 G  j
1  y  tan1
(1)45 
 
Imaginario
0
Real 0
10.5
  
0.5

G()j
Incremento de 

 Para el caso del factor de primer orden en el
numerador
G j1 j
Donde su representación en polar es
En este caso el diagrama polar es fácil de
1
G()j1   j1  ta2
n2
obtener, si 0
s i
 G (0j)1  y 0
 Gjy90

 Diagrama polar del factor
Imaginario
1 j .
0
  
  01
Real

Factores cuadráticos
 Analizando ahora el factor cuadrático en el
denominador
   
2
n n
1
 1 2 j   j/ 
1
G j
 j   j 
2
1 2     
 n   n 
su magnitud y ángulo de fase son
Si analizamos el comportamiento
2 2
1

   
 2   
G j  tan1  n  

 
2 
  
2
    1  
 1     2     n     
  n     n 
si  0  G(0j)1  y0 si    G j 0 y  180
n
2
si   G()j90
1
y  

a) Diagrama polar del factor cuadrático b) Pico de resonancia y
frecuencia de resonancia r.
Imaginario Imaginario
1
  0 Real
=n
0
  
0.5
0.5
1   1
Incremento de 
 0.5
0
  0
1
=n
  
0.5
0.5
1
r
Pico de resonancia
a)
b)

Trazado de diagramas de
Nyquist
 Para trazar un diagrama polar deben tomarse
cuatro puntos clave:
1. El inicio del diagrama, cuando =0,
2. El final del diagrama  
3. Cruce con el eje real,  0 es decir 180
4. Cruce con el eje imaginario, o sea para  90.

 Ejemplo Elaborar el diagrama de Nyquist para
el siguiente sistema cuya función de
transferencia es
G(s) 
5(s2)
s10
Sustituyendo s = j en la función del sistema se
tiene
G j
5(2j) 
j 10

 Calculando la magnitud y el ángulo, tenemos
102
 52
   
G j  tan1
  tan1
 
5(2j)5
j10  10  10 102
2

Simulación en Matlab
Ejercicio de Simulación Obtener el diagrama de Nyquist del sistema mostrado en el ejemplo
6.7 usando Matlab®.
1
G(s) 
(s1)(1)s2
 s
>> %Elaboración de diagramas polares
>> %Definición del sistema
>> num=[1];
>> den=conv([1 1],[1 1 1]);
>> % uso del comando nyquist(num,den)
>> % si se aplica directamente se obtiene el grafico polar
>> % por omisión este comando usa valores positivos y negativos
>> %para el rango de frecuencia
>> % si se desean valores positivos de w, entonces usar:
>> % Definir rango de w
>> w=0.0001:0.001:100;
>> [re im w]=nyquist(num,den,w);
>> plot(re,im)
>> grid

Especificaciones de diseño en el
dominio de la frecuencia
 Ancho de banda AB.-
frecuencia en donde
Es el rango de
el sistema opera
satisfactoriamente y comprende la banda de
frecuencia en la cual la magnitud no cae por
debajo de -3 dB. Si el sistema tiene dos polos
imaginarios dominantes, el ancho de banda se
relaciona con n y  por medio de
nAB  1 22
 4 4
 4 2
 2

 Ganancia de resonancia o pico de
resonancia Mr.- Corresponde al valor máximo
de la ganancia y que se presenta en aquellos
sistemas en donde la
incrementada de manera
ganancia
notoria
se ve
a una
frecuencia llamada de resonancia.
 Frecuencia de resonancia r.- Es la
frecuencia en la cual se presenta el pico de
resonancia.

G()j dB
Mr
 rad/seg
AB
r

 Margen de Ganancia GM .- Es la ganancia
requerida para hacer que el sistema en lazo
abierto llegue a 180° de defasamiento y haga
que el sistema en lazo cerrado sea inestable.
GM  20log10 G j180

 Margen de faseM.- Este corresponde al cambio en
defasamiento del sistema en lazo abierto necesario
para una ganancia unitaria, con lo cual se lograr que
el sistema en lazo cerrado sea inestable. Es decir, en
un diagrama de Bode este corresponde al valor
positivo existente entre -180° y el valor de fase
cuando la frecuencia corresponde a la de corte.
  180  GH()j
M c

G()j dB
 rad/seg0
Margen de Ganancia
GM
Imaginario
Margen de Ganancia
G j 180
 rad/seg

