Maquinas electricas

2015
Dr. CARLOS GALLARDO
Campus Universitario
Edificio Ingenierìa Eléctrica
Ladrón de Guevara E11-253
Quito-Ecuador
Apartado 17-12-866
17-01-2759
Fax: (593-2) 567848
carlos.gallardo@epn.edu.ec
LECTURE 1 :
Prof. Dr. Carlos Gallardo (Ph.D)
ELECTRICAL
ENGINEERING
DEPARTMENT
ESCUELA POLITÉCNICA
NACIONAL
ELECTRIC
MACHINES I
MAGNETIC CIRCUITS AND MAGNETIC
MATERIALS

2015
MAGNETIC CIRCUITS AND MAGNETIC MATERIALS.
CONTENTS
1: Introduction to Magnetic Circuits.
2: Flux Linkage, Inductance, and Energy.
3: Properties of Magnetic Materials.
4: AC Excitation.
5: Permanent Magnets.
6: Application of Permanent Magnet Materials.
2Escuela Politécnica Nacional "Dr. Carlos Gallardo"

2015
CONTENTS
4: AC Excitation.

2015 4Escuela Politécnica Nacional "Dr. Carlos Gallardo"
Introduction to Magnetic Circuits.
Simple magnetic circuit

Magnetic circuit with air gap

Analogy between electric and magnetic circuits
(a) Electric circuit, (b) magnetic circuit

Air-gap fringing fields

Simple synchronous
machine

𝑐
𝐻𝑑𝑙 =
𝑠
𝐽 ∗ 𝑑𝑎
𝑠
𝐵 ∗ 𝑑𝑎 = 0
𝑠
𝐵 ∗ 𝑑𝑎

∅𝑐 = 𝐵𝑐 𝐴 𝑐
𝐹 = 𝑁𝑖 = 𝐻𝑑𝑙
𝐹 = 𝑁𝑖 = 𝐻𝑐 𝑙 𝑐
𝐵 = 𝑢𝐻
𝐵𝑐 =
∅
𝐴 𝑔
𝐵𝑔 =
∅
𝐴 𝑔
F= 𝐻𝑐 𝑙 𝑐 + 𝐻𝑔 𝑔
F=
𝐵 𝑐
𝑢
𝐼𝑐 +
𝐵 𝑔
𝑢0
𝑔
F= ∅(
𝐼 𝑐
𝑢𝐴 𝑐
+
𝑔
𝑢0𝐴 𝑔
)
𝑅 𝑐 =
𝐼𝑐
𝑢𝐴 𝑐

𝑅 𝑔 =
𝑔
𝑢0 𝐴 𝑔
F=∅(𝑅 𝑐 + 𝑅 𝑔)
∅ =
𝐹
𝑅 𝑔 + 𝑅 𝑐
∅ =
𝐹
𝐼 𝑐
𝑢𝐴 𝑐
+
𝑔
𝑢0𝐴 𝑔
𝑃𝑡𝑜𝑡 =
1
𝑅 𝑡𝑜𝑡
∅ ≈
𝐹
𝑅 𝑔
=
𝐹𝑢0 𝐴 𝑔
𝑔
= Ni
𝑢0𝐴 𝑔
𝑔
∅ =
𝐹
𝑅𝑡𝑜𝑡
F= 𝐻𝑑𝑙 = 𝑘 𝐹𝑘 = 𝑘 𝐻 𝑘 𝑙 𝑘

Flux Linkage, Inductance, and Energy.
F= 𝑠
𝐽 ∗ 𝑑𝑎
V= 𝑘 𝑅 𝑘 𝑖 𝑘
𝑛 𝑖 𝑛 = 0
𝑛 ∅ 𝑛 = 0

Ejemplo 1.1.
El circuito magnético que aparece en la figura, posee las
siguientes dimensiones Ac=Ag=9 cm2, g=0.050 cm, lc= 30 cm y
N=500 vueltas. Suponga que el valor de µr=70000 para el
material del núcleo.
a) Calcule las reluctancias Rc=Rg. Para la condición de que el
circuito magnético se encuentre operando con Bc=1.0 T.
b) Encuentre el flujo ф y
c) La corriente i.

Ejemplo 1.1.

