Este documento trata sobre matemática discreta. Explica que la matemática discreta involucra números enteros y conjuntos finitos, en contraste con la matemática continua. También describe los sistemas de numeración binario y decimal, y métodos para convertir entre ellos, como divisiones sucesivas y suma de potencias de dos. El objetivo principal es desarrollar habilidades para resolver problemas lógicos y prácticos relacionados a ingeniería usando conceptos de matemática discreta.

1. MATEMÁTICA
DISCRETA
Ing. Ofelia Nazario Bao

2. ¿Qué es Matemática Discreta?
En matemática: “discreto” es lo contrario de “continuo”
continuo discreto
La matemática discreta se trata de números enteros,
conjuntos finitos, objetos geométricos discretos

3. ¿Es una disciplina nueva ?
Desde luego que no, veremos teoremas descubiertos por
Leonard Euler (1707 -1783)
………. Pero la matemática discreta ha tenido un renacer
(¿revolución?) en el siglo XX, una de las razones:
La matemática discreta es la parte de las matemáticas
más cercana a las computadoras, y tiene una relación
bidireccional con ellas : Las computadoras son
discretas

4. ¿De cuántas formas se puede elegir una clave
de acceso a un equipo informático?
¿Cuál es la probabilidad de que te toque la
lotería?
¿Cuál es el camino más corto entre dos
ciudades usando un sistema de transporte?
¿Cómo se puede optimizar los sistemas de
producción en los que estamos estructurando l
órdenes de producción?
¿Cuántas direcciones válidas de Internet
existen?

5. Objetivo Principal
Proporcionar los conocimientos, desarrollar la
habilidades y destrezas que permitan al
estudiante plantear y resolver situaciones lógicas
y prácticas relacionadas directamente con su
profesión

6. MATEMATICA DISCRETA
Unidad I: Sistemas numéricos y códigos del computador
Unidad II: Lógica Proposicional
Unidad III: Conjuntos y Relaciones
Unidad IV: Algebra de Boole y Compuertas lógicas
Unidad V: Grafos
Unidad VI: Árboles

7. Sistemas numéricos y códigos
del computador
UNIDAD I

8. Sistemas de numeración
Los sistemas de numeración son conjuntos ordenados de
símbolos, denominados dígitos, cuyas reglas permiten
representar datos numéricos.
La norma principal en un sistema de numeración posicional
es que el mismo símbolo tiene distinto valor según la
posición que ocupe.
Los sistemas de uso común en el diseño de sistemas digitales
son: el decimal, el binario, el octal y hexadecimal.

9. Los números se pueden representar en distintos sistemas
de numeración que se diferencian entre si por su base.
Cualquier número de cualquier base se puede representar
mediante la siguiente ecuación polinómica:
Siendo b la base del sistema de numeración. Se cumplirá
que b>1; ai es un número perteneciente al sistema que
cumple la siguiente condición: 0 ≤ ai <b.
...... 1
1
0
0
2
3
1
21 ++++++= −
−
−−
bababababaN nnn

11. SISTEMA BINARIO
Sistema de numeración que utiliza sólo dos dígitos, el cero (0 ) y el
uno (1) , donde estos tienen distinto valor dependiendo de la
posición que ocupen. Usando la potencia de base 2.
El sistema binario permite que la computadora represente número y
lleve a cabo operaciones aritméticas, así como las personas utilizan
el sistema decimal. También se puede usar este sistema para
representar letras del alfabeto y otros símbolos

12. A cada dígito binario se denomina BIT.(BIT: binary digit)
Unidades de medidas
1 Byte = 8 Bit
1 Kilobyte (KB) = 210 bytes = 1024 byte
1 Megabyte (MB) = 220 bytes = 210 KB = 1024 KB
1 Gigabyte (GB) = 230 bytes = 210 MB = 1024 MB
1 Terabyte (TB) = 240 bytes = 210 GB = 1024 GB
1 Petabyte (PB) = 250 bytes = 210 TB = 1024 TB

