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Problemas resueltos-transformadores

Este documento contiene la resolución de 5 problemas relacionados con transformadores eléctricos. En el primer problema se calculan las corrientes primarias y secundarias, el flujo máximo y el número de espiras primarias para un transformador monofásico ideal. Los problemas 2 al 4 involucran el cálculo de pérdidas por histéresis y corrientes de Foucault para diferentes configuraciones. El quinto problema implica varios cálculos cuando se cambian la tensión y frecuencia de alimentación.

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PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSFORMADORES Para cualquier inquietud o consulta escribir a: quintere@hotmail.com quintere@gmail.com quintere2006@yahoo.com Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010 1
Problema 1. Un transformador monofásico de 100 Kva. 3000/220 v, 50 Hz, tiene 100 espiras en el devanado secundario. Supuesto que el transformador es ideal, calcular: a) Corrientes primaria y secundaria a plena carga? b) Flujo máximo c) Numero de espiras del arrollamiento primario? a) Los valores de la corriente primaria y secundaria a plena carga son: S = 100 Kva = 100000 va E1 = 3000 v E2 = 220 V I1 = Corriente del primario en amperios I2 = Corriente del secundario en amperios S = V1 * A1 Amp.33,33 v3000 va100000 1V S 1A === S = V2 * A2 Amp.454,54 v220 va100000 2V S 2A === Flujo máximo, como el transformador es ideal N2 = 100 espiras en el secundario F = 50 Hz E2 = 220 V E2 = 4,44 f * N2 *Ømax Weber3-10*9,9 22200 220 50*100*4,44 220 f*2N*4,44 2E max ====φ Numero de espiras del arrollamiento primario? N2 = 100 espiras en el secundario E1 = 3000 v E2 = 220 V 2N 1N 2E 1E = esp100 1N v220 v3000 = esp100 1N 13,63 = N1 = 13,63 * 100 = 1364 espiras Problema 2. Un transformador que trabaja a 50 Hz. Con una chapa magnética que tiene un espesor de 0,35 mm. y una inducción magnética de 1 Tesla (10000 Gauss). Se conecta a una red de 60 Hz. Cuales son las perdidas en el hierro a 50 Hz. Cuales son las perdidas en el hierro a 60 Hz. 2
Pf = perdidas por corriente de Foucault en Watios/Kg. f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima en Gauss Δ = Espesor de la chapa en mm. ( ) 1110 2*2 max*2f*2,2 f Δ = β P Cuales son las perdidas en el hierro a 50 Hz. ( ) kg watios 0,673 1110 1225,0*810*2500*2,2 1110 235,0*210000*250*2,2 f ===P Cuales son las perdidas en el hierro a 60 Hz. ( ) kg watios 0,97 1110 1225,0*810*3600*2,2 1110 235,0*210000*260*2,2 f ===P Esto nos indica que si la frecuencia es mayor, mayores serán las perdidas por corriente de Foucault. Problema 3. Un transformador que trabaja a una frecuencia de 50 Hz. Con unas chapa magnética de una inducción de 1,2 Tesla (12000 Gauss), conectado a una red de 50 Hz. De frecuencia. El peso del núcleo del transformador es de 3 kg. ¿Cuáles serán las perdidas por histéresis del núcleo magnético?. Formula de Steinmetz Kh = Coeficiente de cada material = 0,002 F = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima en Tesla Ph = perdidas por histéresis en Watios/Kg. n = 1,6 si Βmax < 1 Tesla (10000 Gauss) n = 2 si Βmax > 1 Tesla (10000 Gauss) Ph = Kh * f * (βmax)n Ph = 0,002 * 50 * 1,22 Ph = 0,144 watios/kg 0,144 watios 1 kg X 3 kg X = 3 * 0,144 watios X = 0,432 watios Problema 4. Un transformador conectado a una red de 50 Hz. De frecuencia con una chapa magnética de 0,9 Tesla (9000 Gauss) de inducción. El peso del núcleo del transformador es de 12 kg. El espesor de la chapa del núcleo es de 0,35 mm y el coeficiente de histéresis es de 0,002 Calcular la potencia perdida en el hierro? Se halla la potencia perdida por corrientes de Foucault Pf = perdidas por corriente de Foucault en Watios/Kg. F = frecuencia en Hz. = 50 Hz. 3
