Este documento resume conceptos clave de álgebra como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. También cubre productos notables y factorización. Explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir términos algebraicos siguiendo las reglas de los signos. Además, presenta fórmulas para el cuadrado de la suma, cuadrado de la diferencia y producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.
El documento describe los conceptos básicos de la suma y resta algebraica. La suma algebraica consiste en reunir varias cantidades que pueden tener distintos signos en una cantidad resultante. En una suma algebraica, cada cantidad se denomina término. La suma sigue propiedades como la conmutativa y asociativa. La resta algebraica es el proceso inverso de la suma y sigue reglas similares para cambiar los signos de los términos del sustraendo.
Este documento explica los conceptos básicos de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones algebraicas. Describe cómo realizar operaciones entre monomios, polinomios y expresiones algebraicas en general. También cubre conceptos como el valor numérico de una expresión y ejemplos para ilustrar cada tipo de operación.
El documento trata sobre operaciones algebraicas como la suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. Explica conceptos como expresiones algebraicas, coeficientes, variables, monomios, polinomios y cómo realizar operaciones entre ellos siguiendo el orden de operaciones correcto. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar los procedimientos.
El documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, variables, dominio, operaciones (suma, resta, multiplicación, división), valor numérico, productos notables y factorización. Define una expresión algebraica como una combinación de letras y números unidos por operaciones matemáticas. Explica cada operación algebraica y cómo aplicarlas con ejemplos. También cubre conceptos como coeficientes, exponentes y valor numérico al sustituir valores en una expresión.
El documento presenta información sobre la suma y resta de expresiones algebraicas. Explica que para realizar estas operaciones se deben identificar y combinar los términos semejantes, es decir, aquellos con la misma variable y el mismo exponente. Proporciona ejemplos resueltos de cómo sumar y restar polinomios algebraicos.
El documento explica los orígenes y conceptos básicos de las expresiones algebraicas. Introduce el tema y su origen con los árabes y Al-Khuwarizmi. Explica las diferentes operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación, división y factorización con ejemplos. Finaliza con una bibliografía de referencias sobre el tema.
El documento explica conceptos básicos de operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación, división, productos notables y factorización. Define cada operación y provee ejemplos ilustrativos. Explica que la suma y resta consisten en combinar términos con sus respectivos signos, la multiplicación sigue leyes de exponentes, y la división requiere que el exponente del dividendo sea mayor o igual al del divisor. También cubre productos notables y métodos para factorizar expresiones algebraicas.
El documento describe los conceptos básicos de la suma y resta algebraica. La suma algebraica consiste en reunir varias cantidades que pueden tener distintos signos en una cantidad resultante. En una suma algebraica, cada cantidad se denomina término. La suma sigue propiedades como la conmutativa y asociativa. La resta algebraica es el proceso inverso de la suma y sigue reglas similares para cambiar los signos de los términos del sustraendo.
Este documento explica los conceptos básicos de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones algebraicas. Describe cómo realizar operaciones entre monomios, polinomios y expresiones algebraicas en general. También cubre conceptos como el valor numérico de una expresión y ejemplos para ilustrar cada tipo de operación.
El documento trata sobre operaciones algebraicas como la suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. Explica conceptos como expresiones algebraicas, coeficientes, variables, monomios, polinomios y cómo realizar operaciones entre ellos siguiendo el orden de operaciones correcto. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar los procedimientos.
El documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, variables, dominio, operaciones (suma, resta, multiplicación, división), valor numérico, productos notables y factorización. Define una expresión algebraica como una combinación de letras y números unidos por operaciones matemáticas. Explica cada operación algebraica y cómo aplicarlas con ejemplos. También cubre conceptos como coeficientes, exponentes y valor numérico al sustituir valores en una expresión.
El documento presenta información sobre la suma y resta de expresiones algebraicas. Explica que para realizar estas operaciones se deben identificar y combinar los términos semejantes, es decir, aquellos con la misma variable y el mismo exponente. Proporciona ejemplos resueltos de cómo sumar y restar polinomios algebraicos.
El documento explica los orígenes y conceptos básicos de las expresiones algebraicas. Introduce el tema y su origen con los árabes y Al-Khuwarizmi. Explica las diferentes operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación, división y factorización con ejemplos. Finaliza con una bibliografía de referencias sobre el tema.