Problema Practico 1.1.
Calcule el flujo ф y la corriente del ejemplo 1.1 si a) el numero
de vueltas se duplica a N=1000 vueltas mientras que las
dimensiones del circuito permanecen iguales y b) si el numero
de vueltas es igual a N=500 y el entrehierro se reduce a 0.040
cm.
Solución:
a) ф = 9x10-4 Wb e i = 0.40 A
b) ф = 9x10-4 Wb e i = 0.64 A

Ejemplo 1.2.
La estructura magnética de una maquina sincrónica se muestra
esquemáticamente en la figura. Suponga que el hierro del rotor
y del estator presentan permeabilidad infinita (µ→∞), encuentre
el flujo del entrehierro ф y la densidad de flujo Bg. Para este
ejemplo considere I=10 A, N=1000 vueltas, g=1 cm y Ag=2000
cm2

Ejemplo 1.2.

Para la estructura magnética de la figura, con las dimensiones
citadas en el ejemplo 1.2, se observa que la densidad de flujo
en el entrehierro es de Bg=0.9 T. Determine el flujo del
entrehierro ф y, para la bobina de N=500 vueltas, calcule la
corriente requerida para producir este nivel de flujo de
entrehierro.
Solución:
a) ф = 0.18 Wb e i = 28.6 A

2015
CONTENTS
4: AC Excitation.

• When magnetic field varies in time an electric field is
produced in space as determined by Faraday’s Law:
 
SC
dt
d
daBdsE ..
• Line integral of the electric field intensity E around a
closed contour C is equal to the time rate of the magnetic
flux linking that contour.
Faraday’s Law

dt
d
N
dt
d
te

)(
• Since the winding (and hence the contour C) links the
core flux N times then above equation reduces
• The induced voltage is usually refered as
electromotive force to represent the voltage due to a
time-varying flux linkage.

tBAtt c  sinsin)( maxmax 
tEtNte  coscos)( maxmax 
maxmaxmax 2 BNAfNE c 
+
-
e(t) N
The direction of emf: If the winding
terminals were short-circuited a current
would flow in such a direction as to
oppose the change of flux linkage.
max2 BNAfE crms 

L=
𝑁2
( 𝑔 𝑢0 𝐴 𝑔)
=
𝑁2 𝑢0 𝐴 𝑔
𝑔
𝑐
𝐸 ∗ 𝑑 𝑠 = −
𝑑
𝑑𝑡 𝑠
𝐵 ∗ 𝑑𝑎
e =N
𝑑 𝜑
𝑑𝑡
=
𝑑𝜆
𝑑𝑡
𝜆 = 𝑁𝜑
L=
𝜆
𝑖
L=
𝑁2
𝑅 𝑡𝑜𝑡

Ejemplo 1.3.
El circuito magnético de la figura, consiste en un devanado con
N numero de vueltas sobre el núcleo magnético de
permeabilidad infinita con dos entrehierros paralelos con
longitudes g1 y g2 y con áreas A1 y A2 respectivamente.
Determine a) La inductancia del devanado y b) la densidad de
flujo B1 en el entrehierro 1 cuando el devanado lleva una
corriente i. Ignore los efectos marginales del entrehierro.

Ejemplo 1.3.

Ejemplo 1.4.
En el ejemplo 1.1 , se asume que la permeabilidad relativa
perteneciente al material del núcleo del circuito magnético que
se presenta en la figura 1.2 será de µr=7000 con una densidad
de flujo de 1.0 T.
a) Para este valor de µr, calcule la inductancia del devanado.
b) En un dispositivo practico el núcleo se construye
normalmente de acero eléctrico tal como M-5. Este material es
altamente no lineal, y presenta una permeabilidad relativa
(definida para fines de este ejemplo como la razon B/H) que
varia desde un valor aproximado de µr=72300, a una densidad
de flujo de B=1.0 T hasta un valor de µr=2900 con una densidad
de flujo incrementada a 1.8T.

Ejemplo 1.4.
i) Calcule la inductancia asumiendo que la permeabilidad
relativa del núcleo de acero es de 72300 igual a 2900.
ii) Calcule la inductancia asumiendo que la permeabilidad
relativa de 2900.