-180° M Margen de fase

0 Real
-1
M
Margen de fase
G j1
a) b)

 Ejemplo El diagrama de bode de la figura
corresponde a la función de transferencia
mostrada, determine su margen de ganancia y
de fase correspondiente.
G(s) 
20
ss 4(s8)

Criterio de Nyquist
 En el dominio
inestabilidad de
de la frecuencia la
un sistema de control
sometido a una señal senoidal se presenta
cuando la magnitud del sistema es mayor que
uno y su ángulo de fase rebasa los 180°.
+
-
R(s) E(s)
proceso
Y(s)

0
 En términos de los diagramas de Nyquist para
un sistema de lazo abierto, el criterio de
estabilidad establece que un sistema lineal es
estable si el diagrama polar no encierra al
punto -1. Imaginario
Real
-1
180°
Estable
Inestable

 Ejemplo 6.10 Determinar el valor de K de la
siguiente función de transferencia de lazo
abierto que produzca un sistema
marginalmente estable.
la función de transferencia Determinando
sinusoidal
K
G(s) 
s(s2)(3) s 
G()j  
K
j3
52
 6j
K
j3
 5j2
 6j

 Por lo que su magnitud y ángulo son
G j
K

K
52
 6 3
2
254
 6 3
2
3
1  1  6 2

  tan  tan   
 6
5 5   

Para que el sistema sea marginalmente estable
se requiere que
G j1
Y
  180
Para que esto último ocurra se requiere que
  tan1
0
De la condición de ángulo
6  w2
 0   6  2.449 rad/seg

 Sustituyendo este resultado en la condición
de magnitud 1  K  29.988
K
252.4494
 62.449 2.4493
2

1.- Bolton W., Ingeniería de Control, Alfaomega, 2dª Edición, 2001.
2.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.
3.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª
Edición, 2003.
4.- Rodríguez A. J., Introducción a la Ingeniería de Control Autómatico,
McGraw-Hill, 1rª Edición, 1998.
5.- Rohrs Ch. E., Melsa J. L., Shultz D. G., Sistemas de Control Lineal,
McGraw-Hill, 1ra Edición, 1994.
6.- Kuo C. B., Sistemas de Control Automático, Prentice Hall, Séptima
Edición, 1996.
7.- Navarro R., Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw-Hill, 1rª
Edición, 2004.
8.- Lázaro I., Ingeniería de Sistemas de Control Continuo, Ed. Universitaria,
Segunda Edición.

Unidad III.- Diseño y Compensación de Sistemas en el
Dominio de la Frecuencia

Compensador de adelanto
El compensador de adelanto de fase es un filtro que presenta un valor
grande de ganancia a altas frecuencias, introduciendo además un
defasamiento positivo para todas las frecuencias, el cual es menor de
90°, lo cual permite aumentar el margen de fase del sistema de control.
cG (s)
a
1
s
 a  (s)a
(s)a1
s
Donde >1

j
a a

 Obteniendo la función de transferencia
sinusoidal
c
a
G ()j
j 1  
 
 j 
1
a 
 
 Por lo que el ángulo de fase introducido por
el compensador es
 Por identidades trigonométricas
1 2
1   1  
()tan  tan  
 a  a 
  1 2
1 2m
 tan  tan 
tan  tan   1  tan tan 
 1 2 

G()j dB
 rad/seg
m


20log10
m
  

 
 tan1
 a a 
  1  

 a a 
 rad/sega m a
m
 
 tan1   1 
 a 
 
 a  
Simplificando

 Para obtener el máximo derivamos el
argumento e igualamos a cero, así
 
  1 
d
d
d d
 a 
a  2 m

  (1 ) 1

a
 a      0
 a 
2
a

 
 Resolviendo
m  a

 Sustituyendo este valor en tenemos
a a
 

1
 1  11  
m  tan   tan  
   a  
a 
  
 
 Simplificando el resultado
m  tan1  1

2 
  1
 1
2
m
m  sen 1 1
1

m
grados

Relación de m con respecto a .

