1. GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 9
UNIDAD: GEOMETRÍA
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A SU MEDIDA
Ángulo nulo : Es aquel que mide 0°.
Ángulo agudo : Es aquel que mide más de 0° y menos de 90°.
Ángulo recto : Es aquel que mide 90°.
Ángulo obtuso : Es aquel que mide más de 90° y menos de 180°.
Ángulo extendido : Es aquel que mide 180°.
Ángulo completo : Es aquel que mide 360°.
EJEMPLOS
1. En la figura 1, AD es una recta y a es un ángulo agudo. Entonces, el COD mide
A) 24º
B) 72º
C) 90º
D) 168º
E) 180º
2. ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera?
A) La suma de tres ángulos obtusos es un ángulo completo.
B) La suma de un ángulo obtuso con un ángulo agudo es un ángulo extendido.
C) La mitad de un ángulo obtuso más la mitad de un ángulo agudo es un ángulo
extendido.
D) La suma de dos ángulos rectos es un ángulo extendido.
E) La suma de dos ángulos agudos es un ángulo obtuso.
C u r s o : Matemática
Material N° 11
A
D
B
C
O
4a
3a
a
fig. 1

2. 2
3. En la figura 2, L1, L2 y L3 son rectas. Si β = 3α y γ = 4α, entonces α + β es igual a
A) 22,5º
B) 67,5º
C) 90º
D) 112,5º γ
E) 157,5º
4. En la figura 3, si x= 8a + 24º, entonces el x mide
A) 144º
B) 180º
C) 192º
D) 216º
E) 336º
5. En la figura 4, ¿cuánto mide el BOC si α = 176º?
A) 23º
B) 69º
C) 115º
D) 176º
E) 184º
6. En la figura 5, ¿cuánto mide
1
5
del COB?
A) 12º
B) 15º
C) 75º
D) 90º
E) 105º
a
3a 2a
O
x
fig. 3
D
C
B
A
fig. 4
O
B
C
A
α3x
5x
OA B
7β 5β
C
fig. 5
fig. 2α
β
L1
L2
L3

3. 3
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN
Ángulos consecutivos : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común, y sus
regiones interiores no se intersectan.
Ángulos adyacentes o : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común y los
par lineal otros dos lados sobre una misma recta.
Ángulos opuestos por el : Son aquellos que tienen el vértice en común y los
lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados
del otro.
OBSERVACIONES
Bisectriz de un ángulo : Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual
medida (congruentes).
Rectas perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo recto.
EJEMPLOS
1. En la figura 1, si α + δ = 194º y δ + β = 217º, entonces β – α es igual a
A) 23º
B) 31º
C) 90º
D) 123º
E) 166º
α y β consecutivos
α
β
A
B
C
O
α y β adyacentesα
β
A
B
C O
α y β opuestos por el vértice, α ≅ βαβ
β
α α ≅ β
L1
L2
L1 ⊥ L2
α β
δ
fig. 1

4. 4
2. En la figura 2, ¿cuál es la medida de 2α?
A) 20º
B) 40º
C) 60º
D) 120º
E) 240º
3. En la figura 3, si L1 y L2 son rectas, entonces 2λ + 4ε + 3δ + β =
A) 180º
B) 540º
C) 720º
D) 900º
E) 980º
4. En la figura 4, OM OQ⊥ , MON = 2x + 25º y NOQ = x + 35º. ¿Cuánto mide el
MON?
A) 10º
B) 45º
C) 55,5º
D) 60º
E) 60,5º
5. En la figura 5, los puntos X, O e Y son colineales. Si OS ⊥ OZ , y ZOY =
1
3
XOS,
¿cuánto mide el SOX?
A) 22,5º
B) 40º
C) 45º
D) 67,5º
E) 90º
λ
ε
β
δ
L1
L2
fig. 3
fig. 4
MO
N
Q
fig. 5
O YX
S
Z
2α
fig. 2
O
B
C
A
α
3
Dα
2
α
6

5. 5
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS
Ángulos complementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. Si α y β son
ángulos complementarios, α es el complemento de β y β
es el complemento de α. El complemento de un ángulo x
es 90° – x.
Ángulos suplementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Si α y β son
ángulos suplementarios, α es el suplemento de β y β es el
suplemento de α. El suplemento de un ángulo x es
180° – x.
EJEMPLOS
1. El suplemento de un ángulo β es igual al triple de dicho ángulo. ¿Cuánto mide β?
A) 22,5º
B) 45º
C) 67,5º
D) 90º
E) 157,5º
2. El complemento del doble del ángulo ε es 54º, entonces ε mide
A) 18º
B) 36º
C) 54º
D) 72º
E) 90º
3. Si β y 3δ son ángulos complementarios, entonces β en función de 3δ es
A) 3δ – 90º
B) 180º – 3δ
C) 90º – 3δ
D) 3δ – 180º
E) 90º + 3δ