Repita los cálculos realizados para encontrar el valor de la
inductancia del ejemplo 1.4 para una permeabilidad relativa
µr=30000.
Solución:
L=0.554 H

Ejemplo 1.5.
Mediante el empleo de MATLAB grafique la inductancia del
circuito magnético que se planteo en el ejemplo 1.1 y se ilustro
en la figura 1.2 como una función de la permeabilidad del
núcleo entre un rango de 100≤μr≤100000.

MATLAB plot of inductance vs. relative permeability for
Example 1.5.

2015 31__________ _____ __ _____Escuela Politécnica Nacional "Dr. Carlos Gallardo"
Magnetic Circuit with Two Windings.
La figura muestra un circuito magnético con un entrehierro y
dos devanados.
fmm que actúa sobre
el circuito magnético
se calcule mediante
el total de los
amperes vueltas que
actúan sobre el
circuito magnético.
Las direcciones de referencia para i han sido elegidas
para producir un flujo de corriente en la misma
dirección .
F = N1i1 + N2i2

ϕ = (N1i1 + N2i2)
u0Ac
g
λ1 = N1ϕ = N1
2 u0Ac
g
i1 + N1N2
u0Ac
g
i2
λ1 = L11i1 + L12i2
ϕ =
Fu0Ag
g
F = N1i1 + N2i2л
La reluctancia del núcleo despreciada y suponiendo que Ac=Ag
,el flujo ϕ del núcleo es:
El flujo ϕ del núcleo resultante producido por la fmm total de los dos devanados.
El flujo ϕ resultante es el factor que determina
el punto de operación del material del núcleo.
Las dispersiones de flujo resultante de la bobina 1:
corrientes
individuales

λ2 = N2ϕ = N1N2
u0Ac
g
i1 + N1
2
(
u0Ac
g
)i2
λ2 = L21i1 + L22i2
L22 = N2
2 u0Ac
g
λ1 = L11i1 + L12i2
L11 = N1
2 u0Ac
g
L12 = N1N2
u0Ac
g
Autoinductancia
de la bobina 1
Dispersión del flujo
de la bobina 1 por i1
Inductancia mutua
entre las bobinas 1 y 2
Dispersión del flujo
de la bobina 1 por i2

e=
d
dt
(Li)
e= L
d
dt
e= L
d
dt
+ i
d
dt
La resolución de la dispersión de flujo resultante dentro de los
componentes producidos por i1 y i2 se basa en la superposición
de los efectos individuales, por lo tanto, presupone una
relación lineal de flujo-fmm (característica de los materiales de
permeabilidad constante).
L=
λ
i
e =
dλ
dt
л
Para un circuito magnético estático → la inductancia se fija.
Para dispositivos de conversión electromecánica de
energía → la inductancia varia f(t).

p= ie = i
dλ
dt
La potencia , p, se determina a partir de v e i.
El cambio de la energía magnética acumulada ΔW en el
circuito magnético dentro del intervalo de tiempo t1 y t2 es:
ΔW = t1
t2
pdt = λ1
λ2
i dλ

ΔW = λ1
λ2
idλ = λ1
λ2 λ
L
dλ =
1
2L
(λ2
2
− λ1
2
)
W =
1
2L
λ2 =
L
2
i2
Para un sistema con devanado simple de inductancia
constante, el cambio en la energía magnética acumulada así
como el nivel de flujo que se transforma de λ1 y λ2 se puede
expresar como:
L=
λ
i
La energía magnética total acumulada que
considere cualquier valor dado de λ se calcula a
partir de establecer que λ1 es igual a cero.

Ejemplo 1.6.
Para el circuito magnético que se planteó en el ejemplo 1.1
(figura), encuentre a) La inductancia L, b) La energía magnética
acumulada W para Bc=1.0T, y c) El voltaje inducido e para el
flujo del núcleo con variación temporal de 60 Hz de la forma
Bc=1.0senωt T, donde ω=(2π)(60)=377

Repita el ejemplo 1.6 para Bc=0.8T, suponiendo que el flujo del
núcleo presenta una variación de 50 Hz en vez de 60 Hz.
Solución
a) La inductancia L permanece sin cambios
b) W=0.115J
c) e=113cos(314t)V

2015
CONTENTS
4: AC Excitation.

Properties of Magnetic Materials.
Dispositivos de conversión de energía → materiales
magnéticos → obtener altas densidades de flujo magnético con
relativamente bajos niveles de fuerzas magnetizantes.
Las fuerzas magnéticas y densidad de energía aumentan con
el incremento de la densidad de flujo.
Los materiales magnéticos pueden emplearse para forzar y
dirigir los campos magnéticos dentro de patrones bien
definidos. Estos materiales se utilizan en un transformador para
maximizar el acoplamiento entre los devanados, así como para
disminuir la corriente de excitación requerida para operar el
transformador.