βmaz = Inducción máxima en Gauss = 900 Gauss Δ = Espesor de la chapa en mm. = 0,35 mm ( ) 1110 2*2 max*2f*2,2 f Δ = β P ( ) kg watios 0,545 1110 05457375000 1110 1225,0*81000000*2500*2,2 1110 235,0*29000*250*2,2 f ====P Las perdidas totales por corrientes de Foucault son: 0,545 watios 1 kg X 12 kg X = 12 * 0,545 watios X = 6,54 watios Se halla la potencia perdida por histéresis Formula de Steinmetz Kh = Coeficiente de cada material = 0,002 F = frecuencia en Hz. = 50 Hz βmax = Inducción máxima en Tesla = 0,9 Tesla Ph = perdidas por histéresis en Watios/Kg. n = 1,6 si Βmax < 1 Tesla (10000 Gauss) n = 2 si Βmax > 1 Tesla (10000 Gauss) Ph = Kh * f * (βmax)n Ph = 0,002 * 50 * (0,9)1,6 Ph = 0,002 * 50 * 0,84486 Ph = 0,0844 watios/kg Las perdidas totales por histéresis son: 0,0844 watios 1 kg X 12 kg X = 12 * 0,0844 watios X = 1,01 watios Perdidas totales en el núcleo son: PFE = perdidas totales por corrientes de Foucault + perdidas totales por histéresis PFE = 6,54 watios + 1,01 watios PFE = 7,55 watios Nota: Las pérdidas en el hierro se halla midiendo la potencia consumida por el transformador en vacío. Problema 5 Un transformador de 60 hz. Tiene unas perdidas por histéresis de 200 watios y unas perdidas por corrientes parasitas de 100 watios para un valor máximo de la densidad de flujo de 200 weber/m2 cuando se aplica una tensión nominal de 120 voltios en bornes del primario, calcular 4
a) Las pérdidas por histéresis y por corrientes parasitas cuando la tensión disminuye a 110 v para la misma frecuencia. Suponiendo que las perdidas por corrientes parasita son función de (fxBm)2 pero las perdidas por histéresis son función de f x (Bmax)1,75 b) Las pérdidas por histéresis y corrientes parasitas (Foucault) para una densidad de flujo máximo, si se aplica la tensión nominal a una frecuencia de 50 hz. c) La densidad de flujo máxima, las perdidas por histéresis y corrientes parasitas cuando se aplica 60 voltios a 30 hz. Datos f = 60 hz Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios. Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios 2metro weber 200v120maxB = Vnominal = 120 voltios (primario) E = k f Bmax v120maxBhz60fk v110maxBhz60fk v120E v110E = v120maxB v110maxB v120E v110E = 2m weber 200 v110maxB v120 v110 = 2m weber 200 v110maxB 9166,0 = 0,9166x 2metro weber 200v110maxB = 2metro weber 33,183v110maxB = Formula de Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis Ph = Kh * f * (βmax)n Ph 120 v = pérdidas por histéresis = 200 watios. Kh = coeficiente de histeresis, depende del material f = frecuencia en Hz. n = 1,75 2metro weber 200v120maxB = 5 2metro weber 33,183v110maxB =
Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios Ph = Kh * f * (βmax)n ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1 v120maxBhz60fkh 75,1 v110maxBhz60fhk v120hP v110hP = ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1 v120maxB 75,1 v110maxB v120hP v110hP = ( ) 59,10636 9133,95 watios200 v110hP = ( ) 0,858 watios200 v110hP = Ph 110 v = 200 watios. X 0,858 Ph 110 v = 171,74 watios. Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo ( ) v22f2 maxBfkfP Δ= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v22 v120maxB2 60ffk v22 v110maxB2 60ffk v120fP v110fP Δ Δ = ( ) ( ) ( )2200 2183,33 watios100 v110fP = ( ) 40000 33609,88 watios100 v110fP = ( ) 0,84 watios100 v110fP = Pf (110 v) = 100 watios x 0,84 Pf (110 v) = 84 watios Las pérdidas por histéresis y corrientes parasitas (Foucault) para una densidad de flujo máximo, si se aplica la tensión nominal a una frecuencia de 50 hz. Datos f = 50 hz Ph = pérdidas por histéresis. 6 Pf = corrientes parasitas (Foucault)
2metro weber 200v120maxB = Vnominal = 120 voltios (primario) E = k f Bmax hz60maxBhz60fk hz50maxBhz50fk v120E v120E = 200x60 hz50maxBx50 v120E v120E = 12000 hz50maxBx50 v120 v120 = 1200 hz50maxBx5 1= hz50maxBx51200 = 1200 = 5 x Bmax 50 hz BB max 50 hz = 240 weber/m2 Ph = Kh * f * (βmax)n ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1 hz60maxBhz60fkh 75,1 hz50maxBhz50fhk hz60hP hz50hP = ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1200x60 75,1240x50 hz60hP hz50hP = Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios. ( ) ( ) 1,1465 63819,54 73171.1 10636,59x6 14634,22x5 hz60hP hz50hP === ( ) 1,1465 watios200 hz50hP = Ph 50 hz = 200 watios. X 1,1465 Ph 50 hz = 229,3 watios Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo B 7 B max 50 hz = 240 weber/m2