6. 6
4. El suplemento del suplemento de β – 19º es
A) 0º
B) 161º – β
C) 19º – β
D) 71º – β
E) β – 19°
5. El suplemento de α – 25º más el complemento de 3α – 12º es igual a
A) 205º – 4α
B) 102º – 4α
C) 385º – 4α
D) 307º – 4α
E) 295º – 4α
6. La diferencia entre un ángulo α y su complemento es 20°. ¿Cuánto mide el suplemento
de α?
A) 55º
B) 115º
C) 125º
D) 145º
E) 160º
7. Si el suplemento del ángulo (35 – α) es 160°, entonces el complemento de α es
A) 15º
B) 35º
C) 75º
D) 145º
E) 165º

7. 7
PARES DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA
TRANSVERSAL
ÁNGULOS ALTERNOS:
Los ángulos alternos entre paralelas tienen la misma medida.
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES
Los ángulos correspondientes entre paralelas tienen la misma medida.
ÁNGULOS COLATERALES
Los ángulos colaterales entre paralelas suman 180°.
EJEMPLOS
1. En la figura 2, L1 // L2. Entonces, x – 2 y es igual a
A) 45º
B) 89º
C) 95º
D) 105º
E) 135º
ALTERNOS EXTERNOS ALTERNOS INTERNOS
1 con 7
2 con 8
3 con 5
4 con 6
1 con 5 2 con 6 3 con 7 4 con 8
COLATERALES EXTERNOS COLATERALES INTERNOS
1 con 8
2 con 7
4 con 5
3 con 6
x
y135º
L2
L1
fig. 2
1
3
2
4
6
78
5
L1
L2
L1 // L2
T
fig. 1

8. 8
2. Si en la figura 3, L1 // L2, ¿cuál es el valor del x?
A) 5º
B) 10º
C) 20º
D) 70º
E) 100º
3. En la figura 4, L1 // L2, ¿cuál es el valor del x?
A) 35º
B) 50º
C) 55º
D) 70º
E) 125º
4. En la figura 5, L1 // L2 y L3 // L4. Si α = 135º, ¿cuál es el valor de α + β?
A) 45º
B) 145º
C) 150º
D) 180º
E) 270º
5. En la figura 6, L1 // L2 // L3. Si β = 129º, entonces el x mide
A) 20º
B) 30º
C) 37º
D) 43º
E) 47º
fig. 3
150º
40º
x
L1
L2
fig. 4
125º
70º
x
L1
L2
fig. 5
β
α
γ
L1
L2
L3 L4
fig. 6
x β
2γ
γ L1
L2
L3

9. 9
ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS
TEOREMAS
La suma de las medidas de los ángulos interiores es
igual a 180°.
La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°.
La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos
interiores no adyacentes a él.
EJEMPLOS
1. Dado el ∆ABC de la figura 2, las medidas del x y del y son
A) x = 45º y = 45º
B) x = 55º y = 15º
C) x = 30º y = 15º
D) x = 60º y = 30º
E) ninguna de las anteriores.
2. En la figura 3, α es el 20% de β. ¿Cuál es la diferencia entre β y α?
A) 110º
B) 120º
C) 140º
D) 150º
E) 175º
αααα’ + ββββ’ + γγγγ’ = 360º
αααα’ = ββββ + γγγγ ββββ’ = αααα + γγγγ γγγγ’ = αααα + ββββ
αααα + ββββ + γγγγ = 180º
β β’α’ α
γ’
γ
A B
C
fig. 1
fig. 2
125º
A B
C
y 2x
x
fig. 330º
α β

10. 10
3. En la figura 4, si β = 2α, entonces el valor del x es
A)
β
2
B) α
C) α – β
D)
α
2
E) 180 – α
4. Si en la figura 5, BD es bisectriz del ABC y α = 50º, entonces el x mide
A) 20º
B) 50º
C) 60º
D) 70º
E) 80º
5. El ∆ABC de la figura 6, es rectángulo en C. Si y : x = 3 : 1, entonces el x mide
A) 30º
B) 45º
C) 50º
D) 60º
E) 135º
6. En el ∆ABC de la figura 7, AD es bisectriz del CAB. Entonces, la medida del x es
A) 75º
B) 90º
C) 120º
D) 125º
E) 130º
β
x
α
fig. 4
fig. 5
x
D
C
A
B
α
y
C
x
fig. 6
BA
130º
C
x
fig. 7
BA
70º
E D