B-H loops for M-5 grain-oriented electrical steel 0.012 in
thick. Only the top halves of the loops are shown here.
(Armco Inc.)Histérisis magnética → dirección de campo aplicado → los
momentos de dipolo magnético ya no tendrán una orientación
al azar.
Debido a este efecto de histéresis, la
relación entre B y H para materiales
magnéticos es un tanto no lineal y de
valores múltiples.
Curvas determinadas empíricas.

B-H loops for M-5 grain-oriented electrical steel 0.012 in
thick. Only the top halves of the loops are shown here.
(Armco Inc.)La curva más empleada para describir un material magnético
es la curva B-H o lazo de histérisis.
En el primero y el segundo cuadrante (B≥0) se
muestra un conjunto de curvas de histéresis
para acero M-5, acero con grano que es
orientado eléctricamente y se utiliza para equipo
eléctrico.
Las flechas muestran los patrones que siguen
con el incremento y el decremento de H.
B densidad
de flujo.

Properties of Magnetic Materials.
Dc magnetization curve for M-5 grain-oriented electrical steel
0.012 in thick. (Armco Inc.)
Por fortuna, para la mayoría de las aplicaciones
técnicas, es suficiente describir el material
mediante una curva con valor simple que se
obtiene por medio de graficar la ubicación
geométrica de los valores máximos de B y H en los
extremos.La curva de magnetización de cd no considera la
naturaleza de la histéresis del material, y expone
claramente sus características de no linealidad

Ejemplo 1.7.
Suponga que el material del núcleo citado en el ejemplo 1.1 es
acero electrolítico M-5, que posee la curva de magnetización de
cd que aparece en la figura.
Calcule la corriente i requerida para producir Bc=1T.

Ejemplo 1.7.
Dc magnetization curve for M-5 grain-oriented electrical steel

Repita el ejemplo 1.7 pero en esta ocasión calcule la corriente i
para Bc=1.6T.¿Por medio de qué factor la corriente tiene que
incrementarse para producir un incremento de 1.6 en la
densidad de flujo.

Solución:
Puede demostrarse que la corriente i es de 1.302 A. Por lo
tanto, la corriente deberá incrementarse con un factor de
1.302/0.8=1.63. debido al dominio de la reluctancia del
entrehierro, la reluctancia es ligeramente mayor que el
incremento fraccional en la densidad de flujo a pesar del hecho
de que el núcleo comienza a saturarse de manera significativa
a una densidad de flujo de 1.6T.

2015
CONTENTS
4: AC Excitation.

AC Excitation.
φ t = ϕmax sen wt = AcBmax sen wt
e t = wNϕmax cos(wt) = Emax cos wt
Emax = wNϕmax = 2ΠfNAcBmax
Φ y v sinusoidales → características de excitación y pérdidas
asociadas con la operación en estado estable → variación
sinusoidal del flujo:
B densidad
de flujo.
e =N
𝑑 𝜑
𝑑𝑡
ω
ϕmax

AC Excitation.
Erms =
2Π
2
fNAcBmax = 2ΠfNAcBmax
Frms = (
1
T 0
T
f2 t dt)
En operaciones de corriente alterna de estado estacionario →
mayor interés el valor eficaz o valor cuadrático medio o los
valores rms de v e i → el valor rms de una función periódica (T):

AC Excitation.
Iφ,rms =
lcHc,rms
N
EmaxIφrms = 2ΠfNAcBmax
lcHcrms
N
Pa =
ErmsIφrms
mass
=
2Πf
Pc
BmaxHrms
Para producir un flujo magnético en el núcleo se necesita una
corriente en el devanado de excitación denominada corriente
de excitación Iφ.

