Este documento presenta conceptos fundamentales sobre matrices y su aplicación al método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce las definiciones de matriz, igualdad de matrices, tipos de matrices y operaciones básicas como suma y multiplicación. Explica el método de Gauss para triangularizar una matriz y obtener su rango mediante transformaciones elementales que no alteran el rango.

1. ADMINISTRACION Y NEGOCIOS
INTERNACIONALES
TRABAJO DE
INVESTIGACIÓN
(MATEMÁTICA II)
PROFESOR: Alfonso Ticona.
ALUMNO : Carlos Rodrigo Valencia Larico.
AREQUIPA – PERÚ
2013

2. I PARTE :CONCEPTOS Y TEORIA GENERAL
METODO DE TRANSFORMACIONES DE GAUSS
Transformaciones elementales
Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango varíe.
Es fácil comprobar que estas transformaciones no varían el rango usando las
propiedades de los determinantes
1. Si se permutan 2 filas ó 2 columnas el rango no varía.
2. Si se multiplica o divide una línea por un número no nulo el rango no cambia.
3. Si a una línea de una matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por un
número no nulo el rango no varía.
4. Se pueden suprimir las filas o columnas que sean nulas, las filas o columnas
que sean que sean proporcionales a otras, sin que el rango de la matriz varíe.
Método de Gauss
El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una matriz
con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la diagonal
principal se anulen (aij = 0, i>j). Para conseguir "triangularizar" la matriz debemos
dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula.
Una vez aplicado este proceso de triangularización, el rango de la matriz es el número
de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fácil probarlo usando las propiedades
de los determinantes.

3. II PARTE: EL METODO DE MATRICES
• Matriz: Una matriz es una tabla rectangular de números o elementos de un
anillo. Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación
de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de
la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los
coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.
• Igualdad de matrices: Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión
y si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
• Ecuación lineal: ecuación polinómica de primer grado, es decir, ecuación en la
cual las incógnitas aparecen con grado 1: ax + by + cz +…= k, en donde a, b, c,
…, k son números reales y x, y, z,… son las incógnitas.
Las ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma

4. ax + by = c
con a o b no nulos. Se representan mediante rectas cuyos puntos son las soluciones de
la ecuación.
Las ecuaciones lineales con tres incógnitas son de la forma
ax + by + cz = d
con a o b o c no nulos. Se representan mediante planos cuyos puntos son las
soluciones de la ecuación.
Un sistema de ecuaciones es lineal si todas las ecuaciones que lo forman son lineales.
• Sistema de ecuaciones: conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se
pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se
abarca el conjunto de todas ellas con una llave.
Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que
cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del
sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver
un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene
solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos
carecen de solución, se dice que son equivalentes.
Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen
solución, compatibles.
Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones 2x - 5y = 16 y 4x + y = 10 se
expresa así
APLICACIÓN DE LOS CONCEPTOS
CONCEPTO DE MATRIZ.
Se llama matriz de orden mxn, sobre el cuerpo de los numeros reales a una "caja",
"cuadro", etc. que contiene mxn números reales dispuestos en m filas y n columnas.

5. * A los números reales aij se les llama elementos de la matriz.
* El primer subíndice (i) indica la fila, el segundo (j) la columna. Así, el elemento a32
es el que está en la tercera fila y la segunda columna.
* Las dimensiones de la matriz son m y n.
Formalmente podemos definir una matriz de la siguiente manera:
Sean I={1,2,...,m}, J={1,2,...,n} dos conjuntos finitos de índices.
Se llama matriz de orden mxn, sobre el cuerpo de los numeros reales a toda
aplicación:
a: IxJ %%%%> R
(i,j) %%%> a(i,j)=aij
que asocia a cada par (i,j) el número real a(i,j) que representamos por aij.
Denotaremos por Mmxn al conjunto de las matrices de orden mxn.
Es una matriz de orden 3x4 (3 filas, 4 columnas), a23=-1, a32=8, a34=0. etc.

