Semana 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA P o r e je m p lo :

CEPUNS θ
-θ α - 10º
10º - α

Ciclo 2013-III
TRIGONOMETRÍA
Semana Nº 1
“Ángulo Trigonométrico”
Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos
tener en cuenta el significado de ángulo geométrico y observar las
características de ambos.

Ángulo

Geometría Plana Trigonometría Plana

Abertura determinada por dos rayos a Abertura que se genera por el movimiento
partir de un mismo punto. de rotación de un rayo alrededor de su
A origen, desde una posición inicial (lado
inicial) hasta una posición final (lado final)

Lado Inicial A
Definición

0 θ
0 θ
Lado Terminal
B
B
 Son estáticos  Son móviles
 No tienen sentido de giro,  Su sentido de giro está definido:
por lo tanto no hay ángulos
negativos.  Los ángulos positivos tienen
sentido antihorario ().
Características  Están limitados
(  Los ángulos negativos tienen
0º ≤ águlo Trigonométrico ≤ 360º sentido horario ().
)  Su magnitud no tiene límites.

Nota: Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo
sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:

Centro Preuniversitario de la UNS S-01 1 Ingreso Directo

P o r e je m p lo :

10º - α
-θ α - 10º
θ

Sistemas de medición angular:
Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en
que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:

Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:

1v
1º <> (GradoSexagesimal )
360
1º < 60`( MinutoSexagesimal )
>
1`< 60``( SegundoSexagesimal )
>
1º < 3600``( SegunoSexagesimal )
>

0
 b c 
Debemos tener en cuenta: a º b ´ ´´= a º +b ´+c ´´=  a +
c + 
 60 3600 
Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´

Sistema Centesimal o Francés (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1g <> (GradoCentesimal )
400
1g <>100 m (min utoCentesimal )
1m <> 100 s ( SegundoCentesimal )
1g <>10000 s ( segundoCentesimal )

g
g g b c 
a b mc s = a + b m + c s =  a +

Debemos tener en cuenta: + 
 100 10000 
Ejemplo: 28g30m27s= 28g + 30m + 27s
La medida de un ángulo en Aproximaciones de
Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian (1 rad.)
radianes viene expresado por:
Equivalencias:


Observación: 1 rad = 57º17´45`` 1rad > 1º > 1 g


Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.

RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la
siguiente conclusión:

Sº Cg Rrad
= = =a
360º 400 g 2πrad

Sº Cg Rrad
= = =c
180 º 200 g πrad

Sº Cg 20 Rrad
= = =k
9º 10 g πrad

También una equivalencia de esta última relación es:
πk
 S = 9k ; C = 10k ; R =
20
S C R R
 = ; S = 180 ; C = 200
9 10 π π
S C R R
 = ; S = 180 ; C = 200
9 10 π π

Sexagesimales Centesimales
# de grados S C
# de minutos 60 S 100 C
# de segundo 360 S 10000 C

PROBLEMAS RESUELTOS π π π
A) B) 2π C) D) 40π E)
2 40 10
1. Halle la medida en radianes, de aquél ángulo tal RESOLUCIÓN
que la diferencia de su número de segundos
sexagesimales y de su número de minutos Piden: S = R rad S = 9n
centesimales sea 15700. Sabemos C = 10n
R=
Condición:



Número Número
Segundos − Minutos = 15700 Condición:
Sexg. Cent. S 5 C 6 20
9
g +
S
10
g −
C
π
R gR 7 = 4 S5 + C6 − R 7 ( )
3600 S − 100 C = 15700 { { {
20 K 20 K 20 K
39(9n) − (10n) = 157
314n = 157
20k (S5+C6−R7) = 4 (S5 + C6 −R7)
1 π
n= →R = 1
2 40 k=
5
π ∴ C = 40
∴S = rad RPTA.: C RPTA.: C
40 4. A partir del gráfico mostrado, determine la
medida del ángulo AOB, si “β” toma su
2. Sabiendo que “S” y “R” son los números de mínimo valor.
grados sexagesimales y radianes de un B A
ángulo, donde:
π²S² − R²
= 179R ( 45 − 9β ) º 10 ( α² − 10α + 40 )
g
181 o
Halle “R”.
A) 5 B) 3 C) 4 D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN C D
A)52g B) 30º C)45g D)45º E) 135º
S = 180 K
C = 200 K RESOLUCIÓN
R=πK
π² ( 180k ) − ( πk ) ²
2
θ=?
⇒ = 179(πk) 10g
181 10 ( α² − 10α + 40 ) = − ( 45 − 9β ) º g
g

π²k² ( 180 ) ² − π²k² 9º
= 179 ( πk ) α² − 10α + 40 = β − 5
181
π²k² ( 181) ( 179 ) 
  (α + 5)² + 15 = β − 5
= 179πk (α + 5)² = β − 20
181
πk = 1
β − 20 ≥ 0 → β = 20 (mínimo)
1 1
k= R = π  ÷ = 1 RPTA.: A
π π
3. Halle “C” a partir de la ecuación:
θ
S6 C7 20 8
+
9 10
−
π
R = 4 S5 + C6 − R 7 , ( ) − ( 45 − 9β ) º

Siendo “S”, “C” y “R” lo convencional para un
mismo ángulo. −(45 −9β)º = (9β − 45)º
A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 10 = (180 − 45)º
RESOLUCIÓN = 135º
→ θ = 45º RPTA.: D
S = 180 K
Sabemos C = 200 K =?
R=πK



5. Se inventan 2 sistemas de medición
angular “x” e “y”, tal que: 25x < >
50g , además 80y < > 90º.
Determinar la relación de conversión entre
estos 2 sistemas x/y.
3 5 7 9 11
A) B) C) D) E)
8 8 8 8 8

RESOLUCIÓN A) θ − α + β = 720° B)

1x = 2g
α − β + θ = 720°
8y = 9º C) β −α −θ = −720° D)
1x
=
2g  9  º
× θ − α − β = 360°
8y 9º  10 ÷ g
  E) θ + α + β = 360°

1x 1
= 3) Si se cumple :
8y 5
2
π S 2 + C 2 + R2  S   R
+ = 1 +  + 1 +
5x = 8y → Relación de Sistemas 12 R ( S + C + R ) 2
 S +C + R  S +C +
x y x 5
= ⇒ = RPTA.: B donde S, C y R son las medidas usuales del mismo
5 8 y 8
ángulo; entonces R es igual a:
π π π
A) rad B) rad C) rad D)
120 60 40
π 5π
PROBLEMA DE CLASE rad E) rad
30 120
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III)
1) De la figura halla el máximo valor que toma
"α "
4) En la siguiente figura, la medida del ángulo
AOB, en radianes, es:

π π π π
A) B) C) D) E)
A) 180° B) 160° C) 150° D) 135° E) 120°
6 36 18 12
π
2) Del gráfico, calcular la relación que cumplen 22
los ángulos: α, β, θ (2º EXAMEN CEPUNS 2010 III)
5) Calcular 100a + 9b



g
10) Un ángulos positivo mide Sº ó C . Hallar
10
C de la igualdad: SC = CS
A) 10 B)9 C) 1 D) 10/9 E)9/12

11) La hora de entrada de Juan a su centro de
trabajo es a las 14:00 horas, y pierde el empleo
A) 1 B) -1 C) 2 D) 0 E) 3 por llegar 14 minutos tarde. Calcule la medida
del ángulo que forman en ese momento, las
manecillas del reloj de pared.
6) Calcular la medida de un ángulo en radianes, si
π
se cumple la siguiente condición: A) rad B) 17º C) 16º D) 10º + 6º E)
9
( )
5 5 5
S C 5R π
+ + = 2 S 4 + C 4 + R4 rad −1º
36 40 π 10
4π 2π 3π
5 5 10 12) Siendo a, b, c, d (en ese orden) los números
5π 2π que representan la medida de un mismo ángulo
rad E) rad en grados sexagesimales, grados
4 9 centesimales, minutos sexagesimales y
minutos centesimales que cumplen:
1
( c − d ) ; calcular 47a.
g
7) Un ángulo positivo mide Sº ó C , calcular el
b − a −10 =
valor simplificado de: 10
C +S 3 C +S A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 120
P =4 − +8
C −S C −S
A) 3 B) -3 C)5 D) -5 E) 2 13) La medida de un ángulo “α” está dado por S º
g
C ’ y la de un ángulo “θ“ está dado por S C
8) Siendo “S” el número de grados sexagesimales m
. Si la diferencia del número de minutos
de un determinado ángulo que cumple: Centesimales de θ y el número de minutos
18 4 Sexagesimales de α es 360. Calcular “α + θ “
4
− S = 3 , Calcular la medida de dicho
S (S y C son los números convencionales)
ángulo en radianes. A) 17º21’24’’ B)17º24’11’’ C)17º24’21’’
9π 8π 7π D) 18º11’24’’ E) 18º24’11’’
A) rad B) rad C) rad
20 15 15
6π 5π
g
14) Si se cumple que: A = Bº, calcular el valor de:
rad E) rad
25 18 9A º +6B '
E =
6B g + 9A m
 A 549 849 9
9) Si: 7,29º = A g B m ; calcular 10  A) B) C) D)
B 1010 1010 10
A) 10 B) 8 C) 6 D) 5 E) 12 1010 1010
E)
849 549


