¿Qué son las ecuaciones? Esta presentación recorre desde los conceptos mas básicos hasta las ecuaciones exponenciales y logarítmicas, además de una aplicación a la resolución de problemas. Ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones polinómicas reducibles a ecuaciones de segundo grado, ecuaciones polinómicas en general, ecuaciones racionales e irracionales y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Problemas numéricos, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles, problemas con figuras geométricas y problemas de calcular el tiempo en el interés compuesto.
¿Qué son las ecuaciones? Esta presentación recorre desde los conceptos mas básicos hasta las ecuaciones exponenciales y logarítmicas, además de una aplicación a la resolución de problemas. Ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones polinómicas reducibles a ecuaciones de segundo grado, ecuaciones polinómicas en general, ecuaciones racionales e irracionales y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Problemas numéricos, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles, problemas con figuras geométricas y problemas de calcular el tiempo en el interés compuesto.
Esta presentación comienza en un nivel básico de sistemas de ecuaciones, dando las definiciones oportunas, representación gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, sus métodos de resolución y termina en un nivel avanzado, dando sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas. Hay además multitud de ejercicios resueltos. Finalmente hay una pequeña colección de problemas, comenzando con problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, problemas de sistemas no lineales y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Incluye además, un pequeño apartado de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Sistemas de ecuaciones lineales. Representación gráfica de sistemas, clasificación de sistemas, métodos de resolución de sistemas: sustitución, reducción e igualación y Problemas de sistemas: problemas de números, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles y problemas de naturaleza geométrica.
Esta presentación comienza en un nivel básico de sistemas de ecuaciones, dando las definiciones oportunas, representación gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, sus métodos de resolución y termina en un nivel avanzado, dando sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas. Hay además multitud de ejercicios resueltos. Finalmente hay una pequeña colección de problemas, comenzando con problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, problemas de sistemas no lineales y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Incluye además, un pequeño apartado de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Sistemas de ecuaciones lineales. Representación gráfica de sistemas, clasificación de sistemas, métodos de resolución de sistemas: sustitución, reducción e igualación y Problemas de sistemas: problemas de números, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles y problemas de naturaleza geométrica.
2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
IGUALDAD es la expresión de que dos cantidades o
expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
𝒂 = 𝒃 + 𝒄
𝟑𝒙𝟐
= 𝟒𝒙 + 𝟏𝟓
3. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
ECUACIÓN es una igualdad en la que hay una o
varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas
y que sólo se verifica o es verdadera para
determinados valores de las incógnitas.
𝒖, 𝒗, 𝒘, 𝒙, 𝒚, 𝒛
4. ECUACIONES DE
PRIMER GRADO CON
UNA INCÓGNITA
• Las ecuaciones son
como balanzas…
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6. ECUACIONES
DE PRIMER
GRADO CON
UNA
INCÓGNITA
Con el ejercicio anterior es la
razón por la cual se dice:
•Si esta sumando pasa
restando.
•Si se esta multiplicando se
pasa dividiendo
•Si se esta multiplicando o
dividiendo y tiene signo
negativo, pasa con el signo
negativo.
7. ECUACIONES
DE PRIMER
GRADO CON
UNA
INCÓGNITA
• GRADO de una ecuación con
una sola incógnita es el mayor
exponente que tiene la
incógnita en la ecuación . Así,
son ecuaciones de primer
grado porque el mayor
exponente de x es 1.
𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝒙 + 𝟒
8. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
¿Para qué nos sirve el grado?
Nos dice que tipo de gráfica puede formar dicha
ecuación, por ejemplo las de grado 1 son:
Lineales
9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
¿Qué tipo de gráfico serían las de grado 2?
Parábolas
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10. ECUACIONES
DE PRIMER
GRADO CON
UNA
INCÓGNITA
RAICES O SOLUCIONES de
una ecuación son los valores
de las incógnitas que verifican o
satisfacen la ecuación, es decir,
que sustituidos en lugar de las
incógnitas, convierten la
ecuación en identidad.
𝟒(𝟑) − 𝟓 = (𝟑) + 𝟒
16. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
• Pagué $87 por un libro, un traje y un sombrero. El
sombrero costó $5 más que el libro y $20 menos
que el traje . ¿Cuánto pagué por cada cosa?