2metro weber 200hz60maxB = ( ) v22f2 maxBfkfP Δ= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v22 hz50maxB2 50ffk v22 hz60maxB2 60ffk hz50fP hz60fP Δ Δ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 hz50maxB2 50f 2 hz60maxB2 60f hz50fP hz60fP = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2240250 2200260 hz50fP hz60fP = ( ) ( ) ( ) ( ) 14400 14400 576x25 400x36 57600x2500 40000x3600 hz50fP hz60fP === Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios ( ) ( ) 1 hz50fP hz60fP = Pf (60 hz) = 100 watios x 1 Pf (60 hz) = 100 watios La densidad de flujo máxima, las perdidas por histéresis y corrientes parasitas cuando se aplica 60 voltios a 30 hz. Datos f = 60 hz Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios. Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios 2metro weber 200v120maxB = Vnominal = 120 voltios (primario) E = k f Bmax v30maxBhz30fk v120maxBhz60fk v60E v120E = v30maxBhz30f v120maxBhz60f v60E v120E = v30maxBx30 200x60 60 120 = v30maxBx30 12000 2 = 8
60 12000 2x30 12000 v30maxB == 2metro weber 200v30maxB = Formula de Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis Ph = Kh * f * (βmax)n Kh = coeficiente de histeresis, depende del material f = frecuencia en Hz. n = 1,75 2metro weber 200v120maxB = 2metro weber 200v30maxB = Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios Ph = Kh * f * (βmax)n ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1 v120maxBhz60fkh 75,1 v30maxBhz30fhk v120hP v30hP = ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1 v120maxBhz60f 75,1 v30maxBhz30f v120hP v30hP = ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1200hz60f 75,1200hz30f v120hP v30hP = ( ) ( ) hz60f hz30f v120hP v30hP = ( ) ( ) 0,5 60 30 v120hP v30hP == Ph 120 v = pérdidas por histéresis = 200 watios. Ph 30 v = 200 watios. X 0,5 Ph 30 v = 100 watios. Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo 9 ( ) v22f2 maxBfkfP Δ=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v22 v120maxB2 60ffk v22 v30maxB2 30ffk v120fP v30fP Δ Δ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 v120maxB2 60f 2 v30maxB2 30f v120fP v30fP = Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios 2metro weber 200v120maxB = 2metro weber 200v30maxB = ( ) ( ) ( ) ( )2200260 2200230 100 v30fP = ( ) ( )260 230 100 v30fP = ( ) 3600 900 100 v30fP = ( ) 0,25 100 v30fP = Pf (30 v) = 100 watios x 0,25 Pf (30 v) = 25 watios Problema 6. Un transformador de 50 kva, 600 /240 v, 25 hz tiene unas perdidas en el hierro de 200 w (de los cuales el 30 % son perdidas por corrientes parasitas) y unas perdidas en el cobre a plena carga de 650 watios. Si el transformador se hace funcionar a 600 v, 60 hz. Cual seria la nueva potencia nominal del transformador si las perdidas totales tuvieran que ser las mismas Datos S = 50 Kva = 50000 va. 600 v /240 v, 25 hz perdidas en el hierro de 200 w = Pf + Ph Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 200 watios x 0,3 = 60 watios Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios x 0,7 = 140 watios PCU a plena carga = 650 watios Perdidas totales = perdidas en el hierro + perdidas en el cobre Perdidas totales = 200 + 650 Perdidas totales = 850 watios E = k f Bmax hz60maxBhz60fk hz25maxBhz25fk v600E v600E = 10
hz60maxBhz60f hz25maxBhz25f 1 = hz60maxBx60 hz25maxBx25 1 = hz60maxB hz25maxB 25 60 = Ecuación 1 Formula de Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis Ph = Kh * f * (βmax)n Kh = coeficiente de histeresis, depende del material f = frecuencia en Hz. Ph = Kh * f * (βmax)n ( ) ( ) ( ) ( )2 hz60maxBhz60fkh 2 hz25maxBhz25fhk hz60hP hz25hP = ( ) ( ) ( ) ( )2 hz60maxBhz60f 2 hz25maxBhz25f hz60hP hz25hP = ( ) ( ) ( ) ( )2 hz60maxBx60 2 hz25maxBx25 hz60hP hz25hP = ( ) ( ) 2 hz60maxB hz25maxB x 60 25 hz60hP hz25hP ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = Reemplazando la ecuación 1 ( ) ( ) 2 25 60 x 60 25 hz60hP hz25hP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ( ) ( ) ( )24,2x 60 25 hz60hP hz25hP = ( ) ( ) 5,76x 60 25 hz60hP hz25hP = ( ) ( ) 2,4 hz60hP hz25hP = Ph = pérdidas por histéresis a 25 hz = 200 watios x 0,7 = 140 watios 11 ( ) 2,4 hz60hP 140 =