 Metodología
1. Calcular q en función del ángulo del
compensador
Diseño de la función de transferencia del compensador en adelanto
dadosc y M c a una frecuenciac .
2. Con el margen de ganancia calcular c
 c
c

a a

q  tanc  
 

1 c

c
 a a  
2
10 
2
2
1
2
2
c
c  Gc c  10
c está en dB

3. Con estos valores obtenemos los
factores de la ecuación cuadrática dada
por
q2
2
a c
 c 1
  c
c 12
 2q2
c   q2
c c 1c  0
4. Una vez resuelta la ecuación cuadrática
se utiliza para obtener el parámetro a,
de la forma

5. Por cual la función de transferencia del
compensador resulta
c
 (s) a
G (s)
(s)a

C2
R2
Z1
C1
 Implementación electrónica
Z2
+
-
+
Vo(s)
-
+
Vi(s)
-
R1
+
-
R3
R4
V (s)
+
x
-
2 2
1
 F.T.
V0(s)
Vi (s)
R C
s 

R4C1 R1C1
1R3C2 s  1 1
1
RC
a  a 
1
R2C2

 Ejercicio de Simulación 7.1 Obtener usando Matlab® el diagrama de Bode del
compensador diseñado en el ejemplo 7.1 y determinar la ganancia y ángulo del
compensador cuando rad/seg.
 >> % Obtención del diagrama de bode y determinación
 % de la ganancia y ángulo de fase de operación delcompensador
 >> % definición del compensador
 >> num_comp=conv([4.99],[1 2.192]);
 >> den_comp=[1 10.938];
 >> compensador=tf(num_comp,den_comp)

 Transfer function:
 4.99 s + 10.94
 --------------
 s + 10.94

 >> bode(num_comp,den_comp)

 >> bode(num_comp,den_comp)

 El diagrama de bode del compensador se muestra en la figura 7.6, en
donde se marca la ganancia y ángulo de fase introducido para una
frecuencia de operación del compensador de 7 rad/seg.

Diseño de compensadores
utilizando diagramas de Bode
 A continuación se detalla el procedimiento a seguir.
 Ajustar la ganancia de lazo de tal manera que se satisfaga la
especificación del error en estado estable.
 Para calcular el error en estado estable de un sistema con
retroalimentación unitaria se utiliza el teorema del valor final de la
siguiente manera
ss
p
 Si la entrada es un escalón de amplitud A y la planta no tiene
integradores, entonces
sR(s)
e  lim
s0 1G (s)
ss
p p
s
A
A
e  lim s 
s0 1G (s)1 (G0)

s0
 Definiendo a como la constante de error
de posición (Kp), tenemos
K p  limGp (s)
estará dado por
 Definiendo a como la constante de error
de posición (Kp), tenemos
Kp  limGp (s)
s0
 De tal forma que el error de seguimiento
p
A
ess 
1K

 Por otra parte, si la entrada fuera una
rampa de pendiente A y al tener la
planta un integrador se tiene
 En este caso el error de estado estable
puede obtenerse de
ss
p p p
s
A
A As2
sG ss0
e  lim  lim  lim
s0 1G (s)()() s0 s sG s
ss
v
e
K

A

 Donde Kv definida como la constante de
error de velocidad se calcula como
Kv  limsGp (s)
s0

Ejemplo de diseño
 Considere la función de transferencia de una planta en lazo abierto y
diseñe un compensador de adelanto de fase que cumpla con las
siguientes especificaciones: Proporcionar al sistema un error en estado
estacionario ante una entrada escalón unitario menor del 1% y proveer
de un margen de fase de 45°.
 1.- Ajustando la ganancia de la planta para satisfacer el criterio de error
en estado estable, tenemos que dada una entrada escalón unitario
pG (s) 
s 2
(s0.1)(10s2
29)s
ss
p p
A 1
e   0.01
1 K 1 K
1
0.01
K p  1 99

 De tal forma que la ganancia de la planta
será
pK  lim
K (s2)2

K
0.69K
s 0 (s0.1)(10s2
29)2s.9
99
 Por lo que la función de transferencia de
la planta quedará como
0.69 0.69
K 
K p
 143.5
pG (s) 
s  2143.5

143.5s 287
s3
10.1s2
 30s 2.9 s3
10.1s2
 30s 2.9

 2.- Ahora se construye el diagrama del
sistema con la ganancia K pero sin
compensar.
Diagrama de BodedB
Frecuencia  rad/seg
Margen defase

M  38.5
180  45 135

Tabla 7.2 Valores del diagrama de Bode del ejemplo 7.4
  dB

0.001 39.9092 -0.564
0.100 36.9081 -44.113
0.200 32.9289 -61.753
0.847 21.8482 -76.987
1.000 20.6190 -77.378
3.578 12.4318 -93.247
8.490 3.7963 -129.489
10.000 1.5342 -136.111
11.325 -0.2865 -140.743
15.106 -4.7466 -149.987
20.149 -9.4385 -157.261
63.777 -29.0901 -172.732
100.000 -36.8795 -175.361
201.868 -49.0697 -177.701
1000.000 -76.8631 -179.535