Excitation phenomena. (a) Voltage, flux, and exciting current;
(b) corresponding hysteresis loop.
φ t = ϕmax sen wte t = Emax cos wt
Curva
histéresis iφ
iφ =
HcIc
N
∅ = BcAc

Exciting rms voltamperes per kilogram at 60 Hz for M-5
grain-oriented electrical steel 0.012 in thick. (Armco Inc.)

Core Losses.
Hysteresis Losses: hysteresis
loss is proportional to the loop area
(shaded).
Figure.
Eddy Current Losses:
Time-varying magnetic fields give rise to electric fields in the material resulting in
induced currents. These induced currents cause Eddy Current Losses. These
losses can be reduced by using thin sheets of laminations of the magnetic
material.
𝑊 = 𝑖 𝜑 𝑑𝜆 =
𝐻𝑐 𝑙 𝑐
𝑁
𝐴 𝑐 𝑁𝑑𝐵𝑐
𝑊 = 𝐴 𝑐 𝑙 𝑐 𝐻𝑐 𝑑𝐵𝑐

Eddy Currents.

Ejemplo 1.8.
El núcleo magnético que se presenta en la figura se elaboró a
partir de láminas de acero eléctrico M-5 con grano orientado. El
devanado alcanza excitación a un voltaje de 60 Hz para
producir una densidad de flujo en el acero de B=1.5senωt T
donde ω=2π60=377 rad/seg. El acero ocupa 0.94 del área de la
sección transversal del núcleo. La densidad de la masa del
acero es de 7.65g/cm3. Calcule:
a) El voltaje aplicado.
b) La corriente máxima.
c) La corriente de excitación rms y
c) Las pérdidas en el núcleo.

Ejemplo 1.8.

Ejemplo 1.8.
DC magnetization curve for M-5 grain-oriented electrical steel

2015
Ejemplo 1.8.
Exciting rms voltamperes per kilogram at 60 Hz for M-5 grain-
oriented electrical steel 0.012 in thick. (Armco Inc.)

2015
Ejemplo 1.8.
Core loss at 60 Hz in watts per kilogram for M-5 grain-oriented electrical steel

Ejemplo 1.8.
1.5
36
1.5
1.5

Repita el ejemplo 1.8 para un voltaje de 60 Hz con B=1.0senωt
T.
Solución:
a) V=185cos377t V
b) I=0.04 A
c) Iϕ=0.061 A
d) Pc=6.7 W

2015
CONTENTS
4: AC Excitation.

Permanent Magnet Materials.
Machines

Permanent Magnets.
Magnitud fmm requerido para desmagnetizar el material.
Material Magnéticos Duros
Curva de histéresis para Alnico 5
Materiales de Imán Permanente
Alto valor de coercitividad -49 kA/m
Segundo cuadrante de
la curva de histéresis
para Alnico 5.
Alto valor de densidad
de flujo residual o
magnetización
remanente 1.22 T.
ÁLNICO

Permanent Magnets.
Material Magnéticos Suaves
Materiales de Imán Permanente
Bajo valor de coercitividad -6 kA/m
Segundo cuadrante de
la curva de histéresis
para acero eléctrico M-
5.
Curva de histéresis para
acero eléctrico M-5
aumentado por debajo del
valor de B.
Alto valor de densidad de flujo
residual o magnetización
remanente 1.4 T.
ACERO

Ejemplo 1.9.
Como se ilustra en la figura, un circuito magnético consiste en
un núcleo de alta permeabilidad (μ→∞), un entrehierro con
longitud g=0.2 cm, y una sección de material magnético con
longitud lm = 1 cm. El área de la sección transversal del núcleo y
del entrehierro es igual a Am= Ag= 4cm2. Calcule la densidad de
flujo Bg en el entrehierro si el material magnético es a) Alnico 5
y b) Acero eléctrico M-5.

Ejemplo 1.9.