El documento explica conceptos básicos de operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación, división, productos notables y factorización. Define cada operación y provee ejemplos ilustrativos. Explica que la suma y resta consisten en combinar términos con sus respectivos signos, la multiplicación sigue leyes de exponentes, y la división requiere que el exponente del dividendo sea mayor o igual al del divisor. También cubre productos notables y métodos para factorizar expresiones algebraicas.
Este documento presenta información sobre la suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. Explica conceptos como términos semejantes y diferentes métodos para realizar operaciones algebraicas como la factorización de polinomios cuadrados. También incluye ejemplos resueltos de cada tipo de operación.
Este documento presenta información sobre el lenguaje algebraico. Introduce conceptos como variables, constantes y operaciones algebraicas. Explica que el lenguaje algebraico usa símbolos y letras para expresar relaciones formales. Además, muestra ejemplos de cómo usar variables para representar números desconocidos y realizar operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y potencias con expresiones algebraicas.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. Explica cómo aplicar propiedades como la distributiva y las leyes de signos y exponentes. También cubre temas como el valor numérico de expresiones, la factorización de polinomios y productos notables.
UNA DE LAS PRIMERAS OPERACIONES ARITMÉTICAS QUE SE CONOCIÓ FUE LA SUMA, QUE SE UTILIZO PARA RESOLVER PROBLEMAS CONCRETOS, PUESTO QUE NO SE HABÍA LLEGADO A UN GRADO SUFICIENTE DE ABSTRACCIÓN MATEMÁTICA.
Este documento proporciona definiciones y ejemplos del lenguaje algebraico y el pensamiento funcional. Explica conceptos como constantes, incógnitas, expresiones algebraicas, términos semejantes, sumas y multiplicaciones de expresiones, y tipos de expresiones como monomios y polinomios. También incluye ejercicios resueltos sobre operaciones con expresiones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de polinomios y monomios.
Resolución de Ecuaciones usando Propiedades de los números racionalespablo ramirez
El documento explica cómo resolver ecuaciones utilizando propiedades de los números enteros y racionales. Describe los pasos para realizar cálculos numéricos y las propiedades de la suma, multiplicación, resta y división que permiten transformar ecuaciones de manera equivalente hasta dejar la incógnita sola de un lado. Incluye un ejemplo completo de cómo resolver una ecuación aplicando estas propiedades y transformaciones.
El documento presenta diferentes conceptos matemáticos como la suma, resta, valor numérico de expresiones algebraicas, multiplicación, división y productos notables de expresiones algebraicas. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
1) Una expresión algebraica es una combinación de letras y números unidos por medio de operaciones como suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Las letras representan valores fijos o variables.
2) Se explican conceptos como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, incluyendo ejemplos. También se describen conceptos como valor numérico, fracciones algebraicas, y productos notables.
3) Se detallan métodos para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas.
El documento contiene información sobre operaciones algebraicas básicas como suma, resta, multiplicación y valor numérico de expresiones algebraicas. Explica las reglas para realizar cada operación de manera concisa, incluyendo ejemplos. También proporciona detalles sobre la suma y resta de monomios, polinomios y la multiplicación de monomios y polinomios.
Este documento presenta los conceptos básicos de suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, así como el cálculo de valores numéricos. También explica cómo simplificar fracciones algebraicas mediante la búsqueda de factores comunes y cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con fracciones algebraicas. El documento incluye ejemplos ilustrativos para cada uno de los temas cubiertos.
LENGUAJE ALGEBRAICO Y PENSAMIENTO FUNCIONAL.pptxNatalyAyala9
1) El documento habla sobre expresiones algebraicas, incluyendo términos, monomios, polinomios, racionales e irracionales.
2) Explica operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones.
3) Describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo factor común, trinomio cuadrado perfecto, y diferencia de cuadrados.
En esta presentación estaremos desarrollando: Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
Este documento define expresiones algebraicas y explica diferentes tipos como monomios, binomios, polinomios. También describe operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, y productos notables. Además, ofrece ejemplos de cómo calcular el valor numérico de una expresión y factorizar expresiones.
La suma es una operación que combina números agregando elementos o sumandos para obtener un resultado total. La resta es lo contrario a la suma, eliminando una cantidad de otra. El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene sustituyendo las letras por números y realizando las operaciones. La multiplicación repite un número llamado multiplicando el número de veces indicado por el multiplicador. La división separa una cantidad total en partes iguales indicadas por el divisor.
El documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica que están compuestas por números, letras y signos, y tienen una estructura con coeficiente, literal, grado y signo. También describe los diferentes tipos de expresiones como monomios y polinomios, y los métodos para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas.
