Este documento presenta una guía de educación matemática que incluye conceptos sobre probabilidades, experimentos aleatorios, espacio muestral, eventos, ley de Laplace, medidas de tendencia central (media, mediana, moda), tablas de frecuencias, gráficos y frecuencia relativa. Explica cada uno de estos temas a través de ejemplos para facilitar su comprensión.

1. Profesor: Lautaro Castro F.
COLEGIO RIO LOA, “CAUCE QUE FORJA EL FUTURO”
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CALAMA
GUÍA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
NOMBRE: __________________________________________ CURSO: 8º____FECHA:__________
I.- Aprendizaje Esperado: Caracterizan la representatividad de una muestra, a partir
del tamaño y los criterios en que esta ha sido seleccionada desde una población.
Datos y azar
Probabilidades
Las probabilidades pertenecen a una rama de la matemática que estudia ciertos experimentos
denominados aleatorios.
Experimentos aleatorios
Los experimentos aleatorios, o sea, regidos por el azar, son aquellos en que se verifican los dos
puntos siguientes: se pueden repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones, y antes de
realizar el experimento, se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de
cual será el resultado del experimento.
Veamos el siguiente ejemplo: el lanzamiento de un dado.
El lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio, ya que, se cumplen los dos puntos
mencionados anteriormente: el experimento lo podemos repetir cuantas veces queramos en las
mismas condiciones y conocemos todos los resultados posibles, a pesar de no tener la certeza de
qué resultados obtendremos.
Todos los resultados posibles de nuestro experimento son los siguientes:
- Que salga 1, Que salga 2, Que salga 3, Que salga 4, Que salga 5, Que salga 6
A todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral.
En nuestro ejemplo: E = {1, 2, 3 ,4, 5, 6}
Llamaremos evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral.
Ejemplos:
Obtener un número mayor o igual a 5: A = {5, 6}
Obtener un número par: B = {2, 4, 6}
La probabilidad de ocurrencia de un evento determinado, es decir, el nivel de certeza que tenemos
de que ocurra dicho suceso, es la razón entre el número de veces en que ocurrió dicho evento y el
número de repeticiones del experimento. A esta razón se le denomina frecuencia relativa.

2. Profesor: Lautaro Castro F.
De acuerdo al valor de la frecuencia relativa podemos encontrar eventos seguros, posibles o
probables e imposibles:
Evento seguro
Es aquel cuya probabilidad de ocurrencia es igual a 1.
Calculemos la probabilidad de obtener un número menor que 7 al lanzar un dado. Supongamos que
realizamos el experimento 10 veces:
Es seguro que obtendremos un número menor que 7 al lanzar un dado cuantas veces queramos.
Evento Imposible
Es aquel cuya probabilidad de ocurrencia es igual a 0.
Obtengamos la probabilidad de obtener un 8 al lanzar un dado 12 veces:
Es imposible obtener un 8 al lanzar un dado, aunque repitamos el experimento infinitas veces.
Evento posible o probable
Es aquel cuya probabilidad de ocurrencia se encuentra entre 0 y 1. Cuanto menos probable sea el
suceso, más cerca estará del 0 y cuanto más probable sea, más cerca estará del 1.
Calculemos la probabilidad de obtener un 3 si suponemos que lanzamos un dado 12 veces y
obtenemos los siguientes resultados: 3 veces obtuvimos un 1, 1 vez un 2, 1 vez un 3, 2 veces un 4, 3
veces un 5 y 2 veces un 6.
Es probable que al lanzar 12 veces un dado, obtengamos como resultado un número 3.
Repetición de un experimento
Mientras más veces repitamos un experimento, mejor será la estimación de los resultados que
obtendremos.
Por ejemplo, si lanzamos 100 veces una moneda, el número de veces que obtengo cara será cercano
a 50, o sea, la frecuencia relativa será cercana a:
En nuestro experimento de lanzamiento de un dado, mientras más veces lo repitamos, veremos que
la frecuencia relativa, es decir, la probabilidad de ocurrencia de obtener un 1, un 2, un 3, un 4, un 5
o un 6 será cercana al 16,7%.

3. Profesor: Lautaro Castro F.
Si lanzamos el dado 600 veces, el número de veces que obtendremos cada uno de los 6 posibles
números será cercano a 100, por lo que la frecuencia relativa será cercana a:
Ley de Laplace
Pierre Simon Laplace, creador de los experimentos aleatorios.
Esta ley dice que si realizamos un experimento aleatorio en el que hay "n" sucesos elementales
equiprobables, es decir, todos igualmente probables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de
que ocurra el suceso A es:
Veamos los siguientes ejemplos:
1) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire obtengamos 2 caras?
Casos posibles: {cara, cara}, {cara, sello}, {sello, cara}, {sello, sello}
Casos favorables: {cara, cara}
Por lo tanto:
La probabilidad de obtener dos veces cara es de un 25%.
2) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 as al sacar una carta de una baraja completa?. Una baraja
tiene 52 cartas.
Casos posibles: 52, ya que la baraja completa tiene 52 cartas.
Casos favorables: 4, ya que una baraja tiene 4 ases.
Entonces:
La probabilidad de sacar un as de una baraja completa es de un 7,8%.
3) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado al aire?