𝐿 + 𝑇 + 𝑆 = 87
𝑆 = 5 + 𝐿 𝑆 − 5 = 𝐿
𝑆 = 𝑇 − 20 𝑆 + 20 = 𝑇
𝑆 − 5 + (𝑆 + 20) + 𝑆 = 87
17. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
• Pagué $87 por un libro, un traje y un sombrero. El
sombrero costó $5 más que el libro y $20 menos
que el traje . ¿Cuánto pagué por cada cosa?
• El libro $19, el sombrero $24 y el traje $44.
𝑆 − 5 + (𝑆 + 20) + 𝑆 = 87
𝑆 − 5 + 𝑆 + 20 + 𝑆 = 87
3𝑆 + 15 = 87
3𝑆 = 87 − 15
3𝑆 = 72
𝑆 =
72
3
= 24
18. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
• La suma de tres números enteros consecutivos es
156 . Hallar los números.
• Respuesta: 51, 52 y 53.
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 156
𝑥 + 1 = 𝑦
𝑥 + 2 = 𝑧
𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 156
3𝑥 + 3 = 156
3𝑥 = 156 − 3
3𝑥 = 153
𝑥 =
153
3
= 51
19. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
• La edad de A es doble que la de B, y ambas
edades suman 36 años. Hallar ambas edades.
• Respuesta: 12 y 24.
𝐴 = 2𝐵
𝐴 + 𝐵 = 36
2𝐵 + 𝐵 = 36
3𝐵 = 36
𝐵 =
36
3
= 12
𝐴 = 2𝐵 = 2 12 = 24
22. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS INCÓGNITAS
• Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son
aquellas de las cuales tenemos dos ecuaciones
simultáneas y al mismo tiempo como su nombre lo
describe tenemos dos incógnitas, por tanto cada
incógnita le corresponde un valor numérico.
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
23. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS INCÓGNITAS
Métodos para resolver ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas:
1. Sustitución
2. Igualación
3. Suma y resta
24. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS INCÓGNITAS - Sustitución
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 = 1 + 𝑦
𝑥 + 𝑦 = 5
(1 + 𝑦) + 𝑦 = 5
1 + 2𝑦 = 5
2𝑦 = 5 − 1
2𝑦 = 4
𝑦 =
4
2
= 2
Se despeja cualqueir
variable de cualquier
ecuación.
La variable
despejada se coloca
en la otra ec.
25. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS INCÓGNITAS - Sustitución
𝑦 =
4
2
= 2
Al tener la raíz de una
variable se obtiene la
segunda con la ec. que
despejamos
𝑥 = 1 + 𝑦
𝑥 = 1 + 2
𝑥 = 3
27. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS INCÓGNITAS - Igualación
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 = 1 + 𝑦
𝑥 = 5 − 𝑦
1 + 𝑦 = 5 − 𝑦
Despejas cualquier
variable en las dos
ecuaciones.
Unes las dos
ecuaciones,
formando una
tercera
28. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS INCÓGNITAS - Igualación
1 + 𝑦 = 5 − 𝑦
Despejas la variable,
para obtener una raíz.
𝑦 + 𝑦 = 5 − 1 2𝑦 = 4
𝑦 =
4
2
= 2
El valor obtenido, lo
reemplazas en otra
ecuación.
𝑥 = 5 − 𝑦
𝑥 = 5 − 2
𝑥 = 3
30. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS INCÓGNITAS – Suma y Resta
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
0 + 2𝑦 = 4
2𝑦 = 4
𝑦 =
4
2
= 2
Se acomodan las
dos ecuaciones una
arriba de otra y la de
abajo resta la otra.
Despejamos la
variable que
nos queda.
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
31. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS INCÓGNITAS – Suma y Resta
𝑦 =
4
2
= 2
Al tener la raíz de una
variable se obtiene la
segunda con la ec. que
despejamos
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 − 2 = 1
𝑥 = 1 + 2
𝑥 = 3
32. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS INCÓGNITAS – Suma y Resta
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 + 0 = 6
2𝑥 = 6
𝑥 =
6
2
= 3
Se acomodan las
dos ecuaciones una
arriba de otra y la de
abajo suma la otra.
Despejamos la
variable que
nos queda.
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
33. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS INCÓGNITAS – Suma y Resta
𝑥 =
6
2
= 3
Al tener la raíz de una
variable se obtiene la
segunda con la ec. que
despejamos
𝑥 − 𝑦 = 1
3 − 𝑦 = 1
−𝑦 = 1 − 3
−𝑦 = −2
𝑦 = 2
36. ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO
CON TRES INCOGNITAS
• Uno de los métodos más usados para resolver el
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es
con el método de Suma y Resta.
44. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON
UNA INCOGNITA
• Ecuaciones completas de 2o. grado son ecuaciones de la
forma ax2+bx+c=0, que tienen un término en x2, un
término en x y un término independiente de x.
4𝑥2
+ 7𝑥 + 6 = 0
45. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON
UNA INCOGNITA
Métodos para resolver estas ecuaciones:
Fórmula Genreal Descomposición de factores
𝑥1𝑦2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
(𝑎𝑥 + 𝑚)(𝑏𝑥 + 𝑛)
𝑥2
+ 5𝑥 + 24 = 0
46. FÓRMULA GENERAL
Se tienen que encontrar
los coeficientes a,b y c de
la siguiente manera:
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON
UNA INCOGNITA
𝑥1𝑦2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
1𝑥2
+ 5𝑥 − 24 = 0
𝑎 = +1
𝑏 = +5
𝑐 = −24
𝑥1𝑦2 = −8 𝑦 3
47. Descomposición de factores:
1.- Acomodar la ec. de la
forma general.
2.- Colocar (x )(x ) en caso
de que a=1
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON
UNA INCOGNITA
−24 + 𝑥2
= −5𝑥
(𝑥 )(𝑥 )
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 5𝑥 − 24 = 0
48. Descomposición de factores:
3.- Si “c” es positivo los signos
pueden ser (+)(+) ó (–)(–)
depende si en b es una suma
o una resta.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON
UNA INCOGNITA
(𝑥 )(𝑥 )
𝑥2
+ 5𝑥 − 24 = 0
Si “c” es negativo entonces los signos
serán (+)(–) sin importar el orden.
(𝑥− )(𝑥+ )
49. Descomposición de factores:
4.- Se debe encontrar dos
números que multiplicados te
den “c” pero sumados o
restados te den “b”.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON
UNA INCOGNITA
𝑥2
+ 5𝑥 − 24 = 0
(𝑥− )(𝑥+ )
2 × 12 = 24 𝑦 − 2 + 12 = +10
4 × 6 = 24 𝑦 − 4 + 6 = +2
3 × 8 = 24 𝑦 − 3 + 8 = +5
(𝑥 − 3)(𝑥 + 8)
50. Descomposición de factores:
5.- Se acomodarán los
recultados de la siguiente
manera para despejar la x.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON
UNA INCOGNITA
(𝑥 − 3)(𝑥 + 8)
𝑥 − 3 = 0
𝑥 + 8 = 0
𝑥 = 3
𝑥 = −8
53. Sistemas de unidades (Sistema Internacional)
Unidades Básicas o Fundamentales
Unidad Simbolo Magnitud Dimensión
1 Metro m Longitud L
2 Kilogramo Kg Masa M
3 Segundo s Tiempo t
4 Kelvin K Temperatura 𝜃
5 Amperio A Intensidad de corriente
eléctrica
I
6 Candela cd Intensidad luminosa J
7 Mol mol Cantidad de sustancia N
54. Prefijos del Sistema Internacional
Prefijo Simbolo Factor Equivalencia decimal
Tera T 1012 1,000,000,000,000
Giga G 109 1,000,000,000
Mega M 106 1,000,000
Kilo k 103 1,000
Hecto h 102 100
Deca da 101 10
Sin Prefijo 1 1
55. Prefijos del Sistema Internacional
Prefijo Simbolo Factor Equivalencia decimal
Sin Prefijo 1 1
deci d 10-1 0.1
centi c 10-2 0.01
mili m 10-3 0.001
micro 𝜇 10-6 0.000001
nano n 10-9 0.000000001
pico p 10-12 0.000000000001
56. Magnitud Unidad Simbolo Equivalencia
Longitud
milla mi 1,760 yd 1,609 m
yarda yd 3 ft 91.5 cm
pie ft 12 in 30.5 cm
pulgada in 2.54 cm
Masa
Libra lb 16 oz 454 g
Onza oz 28.3g
Volumen
galon gal 231 in3 3.785 l
yarda3 yd3 27 ft3 0.765 m3
pie3 ft3 1728 in3 0.0283 m3
pulgada3 in3 16.39 cm3
Sistemas de unidades (Sistema Ingles)