6. IGUALDAD DE MATRICES.
Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que
ocupan el mismo lugar. Es decir, siendo:
A=B si para todo ið{1,2,...,m} y para todo jð{1,2,...,n} se cumple que aij=bij.
TIPOS DE MATRICES.
Matriz fila. Es toda matriz de orden 1xn.
. A es de orden 1x5.
Matriz columna. Es toda matriz de orden mx1.
. A es de orden 3x1.
Matriz nula. Es la que tiene todos sus elementos nulos. La denotaremos por (0).
Son matrices nulas:
,
, ...

7. Matriz rectangular. Es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas.
Matriz triangular superior. Es aquella matriz cuadrada en la que los términos
situados debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior. Es aquella matriz cuadrada en la que los términos
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal. Es aquella en la que todos los elementos fuera de la diagonal
principal son ceros.
Matriz cuadrada. Es toda matriz que tiene el mismo número de filas que columnas.
Es decir m=n. En ellas podemos distinguir:
La diagonal principal. Son los elementos a11, a22, ..., ann.
La diagonal secundaria. Son los elementos a1n, a2(n-1), ..., an1.
Diagonal principal: 1,5,9. Diagonal secundaria: 3,5,7.
Matriz escalar. Es toda matriz en la que todos los términos de la diagonal principal
son iguales.
Matriz unidad (identidad). Es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal
principal son unos. Se designa como I.

8. SUMA DE MATRICES.
Consideremos dos matrices A, BMmxn, es decir, con las mismas dimensiones.
Definimos:
En forma abreviada: si A=(aij), B=(bij) entonces A+B=(aij+bij).
Es decir: suma de matrices de las mismas dimensiones, es la aplicación que asocia a
cada par de matrices otra matriz de las mismas dimensiones cuyos elementos se
obtienen sumando término a término los elementos correspondientes en dichas
matrices:
+: MmxnxMmxn > Mmxn
(A,B)> A+B

9. Siendo
y
entonces
PROPIEDADES.
Asociativa: (A+B)+C = A+(B+C). Es evidente, pues los elementos de A, B y C son de R
que es un cuerpo conmutativo.
Existe elemento neutro: A+Neutro=A Neutro=(0)=La matriz nula.
Existe elemento opuesto: A+(Opuesto de A)=(0) Opuesto de A=-A
Conmutativa: A+B = B+A. Es evidente, pues los elementos de A y B son de R que es un
cuerpo conmutativo.
Por tanto (Mmxn, +) es un Grupo Conmutativo.
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ.
Consideremos la matriz AMmxn y R.
Definimos:
En forma abreviada: si A=(aij), A = (aij).

10. Es decir: producto de un número real por una matriz, es la aplicación que asocia a
cada par formado por un número real y una matriz, otra matriz cuyos elementos se
obtienen multiplicando el número real por todos los elementos de la matriz:
: RxMmxn > Mmxn
(,A) > A
Siendo
entonces
.
PROPIEDADES.
5. (A+B) = A+B
6. (+)A = A+A
7. ()A = (A)
8. 1A = A
Son evidentes, pues tanto los elementos de las matrices A y B como los números y
pertenecen a R que es un cuerpo conmutativo.
PRODUCTO DE MATRICES.
PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA.
Sean A una matriz con una fila y n columnas y B una matriz con n filas y una columna.

11. El producto de las matrices A y B (AB) es otra matriz con una fila y una columna cuyo
único elemento es: c = a1b1 + a2b2 + ... + anbn. Es decir: AB=(c)
Hay que hacer notar que para poder multiplicar A y B debe suceder que el número de
columnas de A sea igual al número de filas de B.
AB = [26 + (-3)7 + 4(-8) + 59] = (4) que es una matriz de orden 1x1 con un único
elemento, el 4.
PRODUCTO DE DOS MATRICES CUALESQUIERA.
Sean A una matriz de orden mxn, formada por m matrices fila [A1, A2, ..., Am] de n
elementos cada una y B una matriz de orden nxp, formada por p matrices columna
[B1, B2, ..., Bp] de n elementos cada una.
El producto de las matrices A y B (AB) es otra matriz C de orden mxp con m filas y p
columnas, cuyo elemento cij es el producto de la matriz fila Ai por la matriz columna
Bj.
Es decir: cij = AiBj = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj
Así pues, el producto de matrices, es la aplicación que asocia a cada par de matrices,
una de dimensión mxn y otra de dimensión nxp, una tercera matriz de dimensión
mxp:
: MmxnxMnxp> Mmxp
(A , B) > C