Ph 60 hz = 58,33 watios. Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del núcleo ( ) v22f2 maxBfkfP Δ= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v22 vhz60maxB2 60ffk v22 hz25maxB2 25ffk hz60fP hz25fP Δ Δ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 vhz60maxB2 60f 2 hz25maxB2 25f hz60fP hz25fP = ( ) ( ) ( ) ( )2 vhz60maxBx260 2 hz25maxBx225 hz60fP hz25fP = ( ) ( ) 2 hz60maxB hz25maxB x 3600 625 hz60fP hz25fP ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = hz60maxB hz25maxB 25 60 = Ecuación 1 Reemplazando la ecuación 1 ( ) ( ) 2 25 60 x0,1736 hz60fP hz25fP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ( ) ( ) ( )24,2x0,1736 hz60fP hz25fP = ( ) ( ) 5,76x0,1736 hz60fP hz25fP = ( ) ( ) 1 hz60fP hz25fP = Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 200 watios x 0,3 = 60 watios Pf (60 hz) = Pf (25 hz) = 60 watios Perdidas en el hierro a 60 hz = Pf + Ph Perdidas en el hierro a 60 hz = 60 + 58,33 Perdidas en el hierro a 60 hz = 118,33 watios Las perdidas totales se mantienen constantes 12 Perdidas totales = 850 watios
Perdidas totales = perdidas en el hierro + perdidas en el cobre 850 watios = 118,33 watios + perdidas en el cobre perdidas en el cobre = 850 − 118,33 perdidas en el cobre a 60 hz = 731,67 watios perdidas en el cobre a 25 hz = 650 watios ( ) ( ) ( ) ( )2 hz60SC 2 hz25SC hz60CUP hz25CUP = PCU a 25 hz = 650 watios S = 50 Kva ( ) ( )2 hz60S 2 hz25S 67,731 650 = ( ) ( ) 650 731,67x2502 hz60S = ( ) ( ) 2814,11 650 731,67x25002 hz60S == ( ) 2814,11hz60S = ( ) kva53hz60S = Problema 7. Calcular la potencia aparente y el factor de potencia en vacío de un transformador partiendo de los siguientes datos: Tensión del primario U1n 380 V Intensidad del primario I10 0,081 A Tensión del secundario U2n 125 V Potencia medida con vatímetro P10 2,2 W Resistencia del cobre RCU 2,4 Ω La relación de transformación En el ensayo en vacío, al estar abierto el devanado secundario, no circula ninguna corriente, esto permite que las tensiones primaria y secundarias sean iguales 3,04 V125 V380 2nU 1nU m === 13
La potencia medida con el vatímetro en el devanado primario (P10 = 2,2 W) corresponde a las perdidas en el hierro y en el cobre, pero las perdidas en el cobre en un transformador en vacío son despreciables, por lo tanto la potencia medida con un vatímetro en vacío se consideran las perdidas en el hierro. La potencia perdida en el cobre se puede hallar PCU = (I10)2 * RCU PCU = (0,081)2 * 2,4 PCU = 0,006561 * 2,4 PCU = 0,015 Watios Esto indica que la potencia que se pierde por el cobre del bobinado es despreciable en un ensayo de vacío frente a las perdidas en el núcleo (corrientes de Foucault + perdidas por histéresis) La impedancia es: Ω=== 4691,35 A0,081 V380 10I 1nU Z La potencia aparente es: S = U1n * I10 = 380 V * 0,081 A S = 30,78 VA El ángulo de desfase φ entre la tensión y la intensidad de corriente 0,07147 30,78 2,2 S 10P cos ===ϕ Problema 8. Un transformador de 50 kva 4600 v /220 v, 50 hz. Ensayo en vacío 223 v, 287 watios. Ensayo en corto 156 v, 620 watios, 11,87 A. Hallar η Rendimiento a 60 kva, cos Φ = 0,86 Kva ? ηmax, Sη max ηmax para cos λ = 0,8 IN1 = Corriente del primario A10,87 4600 50000 N1I == IN2 = Corriente del secundario A227,27 220 50000 N2I == ( )20,986x287 2 223 220 x287 2 vacioV N1V xvacioWfeP =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ( )0,9732x287feP = 14 P10 = 2,2 w S = 30,78 VA φ
Pfe (50 kva) = 279,32 watios ( )20,9157x620 2 11,87 10,87 x620 2 cortoI N1I xcortoWcuP =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ( )0,8386x620cuP = Pcu (50 kva) = 519,93 watios ( ) ( ) ( ) ( )2 kva60SC 2 kva50SC kva60CUP kva50CUP = ( ) ( ) ( )260 250 kva60cuP 519,93 = ( ) ( ) ( )3600 2500 kva60cuP 519,93 = ( ) ( ) 2500 3600x519,93 kva60cuP = ( ) watios748,69kva60cuP = Hallar η (Rendimiento a 60 kva), cos Φ = 0,86 ( ) ( )hz60cuPhz50fePcos cosS kva60η ++ = φ φ S 748,6927986,0*50000 0,86*50000 kva60η ++ = 44027.69 43000 748,6927943000 43000 kva60η = ++ = 0,97kva60η = η 60 kva = 97 % ( ) ( )hz50cuP hz50feP2 S maxS =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ η ( ) ( )hz50cuP hz50feP S maxS =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ η ( ) ( ) S* hz50cuP hz50feP maxS =η kva50* 519 279 maxS =η kva50*537,0maxS =η kva50*0,732maxS =η kva36,64maxS =η 15
ηmax para cos λ = 0,8 ( )hz50feP2cos*max cos*maxS maxη + = λη λη S 279,32*28,0*36640 0,8*36640 maxη + = 29870,64 29312 558,6429312 29312 maxη = + = 0,98maxη = %98maxη = 16

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Problemas resueltos-transformadores

  • 1.
