Este documento presenta tres problemas relacionados con teoría electromagnética. El primero involucra determinar las corrientes en conductores para lograr suspensión magnética. El segundo consiste en calcular los flujos magnéticos en un circuito dado. El tercero trata sobre hallar la capacitancia y densidad de carga en un capacitor con dieléctrico no homogéneo.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
ING. JORGE FLORES MACÍAS ( )
ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( )
TERCERA EVALUACIÓN Fecha: martes 16 de septiembre del 2014
Alumno: ________________________________________________________________________________
Resumen de Calificaciones
Estudiante Examen Deberes Lecciones
Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
Total Tercera
Evaluación
-------------- --------------

2. Primer Tema (35%):
Determinar la magnitud, dirección y sentido de la corriente eléctrica que debe circular por
los conductores A y C , para que por suspensión magnética, el conductor B sea sostenido
en la posición que se indica en la siguiente figura. Asumir que la densidad lineal de masa
del alambre conductor B es l y que transporta una corriente eléctrica de intensidad 0 I .
B 0 I = I
AB F CB F
B W
La única forma, para que por suspensión magnética, el conductor B sea sostenido en la
posición que se indica en la figura es que se tengan fuerzas de repulsión entre las parejas
de conductores AB y CB ; entonces, para que existan precitadas fuerzas de repulsión, la
corriente eléctrica I , que debe fluir por los conductores A y C , debe tener el sentido
contrario a la corriente 0 I que circula por el conductor B .
Por la simetría del problema: FAB = FBC = F
Para el presente caso, la fuerza de origen magnético, producida entre dos conductores
rectos e infinitamente largos, está dada por:
μ
p
I I
l
d
0 0
2
F =
Adicionalmente, las componentes horizontales de dichas fuerzas se eliminan; por lo cual,
se tendría lo siguiente:
y B ­+ ΣF = ⇒ F sen −W =
0 2 60 0 o
μ μ
I I I I l
0 0 0 0 3 3
− = ⇒ − =
l m g lg
d d
2 0 0
B
2 2 2
pl
μ
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l
p p
0 0
2 3
3
gd
I
I
=
d
d
d
A
B
C
A C ? I = I = I =
d
d
d
A C
A C ? I = I = I =

3. Segundo Tema (35%):
Para el circuito magnético mostrado en la siguiente figura, cuyo núcleo ha sido construido
con Hierro al Silicio, determinar la excitación en la bobina 1 con la finalidad de obtener, en
la rama central, un flujo magnético F2 = 200 [μWb], tomando en consideración que el
sentido de los flujos magnéticos en cada rama es el indicado en el precitado circuito
magnético. Adicionalmente, obtenga el valor de los flujos magnéticos en las otras dos
ramas. Despréciese el flujo de dispersión en el entrehierro.
Considerar que las longitudes medias son: [ ] 1 3 l =l = 20 cm , [ ] 2 2 2 l = l '+l =10 cm ,
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[ ] 0 l =1 mm , que 2
1 3 A = A =1 cm  , 2
2 A = 2 cm  ; y, que la excitación en la bobina 2 tiene un
valor de [ ] 2 2 N I =1,000 A − espiras . Para resolver el presente ejercicio, explique primero, y
claramente, el procedimiento a seguir, elaborando el flujo respectivo.

4. Procedimiento a seguir:
1) A partir del circuito magnético dado, se deberá obtener el circuito eléctrico análogo;
para lo cual, a cada sección o tramo del mencionado circuito magnético, se le asignará
la respectiva reluctancia, pero solo para referenciar e identificar las “caídas de potencial
magnético”.
A cada solenoide o bobina dada, se le debe asociar su fuerza magnetomotriz o
magnetomotanza, atribuyéndose un sentido de acuerdo con la regla de la mano
derecha. En el presente problema ya se indica el sentido de las referidas
magnetomotanzas.
El flujo magnético tiene el mismo sentido de la magnetomotanza que predomine y salvo
que se indique lo contrario, se asumirá que dicho flujo estará confinado a la estructura
del referido circuito magnético, caso contrario, existirá dispersión de flujo magnético.
Cabe señalar que en el presente problema ya están indicados los sentidos de los flujos
magnéticos por cada rama del circuito magnético.
El circuito eléctrico análogo sería el siguiente:
1 Â 2 Â
∫ H × dl = NI LAGI ® ΣH l = NI LAGA
F = B A B « H interpolación ΣF =
1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 1 2 0 H l + H l + H l = N I ⇒ N I = 0.20H + 0.10H +1×10− H 1
2 2 3 3 0 0 2 2 2 3 0 H l + H l + H l = N I ⇒ 1,000 = 0.10H + 0.20H +1×10− H 2
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1 F
2 F
N2 I2 =1,000 1 1 N I = ?
0 Â
3 Â
3 F
a
b
2) Para resolver este tipo de problemas se aplicarán un conjunto de relaciones y
simultáneamente con lo expresado, se utilizarán a) la Ley de Ampère Generalizada
Aproximada (LAGA) misma que es obtenida a partir de la Ley de Ampère Generalizada
en su forma Integral (LAGI) y una de las Leyes de Kirchhoff para Circuitos Magnéticos
(para el presente caso: en el nodo a ); es decir:
c ( ) k k ( )
k
( )
0
B vs H
k k k k k k
k
3
3

