Bisectrices, simetrales, alturas, transversal de gravedad, puntos de interseccion.

1. G U I A D E T R I A N G U L O S N°2
ELEMENTOS SECUNDARIOS
- Altura : ha , hb , hc - Simetral : Sa , Sb , Sc - Mediana : ma , mb , mc
- Bisectriz : ba , bb , bc - Transversal de gravedad : ta , tb , tc
ALTURAS (h)
La altura se obtiene al trazar una línea perpendicular desde el vértice al lado opuesto o a la prolongación de
éste. Un triángulo posee tres alturas ha , hb , hc. Las alturas concurren a un mismo punto llamado ortocentro
(H)
Ejercicio propuesto
Traza y determina el ortocentro’ en un triangulo rectángulo, triangulo isósceles, triangulo equilátero y en un
triangulo obtusángulo. Discute tus resultados con algún compañero.
TRANSVERSALES DE GRAVEDAD (t)
Una transversal de gravedad une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Concurren a un mismo
punto, denominado centro de gravedad baricentro del triángulo (T) . T se ubica siempre dentro del
triángulo.
En la transversal de gravedad se cumple: 2 =
Bisectriz (b)
Las bisectrices dividen cada ángulo interno por la mitad. Todas las bisectrices concurren a un mismo punto que es el
centro de una circunferencia inscrita. Este punto se denomina inscentro. (P)
ba bb bc = P
Simetral (S)

2. Las simetrales son las perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados. Las tres simetrales concurren a un
punto que es el centro de la circunferencia circunscrita. A este punto se le denomina circunscentro.
D,E y F puntos medios
Mediana
Las medianas unen los puntos medios de los lados. Las áreas de cada triángulo parcial obtenido al trazar las medianas,
son iguales y cuatro veces menor que el área del ABC.
Área( AFD= FBE= DFE= DEC)
Cada mediana es paralela al lado opuesto. Cada mediana mide la mitad de su lado opuesto, o cada lado mide el
doble que su mediana paralela.
a) DE // AB b) FE // AC c) DF // BC
1) 2 DE = AB 2) 2 FE = AC 3) 2DF = BC
AB = 2 DE
OBSERVACION
a) En un triangulo equilátero todos los elementos secundarios coinciden en el punto medio de un lado del triangulo.
(excepto la mediana )
b) En un triangulo isósceles , la altura ,la simetral, la bisectriz ,la transversal de gravedad coinciden en la base del
triangulo
∆ABC Equilátero
F,D y E puntos medios bd , td , Sd coinciden en D, lo
mismo ocurre en los puntos E y F

3. EJERCICIOS DE SELECCIÓN MULTIPLE
1) El ∆ABC de la figura , BD y AE son bisectrices de los _CAB y _ABC, respectivamente. Si <ACB = γ, entonces el <AFB
es igual a
A) 90° – γ
B) 180° – 2γ
C) 90° –2γ
D) 90° +2γ
E) 90° – 2γ
2) En el ∆ABC rectángulo en C , CD es transversal de gravedad y <CDB = 106°. La medida del <CAD es
A) 45º
B) 53º
C) 74º
D) 90º
E) no se puede calcular.
3) En la figura, el ∆PQT es isósceles de base PT , QR es transversal de gravedad y MN es mediana. Si <PQR = 25°,
entonces la medida del <MNR es
A) 25°
B) 40°
C) 45°
D) 65°
E) 75°
4) En el ∆ABC, isósceles de base AB , BD es bisectriz del _ABC. Si <CAB = 70º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 40º
B) 60º
C) 75º
D) 90º
E) 105º
5) En el triángulo SRT , TH es altura, α = 110º y β = 140º. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
A) 20º
B) 30º
C) 50º