El documento describe los conceptos básicos de las ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo su análisis, modelado y métodos de resolución. Explica que una ecuación relaciona incógnitas y constantes a través de operaciones matemáticas, y que resolver una ecuación implica encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad. Luego, detalla los pasos para resolver ecuaciones de primer grado, como agrupar términos y despejar la incógnita, y los métodos para resolver ecuaciones de segundo gra
Este documento presenta varias reglas para operaciones de multiplicación con sumas y diferencias algebraicas. Explica cómo multiplicar (1) sumas por números, (2) sumas por sumas, (3) sumas por diferencias, y (4) diferencias por diferencias. También introduce la noción de factor común y cómo extraerlo de una expresión.
Este documento presenta conceptos básicos de matemáticas y estadística. Introduce los números naturales, enteros, racionales e irracionales, y explica las operaciones de suma, resta, potenciación y radicación. Luego, muestra cómo expresar información en lenguaje algebraico usando letras y cómo calcular el valor numérico de expresiones. Finalmente, define igualdades, ecuaciones y sus soluciones, y explica reglas para resolver ecuaciones de primer grado.
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales. Define conceptos clave como coeficiente, incógnita y término independiente. Explica cómo resolver ecuaciones lineales mediante la creación de tablas de valores o aplicando propiedades de la igualdad como la suma y la multiplicación. Proporciona ejemplos detallados de cómo resolver ecuaciones lineales de diferentes tipos. Finalmente, ofrece pautas para resolver problemas de la vida real utilizando ecuaciones lineales.
Este documento presenta información sobre la suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. Explica conceptos como términos semejantes y diferentes métodos para realizar operaciones algebraicas como la factorización de polinomios cuadrados. También incluye ejemplos resueltos de cada tipo de operación.
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Este documento presenta conceptos fundamentales sobre operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. Explica cómo aplicar propiedades como la distributiva y las leyes de signos y exponentes. También cubre temas como el valor numérico de expresiones, la factorización de polinomios y productos notables.
UNA DE LAS PRIMERAS OPERACIONES ARITMÉTICAS QUE SE CONOCIÓ FUE LA SUMA, QUE SE UTILIZO PARA RESOLVER PROBLEMAS CONCRETOS, PUESTO QUE NO SE HABÍA LLEGADO A UN GRADO SUFICIENTE DE ABSTRACCIÓN MATEMÁTICA.
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1) Una expresión algebraica es una combinación de letras y números unidos por medio de operaciones como suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Las letras representan valores fijos o variables.
2) Se explican conceptos como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, incluyendo ejemplos. También se describen conceptos como valor numérico, fracciones algebraicas, y productos notables.
3) Se detallan métodos para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas.
El documento contiene información sobre operaciones algebraicas básicas como suma, resta, multiplicación y valor numérico de expresiones algebraicas. Explica las reglas para realizar cada operación de manera concisa, incluyendo ejemplos. También proporciona detalles sobre la suma y resta de monomios, polinomios y la multiplicación de monomios y polinomios.
Este documento presenta los conceptos básicos de suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, así como el cálculo de valores numéricos. También explica cómo simplificar fracciones algebraicas mediante la búsqueda de factores comunes y cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con fracciones algebraicas. El documento incluye ejemplos ilustrativos para cada uno de los temas cubiertos.
LENGUAJE ALGEBRAICO Y PENSAMIENTO FUNCIONAL.pptxNatalyAyala9
1) El documento habla sobre expresiones algebraicas, incluyendo términos, monomios, polinomios, racionales e irracionales.
2) Explica operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones.
3) Describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo factor común, trinomio cuadrado perfecto, y diferencia de cuadrados.
En esta presentación estaremos desarrollando: Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
Este documento define expresiones algebraicas y explica diferentes tipos como monomios, binomios, polinomios. También describe operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, y productos notables. Además, ofrece ejemplos de cómo calcular el valor numérico de una expresión y factorizar expresiones.
La suma es una operación que combina números agregando elementos o sumandos para obtener un resultado total. La resta es lo contrario a la suma, eliminando una cantidad de otra. El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene sustituyendo las letras por números y realizando las operaciones. La multiplicación repite un número llamado multiplicando el número de veces indicado por el multiplicador. La división separa una cantidad total en partes iguales indicadas por el divisor.
El documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica que están compuestas por números, letras y signos, y tienen una estructura con coeficiente, literal, grado y signo. También describe los diferentes tipos de expresiones como monomios y polinomios, y los métodos para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas.