Ejemplo 1.9.
(a) Second quadrant of hysteresis loop for Alnico 5;
(b) Second quadrant of hysteresis loop for M-5 electrical steel;
(c) hysteresis loop for M-5 electrical steel expanded for small B. (Armco Inc.)
0.3
Bm = -6.28x10-6 Hm

Permanent Magnets.
𝐵𝑔 =
𝐴 𝑚
𝐴 𝑔
𝐵 𝑚
𝐻 𝑚 𝑙 𝑚
ℎ 𝑔 𝑔
= −1
𝐵𝑔
2
= 𝑢0(
𝑙 𝑚 𝐴 𝑚
𝑔𝐴 𝑔
)(−𝐻 𝑚 𝐵 𝑚)=𝑢0(
𝑉𝑜𝑙 𝑚𝑎𝑔
𝑉𝑜𝑙 𝑎𝑖𝑟 𝑔𝑎𝑝
)(−𝐻 𝑚 𝐵 𝑚)
𝑉𝑜𝑙 𝑚𝑎𝑔 =
𝑉𝑜𝑙 𝑎𝑖𝑟 𝑔𝑎𝑝 𝐵 𝑔
2
𝑈0(−𝐻 𝑔 𝐵 𝑚)
𝐵 𝑚

Ejemplo 1.10.
El circuito magnético que se ilustra en la figura se modifica en
tal forma que el área del entrehierro se reduce a Ag= 2cm2 ,
como se muestra en la otra figura. Calcule el volumen mínimo
del imán que se requiere para lograr una densidad de flujo del
entrehierro de 0.8 T.

Ejemplo 1.10.

Ejemplo 1.10.
(a) Second quadrant of hysteresis loop for Alnico 5;
(b) Second quadrant of hysteresis loop for M-5 electrical steel;
(c) hysteresis loop for M-5 electrical steel expanded for small B. (Armco Inc.)
Bm
Hm

Repita el ejemplo 1.10 para y asuma que el área del entrehierro
se redujo a Ag= 1.8 cm2 y que la densidad de flujo del
entrehierro que se espera es de 0.6 T.
Solución:
Volumen mínimo para el imán = 2.58 cm3

2015
CONTENTS
4: AC Excitation.

Magnetization Curves for Common Permanent-Magnet
Materials.
Hasta el momento se considera la operación de los materiales de
imán permanente bajo la suposición de que el punto de operación
se puede determinar simplemente conociendo la geometría del
circuito magnético así como las propiedades de los diferentes
materiales implicados en el mismo. De hecho, la situación es más
compleja.

Magnetization curves for common permanent-magnet
materials.
Densidad de flujo residual relativamente alta
Baja densidad
de flujo residual
Coercitividad bajaCoercitividad alta
Alnico 8 menos sujeto desmagnetización que el 5.
Álnico 5
Álnico 8
Características de magnetización para
algunos materiales de imán permanente.

Magnetic circuit including both a permanent magnet and an
excitation winding.
Material magnético suave
y altamente permeable
Devanado de
excitación
Material
magnético duro
Inicialmente no
presenta
magnetización
Permeabilidad
Este circuito puede
emplearse como un sistema
para magnetizar materiales
magnéticos duros.

Portion of a B-H characteristic showing a minor loop and a recoil
line.
Material magnético duro inicialmente no presenta
magnetización
Aumenta i a su
máximo valor
Cuando i→0 línea B-H
comenzará formar curva de
histéresis i=0
Línea de
desmagnetización
i negativa
i más
negativa
i regresa a cero, traza
ciclo de histéresis menor
Línea recta →
Línea de
desmagnetización, 𝜇R
permeabilidad de
desmagnetización
APLICO CORRIENTE AL
DEVANADO DE EXCITACIÓN.
i=Hlm/N
Br Valor remanente

Ejemplo 1.11.
En la figura se expone un circuito de magnetización que
contiene material magnético duro, un núcleo y un embolo de
alta permeabilidad (se asume como infinita), también hay un
devanado de monoespira o de una vuelta, que se empleara
para magnetizar material magnético duro. El devanado se
eliminara después que se haya magnetizado el sistema. El
embolo se mueve en dirección x como se indica en la figura,
con el resultado de que el área del entrehierro puede variar
(2cm2≤X≤ 4cm2). Se toma en cuenta la suposición de que el
material magnético duro es Alnico 5 y que el sistema
inicialmente se magnetiza con Ag= 2cm2.

Ejemplo 1.11.
a) Calcule la longitud del imán lm de manera tal que el sistema
opere en una línea de rebote que corte el punto de producto
máximo de B-H en la curva de magnetización para Alnico 5.
b) Deduzca un procedimiento para magnetizar el imán y
c) Calcule la densidad de flujo Bg en el entrehierro mientras el
embolo se mueve de adelante hacia atrás y el entrehierro varia
entre estos limites.