5. Restando las ecuaciones anteriores, se tendría lo siguiente:
N1I1 = 0.20H1 − 0.20H3 +1,000
Adicionalmente y debido a que las reluctancias 2 Â y 0 Â se encuentran en serie, se tendría
que:
F ×
200 10
2 10 A A B A B A B B
F = = F = ⇒ = = =
= A −
2 0
B vs H
k k B = B = T B « H interpolación H = A m
− −
= ⇒ =
H H A m
B vs H
k k H = A m B « H interpolación B = T
B vs H
k k B = T B « H interpolación H = A m
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6
2
2 2 2 0 0 0 2 0 4
2
×
[ ] ( ) [ ]
2 0 2 1 1,000 /
[ ]
3
0
0 0 0 7 0 0
0
1 10
795.775
4 10
B
H l l H l A espiras
μ p
−
−
×
= = ⇒ = −
×
Reemplazando los valores anteriormente determinados en la ecuación 2 se tendría lo
siguiente:
( ) 3 1,000 = 0.10 1,000 + 0.20H + 795.775
1,000 0.10 ( 1,000 ) 795.775
521.13 [ /
] 3 3
0.20
[ ] ( ) [ ]
3 3 521.13 / 0.766
Al aplicar la Ley de Kirchhoff para Circuitos Magnéticos en el nodo a , se tiene que:
2 1 3 F = F +F
Además se conoce que: 1 2 3 A = A A = 2A A = A
2 1 3 2 2 1 1 3 3 2 1 3 F = F +F ⇒ B A = B A + B A ⇒ B 2A = B A+ B A
( ) [ ] 2 1 3 1 2 3 1 2B = B + B ⇒ B = 2B − B = 2 1 −0.766 ⇒ B =1.234 T
[ ] ( ) [ ]
1 1 1.234 2,319.55 /
Reemplazando los valores anteriormente determinados en la ecuación 1 se tendría lo
siguiente:
( ) ( ) [ ] 1 1 1 1 N I = 0.20 2,319.55 + 0.10 1,000 + 795.775 ⇒ N I =1,360 A− espiras

6. Para la determinación de los flujos magnéticos de las otras dos ramas, se tendría lo
siguiente:
[ ] ( 4 ) [ ]
1 1 1 1 1 B =1.234 T ⇒ F = B A =1.234 1×10− ⇒ F =123.4 μWb
[ ] ( 4 ) [ ]
3 3 3 3 3 B = 0.766 T ⇒ F = B A = 0.766 1×10− ⇒ F = 76.6 μWb
Notar que la suma de 1 3 F +F da como resultado [ ] 2 F = 200 μWb .
CURVA DE MAGNETIZACIÓN DEL HIERRO AL SILICIO
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1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0 400 800 1,200 1,600 2,000 2,400
B (T)
H (Amp/m)
1,000
0.766
2,319.55
1.234
521.13

7. Tercer Tema (35%):
El dieléctrico en un capacitor de placas planas paralelas es no homogéneo. La
permitividad varía linealmente desde un valor 1 e en la superficie de una de las placas,
hasta un valor 2 e en la superficie de la otra placa. La distancia entre las placas es “ d ” y su
área es “ S ”. Considerar además que la diferencia de potencial entre las placas del
capacitor es “V ”.
a) Determine la capacitancia de este capacitor.
b) Determine la densidad superficial de cargas de polarización donde corresponda.
−
2 1 ( ) e
x (0 x £ d)
s s
e e e e
E μμμμ μμμμ
x x x d
x
+
− = −∫ E × l
s
= − £ × = =
 e − e

 +   
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1 e 2 e
d
x
y
V
De acuerdo al enunciado del presente problema, la permitividad del dieléctrico no
homogéneo, contenido entre las placas del capacitor, cumpliría con la siguiente relación:
1
e e
e = x
+
d
2 1
1
(0 )
( )
x
d
£ = =
 − 
 +   
Dj = j j d
+ −
−
( )
0
0 2 1
1
0
d
d
dx
V x d d
x
d
e
∫ E l ∫

8. d Qd
( )
( ) 2 1 2 1
= =
/ /
V ln ln
( )
S
2 1 2 1
e e
e e
( )
( / )
e − e e −
e
V SV
= ⇒ Q
=
d ln d ln
e e
V
d ln
e e e e
P x d x
μ
−
e e
e /
e e e
= = − − = − −
( 0) ( ) ( )
−
e e
e /
e e e
= = − = −
( ) ( ) ( )
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s
e e e e
e − e e −
e
2 1
2 1
SISTEMA
Q S
C
V d ln
−
= =
( )
( )
( )
( )
2 1 2 1
2 1 2 1
s
e / e e /
e
( ) ( ) 0 P 0 x £ d = (e −e )E 0 x £ d
( )
( )
2 1
( )
2 1 2 1
1 0
2 1
1
/
0 x
d
x
d
e e
e e
e
−
 − 
£ =  + −     −   + 
 
( )
( ) ( −
)
( )
2 1
2 1 2 1
1 0 1 0
/
1 1 2 1
P
V
d ln V
x
d ln
s e e e e
e e e e
( )
( ) ( −
)
( )
2 1
2 1 2 1
2 0 2 0
/
2 2 2 1
P
V
d ln V
x d
d ln
s e e e e
e e e e