12. tal que el elemento que ocupa el lugar q,r de la matriz producto se obtiene sumando
los productos que resultan de multiplicar los elementos de la fila q-ésima de la matriz
A por los respectivos elementos de la columna r-ésima de la matriz B.
Simbólicamente: si A=(aij), B=(bij) y C=(cij) entonces:
Obsérvese que para poder efectuar el producto AB es necesario que el número de
columnas de la matriz A coincida con el número de filas de la matriz B. Esto implica
que, en general, si existe el producto AB no tiene por qué existir BA. Sin embargo, si las
matrices son cuadradas y del mismo orden, siempre existen AB y BA.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES.
1. No es una operación interna en el conjunto Mmxn. Si mn ni siquiera se puede
efectuar el producto de dos matrices A,BMmxn.
En el conjunto Mnxn, sí que sería una operación interna.
2. No es conmutativo.
a) Hay casos en los cuales es posible efectuar AB, y no BA.
Si
y
No es posible efectuar BA.
b) En los casos en que es posible efectuar AB y BA, no siempre da el mismo resultado.
A veces ni siquiera son del mismo orden.

13. Si
y
,
c) En el caso de las matrices cuadradas, tampoco se verifica la propiedad conmutativa.
Si
y
,
.
3. Dota al conjunto Mmxn de divisores de cero. Es decir, hay matrices no nulas cuyo
producto es la matriz nula.
Si
y

14. . A(0) y B(0); sin embargo AB=(0).
4. Verifica la propiedad asociativa en los casos que se puedan multiplicar tres
matrices. Es decir, si A es de orden mxn, B de orden nxp y C de orden pxq, entonces:
(AB)C=A(BC).
5. No existe elemento neutro. Si A es de orden mxn, entonces Im es el elemento neutro
por la izquierda de A, e In el elemento neutro por la derecha de A. Es decir: ImA=A,
AIn=A
Si A es una matriz cuadrada de orden n, In es el elemento neutro por la izquierda y por
la derecha de A. Es decir, el único elemento neutro de Mnxn. O sea: InA=AIn=A.
6. No existe elemento simétrico para ninguna matriz de Mmxn siendo mðn. Hay
matrices cuadradas que sí tienen elemento simétrico(inversa) las cuales se
llaman regulares, en cambio las que no tienen inversa se llaman singulares. La matriz
inversa de A la denotamos por A-1. Ya veremos cómo se calcula. Si A es de orden n, A-
1 también, y se verifica que: A-1ðA = AðA-1 = In.
=
.

15. =
.
Veamos que
no tiene inversa. Si
fuera su inversa:
=
a+c=1, b+d=0, a+c=0, b+d=1. Sistema de ecuaciones que no tiene solución y por tanto
no existe B.
7. A(B+C) = AB+AC. Es evidente, con AMmxn y B,CMnxp.
8. (A+B)C = AC+BC. Es evidente, con A,BMmxn y CMnxp.
9. (A)B = (AB). Es evidente, con AMmxn y BMnxp.
TIPOS DE MATRICES CUADRADAS.
1. Diagonales. Son aquellas que tienen todos sus elementos nulos excepto los de la
diagonal principal, los cuales pueden ser nulos o no.

16. ,
,
.
a. Escalares. Son las diagonales con todos los elementos de la diagonal principal
iguales.
,
.
b. Unidad o identidad. Es una diagonal escalar con el número 1 en todos los lugares
de la diagonal principal. Se denota por In.
,
.
2. Triangulares. Son aquellas en las que son nulos todos los elementos que están por
encima o por debajo de la diagonal principal.

17. a. Triangular superior. Si son nulos los elementos por debajo de la diagonal principal.
Es decir: aij=0 para i>j.
,
.
b. Triangular inferior. Si son nulos los elementos por encima de la diagonal
principal. Es decir: aij=0 para i<j.
,
.
3. Simétricas. Son las matrices A tales que At=A. Es decir: aij=aji para todos i, j.

18. .
4. Antisimétricas. Son las matrices A tales que At=-A. O sea: aij=-aji para todos i,j.
es antisimétrica, pues
.
Observación. En las matrices antisimétricas los elementos de la diagonal principal
son nulos.
5. Regulares o invertibles. Son las que tienen inversa respecto al producto de
matrices. Es decir: A es regular si existe su inversa A-1 y por tanto: AA-1 = A-1A = I.
su inversa es
.

19. su inversa es
.
6. Singulares. Son las que no tienen inversa respecto al producto de matrices.
y
no tienen inversa.
7. Ortogonales. Son las matrices A tales que AAt=I, es decir, A-1=At.
y son ortogonales. Compruébese.

20. 8. Idempotentes. Son las matrices A tales que A2=A.
y
son idempotentes. Compruébese.
9. Involutivas. Son las matrices A tales que A2=I.
y
son involutivas. Compruébese.
9. MATRIZ TRASPUESTA. PROPIEDADES.
Matriz traspuesta de A. Es la que se obtiene a partir de A cambiando filas por
columnas sin alterar su orden de colocación. La denotaremos por At.
Si A=(aij), At=(aji). Si A es de orden mxn, At será de orden nxm.
Propiedades
Consideremos las matrices A, B, At y Bt de órdenes adecuados a las propiedades que
veamos.
1. (At)t = A. Dem. Evidente.
2. (A)t = At. Dem. Evidente.
3. (A+B)t = At + Bt.
Dem: Como A=(aij) y B=(bij) entonces A+B=(aij+bij). (A+B)t=(aji+bji)=(aji)+
(bji)=At+Bt.
4. (AB)t = BtAt.

21. Dem: Sean A=(aij) de orden mxn y B=(bij) de orden nxp. C=AB=(cij) será de orden
mxp.
El elemento cij de C=AB es como sabemos: cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj.
Este elemento es también el elemento que está en la fila j y la columna i de la matriz
(AB)t, es decir, es el cji de (AB)t.
Los elementos de la fila j de la matriz Bt son b1j, b2j, ..., bnj.
Los elementos de la columna i de la matriz At son ai1, ai2, ..., ain.
Por tanto, el elemento de la fila j y la columna i de BtAt es: b1jai1+b2jai2+...
+bnjain=cji.
Luego (AB)t=BtAt.
9. MATRICES INVERTIBLES. PROPIEDADES.
Una matriz A es invertible o regular, si tiene inversa respecto al producto de matrices.
Es decir: A es invertible si existe su inversa A-1 y por tanto: AðA-1 = A-1ðA = I.
Propiedades
1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n tales que: AB=In, entonces B=A-1 y A=B-
1.
Dem. Multiplicando en AB=In por A-1 y aplicando la propiedad asociativa se tiene que:
A-1(AB)=A-1 (A-1A)B=A-1 B=A-1.
Análogamente: (AB)B-1=B-1 Að(BB-1)=B-1 A=B-1.
2. (A-1)-1 = A. Dem. Evidente.
3. (AB)-1 = B-1A-1.
Dem. Hay que ver que: (AB)(B-1A-1)=In.
Por la propiedad asociativa: (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AA-1=In.
4. (At)-1 = (A-1)t.
Dem. Como AA-1=In, tomando traspuestas resulta que: (A-1)tAt=In, luego, por la
primera propiedad (A-1)t=(At)-1.
10. RANGO DE UNA MATRIZ.
El concepto de rango es uno de los conceptos más importantes del Algebra Lineal.