Ejemplo 1.11.
Para magnetizar el material magnético
Émbolo móvil
Área de
material
magnético duro

Ejemplo 1.11.
(a) Magnetization curve for Alnico 5 for this Example;
(b) series of load lines for Ag = 2 cm2 and varying of values
of i showing the magnetization procedure for this Example.
(a)
(b)

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ELECTRICAL
ENGINEERING
DEPARTMENT
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NACIONAL
ELECTRIC
MACHINES I
PROBLEMS

Ejemplo 1.0.
La figura muestra un rotor y un estator sencillos de un motor
DC. La longitud media del recorrido del flujo en el estator es 50
cm, y su sección transversal es de 12 cm2. La longitud media
correspondiente al rotor es 5 cm y su sección transversal
también es 12 cm2. Cada entrehierro entre el rotor y el estator
tiene un ancho de 0.05 cm y su sección transversal (incluido el
efecto marginal) es 14 cm2. El hierro del núcleo tiene una
permeabilidad relativa de 2000, y hay 200 vueltas alrededor del
núcleo. Si la corriente en el alambre se ajusta a 1 A. Cuál será
la densidad de flujo resultante en el entrehierro?.

Ejemplo 1.0.

Ejemplo 1.1.
En la figura se ilustra un circuito magnético con entrehierro
simple. Las dimensiones del núcleo son:
Área de la sección transversal Ac = 1.8x10-3 m2
Longitud del núcleo principal lc = 0.6 m
Longitud del entrehierro g = 2.3x10-3 m
N = 83 vueltas

Ejemplo 1.1.
Suponga que el núcleo presenta permeabilidad infinita (𝜇→∞) e
ignore los efectos de dispersión magnética en el entrehierro y
de acoplamiento de flujo.
a) Calcule la reluctancia del núcleo Ɽc y del entrehierro Ɽg . Si
se considera una corriente de i = 1.5 A, determine b) El flujo
total ϕ, c) Los acoplamientos de flujo de la bobina λ, y d) La
inductancia de la bobina L.

Ejemplo 1.1.

Ejemplo 1.9.
El circuito magnético que se presenta en la figura consiste en
anillos de material magnético en una pila de altura h. Los anillos
presentan un radio interno Ri y un radio externo Ro. Suponga
que el hierro presenta permeabilidad infinita (𝜇→∞) e ignore los
efectos del acoplamiento magnético y dispersión. Para:
Ri = 3.4 cm
Ro = 4.0 cm
h = 2 cm
g = 0.2 cm

Ejemplo 1.9.
Calcule:
a) La longitud media del núcleo lc y el área de la sección
transversal del núcleo Ac.
b) La reluctancia del núcleo Ɽc y del entrehierro Ɽg.
Para N = 65 vueltas, calcule:
c) La inductancia L.
d) La corriente i que se requiere para operar a una densidad de
flujo del entrehierro de Bg = 1.35 T.
e) Los acoplamientos λ de flujo correspondientes a la bobina.

Ejemplo 1.12.
El inductor de la figura posee un núcleo con área de la sección
transversal circular uniforme de área Ac, longitud media lc y una
permeabilidad relativa 𝜇r, así como un devanado con N número
de vueltas. Elabore una expresión para la inductancia L.

Ejemplo 1.12.

Ejemplo 1.15.
Considere el circuito magnético que se esquematiza en la
figura. Esta estructura, denominada núcleo acorazado,
generalmente se fabrica en dos mitades. La bobina de N
número de vueltas está devanada sobre un carrete cilíndrico y
se inserta fácilmente sobre el poste central del núcleo a la vez
que se ensamblan ambas mitades. Debido a que el entrehierro
se encuentra en el interior del núcleo, si el núcleo no se orienta
de manera excesiva a la saturación, entonces, poco flujo
magnético se fugará del núcleo, formando esta configuración
que resulta particularmente atractiva para una gran variedad de
aplicaciones, tanto para los inductores, como es el caso del que
se ilustra en la otra figura, como para los transformadores.
Suponga que la permeabilidad del núcleo es de u = 2500 U y N
= 200 vueltas. Se especifican las siguientes dimensiones:

Ejemplo 1.15.
R1 = 1.5 cm, R2 = 1.5 cm, l = 2.5 cm
h = 0.75 cm, g = 0.5 mm
a) Determine el valor de R3 que logre que la densidad de flujo
en la pared externa del núcleo sea igual a la que posee dentro
del cilindro central.
b) Aunque de hecho, la densidad de flujo en las secciones
radiales del núcleo (las secciones del espesor h) disminuye con
el radio, suponga que la densidad de flujo permanece uniforme.
(i) Elabore una expresión para la inductancia de la bobina y (ii)
realice una evaluación de esta ecuación para las dimensiones
que se especifican.