11. 11
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
OBSERVACIONES:
1) En un triángulo isósceles, que solamente tiene dos lados de igual medida, al lado distinto
se le llama base.
2) En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
EJEMPLOS
1. Si en la figura 1, el ∆ABC es isósceles de base AB , ⊥DE BC y AD = DE , entonces el
valor del x es
A) 35º
B) 45º
C) 55º
D) 60º
E) ninguno de los valores anteriores.
2. En el ∆ABC de la figura 2, AB ⊥ BC y AD = CD . Entonces, el x mide
A) 10º
B) 15º
C) 20º
D) 30º
E) 35º
3. En el ∆ABC de la figura 3, AB = BC , L // AC y L1 // BC . Entonces, el x mide
A) 40º
B) 70º
C) 80º
D) 110º
E) 140º
Según sus lados Según sus ángulos
Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida.
Isósceles: Tiene dos lados de igual medida.
Equilátero: Tiene sus tres lados de igual medida
Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos.
Rectángulo: Tiene un ángulo recto.
Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.
fig. 1
54º
x
A B
E
D
C
35º
x
D B
A
C
fig. 2
fig. 3
40º
BA
C
L1
L
x

12. 12
4. En la figura 4, L1, L2 y L3 son rectas. Si el DAF = α y es suplemento del ABG,
entonces se puede asegurar que
A) AC = BC
B) AB = BC
C) AC = BC = AB
D) AC > BC
E) AB = AC
5. En la figura 5, el ∆ABC es escaleno con x e y valores positivos. ¿Cuál(es) de las
siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?
I) x ≠ y
II) x ≠ 2
III) x ≠ 2x – y ≠ 2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Todas ellas.
E) Ninguna de ellas.
6. En la figura 6, AD y BD son bisectrices de los ángulos exteriores del ∆ABC. Entonces,
el ángulo α mide
A) 25º
B) 35º
C) 45º
D) 50º
E) 90º
fig. 4
A B
C
D E
F G
L1 L2
α L3
fig. 5
C
A B2
2x – yx
fig. 6
C
A B
D
40º
α

13. 13
EJERCICIOS
1. Los ángulos α y β son suplementarios. Si α : β = 2 : 3, entonces se puede afirmar
que:
I) α es un ángulo agudo.
II) El complemento de la mitad de β es 26º.
III) Los ángulos
α
2
y
β
2
son complementarios.
Es (son) verdadera(s)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
2. En la figura 1, ⊥CF FE y los puntos A, F y B son colineales. Entonces, la medida de α
es
A) 35º
B) 45º
C) 55º
D) 65º
E) 70º
3. En la figura 2, L1 // L2 . Luego, la medida del ángulo α es
A) 130º
B) 73º
C) 65º
D) 50º
E) 33º
4. En la figura 3, los valores de x e y, para que el ∆ABC sea equilátero, deben ser
A) x =
5
2
, y =
5
2
B) x = 5, y = 5
C) x =
5
2
, y = 5
D) x = 10, y =
5
2
E) x = 5, y =
5
2
fig. 2
130º57º α
L1 L2
fig. 3
BA
C
102x + 5
y + 5
fig. 1
F BA
C E
α 35º

14. 14
5. En la figura 4, el ∆CAD es isósceles de base CD . Entonces, la medida del CAD es
A) 180° – 2α – 2β
B) 180° – α + β
C) 180° + α + β
D) 180° + α – β
E) 180° – 2α + 2β
6. En la figura 5, el ∆ABC es isósceles de base AB . Si AC = 4x + 6 y BC = x + 18,
entonces x es igual a
A) 22
B) 18
C) 14
D) 8
E) 4
7. En la figura 6, ∆PQR es tal que PR = a + b, PQ = c + d y QR = b + c. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Si a = c, entonces ∆PQR es isósceles.
II) Si a = c y b = d, entonces ∆PQR es equilátero.
III) Si a, b, c y d son números enteros distintos entre sí, entonces ∆PQR es
escaleno.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
8. En la figura 7, el ∆ABC es rectángulo en B. Entonces, el valor del ángulo x es
A) 12º
B) 26º
C) 38º
D) 68º
E) 78º
fig. 4
α β
BA
C
D
fig. 7
x
α3α
104º
BA
C
fig. 5
BA
C
QP
R
a + b b + c
c + d
fig. 6

15. 15
9. En la figura 8, el ∆ABC es isósceles de base BC . Si CF = FG , β = 4α y γ =
α
2
,
entonces la medida del FED es
A) 120º
B) 60º
C) 45º
D) 30º
E) 15º
10. En la figura 9, L1 // L2 // L3. Entonces, la suma de los ángulos α, β y γ es
A) 120º
B) 140º
C) 160º
D) 180º
E) 200º
11. En el ∆ABC de la figura 10, α + β =
A) 50º
B) 70º
C) 130º
D) 230º
E) 260º
12. En la figura 11, ⊥AB CB , AC es bisectriz del DAB y AD = AB . Entonces, la medida
del x es
A) 25º
B) 30º
C) 45º
D) 65º
E) 70º
fig. 8
C
BA
β
γ
α
E
F
G
D
fig. 9α
β
γ
120º
L3
L2
L1
40º
fig. 10
βα
50º
BA
C
fig. 11
BA
CD
E
25º
x