El documento describe los conceptos básicos de las ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo su análisis, modelado y métodos de resolución. Explica que una ecuación relaciona incógnitas y constantes a través de operaciones matemáticas, y que resolver una ecuación implica encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad. Luego, detalla los pasos para resolver ecuaciones de primer grado, como agrupar términos y despejar la incógnita, y los métodos para resolver ecuaciones de segundo gra
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Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales. Define conceptos clave como coeficiente, incógnita y término independiente. Explica cómo resolver ecuaciones lineales mediante la creación de tablas de valores o aplicando propiedades de la igualdad como la suma y la multiplicación. Proporciona ejemplos detallados de cómo resolver ecuaciones lineales de diferentes tipos. Finalmente, ofrece pautas para resolver problemas de la vida real utilizando ecuaciones lineales.
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Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
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José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
1. Expresiones Algebraicas Y
Factorización De
Números
Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Integrantes: Paul Dobobuto
Jose Luna
Gustavo Torrealba
Luis Gonzalez
Jesus Morillo
2. Suma y resta de expresiones
algebraicas
La suma es la operación que reúne dos o más expresiones algebraicas en un solo
valor algebraico.
Así pues, tenemos a y b, la suma sería 𝒂 + 𝒃 esta expresión representa la reunión de
las dos
cantidades dadas, en este caso de a y b.
La resta es la operación que disminuye las cantidades algebraicas para encontrar la
diferencia.
Así pues, volviendo con a y b, si de a queremos restarle a b la diferencia será 𝒂 − 𝒃
esta expresión representa la diferencia, si sumada con b nos da la misma cantidad
de a: 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 = 𝑎
Hay que tomar en cuenta las reglas de los signos, en Algebra
las cantidades pueden ser tanto positivas como negativas, la suma y la resta en
Algebra
son tomadas como conceptos más generales, basado en esto la suma puede significar
aumento o disminución y la resta igual, puede significar disminución o aumento.
3. Por ejemplo:
Dos números con el mismo signo se suman:
− 4 – 3 = −𝟕
Tanto el “-4” como el “-3” son números negativos (−)(−) = +, lo que quiere decir que las
expresiones se van a sumar y el resultado va a quedar con el símbolo negativo debido a que
ambas cantidades son negativas.
3 + 4 = 𝟕 El “3” y el “4” son dos números positivos (+)(+) = +, así que les corresponde
sumar y el resultado debe ser positivo, el “3” no tiene signo así que se sobreentiende que
es positivo.
Dos números con diferente signo se restan:
3 – 5 = −𝟐 El “3” es número positivo y el “-5” es número negativo (+)(−) = −, la regla dice
que se tienen que restar y el resultado debe permanecer con el símbolo del número mayor,
en este caso es “-5” así que será negativo.
−2 + 9 = 𝟕 El “-2” es negativo, mientras que el “9” es positivo (−)(+) = −, entonces toca
restar las cantidades y el resultado debe seguir con el símbolo del número mayor, en este
caso es “9” así que será positivo.
−2 + 2 = 𝟎 El “cero” no representa una cantidad, así que no lleva signo o bien lo podemos
sobreentender con un signo positivo.
5. Valor Número de Expresiones Algebraicas:
El Valor Numérico en Algebra es el resultado que se obtiene cuando se sustituye las
letras
por números, después tenemos que realizar las operaciones indicadas.
Por ejemplo: Tenemos que hallar el valor número de 2𝑎𝑏 para 𝑎 = 1 , 𝑏 = 2.
Sustituimos la a y la b con su valor respectivo, tendremos la siguiente operación:
2 𝑥 1 𝑥 2 = 𝟒
Ahora vamos a buscar el valor numérico de 5𝑎2
𝑏3
𝑐 donde 𝑎 = 1 , 𝑏 = 2 y 𝑐 = 3.
Sustituimos y nos queda la siguiente operación: 5 𝑥 12
𝑥 23
𝑥 3 = 5 𝑥 1 𝑥 8 𝑥 3 =
𝟏𝟐𝟎
Ejercicios de Valor Numérico: para 𝑎 = 2 ,𝑏 = 3 , 𝑐 =
1
2
5𝑎𝑏 = 5 𝑥 2 𝑥 3 = 𝟑𝟎
𝑎2𝑏3𝑐4 = 2233(
1
2
)4 = 4 𝑥 27 𝑥
1
16
=
𝟐𝟕
𝟒
6. Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas:
La Multiplicación es una operación donde dos cantidades multiplicador y multiplicando son
factores que deben hallar una tercera cantidad que se llama producto.