proporcionales a 4 y 3 respectivamente. Si
15) Siendo S , C y R los números convencionales además el ángulo mide 7 segundos
para un mismo ángulo; Determinar la medida centesimales, calcule el valor de x.
de dicho ángulo, en radianes, si se cumple que: A) 0,01 B)0,02 C)0,003 D) 0,04 E) 0,2
4S +2C + R = 561,57 ; Considerando que
π = 3,14. 20) Calcule la medida de un ángulo en radianes,
π π π π sabiendo que el doble del número de
A) B) C) D)
6 4 3 2 segundos sexagesimales menos 6 veces el
3π número de minutos centesimales de dicho
E)
4 ángulo es igual a 29400.
π π π
A) B) C) D)
16) Determinar el valor de la siguiente expresión en 40 30 20
grados sexagesimales π π
π π E)
π rad + 90º +50 + rad + 45º +25 g + rad + 22º30'+12 g 50 m + ...
g
10 5
2 4
A) 360 B) 470 C) 550 D) 630 E) 720 21) Los ángulos internos de un polígono convexo,
A, B, C, D y E, cumplen la siguiente relación:
A B C D E
= = = = . Calcule la
17) El número de grados sexagesimales de un 2 3 4 5 6
diferencia en radianes de la suma de los dos
cierto ángulo y los 2/3 del número de grados
ángulos mayores menos la suma de los dos
centesimales de otro ángulo están en relación ángulos menores.
de 9 a 10; además dichos ángulos son 7π 9π 11π
A) B) C)
suplementarios. Calcular la medida del mayor 10 10 10
ángulo. D) 2π E) 3π
A) 100º B)102º C)104º D)108º E)111º 22) Calcule el número de radianes (R) de un
ángulo que verifique

18) Un cierto ángulo mide a minutos
24 π 1 2R
+ + 1 = 2, R > 0
sexagesimales y a su vez mide b minutos 2R + π 2 π
centesimales. Calcular el valor de:
Indique la respuesta en el sistema sexagesimal
a 23
F= + 180   270 
b 50 A)  º B)  º C)
A) 0 B)1 C)2 D) 3 E) 4
 π  π 
 360 
 º
19) Si al número de minutos centesimales de un  π
ángulo se le suma y también se le resta un
cierto número x, se obtienen dos cantidades



 π E) θ - α = 240º
   π
180 º  
D)   E)  270 º 2. Del gráfico señale lo correcto, si: OP es bisectriz
  ∧
del A O B .
B
0 / //
23) Si: θ =1a5 b3 c3 , es el suplemento
del complemento de 25,3925º; entonces el P
valor de “a + b + c”, es:
A) 3 B)4 C) 5 D) 6 E) 7 α
θ

C O A
24) Siendo S , C y R los números convencionales
A) 2θ - α = 360º B) 2α - θ = 360º
para un mismo ángulo; se cumple:
C) 2θ + α = 180º D) 2θ + α = 360º
πSC + 180CR + 200 SR 5
= S E) 2α + θ = 360º
SCR 3
Calcular el número de grados sexagesimales. 3. Si: x º y '+y º x ' = ( AB )º (CD )' ;
A) 9 B)10 C) 18 D) 24 E) 36 x + y = 90 ,
Calcular A + B + C + D
25) Siendo S , C y R los números convencionales A) 10 B) 18 C) 15 D) 12 E) 13

π
C(C - 1) + S(S - 1) = 2SC 4. Siendo rad ≡ xºy'. Hallar y −x
16
Calcular la medida del ángulo en grados
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
sexagesimales.
A) 141º B)151º C)161º D)167º E)171º 5. Calcular la medida de un ángulo en radianes, si
cumple la condición:
( C −S −1)
2S C 
PROBLEMA DE  9 − 10 −1 =1
REPASO  
π π
A) πrad B) rad C) rad
1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto: 2 10
D) 1 E) 0