    PROBLEMAS RESUELTOS DETRANSFORMADORES Para cualquier inquietud o consulta escribir a: quintere@hotmail.com quintere@gmail.com quintere2006@yahoo.com Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010 1
  • 2.
    Problema 1. Un transformadormonofásico de 100 Kva. 3000/220 v, 50 Hz, tiene 100 espiras en el devanado secundario. Supuesto que el transformador es ideal, calcular: a) Corrientes primaria y secundaria a plena carga? b) Flujo máximo c) Numero de espiras del arrollamiento primario? a) Los valores de la corriente primaria y secundaria a plena carga son: S = 100 Kva = 100000 va E1 = 3000 v E2 = 220 V I1 = Corriente del primario en amperios I2 = Corriente del secundario en amperios S = V1 * A1 Amp.33,33 v3000 va100000 1V S 1A === S = V2 * A2 Amp.454,54 v220 va100000 2V S 2A === Flujo máximo, como el transformador es ideal N2 = 100 espiras en el secundario F = 50 Hz E2 = 220 V E2 = 4,44 f * N2 *Ømax Weber3-10*9,9 22200 220 50*100*4,44 220 f*2N*4,44 2E max ====φ Numero de espiras del arrollamiento primario? N2 = 100 espiras en el secundario E1 = 3000 v E2 = 220 V 2N 1N 2E 1E = esp100 1N v220 v3000 = esp100 1N 13,63 = N1 = 13,63 * 100 = 1364 espiras Problema 2. Un transformador que trabaja a 50 Hz. Con una chapa magnética que tiene un espesor de 0,35 mm. y una inducción magnética de 1 Tesla (10000 Gauss). Se conecta a una red de 60 Hz. Cuales son las perdidas en el hierro a 50 Hz. Cuales son las perdidas en el hierro a 60 Hz. 2
  • 3.
    Pf = perdidaspor corriente de Foucault en Watios/Kg. f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima en Gauss Δ = Espesor de la chapa en mm. ( ) 1110 2*2 max*2f*2,2 f Δ = β P Cuales son las perdidas en el hierro a 50 Hz. ( ) kg watios 0,673 1110 1225,0*810*2500*2,2 1110 235,0*210000*250*2,2 f ===P Cuales son las perdidas en el hierro a 60 Hz. ( ) kg watios 0,97 1110 1225,0*810*3600*2,2 1110 235,0*210000*260*2,2 f ===P Esto nos indica que si la frecuencia es mayor, mayores serán las perdidas por corriente de Foucault. Problema 3. Un transformador que trabaja a una frecuencia de 50 Hz. Con unas chapa magnética de una inducción de 1,2 Tesla (12000 Gauss), conectado a una red de 50 Hz. De frecuencia. El peso del núcleo del transformador es de 3 kg. ¿Cuáles serán las perdidas por histéresis del núcleo magnético?. Formula de Steinmetz Kh = Coeficiente de cada material = 0,002 F = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima en Tesla Ph = perdidas por histéresis en Watios/Kg. n = 1,6 si Βmax < 1 Tesla (10000 Gauss) n = 2 si Βmax > 1 Tesla (10000 Gauss) Ph = Kh * f * (βmax)n Ph = 0,002 * 50 * 1,22 Ph = 0,144 watios/kg 0,144 watios 1 kg X 3 kg X = 3 * 0,144 watios X = 0,432 watios Problema 4. Un transformador conectado a una red de 50 Hz. De frecuencia con una chapa magnética de 0,9 Tesla (9000 Gauss) de inducción. El peso del núcleo del transformador es de 12 kg. El espesor de la chapa del núcleo es de 0,35 mm y el coeficiente de histéresis es de 0,002 Calcular la potencia perdida en el hierro? Se halla la potencia perdida por corrientes de Foucault Pf = perdidas por corriente de Foucault en Watios/Kg. F = frecuencia en Hz. = 50 Hz. 3
  • 4.
    βmaz = Inducciónmáxima en Gauss = 900 Gauss Δ = Espesor de la chapa en mm. = 0,35 mm ( ) 1110 2*2 max*2f*2,2 f Δ = β P ( ) kg watios 0,545 1110 05457375000 1110 1225,0*81000000*2500*2,2 1110 235,0*29000*250*2,2 f ====P Las perdidas totales por corrientes de Foucault son: 0,545 watios 1 kg X 12 kg X = 12 * 0,545 watios X = 6,54 watios Se halla la potencia perdida por histéresis Formula de Steinmetz Kh = Coeficiente de cada material = 0,002 F = frecuencia en Hz. = 50 Hz βmax = Inducción máxima en Tesla = 0,9 Tesla Ph = perdidas por histéresis en Watios/Kg. n = 1,6 si Βmax < 1 Tesla (10000 Gauss) n = 2 si Βmax > 1 Tesla (10000 Gauss) Ph = Kh * f * (βmax)n Ph = 0,002 * 50 * (0,9)1,6 Ph = 0,002 * 50 * 0,84486 Ph = 0,0844 watios/kg Las perdidas totales por histéresis son: 0,0844 watios 1 kg X 12 kg X = 12 * 0,0844 watios X = 1,01 watios Perdidas totales en el núcleo son: PFE = perdidas totales por corrientes de Foucault + perdidas totales por histéresis PFE = 6,54 watios + 1,01 watios PFE = 7,55 watios Nota: Las pérdidas en el hierro se halla midiendo la potencia consumida por el transformador en vacío. Problema 5 Un transformador de 60 hz. Tiene unas perdidas por histéresis de 200 watios y unas perdidas por corrientes parasitas de 100 watios para un valor máximo de la densidad de flujo de 200 weber/m2 cuando se aplica una tensión nominal de 120 voltios en bornes del primario, calcular 4
  • 5.