Ejemplo 1.15.
c) El núcleo se operará a un punto máximo para la densidad de
flujo de 0.8 T a una frecuencia de 60 Hz. Determine (i) el valor
rms correspondiente del voltaje inducido en el devanado, (ii) la
corriente rms de la bobina, por último (iii), el punto máximo de
energía acumulada..
d) Repita en inciso c) para una frecuencia de 50 Hz.

Ejemplo 1.17.
Se designará un conductor mediante el uso de núcleo
magnético con la forma que se presenta en la figura. El núcleo
posee un área de sección transversal uniforme Ac = 5.0 cm2 y
con longitud media de lc = 25 cm.
a) Calcule la longitud g del entrehierro y el núemro N de vueltas
de manera que la inductancia sea de 1.4 mH y que el inductor
pueda operar con corrientes máximas de 6 A sin saturarse.
Suponga que la saturación ocurre cuando la densidad de flujo
máxima en el núcleo excede de 1.7 T y que, bajo saturación, el
núcleo presenta una permeabilidad de 𝜇 = 3200 𝜇o.
b) Para una corriente del inductor de 6 A, utilice la ecuación para
calcular (i) la energía magnética acumulada en el núcleo. Demuestre
que la energía magnética acumulada total se obtiene mediante:

2015
Ejemplo 1.17.
W =
1
2L
λ2 =
L
2
i2
Wfld =
v
B2
2𝜇
dV

2015
Toroidal winding for Problem 1.19.

2015
Iron-core inductor for Problem 1.20.

2015
Magnetic circuit for Problem 1.22.

2015
Symmetric magnetic circuit for Problem 1.23.

2015
Reciprocating generator for Problem 1.24.

2015
Configuration for measurement of magnetic properties of electrical
steel.

2015
Magnetic circuit for Problem 1.28.

2015
Magnetic circuit for the loudspeaker of Problem 1.34
(voice coil not shown).
Figure 1.37

2015
Magnetic circuit for
Problem 1.35.
Figure 1.38

2015
Consider the magnetic circuit shown on the right. The permanent magnet material
has cross-sectional area Am=4 cm2 and length lm=3.45 mm. The air-gap has
the same cross-sectional area as the magnet and its length is g=2 mm. The
iron core has infinite permeability. Assume no leakage flux, no fringing.
Answer the following.
a) Express the area and the length in meters correctly (if you get the units
incorrectly, it will be carried out to the remaining of the problem) and then
obtain the load line equation.
b) Draw the load line in the graph and give the magnetic field intensity value
and magnetic flux density value of the operating point for Samarium-Cobalt .
Ejemplo Examen Final 1.

2015
Load Line

2015
-1000 -800 -600 -400 -200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
3
kJ/m
100
(kA/m)H,
2
Wb/m
B
3
kJ/m
2003
kJ/m
294
It is desired to achieve a time-varying magnetic flux density in the air gap of the magnetic circuit in
the figure of the form Bg=Bo+B1sin wt where B0=0.5 Wb/m2 and B1=0.25 T. The dc field B0 is
to be created by a Neodymium-Iron-Boron (characteristic is shown below) magnet, whereas
the time-varying field is to be created by a time-varying current. Please, answer the following
for Ag=6 cm2, g=0.4 cm, and N=200 turns.
a) Write down the flux density of NdFeB as a function of the magnetic field intensity using the
characteristic given
b) The magnet length and the magnet area Am that will achieve the desired dc air gap flux
density and minimize the magnet volume.

2015
Consider the figure below and answer the following.
a) Draw magnetic equivalent circuit,
b) Find the reluctances as a function of x,
c) Calculate the flux,
d) Calculate the flux linkage of the coil,
e) Calculate the inductance of the coil.

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