θ 6. Calcular “n”. Si:
α R
C + S + C+S + ... +S = 3800
 + S C +  C + 
-1 2 0 º π
"2n" Sumandos
A)1 B) 10 C) 30 D) 40 E) 50

A) α + θ = 240º B) α + θ = 120º

C)α - θ = 240º D) α - θ = 120º



7. Se ha creado un nuevo sistema: Sistema Rangel complemento de dicho ángulo expresado en
En el cual 1R (grado Rangel) equivale a las ¾ radianes.
partes del ángulo de una vuelta. 2π 2π 3π
7π 5 3 8
3 − radR
π π
Simplifique:
M = 2 rad E) rad
18º 8 6
A) 10 B) 9 C) ½ D) 5 E) 1
12. Expresar “ α ” en radianes:
8. De la siguiente expresión, calcular “n, si: α = 1° + 2° + 3° + ... + 360°
1º + 8º + 27 º +  + (n ) º 3
A) 359π B) 360π C) 361π D) 362π E)
= 420 720π
1g + 2g + 3g +  + n g
A) 25 B) 27 C) 18 D) 23 E) 21
13. Calcular el mayor valor de un ángulo expresado
9. Si los números de grados centesimales (C) y en grados sexagesimales tal que cumpla la

sexagesimales ( S ) que contiene un ángulo, se R π
siguiente condición: 2 +3 =5
relacionan del siguiente modo: π R
1 a) 495° b) 450° c) 405° d) 360° e) 315°
C − S = x + ; ∀x ∈ R +.
x
¿Cuál es la medida del menor ángulo en radianes
que verifica la expresión anterior? 14. Calcular:

π π π C S 8 C + S 
A) rad B) rad C) rad D) M =3 − +  
2 4 5 S + C S − C 19  C − S 
π π , Siendo R, S y C lo convencional para un mismo
rad E) rad
10 20 ángulo.
a) 3 b) -3 c)5 d) -5 e) 2
10. Siendo R, S y C lo convencional para un mismo
ángulo, donde : 15. En la figura, expresar θ en términos de α .
x x
S = x x +2; C = x x +4 . Calcular R.x
π π π π
A) rad B) rad C) rad D) rad
10 5 12 9
π
E) rad
3
A) θ = 360° − α B) θ = 720° − α
11. Los números que representan la medida de un C) θ = −360° − α D) θ = α − 720°
ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal E) θ = α − 1080°
son números pares consecutivos; calcular el
16. Del gráfico, calcular “x”.



que forman las bisectrices interiores de los otros
dos ángulos del triángulo.
11π 13π 17π
A) B) C)
24 24 24
19π 13π
D) E)
24 24

A) 4 B)5 C)6 D)7 E)3 21. En un ángulo tiene la siguiente medida:
xg = 3’ +6’ +9’ +12’ +15’ +… ; calcular el menor
valor entero de “x”
17. Siendo R, S y C lo convencional para un mismo A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 9
C −S
ángulo, calcular M = , si:
R 22. Determine la medida de un ángulo en radianes,
C = ( 2c −10) ( 2C −10 ) ( 2C −10 ) ( 2C −10tales que los números que expresan sus medidas
)
cumplen la relación:
π 10 π S +C C −R 3
+ =
5 π 10 19 200 − π 4
20 5 π π π
rad E) rad
π π A)
42
B)
35
C)
28
D)

π π
E)
18. En la figura calcular el valor que toma “x” 21 14

23. Siendo S , C y R los números convencionales
2
SR CR R
+ =  , Calcular la
180π 200π  π 
A) 8° B)10° C) 15° D) 20° E) 25° medida del ángulo en radianes.
π π 3π
A) B) C) π D)
3 2 2
19. Si el suplemento del complemento de un
E) 2π
determinado ángulo “θ“ es 117.3725º, entonces
/ //
Si : θ = 2a º 2b 2c , calcular a + b + c 24. Siendo S y C los números convencionales para
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 un mismo ángulo; se cumple:
π Sg 3
20. El máximo valor angular de un ángulo interno de rad = + C º , calcular el valor de:
 x 2 + 28 xy + y 2  6 3 8
un triángulo es 
  .calcular la

F = 129 ( 2S – C )
 x2 + y2  A) 1200 B) 1500 C) 2400
medida circular del mayor ángulo en radianes



D) 3000 E) 4800 π π π
A) B) C) D)
4 8 10
25. Siendo S y C los números convencionales para π π
E)
un mismo ángulo; se cumple: 20 50
g
Cº =1,9º + S , calcular el ángulo en radianes.


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