    a) Las pérdidaspor histéresis y por corrientes parasitas cuando la tensión disminuye a 110 v para la misma frecuencia. Suponiendo que las perdidas por corrientes parasita son función de (fxBm)2 pero las perdidas por histéresis son función de f x (Bmax)1,75 b) Las pérdidas por histéresis y corrientes parasitas (Foucault) para una densidad de flujo máximo, si se aplica la tensión nominal a una frecuencia de 50 hz. c) La densidad de flujo máxima, las perdidas por histéresis y corrientes parasitas cuando se aplica 60 voltios a 30 hz. Datos f = 60 hz Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios. Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios 2metro weber 200v120maxB = Vnominal = 120 voltios (primario) E = k f Bmax v120maxBhz60fk v110maxBhz60fk v120E v110E = v120maxB v110maxB v120E v110E = 2m weber 200 v110maxB v120 v110 = 2m weber 200 v110maxB 9166,0 = 0,9166x 2metro weber 200v110maxB = 2metro weber 33,183v110maxB = Formula de Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis Ph = Kh * f * (βmax)n Ph 120 v = pérdidas por histéresis = 200 watios. Kh = coeficiente de histeresis, depende del material f = frecuencia en Hz. n = 1,75 2metro weber 200v120maxB = 5 2metro weber 33,183v110maxB =
  • 6.
    Pf = corrientesparasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios Ph = Kh * f * (βmax)n ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1 v120maxBhz60fkh 75,1 v110maxBhz60fhk v120hP v110hP = ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1 v120maxB 75,1 v110maxB v120hP v110hP = ( ) 59,10636 9133,95 watios200 v110hP = ( ) 0,858 watios200 v110hP = Ph 110 v = 200 watios. X 0,858 Ph 110 v = 171,74 watios. Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo ( ) v22f2 maxBfkfP Δ= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v22 v120maxB2 60ffk v22 v110maxB2 60ffk v120fP v110fP Δ Δ = ( ) ( ) ( )2200 2183,33 watios100 v110fP = ( ) 40000 33609,88 watios100 v110fP = ( ) 0,84 watios100 v110fP = Pf (110 v) = 100 watios x 0,84 Pf (110 v) = 84 watios Las pérdidas por histéresis y corrientes parasitas (Foucault) para una densidad de flujo máximo, si se aplica la tensión nominal a una frecuencia de 50 hz. Datos f = 50 hz Ph = pérdidas por histéresis. 6 Pf = corrientes parasitas (Foucault)
  • 7.
    2metro weber 200v120maxB = Vnominal =120 voltios (primario) E = k f Bmax hz60maxBhz60fk hz50maxBhz50fk v120E v120E = 200x60 hz50maxBx50 v120E v120E = 12000 hz50maxBx50 v120 v120 = 1200 hz50maxBx5 1= hz50maxBx51200 = 1200 = 5 x Bmax 50 hz BB max 50 hz = 240 weber/m2 Ph = Kh * f * (βmax)n ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1 hz60maxBhz60fkh 75,1 hz50maxBhz50fhk hz60hP hz50hP = ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1200x60 75,1240x50 hz60hP hz50hP = Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios. ( ) ( ) 1,1465 63819,54 73171.1 10636,59x6 14634,22x5 hz60hP hz50hP === ( ) 1,1465 watios200 hz50hP = Ph 50 hz = 200 watios. X 1,1465 Ph 50 hz = 229,3 watios Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo B 7 B max 50 hz = 240 weber/m2
  • 8.
    2metro weber 200hz60maxB = ( )v22f2 maxBfkfP Δ= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v22 hz50maxB2 50ffk v22 hz60maxB2 60ffk hz50fP hz60fP Δ Δ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 hz50maxB2 50f 2 hz60maxB2 60f hz50fP hz60fP = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2240250 2200260 hz50fP hz60fP = ( ) ( ) ( ) ( ) 14400 14400 576x25 400x36 57600x2500 40000x3600 hz50fP hz60fP === Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios ( ) ( ) 1 hz50fP hz60fP = Pf (60 hz) = 100 watios x 1 Pf (60 hz) = 100 watios La densidad de flujo máxima, las perdidas por histéresis y corrientes parasitas cuando se aplica 60 voltios a 30 hz. Datos f = 60 hz Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios. Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios 2metro weber 200v120maxB = Vnominal = 120 voltios (primario) E = k f Bmax v30maxBhz30fk v120maxBhz60fk v60E v120E = v30maxBhz30f v120maxBhz60f v60E v120E = v30maxBx30 200x60 60 120 = v30maxBx30 12000 2 = 8
  • 9.