4. D) 60º
E) 70º
6) En el ∆ABC , AD transversal gravedad y < CAD = <BAD. Entonces, la medida del ángulo ADB es
A) 110º
B) 100º
C) 90º
D) 80º
E) 60º
7) En el triángulo ABC rectángulo en C , CD es altura. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
A) 100º
B) 105º
C) 115º
D) 125º
E) 135º
8) El ∆PQR de la figura , es rectángulo en P y ED es simetral del lado QR . Si <QRP = 70°, ¿cuál es la medida del
<EDP?
A) 70º
B) 50º
C) 30º
D) 20º
E) 10º
9)Si en el triángulo DEF , MN es mediana, entonces el ángulo NMD mide
A) 40º
B) 100º
C) 120º
D) 130º
E) 140º
10) El ∆ABC es rectángulo en C. Si se traza la altura CD y la transversal de gravedad CE, entonces el _DCE mide
A) 10º
B) 20º
C) 40º
D) 50º
E) no se puede determinar.
11) En el triángulo ABC , AC es perpendicular a BC , _BAC = 2_ABC y_ACD =_BCD. ¿Cuánto mide el ángulo CDB?

5. A) 95º
B) 105º
C) 115º
D) 120º
E) 125º
12) En la figura, el ∆MNP es isósceles de base MP, NQ es bisectriz del _MNP y MP = MR . Si _MPN = 4_PNM, ¿cuánto
mide el <MSQ?
A) 70º
B) 55º
C) 50º
D) 40º
E) 30º
13) En el ∆ABC de la figura , CE transversal de Gravedad. La medida del ángulo x es
A) 15º
B) 20º
C) 25º
D) 30º
E) 35º
.
14) En el triangulo ABC se trazan las alturas CM y AN. Si AB es el doble de BN , entonces el <X mide?
A) 60°
B) 30°
C) 45°
D) 15°
E) 22,5°
15) En el triangulo ABC escaleno , H es ortocentro. Si la m<ABC mide 55°, entonces el <x=?
A) 15°
B) 25°
C )35°
D) 55°
E) 70°
16) O es el circuncentro del ∆ABC . Si R OAB = 20º y R COB = 80º. La medida del < x es
A) 10º
B) 20º
C) 50º
D) 80º
E) Otro valor
17) En el ABC , AD y BD son bisectrices . Si m<ACB = 70°, entonces m<x=?
A) 150°
B) 140°
C) 110°
D) 100°
E) 125°
18) ¿Cuánto mide la mediana DE de triangulo ABC?
A) 6
B) 9

6. C) 3
D) 12
E) N.A.
19) ¿Cuánto mide el ángulo x , si IG es bisectriz del <FGH?
A) 45°
B) 90°
C) 35°
D) 20°
E) N.A.
20) mediana . ¿Cuánto mide el angulo CEB?
A) 28°
B) 40°
C) 68°
D) 58°
E) N.A.
21) Si es altura del ABC, entonces el <x=?
A) 20°
B) 45°
C) 70°
D) 30°
E) 35°
22)En el triángulo MNT , MP = 8 cm, QN = 12 cm y PQ es mediana. Entonces, MN - MT es
A) 2 cm
B) 4 cm
C) 6 cm
D) 8 cm
E) 10 cm
23) En el triángulo PQR , < PRQ = 80º y DE es mediana. ¿Cuánto mide R x?
A) 35º
B) 45º
C) 50º
D) 55º
E) 60º
24) En el triángulo ABC , AE y CD son bisectrices de los ángulos CAB y ACB respectivamente. Entonces, el ángulo x
mide
A) 146°
B) 158°
C) 168°
D) 68°
E) 36°
25) En el triángulo ABC, es rectángulo en C, CD ⊥ AB y AE es bisectriz. Si <AFD = 57º, entonces la medida del < ABC
es
A) 24º
B) 26º