4. Profesor: Lautaro Castro F.
Casos posibles: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
Casos favorables: {2}, {4}, {6}
Por lo tanto:
La probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado es de un 50%.
Medidas de tendencia central
La estadística busca entre otras cosas, describir las características típicas de conjuntos de datos. Las
medidas de tendencia central corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte
central de un conjunto de datos que nos ayudan a resumir la información en un sólo número.
La media
La media de una muestra se define como la suma de todos los valores observados en la muestra
dividida por el número total de observaciones.
Calculemos la media de la siguiente muestra: un curso de geología de 20 alumnos.
La media sería:
La media de nuestro curso nos da 20,3, esto significa que el promedio de edad del curso es de 20,3
años.

5. Profesor: Lautaro Castro F.
¿Cómo calculamos la media de una tabla de frecuencias con datos agrupados en intervalos?
Supongamos la siguiente tabla de frecuencias en la que se muestran las notas de un exámen de
matemática de un curso de 35 alumnos:
Lo primero que debemos hacer es calcular la marca de clase, es decir, el punto medio de cada
intervalo:
Nuestra nueva tabla de frecuencias quedaría así:
Ahora calculamos la media como aprendimos, con un tabla de frecuencia sin intervalos:
Obtuvimos una media de 5,4, es decir, el promedio del curso en el exámen de matemática fue de un
5,4.

6. Profesor: Lautaro Castro F.
La media es muy sensible a las variaciones de la variable, por lo que no es recomendable cuando
hay valores muy extremos.
La mediana
La mediana es el valor central de todos nuestros datos, es decir, si ordenamos todos nuestros datos
en forma creciente o decreciente, la mediana es aquel valor que deja sobre sí el 50% (la mitad) de
los datos y bajo sí el otro 50% (la otra mitad de los datos).
Tomemos la siguiente tabla de frecuencias:
Ordenamos primero los datos de menor a mayor o de mayor a menor:
La mediana sería la siguiente:
¿Cuál es la mediana si el número de observaciones o datos de nuestra muestra es par?
En ese caso debemos tomar los dos valores centrales y obtener la media entre ellos.
Veamos el siguiente ejemplo de una muestra de 12 niños:
Partiremos ordenando los datos en forma creciente o decreciente y luego calcularemos la mediana
como se muestra a continuación:

7. Profesor: Lautaro Castro F.
La mediana en nuestro ejemplo,
sería 7,5.
¿Cómo se calcula la mediana para una tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos?
Primero debemos obtener los siguientes datos:
1) Determinar el intervalo en donde se encuentra la mediana
2) Obtener el límite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana (L)
3) Obtener el número total de observaciones de la muestra (n)
4) Calcular la frecuencia absoluta acumulada hasta el intervalo anterior a la mediana (FAc)
5) Obtener la frecuencia absoluta del intervalo de la mediana (FMe)
6) Obtener el tamaño del intervalo de la mediana (C)
Luego, para obtener el valor de la mediana debemos realizar el siguiente cálculo:
Calculemos la mediana de la siguiente muestra:
1) 30/2 = 15, por lo tanto, la mediana se encuentra en el intervalo 4,1 - 5,0
2) L = 4,1
3) n = 30
4) FAc = 7
5) FMe = 9
6) C = 0,9
Ahora traspasemos los datos a la fórmula:
La mediana de nuestro ejemplo es 4,9.
La mediana es menos sensible a las variaciones de la variable y es más representativa cuando la
variable tiene valores extremos.

8. Profesor: Lautaro Castro F.
La moda
La moda de una muestra es aquel valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia, es
decir, el que más se repite.
Veamos cuál es la moda de la siguiente muestra:
La moda es 1, ya que, la variable "número de hermanos" presenta mayor frecuencia en aquel valor.
¿Cómo se calcula la moda para una tabla de frecuencia de datos agrupados en intervalos?
En esos casos, la moda será la marca de clase del intervalo con mayor frecuencia. Recuerda que la
marca de clase es el punto medio de un intervalo, es decir, su media.
Veamos el siguiente ejemplo:
El intervalo que presenta mayor frecuencia es el 5,1 - 6,0 y la marca de clase de éste es la siguiente:
La moda de nuestra muestra es 5,55, ya que, es el valor que más se repite de la variable.
La moda es muy sencilla de obtener pero es poco representativa.
Gráficos
A través de ellos podremos interpretar y comparar información. Te invitamos a conocer 3 distintos
tipos que existen.
Algunos tipos de gráficos
Gráficos de barras múltiples
Se utilizan para representar la asociación de dos o más variables cualitativas o cuantitativas
discretas.
Veamos un ejemplo con variables cualitativas:
Se realizó una encuesta en que se preguntó el estado civil a los 80 profesores del colegio "Teresa
Videla " de la ciudad de LaSerena. Además se les preguntó a qué ciclo de enseñanza pertenecían:
enseñanza básica o media.
Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

9. Profesor: Lautaro Castro F.
Grafiquemos los resultados obtenidos:
Estado Civil profesores colegio Teresa Videla –La Serena-
Leamos el gráfico obtenido:
Las barras fuccias representan el estado civil casado; las verdes, soltero; las azules, viudo y las
amarillas, separado.
La mayoría de los profesores de enseñanza básica están casados, mientras que, en enseñanza media,
hay más profesores solteros que casados.
Hay más profesores viudos en media que en básica y tanto en básica como en media, hay 5
profesores separados.
En el caso de que el número de profesores de enseñanza básica y media fuesen diferentes, lo
recomendable sería graficar las frecuencias relativas (%) y no absolutas para poder hacer
comparaciones.
Gráficos de líneas
Estos gráficos suelen utilizarse para comparar valores a lo largo del tiempo. Los gráficos de líneas
muestran una serie como un conjunto de puntos conectados mediante una línea.
Veamos un ejemplo:
Tenemos las ventas de los últimos 6 meses del kiosko del colegio " Teresa Videla ".

10. Profesor: Lautaro Castro F.
El gráfico quedaría como sigue:
Leamos el gráfico obtenido:
El mes de mayores ventas del kiosko fue mayo y el de menores ventas agosto.
Gráficos circulares
Este tipo de gráficos se usa fundamentalmente para representar distribuciones de frecuencias
relativas (%) de una variable cualitativa o cuantitativa discreta.
La muestra se representa como un círculo y cada una de las frecuencias relativas de la variable que
la componen, por un sector de éste. Dado que los 360° del círculo representan el total de la muestra,
es decir, el 100% de los datos, es que a cada 1% de los datos le corresponde 3,6° del círculo.
Veamos el siguiente ejemplo:
Realizamos una encuesta a un curso de 40 alumnos a los que les preguntamos su preferencia entre 3
asignaturas: matemáticas, lenguaje y ciencias. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
Para graficar nuestros resultados debemos multiplicar cada una de las frecuencias relativas que
obtuvimos como resultado de nuestra encuesta por 3,6°, ya que, 1% de la muestra equivale a 3,6° de
nuestro círculo, así:
22,5 x 3,6 = 81°
42,5 x 3,6 = 153°
35 x 3,6 = 126°
Como verás, matemática representará un 22,5% de nuestro gráfico circular correspondiente a 81° de
éste; lenguaje un 42,5% correspondiente a 153° y Ciencias un 35% correspondiente a 126° de
nuestro gráfico. Las tres asignaturas representarán la totalidad del círculo, es decir, el 100%,
equivalente a los 360°.
Nuestro gráfico quedará como se muestra a continuación:

11. Profesor: Lautaro Castro F.
Leamos el gráfico:
La mayor parte del círculo la compone el sector de color fuccia, Lenguaje, lo que quiere decir, que
la mayor parte de los alumnos declararon como preferida esa asignatura. Por otra parte, la menor
parte del círculo es verde, es decir, la menor parte de los alumnos dijeron preferir la asignatura de
matemática.
Frecuencia
Frecuencia es el número de veces que se repite un determinado acto o suceso.
Frecuencia relativa
La frecuencia relativa es el cuociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. Esta
frecuencia nos permite hacer comparaciones de muestras de distinto tamaño.
Dado que la frecuencia relativa es un cuociente entre dos números, es que la podemos representar
como fracción, decimal y porcentaje.
Obtengamos la frecuencia relativa de la muestra anterior:
Cuatro veinteavos (4/20) de los niños del coro son de cuarto básico; treinta y cinco centésimos son
de quinto básico (0,35) y el diez porciento (10%) son de octavo básico.

12. Profesor: Lautaro Castro F.
Frecuencia absoluta acumulada
Esta frecuencia tiene sentido calcularla para variables cuantitativas o cualitativas ordenables, en los
demás casos no tiene mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta
acumulada es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de
la variable.
Calculemos la frecuencia absoluta acumulada de la muestra anterior:
Frecuencia absoluta
La frecuencia absoluta de una variable es el número de veces que aparece en la muestra dicho
valor de la variable.
Ejemplo: consideremos una muestra de 20 niños que pertenecen al coro del colegio.
Del total de la muestra de 20 niños, 4 están en cuarto básico; 7 en quinto básico; 5 en sexto básico;
2 en séptimo básico y 2 en octavo básico.
Dado que la frecuencia absoluta dependerá del tamaño de la muestra, es decir, si aumentamos el
tamaño de la muestra, aumentará también la frecuencia absoluta, es que no es una medida útil para
hacer comparaciones. Por esta razón aprenderemos otro concepto: frecuencia relativa.