El orden de los factores no altera el producto esta propiedad al igual que en aritmética
también se cumple en Algebra.
La Multiplicación se puede representar con varios símbolos (x) (.) (*), en este caso representaré
las multiplicaciones con x. Así pues, tenemos a multiplicando a b y el producto será ab: 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑎𝑏
La Ley de los Exponentes en Multiplicación consta de sumar las potencias de una misma base:
𝑎4
∗ 𝑎3
∗ 𝑎2
= 𝑎4+3+2
= 𝑎9
La División es una operación donde el dividendo y el divisor son dos factores que deben
encontrar el otro factor que se llama cociente. Se puede decir que el cociente multiplicado
por el divisor reproduce el dividendo.
La División se representa con el símbolo de dividir (÷) aunque también lo podemos expresar
de otras formas como (/). Así pues, tenemos 2𝑎 dividiendo a 10𝑎2
, ahora debemos hallar
una cantidad que multiplicada por 2𝑎 que nos de 10𝑎2
, el cociente será 5𝑎: 2𝑎 ÷ 10𝑎2
= 5𝑎
La Ley de los Exponentes en división consiste en restar las potencias de una misma:
𝑎5
÷ 𝑎3
= 𝑎5−3
= 𝑎2
7. Tanto en Multiplicación como en División en Algebra se tiene que tomar muy en cuenta
la regla de los signos, el signo del producto proveniente de dos factores, en este caso la
regla dice: Signos iguales se suman (+) y signos diferentes se restan (-). A diferencia de la
suma o resta el producto tendrá el signo que corresponda con la operación.
Por Ejemplo:
1) 2 𝑥(−2) = −4 nótese que multipliqué primero los signos (+)(−) = − para
después sacar el resultado.
2) 10 ÷ −2 = −5 aquí el cociente es un número multiplicado por (-2) que nos da 10
positivo: (−5) 𝑥 −2 = 10
Ejercicios Multiplicación y División:
−15 ∗ 16 = −𝟐𝟒𝟎
2𝑏2
∗ −3𝑏 = −𝟔𝒃𝟑
−5𝑎3
𝑦 ∗ 𝑎𝑦2
= −𝟓𝒂𝟒
𝒚𝟑
−63 ÷ −7 = 𝟗
−5𝑎2
÷ −𝑎 = 𝟓𝒂
14𝑎3
𝑏4
÷ −2𝑎𝑏2
= −𝟕𝒂𝟐
𝒃𝟐
8. Productos Notables de Expresiones Algebraicas:
Los Productos Notables son aquellos productos que cumplen con reglas fijas, su resultado
puede ser escrito por simple inspección, sin comprobar la multiplicación.
Tenemos el Cuadrado de la Suma de dos cantidades: Elevar al cuadrado 𝑎 + 𝑏 equivale a
multiplicar este binomio por lo mismo, lo que nos da:
(𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏
Si Efectuamos esta cantidad lograremos conseguir la formula que nos servirá para hacer
las operaciones:
𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑎2 + 𝑎𝑏
𝑎𝑏 + 𝑏2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Es decir: (𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado
de la primera cantidad más el
doble de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. Así pues,
podemos desarrollar el siguiente ejemplo: (𝑥 + 4)2
Lo primero que debemos hacer es sacar el cuadrado de la primera cantidad (𝑥), después
multiplicamos el doble del primero por el segundo ( 2 ∗ 𝑥 ∗ 4 ) y por último el cuadrado
del segundo (4)2
:
(𝑥 + 4)2
= 𝑥2
+ 2𝑥4 + (4)2
= 𝒙𝟐
+ 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔
9. Por otro lado, tenemos el Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Ahora tenemos que
restar, elevar (𝑎 − 𝑏) al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por si misma, hacemos
el mismo proceso anterior pero esta vez con el menos (-) :
𝑎 − 𝑏
𝑎 − 𝑏
𝑎2 − 𝑎𝑏
𝑎𝑏 + 𝑏2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Es decir: (𝑎 − 𝑏)2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad
“menos” el doble de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ahora con esta fórmula podemos restar y desarrollar el siguiente ejemplo: (𝑏 − 7)2
Hacemos exactamente el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior sólo que esta vez
tenemos que restar el cuadrado de la primera cantidad con el doble de la primera por
la segunda.