    60 12000 2x30 12000 v30maxB == 2metro weber 200v30maxB = Formulade Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis Ph = Kh * f * (βmax)n Kh = coeficiente de histeresis, depende del material f = frecuencia en Hz. n = 1,75 2metro weber 200v120maxB = 2metro weber 200v30maxB = Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios Ph = Kh * f * (βmax)n ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1 v120maxBhz60fkh 75,1 v30maxBhz30fhk v120hP v30hP = ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1 v120maxBhz60f 75,1 v30maxBhz30f v120hP v30hP = ( ) ( ) ( ) ( ) 75,1200hz60f 75,1200hz30f v120hP v30hP = ( ) ( ) hz60f hz30f v120hP v30hP = ( ) ( ) 0,5 60 30 v120hP v30hP == Ph 120 v = pérdidas por histéresis = 200 watios. Ph 30 v = 200 watios. X 0,5 Ph 30 v = 100 watios. Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo 9 ( ) v22f2 maxBfkfP Δ=
  • 10.
    ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) v22 v120maxB2 60ffk v22 v30maxB2 30ffk v120fP v30fP Δ Δ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 v120maxB2 60f 2 v30maxB2 30f v120fP v30fP = Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios 2metro weber 200v120maxB = 2metro weber 200v30maxB = ( ) ( ) ( ) ( )2200260 2200230 100 v30fP = ( ) ( )260 230 100 v30fP = ( ) 3600 900 100 v30fP = ( ) 0,25 100 v30fP = Pf (30 v) = 100 watios x 0,25 Pf (30 v) = 25 watios Problema 6. Un transformador de 50 kva, 600 /240 v, 25 hz tiene unas perdidas en el hierro de 200 w (de los cuales el 30 % son perdidas por corrientes parasitas) y unas perdidas en el cobre a plena carga de 650 watios. Si el transformador se hace funcionar a 600 v, 60 hz. Cual seria la nueva potencia nominal del transformador si las perdidas totales tuvieran que ser las mismas Datos S = 50 Kva = 50000 va. 600 v /240 v, 25 hz perdidas en el hierro de 200 w = Pf + Ph Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 200 watios x 0,3 = 60 watios Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios x 0,7 = 140 watios PCU a plena carga = 650 watios Perdidas totales = perdidas en el hierro + perdidas en el cobre Perdidas totales = 200 + 650 Perdidas totales = 850 watios E = k f Bmax hz60maxBhz60fk hz25maxBhz25fk v600E v600E = 10
  • 11.
    hz60maxBhz60f hz25maxBhz25f 1 = hz60maxBx60 hz25maxBx25 1 = hz60maxB hz25maxB 25 60 =Ecuación 1 Formula de Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis Ph = Kh * f * (βmax)n Kh = coeficiente de histeresis, depende del material f = frecuencia en Hz. Ph = Kh * f * (βmax)n ( ) ( ) ( ) ( )2 hz60maxBhz60fkh 2 hz25maxBhz25fhk hz60hP hz25hP = ( ) ( ) ( ) ( )2 hz60maxBhz60f 2 hz25maxBhz25f hz60hP hz25hP = ( ) ( ) ( ) ( )2 hz60maxBx60 2 hz25maxBx25 hz60hP hz25hP = ( ) ( ) 2 hz60maxB hz25maxB x 60 25 hz60hP hz25hP ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = Reemplazando la ecuación 1 ( ) ( ) 2 25 60 x 60 25 hz60hP hz25hP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ( ) ( ) ( )24,2x 60 25 hz60hP hz25hP = ( ) ( ) 5,76x 60 25 hz60hP hz25hP = ( ) ( ) 2,4 hz60hP hz25hP = Ph = pérdidas por histéresis a 25 hz = 200 watios x 0,7 = 140 watios 11 ( ) 2,4 hz60hP 140 =
  • 12.
    Ph 60 hz= 58,33 watios. Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del núcleo ( ) v22f2 maxBfkfP Δ= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v22 vhz60maxB2 60ffk v22 hz25maxB2 25ffk hz60fP hz25fP Δ Δ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 vhz60maxB2 60f 2 hz25maxB2 25f hz60fP hz25fP = ( ) ( ) ( ) ( )2 vhz60maxBx260 2 hz25maxBx225 hz60fP hz25fP = ( ) ( ) 2 hz60maxB hz25maxB x 3600 625 hz60fP hz25fP ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = hz60maxB hz25maxB 25 60 = Ecuación 1 Reemplazando la ecuación 1 ( ) ( ) 2 25 60 x0,1736 hz60fP hz25fP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ( ) ( ) ( )24,2x0,1736 hz60fP hz25fP = ( ) ( ) 5,76x0,1736 hz60fP hz25fP = ( ) ( ) 1 hz60fP hz25fP = Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 200 watios x 0,3 = 60 watios Pf (60 hz) = Pf (25 hz) = 60 watios Perdidas en el hierro a 60 hz = Pf + Ph Perdidas en el hierro a 60 hz = 60 + 58,33 Perdidas en el hierro a 60 hz = 118,33 watios Las perdidas totales se mantienen constantes 12 Perdidas totales = 850 watios
  • 13.
