Este documento presenta información sobre matrices, incluyendo definiciones, tipos de matrices, operaciones con matrices como suma y multiplicación, y ejemplos numéricos. Explica que una matriz es un conjunto de números organizados en filas y columnas, y proporciona detalles sobre cómo representar y manipular matrices algebraicamente.

1. 28/11/17 1
Realizado por:
Golindano
Susana
 Marcano
Usmilda
Noviembre 2017
MATRICES
Profesora:
Milagros
CoraspeSección #03
UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO DE MONAGAS
UNIDAD DE CURSOS BASICOS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
SECCION DE MATEMATICAS

2. 28/11/17 2
A continuación tendremos un pequeño concepto de determinante que nos
ayudará para tener una idea global del tema que trataremos.
Llamaremos matriz de orden mxn a la disposición en m las y nfi
columnas de mxn número.
Las operaciones de los determinantes son cada una de las operaciones que
podemos realizar a la matriz que obtendremos el determinante para que esta
no altere su resultado final.

3. 28/11/17 3
MATRIZ
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones
dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Para designar una matriz se emplean letras
mayúsculas. Cada uno de los elementos
de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El
primero i indica la fila a la que pertenece
y el segundo j la columna.
Esta es una matriz de m filas y n
columnas, es decir, de dimensión m x n.
Esta matriz también se puede representar
de la forma siguiente: A = (aij) m x n.
Si el número de filas y de columnas es
igual ( m = n ), entonces se dice que la
matriz es de orden n.

4. 28/11/17 4
IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los
elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales
Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que
cumplir que a = 7 y b = 5.
TIPOS DE MATRICES
 Matriz fila:
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
 Matriz columna:
La matriz columna tiene una sola columna
(2 3 -1)
-7
1
6
-7
1
6

5. 28/11/17 5
 Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas,
siendo su dimensión mxn.
 Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que
se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
 Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
matriz nula

6.  Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el
orden de la matriz.
SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de dimensión m x n, la matriz A +
B es otra matriz S = (sij) de la misma dimensión, de modo que cada
elemento sij de la matriz S, se obtiene como: sij = aij + bij. Es decir, para
que dos matrices A y B se puedan sumar tienen que tener la misma
dimensión y, en este caso, se suman los elementos que ocupan la misma
posición.

7. PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
EJEMPLO DE SUMA DE MATRICES
1ª Conmutativa: A + B = B + A
2ª Asociativa: ( A + B ) + C = A + ( B + C )
3ª Elemento neutro: 0 ( matriz cero o matriz nula ).
0 + A = A + 0 = 0
4ª Elemento simétrico: - A ( matriz opuesta de A ).
A + ( -A ) = ( -A ) + A = 0

8. DIFERENCIA DE MATRICES
La diferencia de matrices es un caso particular de la suma. Restar
dos matrices es lo mismo que sumarle a la primera la opuesta de la
segunda: A - B = A + ( -B ).
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA
MATRIZ
Dado un número real k y una matriz A = (aij) de dimensión m x
n, se define el producto del número real k por la matriz A, como
otra matriz P = (pij) de la misma dimensión que A, de modo que
cada elemento pij de P se obtiene como: pij = k.aij.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO
REAL POR UNA MATRIZ
Sean A y B matrices de la misma dimensión y k y h números
reales. Se verifica:

9. 28/11/17 9
1ª Distributiva respecto de la suma de matrices: k . ( A + B ) =
k . A + k . B
2ª Distributiva respecto de la suma de números reales: ( k + h ) .
A = k . A + h . A
3ª Asociativa mixta (entre números y matrices): ( k . h ) . A = k . (
h . A )
4ª Elemento neutro: 1 ( número real 1 ) 1 . A = A.

10. 28/11/17 10
MATRIZ DE PRODUCCIÓN
1) Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con
distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad
de producción (en miles) en su planta número uno está dada por
la matriz A.
EJERCICIOS
tamaño 1 (20 pulg) 5 3
2
tamaño 2 (23 pulg) 7 4
5
tamaño 3 (26pulg) 10 8
4
= A
MODELO I MODELO II MODELO III
(En otras palabras, la capacidad de la planta es de 5.000 televisores modelo I
de 20 pulgadas, 8.000 televisores modelo II de 26 pulgadas, etc.) la capacidad
de producción de la planta número dos esta dada por la matriz B…

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tamaño 1 (20 pulg) 4 5 3
tamaño 2 (23 pulg) 9 6 4
tamaño 3 (26 pulg) 8 12 2
MODELO I MODELO II MODELO III
= B
a) ¿Cuál es la capacidad de producción total en las dos plantas?
(b) ¿si la empresa decide incrementar su producción en la planta
número uno en un 20 % . ¿Cuál será la nueva producción en la planta?
SOLUCION:
(a) La producción combinada (en miles) en las dos plantas esta dada
por la suma de las matrices A y B
6 3 2
A+B= 7 4 5
10 8 4
4 5 3
9 6 4
8 12 2
+ =
9 8 5
16 10 9
18 20 6

12. 28/11/17 12
(Por ejemplo , las dos plantas producen 9000 televisores modelo
I de 20 pulgadas ).
(b) Si la producción en la planta numero uno se incrementa en
un 20 % la nueva producción (en miles ) estará dada por la matriz
1.2 ª.
5 3 2
1.2A = 1.2 7 4 5
10 8 4
=
6 3.6 2.4
8.4 4.8 6
12 9.6 4.8
por consiguiente, se producirá 4800 televisores modelo II de 23
pulgadas

13. 28/11/17 13
2) Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B
y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de
roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de
cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C,
contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de
camembert.
Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y
100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en
kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.
Solución:
Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto
nos da la matriz que buscamos, con las cantidades en gramos.










=










⋅










60021
60025
60026
100
80
50
8012080
80120160
15012040
Ca
R
M
C
B
A
Ca
R
M
CBA
Si queremos las cantidades expresadas en kilogramos, haremos:
26 600
25 600
21 600
=
M
R
Ca
26,6
25,6
21,6

14. 28/11/17 14
3) Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades
de fruta:
A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.
B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.
C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.
a) Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y
naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C).
b) Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada
una de las dos fruterías.
c) Obtén una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede
reflejado lo que se gastaría cada persona haciendo su compra en
cada una de las dos fruterías
Solución:
A
B
C
2 1 6
2 2 4
1 2 3
1,5 1,8
1 0,8
2 2
F1 , F2P M N
a) b) P
M
N

15. 28/11/17 15
El producto de las dos matrices anteriores nos da la
matriz que buscamos:
A 2 1 6
B 2 2 4
C 1 2 3
P
M
N
1,5 1,8
1 0,8
9,5 9,4
=
A
B
C
16 16,4
13 13,2
9,5 9,4
P M N F1 F2 F1 F2

16. CONCLUSIÓN
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas
parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones
lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística,
economía, informática, física, etc...
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos
de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar
ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j
se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también
representa a toda la matriz : A = (aij)
En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y
columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos
de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos
exclusivamente con matrices formadas por números reales.
Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.

17. BIBLIOGRAFIA
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/ma
trices/matrices_definicion_y_tipos.htm