 3.- De la tabla 7.2 establecemos que ,
como el ángulo del compensador no
puede rebasar los 65°, entonces
  135  65  200
 Por lo tanto el rango de la frecuencia
será 11   1000 , seleccionando y tomando el
valor de módulo y ángulo a esta
frecuencia, calculamos
c 149.98 135 14.98 c  4.74 dB

 Con estos datos diseñamos el compensador
q  tan14.98  0.267
4.74
c  10 10  2.978
 Calculando los coeficientes de la ecuación
cuadrática
q2
c 1  1.906
2q2
c  0.426
q2
c c 1c  6.525

 De tal forma que
1.9062
 0.246  6.525  0
 Resolviendo
 
1  1.915
  1.786 2
 Por tanto el otro parámetro del
compensador será
15
1.915
1.9152
 2.978
a   4.633
2.9781

 Así, la función de transferencia del
compensador es
cG (s) 
 s a
1.915s  4.633
(s)8.87a2 s
 el diagrama de bloques del sistema con
el compensador diseñado.
-
R(s) + E(s) U(s) Y(s)1.915s 4.633
s 8.872 s3
10.1s2
 30s 2.9
Compensador Gc(s) Planta Gp(s)
143.5s 2

 Reduciendo el diagrama de bloques
Respuesta al escalónY(t)
Compensado
t (Seg)
Sin compensar

Compensador de Adelanto
CONCLUSIONES
 El compensador de adelanto mejora la
respuesta transitoria pero
 incrementa ligeramente el error en estado
estacionario

COMPENSADOR DE ATRASO
>1
 < 1
Donde
Gc s
 s a
 El comparador de atraso de fase actúa como un filtro
que posee una alta ganancia a altas frecuencias y al
mismo tiempo introduce un defasamiento negativo
para todo el rango de frecuencias.
1 s a
sb
s b
Gc s

 
1 b = a.


j
bb
 En ocasiones se puede plantear como
un compensador proporcional-integral de
la forma
s
s KI /K p Gc s Kp

RESPUESTA EN FRECUENCIA
G()j dB
 rad/seg
 rad/seg
20log10

bm b
m
m b
m
  sen
 1
 sen
1 
 1 1

DISEÑO DEL COMPESADOR
2
  c
b  c
 c 1
 Para resolver los parámetros del compensador de
atraso cuando se conoce el margen de fase c y de
ganancia dados a una frecuencia . Así, tenemos
q2
c 12
 2q2
c   q2
c c 1c 0
 Por lo que habrá una solución real positiva para  si
q2
c  c 1  0
Para tener una raíz positiva para , se tiene

IMPLEMENTACIÓN ELECTRÓNICA
 La figura muestra un compensador de atraso implementado
usando una red de atraso conectada a la entrada de un
amplificador operacional en seguidor de voltaje, para evitar
efecto de carga en la entrada se utiliza otro seguidor de voltaje.
C
V(s)
+
Vo(s)
-
+
i
-
R2
+
-
R1
Z2
+
-
xV (s)
+
-
+
Vy(s)
-
Z1
V0 (s) R2Cs 1

Vi (s)1 R1Cs R2Cs 
1
V (s)0
Vi (s)
 
R2 s 
R C 
 2 
(R) R

s 
1 
1 2  C(R) R 1 2 
1 2
R2 
R  R
2
1
R C
b 
b 
1
C R1 R2 

EJEMPLO DE DISEÑO
 Ejemplo 7.5 Para la función de transferencia de lazo abierto,
diseñe un compensador de atraso de fase que cumpla con las
siguientes especificaciones: Proporcionar al sistema un error en
estado estacionario ante una rampa, para tener una constante de
error de velocidad de Kv=20 y proveer de un margen de fase al
sistema de 45°.
G(s) 
K
ss 102

 1.- Usando la ecuación calculamos el valor de K
v
s0
K  sG(s) 
sK

K
s s 102
100
K 20(100)2000
 De tal manera que la función de transferencia del
sistema sin compensar, es
2000
s3
G(s) 
 20s2
100s

 2.- La figura 7.17 muestra el diagrama de Bode de la planta sin
compensar, en donde podemos observar que no satisface el
requisito de margen de ganancia, ya que es 0°.
Diagrama de BodedB
Margen de fase
Frecuencia  rad/seg


 3.- Para un compensador en atraso de fase, requerimos
encontrar el rango de frecuencia en donde la amplitud es mayor
de 0 dB, en este caso de la tabla 7.3 encontramos que , como el
margen de fase requerido es 45°, entonces tenemos que el
retardo de fase será
 180  45 135
 Con este valor de la tabla 7.3, establecemos que , además, como
la ganancia del compensador no puede rebasar los 65°, entonces
  (135  65 )70

  dB °

0.1 46.0197 -91.1459°
1.0 26.3292 -100.9258°
2.1 19.2406 -113.6238°
3.1 15.4211 -124.3684°
3.8 13.3665 -131.2186°
4.6 11.1670 -139.1497°
6.8 6.1475 -158.1365°
10.0 0 -180.0000°
14.8 -7.4442 -201.8635°
32.3 -25.3542 -235.6316°
70.7 -45.1205 -253.9011°
100.0 -54.0658 -258.5788°
500.0 -95.9211 -267.7085°
1000.0 -113.9803 -268.8541°

 Por lo tanto el rango de frecuencias quedará entre0.1  4.6
si seleccionando  2.1 y tomando el valor de módulo y
ángulo a esta frecuencia de la tabla 7.3, calculamos
c  135 113.623 21.377
c  19.24 dB
 Con esto procedemos a diseñar el compensador, por
lo que podemos seguir el procedimiento ilustrado en el
ejemplo 7.2, de esta manera
q  tan 21.377  0.391

 Calculando los coeficientes de la ecuación cuadrática
10
19.29
c 10  0.0119
q2
c 1  1.1409
2q 2
c 0.00363
q2
c  c 1c 0.0117
 Así tenemos
1.1409 2
 0.00363 0.0117  0

 
1  0.1028

  0.0996 2
2.1
0.0996
0.09962
 0.0119
b   0.943
0.01191
cG (s) 
0.0996(s0.943)0.099

6 0.0s94
s  0.094 s 0.094

R(s) +
-
E(s) U(s)
Compensador Gc(s)
0.0996(s0.943)
s 0.094
Planta Gp(s)
2000
s3
 20s2
100s
Frecuencia 
rad/seg
dB

Diagrama de Bode
Sin compensar
Compensado
Margen de fase
Sin compensar
Compensado

Respuesta al escalón
Respuesta al escalónY(t)
t (Seg)

Compensador de adelanto-
atraso
 Este compensador la red de atraso se utiliza
en frecuencias bajas y la de adelanto se
aplica para frecuencias altas. La combinación
de ambas estrategias permite
error de estado estacionario
eliminar el
deseado y
ampliar el ancho de banda para tener un
grado aceptable de estabilidad relativa.
cG (s)  s a s b
s a s b

 Considerando que 1, 1 ya  b,la
ecuación se puede escribir como
cG (s) 
s a s b
s as 
b 
 
 

j
b ba a

 rad/seg
a a
G()j dB
b b
 rad/seg
20log10


Diseño de la función de transferencia de un
compensador adelanto-atraso a partir de c y c para
una c
1c  0
El ángulo de fase 2 (de 1 a 5)
 Resolver la ecuación
q2
c c 1c2
 2q2
c  q2
Donde
c
c  1010 1
q  tan c 2 

 Con el valor de  resuelto, obtenemos el otro
parámetro del compensador de adelanto
usando
1 c
a   
1
Así mismo se resuelve
 Al resolver esta última ecuación se debe elegir la raíz
positiva que tenga el menor valor de b
2
c 1



 c  2  c 
1  b      0
tan 
 b 
2


Implementación electrónica de un
compensador de adelanto-atraso
+
-
R1
+
-
Z1
C1
C2
iV(s)
+
Vo(s)
-
+
-
R2
Z2
+
Vx(s)
-
yV (s)
+
-
1 1 2 20
1 1 2 2 1 1
V (s)
Vi (s)

s  1 
s 1 
 R C 
R C 
  
s2

1  1 1 
s 1
 R C R C R C  R C RC 2 2 2 1 
1 1
1a 
RC 2 2
1b 
R C

Referencias
1.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.
2.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª
Edición, 2003.
3.- Dorf B., Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª
Edición, 2005.
4.- Rodríguez A. J., Introducción a la Ingeniería de Control Autómatico,
McGraw-Hill, 1rª Edición, 1998.
5.- Navarro R., Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw-Hill, 1rª
edición, 2004.
6.- Kuo C. B., Sistemas de Control Automático, Prentice Hall, Séptima
Edición, 1996.
7.- Lewis P. H., Yang Ch., Sistemas de Control en Ingeniería, Prentice Hall,
1rª Edición, 1999.
8.- Ogata K., Solving Control Engineering Problems with Matlab, Prentice
Hall, 1994.

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