    Perdidas totales =perdidas en el hierro + perdidas en el cobre 850 watios = 118,33 watios + perdidas en el cobre perdidas en el cobre = 850 − 118,33 perdidas en el cobre a 60 hz = 731,67 watios perdidas en el cobre a 25 hz = 650 watios ( ) ( ) ( ) ( )2 hz60SC 2 hz25SC hz60CUP hz25CUP = PCU a 25 hz = 650 watios S = 50 Kva ( ) ( )2 hz60S 2 hz25S 67,731 650 = ( ) ( ) 650 731,67x2502 hz60S = ( ) ( ) 2814,11 650 731,67x25002 hz60S == ( ) 2814,11hz60S = ( ) kva53hz60S = Problema 7. Calcular la potencia aparente y el factor de potencia en vacío de un transformador partiendo de los siguientes datos: Tensión del primario U1n 380 V Intensidad del primario I10 0,081 A Tensión del secundario U2n 125 V Potencia medida con vatímetro P10 2,2 W Resistencia del cobre RCU 2,4 Ω La relación de transformación En el ensayo en vacío, al estar abierto el devanado secundario, no circula ninguna corriente, esto permite que las tensiones primaria y secundarias sean iguales 3,04 V125 V380 2nU 1nU m === 13
  • 14.
    La potencia medidacon el vatímetro en el devanado primario (P10 = 2,2 W) corresponde a las perdidas en el hierro y en el cobre, pero las perdidas en el cobre en un transformador en vacío son despreciables, por lo tanto la potencia medida con un vatímetro en vacío se consideran las perdidas en el hierro. La potencia perdida en el cobre se puede hallar PCU = (I10)2 * RCU PCU = (0,081)2 * 2,4 PCU = 0,006561 * 2,4 PCU = 0,015 Watios Esto indica que la potencia que se pierde por el cobre del bobinado es despreciable en un ensayo de vacío frente a las perdidas en el núcleo (corrientes de Foucault + perdidas por histéresis) La impedancia es: Ω=== 4691,35 A0,081 V380 10I 1nU Z La potencia aparente es: S = U1n * I10 = 380 V * 0,081 A S = 30,78 VA El ángulo de desfase φ entre la tensión y la intensidad de corriente 0,07147 30,78 2,2 S 10P cos ===ϕ Problema 8. Un transformador de 50 kva 4600 v /220 v, 50 hz. Ensayo en vacío 223 v, 287 watios. Ensayo en corto 156 v, 620 watios, 11,87 A. Hallar η Rendimiento a 60 kva, cos Φ = 0,86 Kva ? ηmax, Sη max ηmax para cos λ = 0,8 IN1 = Corriente del primario A10,87 4600 50000 N1I == IN2 = Corriente del secundario A227,27 220 50000 N2I == ( )20,986x287 2 223 220 x287 2 vacioV N1V xvacioWfeP =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ( )0,9732x287feP = 14 P10 = 2,2 w S = 30,78 VA φ
  • 15.
    Pfe (50 kva)= 279,32 watios ( )20,9157x620 2 11,87 10,87 x620 2 cortoI N1I xcortoWcuP =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ( )0,8386x620cuP = Pcu (50 kva) = 519,93 watios ( ) ( ) ( ) ( )2 kva60SC 2 kva50SC kva60CUP kva50CUP = ( ) ( ) ( )260 250 kva60cuP 519,93 = ( ) ( ) ( )3600 2500 kva60cuP 519,93 = ( ) ( ) 2500 3600x519,93 kva60cuP = ( ) watios748,69kva60cuP = Hallar η (Rendimiento a 60 kva), cos Φ = 0,86 ( ) ( )hz60cuPhz50fePcos cosS kva60η ++ = φ φ S 748,6927986,0*50000 0,86*50000 kva60η ++ = 44027.69 43000 748,6927943000 43000 kva60η = ++ = 0,97kva60η = η 60 kva = 97 % ( ) ( )hz50cuP hz50feP2 S maxS =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ η ( ) ( )hz50cuP hz50feP S maxS =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ η ( ) ( ) S* hz50cuP hz50feP maxS =η kva50* 519 279 maxS =η kva50*537,0maxS =η kva50*0,732maxS =η kva36,64maxS =η 15
  • 16.
    ηmax para cosλ = 0,8 ( )hz50feP2cos*max cos*maxS maxη + = λη λη S 279,32*28,0*36640 0,8*36640 maxη + = 29870,64 29312 558,6429312 29312 maxη = + = 0,98maxη = %98maxη = 16