16. 16
13. En la figura 12, el ∆AED es isósceles de base AD . Si DE // CB , la medida del DAF es
A) 27º
B) 31º
C) 33º
D) 58º
E) 64º
14. En la figura 13, el BEF = 130º, entonces el x es igual a
A) 40º
B) 50º
C) 100º
D) 120º
E) 130º
15. En la figura 14, AE es una recta y EOD =
1
2
COD =
1
3
AOB =
2
3
BOC. Entonces,
BOD =
A) 24º
B) 36º
C) 72º
D) 84º
E) 110º
16. En el ∆PQR de la figura 15, ¿cuánto mide el PRQ?
A) 20º
B) 40º
C) 60º
D) 80º
E) 100º
fig. 12
116º
85º
A E B
F
D C
fig. 13
130º
A D E B
F
C
x
fig. 14
O
EA
D
CB
fig. 15
100º
P Q
3α
R
C
3α α

17. 17
17. En la figura 16, los puntos E, A y B son colineales. ¿Cuál es el valor del x?
A) 50º
B) 65º
C) 90º
D) 115º
E) 165º
18. En el ∆ABC la figura 17, α = 50º, z = 4 x y x =
1
3
y. ¿Cuál es el valor del v?
A) 10º
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) 90º
19. En la figura 18, ACD = BDC. Entonces, el EBC =
A) 35º
B) 55º
C) 80º
D) 110º
E) 170º
20. En el ∆PQR de la figura 19, QT y RS son bisectrices de los ángulos PQR y PRQ,
respectivamente. ¿Cuál es el valor del x?
A) 40º
B) 50º
C) 100º
D) 130º
E) 150º
γ γ
γ
x
50º
E A B
C
D
fig. 16
fig. 17
100º
α
v
z
y
x
A B D
C
fig. 18
70º
A B C
E
D
fig. 19
T
R
x
QSPV
100º

18. 18
21. En el ∆ABC de la figura 20, AF y BE son bisectrices de los ángulos CAB y ABC,
respectivamente. Entonces, el FAC mide
A) 18º
B) 27º
C) 36º
D) 54º
E) 72º
22. El triple del complemento de (α – 10º) es igual al suplemento de (α – 20º). ¿Cuánto
mide el complemento del ángulo α?
A) 130º
B) 100º
C) 80º
D) 50º
E) 40º
23. En la figura 21, L1, L2, L3 y L4 son rectas, donde L1 // L2 y L1 es bisectriz del ángulo
obtuso formado por las rectas L3 y L4. Entonces, el x mide
A) 30º
B) 40º
C) 60º
D) 70º
E) 120º
24. Uno de los ángulos interiores de un triángulo mide 40º más que el otro, y 40º menos
que el tercer ángulo. ¿Cuál es la medida del ángulo mayor?
A) 80º
B) 100º
C) 120º
D) 150º
E) 160º
25. En la figura 22, el ángulo ε es igual a
A) 2γ – β
B) 2γ + β
C) 2γ
D) 2β
E) β
fig. 20
DA
72º
B
C
F
E
fig. 21
L3 L4
L2
L1
x
3αα + 20
fig. 22
γ
β
γ
ε
R
T
S QP

19. 19
26. En la figura 23, AC = x + 5 y AB = 2x – 3. Se puede determinar que el ∆ABC es
equilátero si :
(1) α = β
(2) x = 8
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada un por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
27. En la figura 24, se puede determinar que L1 // L2 si :
(1) α + γ = 180º
(2) β = γ
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada un por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
28. En la figura 25, se puede determinar que el ∆ABC es equilátero si :
(1) AC = BC y α + β = γ
(2) ⊥AE BC , ⊥CD AB y AE = CD
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada un por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
29. En la figura 26, se puede determinar el valor de α + β + γ si :
(1) α = β = γ
(2) L1 // L2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada un por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere de información adicional
L
L1
L2
β
γ α
fig. 24
fig. 25
D BA
C
E
α β
γ
fig. 26
γ
βα
L1
L2
80º
fig. 23
BA
C
α β
γ
x + 5
2x – 3

20. 20
30. En el ∆PQR de la figura 27, se puede determinar el valor del RPQ si :
(1) a = c y c = 2 b
(2) PQR = 60º
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada un por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere de información adicional
DMDMA11
fig. 27
R
P Q
a
b
c
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