13. Cada peso tiene asociado una potencia de 2. En el primer
número (de derecha a izquierda) la potencia de dos 20
, en
el segundo número la potencia de dos es 21
y así hasta el
último número del lado izquierdo.
Un número en el sistema binario se divide en cifras con
diferente peso: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,.... etc.
Ver el siguiente gráfico

14. Entonces para formar el número 1010(2): (el número 10 en
binario)
1 x 23
= 1 x 8 = 8 8
0 x 22
= 0 x 4 = 0 + 0
1 x 21
= 1 x 2 = 2 + 2
0 x 20
= 0 x 1 = 0 + 0
equivalente
decimal
------>
= 10
Los pesos fraccionarios son 1/2,1/4,1/8, etc., que corresponden
a 2-1
, 2-2
, 2-3
,etc.

15. Ejemplo 1:
Para transformar 1101011(2), escriba el valor posición
sobre cada bit, y luego sume aquellas potencias que
están ponderadas por 1:
26
25
24
23
22
21
20
64 32 16 8 4 2 1

16. 26
25
24
23
22
21
20
64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 1 0 1 1
64+32+8+2+1=107(10)
1101011

17. Ejemplo 2:
Convertir 101.1101(2) a su equivalente decimal
22
21
20
2-1
2-2
2-3
2-4
4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625
1 0 1 1 1 0 1
4+1+0.5+0.25+0.0625= 5.8125

18. Ejercicios:
1. Convertir los siguientes números binarios al
sistema decimal:
a. 11001 e) 1001.011
b. 0.10101 f) 11101.1011
c. 11.0101 g) 10101011
d. 11011011 h) 10.0011

19. 128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125
1 1 0 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1 1
a. 16+8+1 =25(10)
b. 0.5+0.125+0.03125 =0.65625(10)
c. 2+1+.025+0.0625 =3.3125(10)
d. 128+64+16+8+2+1 = 219(10)

20. Conversión de decimal a binario
Seguidamente realizaremos la operación inversa, es decir,
convertir un número perteneciente al sistema numérico
decimal (base 10) a un número binario (base 2). Para la
conversión de decimal a binario se emplean dos métodos.
El primero es divisiones sucesivas y el segundo es suma de
potencias de 2.
•Por divisiones sucesivas
Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los
residuos, hasta obtener un cociente cero. El último residuo
obtenido es el bit más significativo (MSB) y el primero es el
bit menos significativo (LSB).

21. Convertir: el número 15310 a binario.
El resultado en binario de 15310 es 10011001

22. Ejemplo: Convertir el número 428(10) en
correspondiente binario.
Por tanto, 428(10)= = 110101100(2)

23. Si el número decimal tiene parte fraccionaria, la parte entera
se convierte de la misma manera que se ha expuesto
anteriormente y la parte fraccionaria se multiplica por 2; la
parte entera obtenida es la cifra más significativa del número.
Si la parte fraccionaria restante se vuelve a multiplicar por 2,
la nueva parte entera será la siguiente cifra más significativa,
y así sucesivamente.
EJEMPLO:
Convertir el número 327,625(10) en binario.
327,625(10) = 327(10) + 0,625(10)
La parte entera es 327 (10) que pasándola al binario, resulta

25. Para obtener la parte fraccionaria se procede de la
siguiente manera:
Por tanto, la parte fraccionaria será
0,625 (10) = 0,101 (2)
Entonces: 327,625 (10)= 101000111,101 (2)

26. •Suma de potencia de 2
Ejercicio: Convertir 13.6875(10) a sistema binario
23
22
21
20
2-1
2-2
2-3
2-4
8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625
1 1 0 1
8+4+1=13
1 1 1

27. 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1
8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625
0.5+0.125+0.0625= 0.6875
Luego:13.6875(10)=1101.1011(2)

28. Ejercicios:
Convertir los siguientes números decimales al sistema
binario
a) 49 e) 125.4
b) 0.375 f) 0.716
c) 75.125 g) 88.0625
d) 158 h) 256