7. DA B
C
α ε βδ
C) 28º
D) 34º
E) 57º
26) Sea el ∆ ABC isósceles en C. E: centro de gravedad, DE = 2 cm entonces la medida de AE es:
A) 2 cm
B) 3 cm
C) 4 cm
D) 5 cm
E) No se puede calcular
27) En el triangulo ABC se tiene que < ACB = 90º , N punto medio de AB , entonces < x =? (<A=50°)
A) 120º
B) 105º
C) 145º
D) 100
E) 130º
28) En el triángulo isósceles ABC de base AB de la figura , I es el incentro. Si R AIB = 100º,
¿cuánto mide el R ACB?
A) Faltan datos para determinarlo
B) 20º
C) 40º
D) 50º
E) 80º
29) El triangulo ABC es rectangulo en B. EF es simetral e BC y triangulo CEF es isósceles . entonces <x + < y =?
A) 70º
B) 75º
C) 85º
D) 90º
E) 95º
30) En el triángulo rectángulo de la figura, D es punto medio de AB y α : β = 5 : 1. ¿Cuánto mide δ + ε ?
A) 180º
B) 165º
C) 150º
D) 135º
E) 120º
31) El triángulo DEF de la figura es isósceles de base DF . R es punto medio de DF y < DFE= 50º. ¿Cuánto
mide el ángulo REF?
A) 25º
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) 80º
32) Triangulo ABC recto en A, D punto medio de BC, entonces <x =?
A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 60º
E) 75º
33) En el triángulo equilátero ABC de la figura 2, E es punto medio de AB y BD es bisectriz
A B
C
E
D

8. A B
∅
C
E D
del ángulo ABC. ¿Cuánto es el suplemento de < x + < y?
A) 150º
B) 120º
C) 90º
D) 60º
E) 30º
34) En la figura, ∆ABC es isósceles de base CM,AB es transversal de gravedad, DE es mediana del ∆ABC. Si
∠MCB = 25º, entonces α =?
A)25º
B)40º
C) 45º
D) 65º
E)75º
35) En la figura, en el triángulo ABC AB BC AD= , altura α = 25°, entonces el ángulo β mide :
A) 35
B) 40
C) 45
D) 50
E) 60
36) El triángulo ABC es equilátero es H es el ortocentro. Entonces el ∠ x mide:
A) 45°
B) 60°
C) 80°
D) 115°
E)120°
37) Sea el triángulo ABC equilátero , AD y EB alturas determinar ∅
A) 30°
B) 60°
C) 90°
D) 120°
E) 150°
38) Los ángulos 1, 2 y 3 son congruentes en los trazos. CF, AG y BE son alturas y bisectrices cada una de ellas. Entonces,
∠x mide:
A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 90°
E) Falta información
39) En e triangulo ABC , H es ortocentro . Si <ABC = 55º , entonces <X =?
A) 15º
B) 25º
C) 35
D) 55º
E) 70º
A B
C
D E
M
α
A
α
B
β
C
D
E
A D B
C
H
x
A F B
C
E G
1
2
3
x

9. 40) AE, BF Y CD son bisectrices de los ángulos interiores. Si <ABC = 60º y < ACB = 72º , entonces el <x mide:
A) 54º
B) 60º
C) 84º
D) 96º
E) 132º
41) Triangulo ABC equilátero .DE mediana BF II AC ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?
I) AE ≅ EF II) AE transversal de gravedad III) ∆AFB es isósceles
A) Solo I y II
B) Solo II y III
C) Solo III
D) Solo II
E) Todas *
42) En el triángulo de la figura D, E y F son puntos medios de sus respectivos lados. El ángulo x mide:
A) α
B) β
C) δ
D) α + β
E) β + δ
C
D F
A BE
x
δ
α β

10. 40) AE, BF Y CD son bisectrices de los ángulos interiores. Si <ABC = 60º y < ACB = 72º , entonces el <x mide:
A) 54º
B) 60º
C) 84º
D) 96º
E) 132º
41) Triangulo ABC equilátero .DE mediana BF II AC ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?
I) AE ≅ EF II) AE transversal de gravedad III) ∆AFB es isósceles
A) Solo I y II
B) Solo II y III
C) Solo III
D) Solo II
E) Todas *
42) En el triángulo de la figura D, E y F son puntos medios de sus respectivos lados. El ángulo x mide:
A) α
B) β
C) δ
D) α + β
E) β + δ
C
D F
A BE
x
δ
α β