22. Rango por filas de una matriz es el mayor número de filas que sean linealmente
independientes. (*)
Rango por columnas de una matriz es el mayor número de columnas que son
linealmente independientes. (*)
Sea
. El rango por filas de A es 2 ya que las filas (1,0,3) y (2,1,-1) son linealmente
independientes y (3,1,2)=(1,0,3)+(2,1,-1).
El rango por columnas es también 2 ya que las columnas (1,2,3) y (0,1,1) son
linealmente independientes y (3,-1,2)=3(1,2,3)-7(0,1,1).
El hecho de que coincidan el rango por filas y el rango por columnas en el ejemplo
anterior, no es por casualidad; veremos más adelante que esta propiedad se verifica
siempre, por lo cual podemos hablar simplemente de rango (o característica) de una
matriz.
Se enuncia a continuación un teorema que permite conocer un método para calcular el
rango de una matriz.
CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
Sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Es un conjunto de expresiones
algebraicas de la forma:
xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n).
aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n).
ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m).

23. Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n.
Los escalares aij y ci son números reales.
El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación.
Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...
Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de
incógnitas.
Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.
n
Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.
Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1.
El término independiente de la misma es el 2.
3. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA.
Solución de un sistema. Es cada conjunto de valores que satisface a todas las
ecuaciones.
Resolver un sistema. Es calcular su solución (o soluciones).
n Dado el sistema:
Una solución suya es x=
; y=
; z=0; t=
. Compruébese.
4. TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS.

24. Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus soluciones:
1. Incompatible. No tiene solución.
2. Compatible. Tiene solución.
a. Compatible determinado. Única solución.
b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones.
n
incompatible. No tiene solución.
n
compatible determinado. Única solución.
n
compatible indeterminado. Infinitas soluciones.
Discutir un sistema. Es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si
es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en caso
de ser compatible, si es determinado o indeterminado.
5. NOTACIONES MATRICIAL Y VECTORIAL.
Los conocimientos adquiridos sobre matrices facilitan la escritura de un sistema de
ecuaciones lineales de manera más reducida.
Consideremos un sistema como el [1], escrito en forma clásica.
En él se pueden considerar las siguientes matrices:

25. A es la matriz de los coeficientes de orden mxn. B es la matriz ampliada de orden
mx(n+1).
El sistema [1] se puede escribir en forma matricial así:
Si en el sistema [1] consideramos las siguientes matrices:

26. . . .
El sistema se escribirá en forma vectorial de la siguiente forma:
En esta notación, las soluciones de un sistema son los elementos de la forma:
S=(s1, s2, ..., sn)ÎRn
y se verifica la siguiente relación: A1×s1 + A2×s2 + ... + An×sn = C

27. n Consideremos el sistema:
A es la matriz de los coeficientes de orden 3x3. B es la matriz ampliada de orden 3x4.
El sistema se puede escribir de las siguientes formas:
Forma matricial:
=
Forma vectorial:
x +

28. y +
z =
n En el sistema:
el elemento s=(-1,1,3,2) es solución, ya que se verifica:
(-1) +
(1) +
(3) +
(2) =
. Compruébese.

29. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN.
Las operaciones efectuadas en el ejemplo anterior con las ecuaciones del sistema,
podríamos realizarlas en la matriz ampliada del sistema, así surge el:
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Es el método de resolución de
sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado"
transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas.
Los siguientes ejemplos explican detalladamente el proceso a seguir.
n Resolvamos el sistema:
Consideramos la matriz ampliada asociada al sistema, separando un poco la columna
de los términos independientes:
(a) Þ
(b) Þ
(a) [0 1 3 1] = (-2)×[1 1 -1 1] + [2 3 1 3], [0 -6 7 -3] = (-5)×[1 1 -1 1] + [5 -1 2 2]
(b) [0 0 25 3] = 6×[0 1 3 1] + [0 -6 7 -3]
Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:

30. Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la última queda: z=
, y=
, x=
.
Se trata de un sistema compatible determinado.
n Resolvamos el sistema:
La matriz ampliada es:
Intercambiando la primera fila con la tercera queda:
(a) Þ
(b) Þ
(a) [0 2 1 -1 0] = (-2)×[1 -1 2 2 2] + [2 0 5 3 4] [0 6 5 -7 2] = (-3)×[1 -1 2 2 2] + [3 3 11
-1 8]
(b) [0 0 2 -4 2] = (-3)×[0 2 1 -1 0] + [0 6 5 -7 2]

31. Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:
Resolvemos la última ecuación, z=1+2t; si hacemos t=, queda: z=1+2; y=
-
; x=
-
; t=.
Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parámetro .
Es un sistema compatible indeterminado.
n Resolvamos el sistema:
La matriz ampliada es:
Intercambiamos las dos primeras filas queda:
(a) Þ
(a) [0 0 0 -5] = (-2)×[1 2 4 3] + [2 4 8 1]

32. Luego el sistema nos ha quedado de la siguiente forma:
Se observa que el sistema es incompatible.
SISTEMAS DE CRAMER. REGLA DE CRAMER.
El método de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver un sistema
de ecuaciones lineales. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de 300
incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habríamos de
seguir el proceso de triangulación como si nos interesaran todas ellas.
La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades de las
matrices y sus determinantes para despejar, separadamente, una cualquiera de las
incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales.
Sistema de Cramer. Es un sistema en el que: m=n y %A%¹0. Es decir: La matriz A es
cuadrada y regular.
En tal caso, A tiene inversa A-1, por lo que multiplicando [2] por la izquierda por A-1:
A-1×A×X = A-1×C Þ X=A-1×C Þ
Þ
O sea:
que son las fórmulas de Cramer, las cuales se recogen en la siguiente regla:
Regla de Cramer. El valor de la incógnita xj en un sistema de Cramer es una fracción,
cuyo numerador es un determinante que se obtiene al reemplazar la columna j por la
columna que forman los términos independientes, y cuyo denominador es %A%.

33. n Resolvamos el sistema:
m=n=3 y %A%=7¹0. Luego, es un sistema de Cramer.
;
;
.
Por tanto, la solución del sistema es: x=
, y=
, z=
.
n Resolvamos el sistema:
m=n=3 y %A%=-33¹0. Luego, es un sistema de Cramer.

34. ;
;
.
Por tanto, la solución del sistema es: x=-1, y=2, z=
.
TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES.
Vamos a ver ahora el caso más general de sistemas de ecuaciones lineales.
Obtendremos una condición necesaria y suficiente de compatibilidad, un criterio de
clasificación y un método de resolución. Todo ello se basa en el teorema de Rouché-
Fröbenius.
Consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones con n incógnitas:

35. III PARTE :IMPORTANCIA O APLICACIONES
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J.
Sylvester.
El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853
En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de
escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices
aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física,
etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los
lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los
ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de
datos.
CONCEPTO DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general,
suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina
dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las
mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un
elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento
genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)
Cuando nos referimos indistíntamente a filas o columnas hablamos de lineas.
El número total de elementos de una matriz Am×n es m·n
En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de
matrices.

36. IV PARTE :CONCLUSIONES
Una matriz puede identificarse a una aplicación lineal entre dos espacios
vectoriales de dimensión finita. Así la teoría de las matrices habitualmente se
considera como una rama del álgebra lineal. Las matrices cuadradas desempeñan un
papel particular, porque el conjunto de matrices de orden n (n entero natural no nulo
dado) posee propiedades de « estabilidad » de operaciones.
Los conceptos de matriz estocástica y matriz doblemente estocástica son
herramientas importantes para estudiar los procesos estocásticos, en probabilidad y
en estadística.
Las matrices definidas positivas aparecen en la búsqueda de máximos y mínimos de
funciones a valores reales, y a varias variables.
Es también importante disponer de una teoría de matrices a coeficientes en un anillo.
En particular, las matrices a coeficientes en el anillo de polinomios se utilizan
en teoría de mandos.
En matemáticas puras, los anillos de matrices pueden proporcionar un rico campo de
contraejemplos para conjeturas matemáticas.

37. TRABAJO PRACTICO N° 2