(𝑏 − 7)2
= 𝑏2
− 2𝑏7 + 7 2
= 𝒃𝟐
− 𝟏𝟒𝒃 + 𝟒𝟗
Posteriormente, tenemos Producto de la Suma por la Diferencia de dos cantidades:
Tenemos el Producto: 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 .
Si efectuamos esta multiplicación nos encontraremos con la siguiente formula:
10. 𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
𝑎2 + 𝑎𝑏
− 𝑎𝑏 − 𝑏2
= 𝑎2
− 𝑏2
Es decir: 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2
− 𝑏2
La Suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado de la
diferencia menos el cuadrado de la segunda cantidad que está restando.
Con esta formula podemos desarrollar la siguiente operación: 2𝑎 + 3𝑏 2𝑎 − 3𝑏 .
Tomando en cuenta la formula podemos determinar que:
2𝑎 + 3𝑏 2𝑎 − 3𝑏 = (2𝑎)2
−(3𝑏)2
= 𝟒𝒂𝟐
− 𝟗𝒃𝟐
Ejercicios de Producto Notable de Expresiones Algebraicas:
(𝑥 + 𝑦)2
= 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
(7𝑥 + 11)2
= (7𝑥)2
+2 ∗ 7𝑥 ∗ 11 + 11 2
= 𝟒𝟗𝒙𝟐
+ 𝟏𝟓𝟒𝒙 + 𝟏𝟐𝟏
(9 + 4𝑚)2
= (9)2
+2 ∗ 9 ∗ 4𝑚 + 4𝑚 2
= 𝟖𝟏 + 𝟕𝟐𝒎 + 𝟏𝟔𝒎𝟐
11. (2𝑚 − 3𝑛)2
= (2𝑚)2
−2 ∗ 2𝑚 ∗ 3𝑛 + 3𝑛 2
= 𝟒𝒎𝟐
− 𝟏𝟐𝒎𝒏 + 𝟗𝒏𝟐
(4𝑎𝑥 − 1)2
= (4𝑎𝑥)2
−2 ∗ 4𝑎𝑥 ∗ 1 + 1 2
= 𝟏𝟔𝒂𝟐
𝒙𝟐
− 𝟖𝒂𝒙 + 𝟏
𝑚 + 𝑛 𝑚 − 𝑛 = 𝒎𝟐
− 𝒏𝟐
Factorización de Producto Notable:
La Factorización, es escribir una expresión algebraica como un producto de factores,
una suma, una resta, una matriz, un polinomio, etc. Tal que estos factores sean primitivos
entre si dos a dos, si es que los hubiese. Los términos de factorización, simplificación y
productos notables, están estrechamente relacionados entre sí.
A continuación, presentaremos algunos de los casos más comunes que nos podemos encontrar:
Factor Común: significa escribir esa expresión o ese número como una multiplicación
de factores. Entonces, factorizar es lo inverso de la multiplicación.
Cuando multiplicamos, escribimos:
5(𝑥 + 𝑦) = 5𝑥 + 5𝑦
12. EJERCICIO 1
Factoriza la expresión 5𝑥 + 5𝑦5𝑥 + 5𝑦.
Fácilmente, podemos mirar que el 5 es un factor tanto en el término 5x5x como en el
término 5y5y. Entonces, extrayendo el 5, tenemos:
5𝑥 + 5𝑦 = 5(𝑥 + 𝑦)5𝑥 + 5𝑦 = 5(𝑥 + 𝑦)
EJERCICIO 2
Factoriza la expresión 8𝑥 − 4𝑦 + 12𝑧8𝑥 − 4𝑦 + 12𝑧.
En este caso, el 4 es un factor común de todos los términos. Entonces, escribimos al
4 en la izquierda de los paréntesis:
8𝑥 − 4𝑦 + 12𝑧 = 4(2𝑥 − 𝑥 + 3𝑧)8𝑥 − 4𝑦 + 12𝑧 = 4(2𝑥 − 𝑥 + 3𝑧)
Para verificar la factorización, podemos multiplicar y expandir el paréntesis. Al hacer esto,
deberíamos obtener la expresión original.
Ten en cuenta que, la expresión dentro del paréntesis no debe tener otros factores comunes.
13. Producto Notable al Cuadrado, o
Factorización de una ecuación con términos cuadráticos:
Factorización de diferencias de cuadrados o
Producto de binomios con distinto signo:
Producto notable al cubo o Factorización de una ecuación con términos al cubo:
Factorización de diferencias o sumas de términos al cubo: