Este documento describe conceptos básicos de trigonometría circular como ángulos, medidas de ángulos, funciones trigonométricas y sus gráficas, relaciones entre funciones trigonométricas de diferentes ángulos, y vectores. Define ángulos, medidas de ángulos en radianes y grados, funciones seno, coseno y tangente, y sus propiedades como periódicas y gráficas. Explica relaciones entre funciones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios y con diferencias múltiplos de π/
Circunferencias tangentes exteriores a una recta y a una circunferencia, pasa...Antonio García
Hemos de resolver el caso de circunferencias que pasando por un punto o lugar determinado, son tangentes a dos elementos propuestos cuales son una recta y una circunferencia. Para resolver este problema clásico que se atribuye a Apolonio de Perga, hemos de echar mano de los conocimientos adquiridos sobre transformaciones geométricas, como son la inversión y la potencia de un punto respecto de una circunferencia, y que aquí ejercen un papel prerponderante.
Circunferencias tangentes exteriores a una recta y a una circunferencia, pasa...Antonio García
Hemos de resolver el caso de circunferencias que pasando por un punto o lugar determinado, son tangentes a dos elementos propuestos cuales son una recta y una circunferencia. Para resolver este problema clásico que se atribuye a Apolonio de Perga, hemos de echar mano de los conocimientos adquiridos sobre transformaciones geométricas, como son la inversión y la potencia de un punto respecto de una circunferencia, y que aquí ejercen un papel prerponderante.
Vicenç Alujas (Barcelona, 1962) está convencido de que el cambio que esperamos en el mundo “está en nosotros mismos”. Por tal de alcanzar este propósito compagina la coordinación del único hospital psiquiátrico penitenciario de España, el de Brians, con la meditación y el coaching. Alujas es sociólogo y ha cursado estudios de psicología, Desarrollo Personal y Liderazgo, meditación y mindfulness. También es creador y divulgador de un nuevo método para liberar la mente, práctica que explica en el libro Meditación inmediata (Angle Editorial). “Para que el cambio se produzca tenemos que tener la mente calmada”, asegura.
Han censurado un libro donde se proponen soluciones y formas de política sostenible para salir de la crisis.
Somos libres y tenemos derecho a la información. Por favor, difundidlo en la medida en que podáis.
Gracias.
Han censurado un libro donde se proponen soluciones y formas de política sostenible para salir de la crisis. Se adjunta el libro en formato PDF. Abajo podréis leer el comunicado de los autores*.
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1. FLINCIONESTRIGONOM ETRICAS CIRCULARES
que tienen un origen común.
Llamamosángulo a la porción de plano limitada por dos semirrectas
A dicho orisen se le llama vértice.
Si del vértice, O, del ángulo, como centro, trazamos
una circunferenciade radio R cualquiera,llamaremos
medida del ángulo ü (en radianes, (sistema de
numeracióndecima$ a la proporciónentre la longitud
del arco de circunferencialimitado por los lados del
ánguloy el radiode la misma.
Evidentemente medida del ángulo no dependedel radio elegido;(la proporciónentre la longitud
la
y
de la circunferencia el radio de la misma es siempreconstante vale 2n).
y
Segúnlo visto, el ángulo completomedirá 2n radianes, llano n y el recto f
el .
La medida del ángulo tendrá signo positivo si el arco es recorrido en sentido contrario al de las
agujasdel reloj y tendrá signo negativosi el arco es recorrido en el sentidode las agujasdel reloj.
En el primer giro completo, los cuartos de vuelta (principio y fin de los distintos cuadrantes)
t e n d r áv a l o r ers s p e c t i v o s1 % , n , 3 / r , Z n .
n e 0, :
Cuandoel contextoen el que trabajamoses de tipo geométrico
tg
lL
o cartográfico (mapas) la medida de los ángulos se puede
/l'i
(un giro completo
realizar siguiendo el sistema sexagesimal
|
Í--1---r--'l
,/
/ lx- serán360").
r,r/
''-----1---" La equivalencia vendrádadapor la proporción;
entre sistemas
1800- nradia
.$
1
A la circunferenciade radio unidad, tratadadesdeel vértice del ángulo, se le llama circunferencia
goniométrica.En ella, la medidadel ángulo coincide con la longitud del arco que comprendensus
lados.
Razones Definición. Relaciones
trigonométricas. principales:
Consideremos sistemade coordenadas
un cartesianas
y, con centro en su origen, la circunferenciade radio
unidad.
f- Si tomamoscomo fijo el lado 0 r, los distintosgiros a
partir de é1,del lado 0 s, definirán los distintosángulos
cI,.
2. 2
Cada uno de los valoresde cr determinael punto P (x, y) sobrela circunferenciagoniométrica.
Se define como senodel ángulo a (sencr) al valor de la ordenadadel punto P que dicho ángulo
define en la circunferenciagoniométrica.
El cosenodel ángulo cr (coscr) es Ia abscisadel punto P que define el lado móvil del ánguloen la
circunferenciagoniométri
ca.
Al cociente, si existe, entre el seno y el coseno del mismo ángulo o se le llama tangentedel
senü' l
á n g ul o (tg c¿ ),e sd e cirto :
l r: fol
I cos0, I
tl!=g=p'A:tgcr:
Por semejanza triángulos:
de rr.
OM OA
La tangentedel ángulo cr será pues,la ordenada y' del punto P' que define el lado móvil del
desdeA (origen del sistemade ángulos).
ángulocon la rectatangentea la circunferenciatrazada
En cualquiertriángulo rectángulo,de ánguloagudo ü , y por semejanza triángulos,obtenemos
de
S inmediatamente:
A AB (cateto opuesto a )
a
SenU.:SenL::=- " ¡-l
CBa(hiPotenusa)
A AC b (catetocontisuoaa)
COSú:üOSL::=- |---------------- l
BCahipotenusa)
/
: AAB =
tE L ::
f catetoopuestoao l
tscx.
AC b cateto contrguoa cr /
vemosque si P (x, y),
Además,y por aplicacióndel teoremade Pitágoras,
f r"n'.r=1-cos2'
x2+y2=l -------) sen'ü*cos's : l, Vcr =J".(1)
l cos'cr=1-sen'cl
A los inversos, existen, senü, cosü y tgcr se les llama, respectivamente:
si del cosecante
de
(coseco ), secante o (seco ) y cotangente cr (cotgo ), es decir:
de de
1
I
coseccx,-
I,
(si sencr * o) seco : (sicoso +0)
senü, cos c{.
I
cotg cr (si tgo * 0)
tg cr
Si dividimoslos miembros la ecuación(1) por cos' cr se obtiene:
de
I + ts' cx : sec' c¿ (2)
Si dividimoslos miembros la ecuación(l) por sent cr seobtiene:
de
I +cots'cr : cosec'o (3)
3. Signosde las razonestrigonométricas:
Por propia definición se observaque : s>r 5>ú)
<¿O t C7¿
¡b>i)
C<.,
Todas las razonestrigonométricasson positivasen el 1"' cuadrante
En el 2ocuadrantesólo lo son el senoy la cosecante
c<e t c>o
y
En el 3"'cuadrantesólo lo son la tangente la cotangente '
f>o b<o
En el 4ocuadrantesólo lo son el cosenoy la secante.
Relaciónde razonestrigonométricas ángulosdistintos.Reducciónal l"'cuadrante:
de
(suman n ), sean cL y r - cL:
1.- Si dos ángulosson suplementarios
sen : sen n - " ) I
cr (
cosü,:-cos(n-")l =
I
tg a:-tg(n-")
)
- tienen senosigualesy cosenos tangentes
Dos ángulossuplementarios y opuestos.
2 . - D o s á n g u l o s c u y a d i f e r e n c i an (e a
s oy n+o ó cry cr-n):
sencx, - sen + cr) : - sen - ^ )l
: (n ("
coscr,:-cos(n+cr):-cos(ct-n) =
f
tg cr:tg(n+ct):tg(cr-¡) )
9 igualesy senosy cosenos
Dos ángulosque difieren en n tienentangentes opuestos.
,l
3 . - A n g u l o s q u e s u m a2 z ( á n g u l o s o p u e s t o ( a , y 2 n - u
n s) ó ct y - o):
I
senü : - sen(2 7r- cr ) : - sen(-cr
coscr, cos (2 n - a ) : cos (-ct )
:
t g c r= - t g Q l r - ü ) : - t g ( - c ¿)
3 Dosángulos
rdffi-s tienencosenos y y opuestos.
iguales senos tangentes
de y
cambian signosu seno sutangente,
Es decir,al cambiar signoa un ángulo, de que
mientras
goqglgperrnanece
constante.
4. 1l
cuyasuma 1 1ángrlos
4.-Ángulos complementarios) y2 --cx, ):
(ü -
",
ri
sencr:cos11-o¡
coscx,:sen11-o¡
lI
t" ü , : c o t"e21 - a )
s '( )
= Si dos ángulos son complementarios razonesde uno de ellos coinciden con las co-
las
razonesdel otro.
tt
T
cuyadiferencia i ( a y2 - - | - o ¿
,
5.-Ángulos es ' o o(y cI--):
2'
,l
L
senc{,:-cos(1ao s e n c , :c o s l o - ] ¡
2'
cosc{,:sen(1+o)
I coscr:-sen(cr-+)
2'
tg a:-cots(1+c, )) tg cr:-cotgt"-11
2 2'
trigonométricas los ángulos I,
Razones de
" ! v ! @t',30o y 60o):Se obtienen la definición
de
4 6'3
de las razonestrigonométricasde un ángulo agudo en un triángulo rectángulo,al considerarun
para el primero y la mitad de un triángulo equiláteropara los otros.
triángulorectánguloisósceles
LJ'
12 3L2 , LJ'
L 2+ L 2 : d2 -> d: L2:h2+- > ¡2:- =
44 2
rEl t; T c J t h =-:- rrl
sen - : ---;= sen - - sen-:-
a 'lz t 32L 62
la L/z t;
n l : ---v= it I 7t {J
COs - cos-:-:- cos -
a ^lz 2 32L 62
Í rr-h 11 - - nlJt
t* 4 : l
s- t*I n'-t-/z
o",l:J
5. Definición. Gráfica. Propiedades:
Funcionestrigonométricas.
Se define la función f(x): sen x a la función real de variable real que asigna acada valor del
arco, medido en radianes en la circunferencia goniométrica, el valor del seno del ángulo
correspondiente.
-
q
t' !t.).
ot*".- Los valoresde la función (que es
siemprecontinua Vx e 9?), están
tt
-flu
. .,YL
0 entre - 1
siemprecomprendidos
-t y +1.
Es una función periódicade periodo 2n .
Su gráfica recibeel nombrede sinusoide.
La función f(x) : cos x asignaa cadavalor de x (ángulo medido en radianes)el valor del coseno
de dicho ánqrlo.
Tiene las mismascaracterísticas
=cts"
) t*)
de la función (x) = senx .
Susvaloresse encuentran"ade-
lantados" -l respectolos de la
función f(x) = senx .
La función real de variable real que asignaa cada x (ángulo medido en radianes)el valor de la
tangente x, se llama (x):
de tg x .
l
ll
I
l I
I
I I
I
I
I
6. 6
f(x): tg x estádefiniday es continuaparatodo valor de x, exceptopara aquellosen los que
cos x : 0 (múltiplos enterosimparesd" * I
z
l"l
D : 9 i_ 4 x t * = 1 2 k l ')2 :, k e Z l
+ _
t )
Si cos X = 0 , paraesevalor de x, f(x) tiene una asíntotavertical .
Es una función periódicade periodo rt .
A partir de la definición de las funciones trigonométricas, podemos extraer las siguientes
conclusiones:
l.- No existenlas funciones
inversas las funciones
de puesal serperiódicas, distintos
trigonométricas,
valoresde x puedendar la misma f(x).
2.- a.- f(x): senx y g(x) : tg x son funciones
impares:
En efecto, Vx e D I sen(- x) : - senx
t tg(-x)=-tgx
b.- Sin embargo,f(x): cos x es funciónpar pues cos (- x) : - cos x , Vx e D
3.-a.- Si senx:0 -> x:kn, keZ
Si senx= I -) *= 1+2kn. keZ
2
Si senx:- I -+ *:-n +2kn. keZ
2
b.-Si cosx:0 -+ x:(2k+f)1. keZ
¿
Si cosx:1 -+ x:2kx, keZ
Si cosx:_ I _+ x: (2k+ 1)n, keZ
c.- Si tgx:O -+ x:kz, keZ
Expresionesinversas:
inversasde las funcionestrigonométricas(que no son funciones) se les
A las correspondeneias
llama funciones-arco.
Así, si x = seny -+ y: arc senx
si x: cosy -+ y: arc cosx
si x=tgy -) y:arctgx
7. Susgráficasse obtienencomo simétricasde y : sen x y : c o sx y: tg x, respecto la
de
bisectrizdel l"'cuadrante:
¿1 a/.4 .^ ><
)>¿u a-
A
+-%
A
ut-c- teór<
Z--
ttlL
&tl
- 3tt/
(L
Vectores
definen vector Rd, d" origen A y extremo B
Dospuntos B ordenados
Definición: A, el en en
El vector RÉ q.redadefinido puespor:
* Su origen A
* Su dirección:recta,r, que pasapor A y B
t Su sentido:el que asignala orientaciónde origen hacia extremo
* Su módulo: longitud del segmentoe e (por lo tanto, siemprepositivo)
Vectores libres: Diremos que dos vectores AB y CD son equipolentes ( AB ,^' CD ) si ambos
vectorestienen direccionesparalelas igualessentidoy módulo.
e
Si Á; ,u C;, y
al unir susorígenes susextremos,
respectivamente, forma un paralelogramo.
se
c<{"
El conjunto de todos los vectoresequipolentesentre sí recibe el nombre de vector libre, y viene
caracterizado por el módulo, dirección y sentido de cualquiera de los vectores ligados que lo
forman.
8. 8
Se representan por una letra minúscula: ; : * = vector libre formado por los vectores
{ }
--)
e q u i p o l e n t e s a . E v i d e n t e m e n t e , s iB - C D - a = l a g J :
AB A 1CnI
¡-) + f-l
Si a:t nsl = vC lD t a:tcol ,.
oqb
> ,./
,rr;a-
ñ
-"----{-- - ./"
c
libres:
Operaciones vectores
con
f - += l[A B f
-l
I a
l- l-l ' +-+ [-l +
* Suma:Dadosdos vectoreslibres { ' definimos *b= jACl:
a s
l:6 = ltzl l
¡ BC I J
R ttl
l(.)
+
n
l!
I definido po. i y
lu diagonaldel paralelogramo
-) ",
b , llevadosa un origen común.
'>
--)+-
Equivalea trasladarel origen de b al extremode a y unir el origen de a con el extremode b .
+J-++
Propiedades: l.- ¿+$:$+¿
) -+ -) --)
+ + r n- +
2.- a+(b+c):(a+ b)+c = d+b+c
-) f -l + -+ +
3 . - v e c t o r n e u t r o :0 : - u+0 : a
lBBf
tJ
4.- vectoropuesto: ;:
si -) -;: ysecumpliráque
{ñ} {ú}
titJ
+ + f.--l l-rl [--l --)
a + ( - u) : j e B f + l B A f : l A A l : 0
IJIJLJ
tienen igualesmódulo y direcciónrpero
Dos vectoresopuestos sentidoscontrarios.
* Productode un númeroreal por un vector: Dados i , o e B, definimos
,¿"
i
t+
/ s e n t i d o :I e l d e a s i c r > 0
(/
J
Lel contrario a si o < 0
de
t
:
módulo lol'a
l
'-+-)-t-+
Propiedades: l.- o(a+b):cra*crb
+++
2.- (o+F)a: c ra + F a
.
++
3.- (o 0)a : 0(B a ) '- -'i"'
--
4.- 1a: a
9. 9
+ -+
-,)l t+l
Basecanónica:Dadosdos vectores i , j q u e c u m p l a nt: .i J : l j f : i : j : 1 ( m ó d u l1 )
l o
Li l-l (ortogonates)
diremosque forman una basecanónicadel conjunto de vectoreslibres del plano.
++-)-
Va podremosescribir: ax i *av j, recibiendo *yt,
d elnombrede
Jl+ +l
coordenadas a en la base I
de i )J )
+-+-+-)-+-)
Así,si &:&* i +ayj y b:b*i +brj:
-+ -+ -+ -)
I a + b =(a"+b*) i +(ay+ br) j
;f)
i" i +-+-
I ct a:(a a") i +(oar) j
.---
-t!
tienen interésdesdeel punto de vista de las operaciones
Estosresultados con vectores.
* Productoescalarde vectores: Dados i', ü , que formanun ángulo rp, definimos
el producto ivi,
escalar¿" (; real quese
;), al número
t sus por el coseno ángulo
obtienede multiplicar módulos del
iJ -,,.t'-
a'b:abcosg
-+ -) -) -) -) -9 -)
2.- a' (b + c ): a' b +a' c (Distributivorespectoalasuma)
+ -+ + --) -+ -'il
Y'-.1
3.- (c, a )' b: cr(a'b ) = LL'd
+ --) + --)
4.-Siavb*0v a'b:0 =aIb
-+-+--
5.- i.i:j.j:1 y
+-)-) --) + -
Así,si ?:dx i +a, j y b:b,i +btj
-+ -+ -+ -) ,+ -) --) -+-)t-+ ))
a.b =(a* i +a, j )'(b. i +b, j ): a* b" i .i *a*by i 'j +arb, j'i *avbvj.j:
: a" b* * ÍIy by : a b cos <P
+-)-
Aplicaciones: Dadosdos vectores &:2*i+ayj y b:b"i+brj:
--a- 1)
l.- Módulode un vector: como a'a : a'cos0: a , 8 * * o ya r = a i + a l
u=
rft.*fi
10. l0
, JO
2.- Angulo de r vectorel ; ;:a"b"+arbr: abcos q -
--, )
a'b arb" + arb,
c o s( D : r- f il
ab
r / u í * a ' ,I b i + b i
-) -)
a'b
3.- Proyecciónde un vector : como a'b: abcos rp = bcos <p:
a
( --) -)
-t
a'b arb* + arb,
proya b -
-<t + a l) )
L. { a; +a;
Y43 t' = I l.-
-.'., I
__) +
"La proyecciónde b sobre a se obtienecomo valor absolutodel cocientedel productoescalarde
ambosvectoresentreel módulo del vector sobreel que se realizala proyección".
-+;
4.- Vector unitario : Dado el vectora, al vector uu : I se le llama vectorunitariode
a
+
la direccióny sentidode a .
Un vector a queformeun ánguloa con I tendrá
porcoordenadas la base
en {;,1} :
IJ
-)
=
:acoscx, a'i
Iu.
J +-)
: :
u ' a sencr a ' j
11. ll
Transformaciones gonométricas
tri :
Sean uy v vectoresunitarios(u:v:1), que formancon iángulos a y b respectivamente
-) -+ -) -) -)
u: u, i *uvj:cosa i +sena j
' L(+-+-+-+)
,'l V= v*i *vv j=cosbl +senb j
.,--.vu uyv:
Simultiplicamosescalarmente
-
:b ,.-
u'v: 1'l'cos(a-b):cosa cosb*sena senb :
cos (a - b): cos a cos b * sena senb (1)
que cos (- b):
Sabiendo cos b y sen(-b) : - senb, podremos
escribir:
cos (a + b) : cos (a- (- b)) = cos a c o s ( - b ) +s e n as e n - b ) : c o s a c o s b - s e n s e n :
( a b
cos(a+ b) = cosa cosb- sena senb (1')
S a b i e n d o q u e no : c o s 1 1 - a )
se y q u e c o so , = s e n( | - " 1 :
n
sen + b) : cos(( - (a + b) ) : cos(;-
(a ^) - b) : cos(1 - a ) cosb + sen(;- ^) senb :
sen(a+ b) : sena cosb *cos a senb (2',)
sen(a - b) : sen( a + (- b)) : sena cos (- b) + cos a sen(- b) : sena cos b * cos a senb :
sen(a-b) : sena cosb-cos a senb (2)
(2') y (1') podemos
Dividiendolas expresiones escribir:
sen(a+b) - sena cosb+cosa senb
cosa cosb:
, dividiendonumeradorydenominadorpor
cos(a+ b) cosa cosb - sena senb
senacosb cosasenb
*
cosacosb cosacosb tga+tgb
t e ( a'+ b ) :
-o-
cosacosb_senasenb l-tgatgb
cosa cosb cosa cosb
tga+tgb
tg(a+b)= (3')
I -tga tgb
Haciendolo propio con las expresiones(2) V (t) obtendríamos:
tga-tgb
tg(a-b)= (3)
I +tga tgb
12. t2
trigonométricas los ángulos
Funciones de dobley mitad: De (l') y (2'):
sen2a: senacosa*cosa sena:2sena cosa s e n2 a : 2 s e na c o sa (4)
c o s 2 a= c o s a c o s b - s e n a s e n b = c o s t a - s e n t a cos2a: cos'a - sen'a (s)
tga+tga _ 2tga 2tga
tg2a = tg (a + a) tg2a : (6)
l-fga tga l-tg2a 1- tg2a
Paraobtenerlas razonesdel ángulo mitad, tendremos cuenta:
en
13 1d
cos-- + sen-
22r I
> -=- l+cosa
a 1z
s e n -- = -
l-cosa
I 22
De(5) 1- sen2 :
I u)
"ort "o,
Luego: (7)
El signo + ó - será el correspondiente
al
signo de la función trigonométrica que
(8)
corresponda cuadrante que perteneceI
al al
(1)
: (e)
(8)
Transfonnaciones sumasen productos:Del cuerpode fórmulasanteriormente
de vistas:
sen(a+ b) : sena cos b * cos a senb J sen(a + b) + sen(a - b):2 sena cosb
sen(a-b):sena cosb-cosu ,.nUl
cos(a+b):cosa cosb-sena senb)
cos(a-b) : cosa cosb * sena senbJ
>:>
:+
sen(a + b) *sen (a - b):2 cosa senb
cos(a + b) + cos(a - b):2 cosa cosb
c o s( a + b ) - c o s ( a - b ) : - 2 s e na s e n,)
l
hemostransformadolas sumasen productos.
A+B
Sillamamos +b:A
a v a-b:B .entonces a y b: y lastransformadas
+
de las sumasen productospodránexpresarse
como:
A*B A-B
senA*senB:2r"n
2 2
A*B A-B
senA-senB:2"o, ,"n
(ro)
A*B o-"
cosA+cosB:2"o,
22 "o,
A+B A-B
cosA-cosB: -2sen ,.n
22
13. 13
RESOLUCIÓN
TRIÁNGULOS. :
* Teorema coseno:
del Dado un triángulocualquieraABC, y llamando{ÁEt } : ;,
f +l ' f ------>l +
iACi: b y iBCi: a
v e m o s q uÁ d } . { *
{" }: {Áé} = ;:d-;
-
escalarmente consigomismo:
Si multiplicamos a
++++++++)+++
a.a:(b-c).(b-c;= b.b+c.c-2 b.c
a':b'+c' -2bc cosA (t)
"Dado un triángulo cualquiera,el cuadradode uno de sus lados es igual a la sumade los cuadrados
de los otros dos lados, menos el doble producto de los mismos por el coseno del ángulo que
comprenden"
Nota.- Si A : 90" ( el triángulo es rectángulo), ( I ) se convierteen el teoremade Pitágoras, que
ya
cos A : 0, a seríalahipotenusay bys los catetos triángulo.
del
* Teoremadel seno: Dado un triángulo cualquiera ÁBC . si trazamosla altura
desdeun vértice cualquiera(por ejemplo C), vemos
que:
h.:bsenA:asenB =
senA senB
Si repetimosla operacióncon la altura h s, tendríamos
que hs:asenC:csenA =
senA senC
a-b:c
por
Podemos, tanto,escribir: (2)
senA senB senC
"Dado un triángulo cualquiera,la proporciónentre la medidade un lado y el senodel ángulo opuestoa
eselado es siempreconstante"
Puede demostrarsefácilmente que el valor de dicha constante coincide con el diámetro de la
circunferenciacircunscritaal triánsulo.
14. l4
En efecto,seael triángulo ABC y la circunferenciacircunscritaa dicho triángulo:
Si trazamosel diámetroque pasapor B y consideramos
los
A -/':}r
triángulosABC y ABC' :
EnABC' = -- ^ (porelT.delseno)
senA senB senC
a
-:- -- - ?"
- R - -+
En ABC': 3 Alr", Ó y Ó' iguales
por
sen90o senC'
c
ser ángulosinscritosque abarcanel mismoarco:>2R -
senC
a - b : c =2R
luego, siendo R el radio de la circunferencia
senA senB senC
.¿>
circunscritaal triángulo ABC
* Área de un triángulo: Dado el triánsulo ABC trazandouna altura desdeun vértice
cualquiera(p. e. desde B), podemos
escribir:
bh"
A: (l)
2
l'¡ ("Area : basepor altura partido por dos")
,f '* ¡
como hs: csenA
"El áreade un triángulo cualquieraes el semiproducto dos de susladospor el senodel ánguloque
de
forman éstos"
Si llamamos p : *+- (semiperímetro triángulo) , y basándonosen las relaciones
del
podemos
trigonométricas, demostrar
:
A- p(p-a)(p-b)(p-c) (3) (Fórmula de Herón)
15. EJERCICIOS
Trigonometría
1.- Si cos*=a y senx<0: ¿senx y tgx? Representaelángulo.
2.- Sitgx:-i y cosx<0: ¿senx y cosx? Representaelángulo.
3.- FORMADECIMALDEL ÁNGULO.
MANEJO CALCULADORA.
DE FORMASEXAGESIMAL
4.- ,"n *: f c o sx = - ' { 1 . t-
e -€ i
uValoresdex?
2 2 ": 3
5.- senx:0 , cosx:0 , tgx:0 , senx:l , cosx:-1, tgx:1 ¿x?
6 . - s i ;: ] i * *i É : 9 ?* nl¿valor es m y n r i iyÉ son
de unitar ios? etac i ón
¿R
2"2
entremyn si iy Ü ,onortogonales?
7 . - D a d oi sz i
: *j v t: i-j, sepide:
l+ll+l++++
a) lal V lbl b ) c o s q ( < p f o r m a d o p o r a y)
b c)proyecciónde sobre yde
a b
++
b sobre a .
++++++-))
8.- a= i+ j , b:2i+m j ¿ m p a r a q u ea y b s e a n o r t o g o n a l e s ? ¿ p a r a q u e f o r m e n 4 5 o ?
9 . - S i f"g a : + n.a< + ¿- t g ( a + + )y t g ( 4- a ) ? ¿ s e(n + ]6)
- ' I "
a y cosI-üt
' (
4 2 6 4
1 0 . - t"e u : - 9 y cosa( 0 ¿ s e n 2 a c o s 2 a , t-g 2
, 2 , ,"n 1?
5 2
l1r 5n 7Í
I l.- ¿,cos
!1?. trigonométricas # (zs')
Razones de | t rs') . I Qz' lo')
" 8 " t2' t2 8
12.- Comprobarsi cos**-senox-2cos2x* I :0
a
13.- tg ; : t e x p r e s a rn l u n c i ó n e t , t g a . s e na . c o sa
e d
z
14.- Conocidossena y cos a ¿sen3a y cos 3a?
si
1 5 . - C o mp ro b a r co s
#: "- *
sen + b) sen - b)
(a (a ttn 21
16- Simplificar b) + c o s 2 a
'l .
", cosa+cosb
16'.- Expresarcomo producto: cos 60o* cos 40o sen40o* sen20o cos 48o* sen 58o
1 7 . - E x p r e s a r c o m o s u ms e n 3 x s e n x
a: sen3x cosx cos3x senx cos6xcos2x
sen5a + sena :
lg.- Demostrar I + 2 cosza
sen3a - sena
t"n u 3I9 s =
19.- comprobar: a) tg I = .
' " u; J9!9 sec2a
2 l+cosa cotga-sena
x x tga : cos 2a
c) tg2 _ : cotg : -2 cotg x
- -2 d) -- ^L
tg2a-tga
16. 2
2 0 . - D e m o s t r a r q u e s iA B C esuntriánguloy senB+senC:cosB*cosC,eltriánguloes
rectángulo.
21.- Seconoceque os::
c -i yque x esdel3"'cuadrante senx ,
¿ cosx?
¿J
22.- Si A , B y C sonángulos un triángulo,
de que
demuestra : cosB
"-#tt
I
23.- Si senx : - y x es del 2ocuadrante ¿sen3x - senx?
z
que tg + : cosec - cotgA
24.- Demuestra A
z
ecuaciones
25.- Resuelvelas siguientes trigonométricas:
a) cos2x*senx:4sen2x
b) sen2xcosx:6sen''x
c) cos2x:5-6cos2x
d) cos 2x - cos 6x : sen5x * sen3x
e) 4sen1 *2cosx : 3
fl senx * sen3x: cos x
17. Triángulos
1.- Un globo estásujeto al suelomedianteuna cuerdade 80 m de largo, de modo que forma con el
suelo un ángulode 45o. ¿Altura del globo?
2.- Desdeun faro colocadoa 140 m sobreel nivel del mar, el ángulo de depresióndesdeel que se
ve un barcoes de 30o.¿A qué distanciadel faro se encuentra barco?
el
3.- Las ramasde un compásmiden 12 cm y el ángulo que forman es de 45o. ¿Áreadelcírculo que
define el compás?
4.- Los lados de un paralelogramomiden 7 y 4 cm y el ángulo cx que comprendencumple que
A,
tga:l ¿Area?
J
5.- Halla el lado y el apotemade un octógonoregular inscrito en una circunferencia radio R: 8
de
6.- Calcula la hipotenusa un triángulo rectángulosi b = 75 cm y la bisectrizdel ánguloagudo C
de
mide 94 cm.
7.- Doble observación
l" A
:i ¿h'i A : 4 5 " y
s B:30'?
AA
{L ¿ h ,s i A : 6 0 o y B = l 5 o ?
tti, t ¡s,.", I I
¿h, paraelcasogeneral t ñ?
Á Rf
8.- Los lados de un triángulo miden 13, 14 y 15 cm . Hallar el cosenoy senodel ángulomenor y el
áreadel triángulo.
g.- R e s o l v e r e l t r i á n g u lA B C s i A : 3 0 o ,
o B =45o y b:
"[,
1 0 . - E n u n p a r a l e l o g r a mA B C D :
o ne:6 cm . Ro: 8 cm y A : 3 0 ' . ¿ D i a g o n a l eá r:e a ?
s
ll.- Las diagonalesde un paralelogramomiden l0 y 6 cm y el ángulo que forman es de 60o.
¿Lados;área?
12.- Dos caminantesque andan arazón de 5 km / h y 4 km / h. Se separan un cruce tomando
en
caminosque forman 30'. ¿A qué distanciase encuentran cabo de dos horas?
al
13.- A, B y C estánunidospor carreteras rectas: eS : O km . BC : 9 km V nA V AC forman
120' ¿DistanciaentreA y C?
1 4 . - Á r e a d e u n t r i á n g u l o sa = 8 m ,
i B:30o y C:45o
15.- Uno de los lados de un triángulo mide el doble de otro y el ángulo comprendidoes de 60o¿los
otros dos ángulosdel triángulo?
16.- De ABC seconóce a= 20 cm , b :22 cm y sen2C : 0'96 ¿senC? ¿cosC?
17.- Calcularlos ladosde un triángulosabiendo área(18 cm2)y los ángulos A: 20' y B :45o
su
f 8 . - R e s u e l ve l t r i á n g u l o A B C s i n = z ü . u : " [ 1 y b : I
e
19.- Dos circunferencias tangentes exteriormente tienen por radios 9 y 12 cm . Halla el ángulo que
comunes
formansustangentes
18. 4
tienepor lados a , a"[i y 2a . Demostrar el ángulo
20.- Un triángulo que opuesto ladointermedio
al
mide60'
que
HallaAyB sabiendo sen
21.- El ánguloC untriángulomide60'.
de A* senB :
+