El documento presenta el álgebra booleana y tres ejemplos clásicos de álgebras booleanas: 1) el álgebra de conjuntos donde la unión es la suma y la intersección es la multiplicación, 2) la lógica proposicional donde las operaciones son la disyunción, conjunción y negación, y 3) el álgebra de interruptores. Explica las propiedades de cerradura, conmutatividad, asociatividad, distributividad, identidad y complementación que deben cumplir para ser consideradas álgebras de Boole.

1. LOGICA MATEMATICA
ALGEBRA BOOLEANA DE CONJUNTOS
Y ALGEBRA BOOLEANA DE LA LOGICA
PRESENTADO POR
ALVARO JAVIER GONZALEZ DIAZ
COD 1063955420
ARNAUL MELENDEZ
COD
PRESENTADO A
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
VALLEDUPAR CESAR
2012

2. La herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos
digitales es el Álgebra Booleana. Esta álgebra es un conjunto de
reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra
convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al
comportamiento de circuitos basados en dispositivos de
conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc.). En
este capítulo se presentan los postulados que definen el álgebra
booleana, se presentan en forma de teoremas los resultados más
importantes, se presentan también los tres ejemplos clásicos de
álgebras boolenas (lógica proposicional, álgebra de conjuntos,
álgebra de switches) y herramientas básicas como tablas
de verdad y diagramas de Venn.

3. En un principio algunos de los postulados anteriores
pueden parecer extraños, especialmente aquellos
que son diferentes al álgebra con número reales
(como el 5a, el 6a y el 6b), y puede ser difícil
encontrar situaciones de interés que cumplan al pie
de la letra con cada uno de ellos, sin embargo,
existen varios ejemplos, de los cuales se presentan
los siguientes tres clásicos, en los cuales se verifica
que se trata de álgebras de Boole, es decir, que se
cumple postulado por postulado.

4. 1.- Para este ejemplo el conjunto B es el conjunto de
todos los conjuntos a tratar. La suma es la
unión de conjuntos (U) y la multiplicación es la
intersección (Ç) de conjuntos.
2.- Existencia de neutros. El neutro de la unión es el
conjunto vacío F , mientras que el neutro de la
intersección es el conjunto universo U, ya que para
cualquier conjunto arbitrario A, A U F = A y A Ç U= A.

5. 3.- Conmutatividad. La unión y la intersección son
conmutativas, ya que para cualquier par de
conjuntos A, B: A U B = B U A y A ÇB = B ÇA
4.- Asociatividad. La unión y la intersección de conjuntos son
asociativas, ya que para cualesquiera
tres conjuntos A, B, C: A U (B U C) = (A U B) U C y A Ç (B Ç
C) = (A Ç B) Ç C
5.- Distributividad. La unión de conjuntos es distributiva
sobre la intersección, y viceversa, la
intersección es distributiva sobre la unión, ya que para
cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B Ç
C) = (A U B) Ç (A U C) y A Ç (B U C) = (A Ç B) U (A Ç C)
6.- Existencia de complementos. El conjunto complemento
Ac cumple con las propiedades deseadas:
A U Ac = U y A Ç Ac = F

6. En la siguiente figura se muestran diagramas de Venn
para los conjuntos A, B, A U B y A Ç B
Conjunto A Conjunto B
Conjunto A U B Conjunto A Ç B

7. A continuación se muestra el conjunto A y su
complemento A . c
Conjunto A Conjunto
Ejemplo.- En los siguientes diagramas de Venn se ilustra
la manera como pueden usarse los diagramas de Venn
para ilustrar cada uno de los postulados y propiedades del
álgebra de conjuntos. En este caso se usan para ilustrar la
propiedad de distributividad de la unión sobre la
intersección

8. C
A
A U (B C)

9. AUB AUC
(A U B) (A U C)
Distributividad de la Unión sobre la Intersección

10. Para este sistema matemático la simbología
correspondiente es:
A: El conjunto de todas las proposiciones
Operaciones binarias: v Disyunción
ᴧConjunción
Relación de equivalencia: ↔
Elemento neutro: La contradicción (0) para la
disyunción
La tautología (1) para la conjunción. Elemento
inverso (a’): La negación de una proposición

11. La demostración de que la lógica simbólica es un
algebra booleana corresponde a la Verificación
de las siguientes propiedades:
Sean p, q y r proposiciones del conjunto A.
1. Cerradura:
p v q es una proposición del conjunto A
p ʌ q es una proposición del conjunto A
2. Conmutativa:
pvq↔qvp
pʌq↔qʌp
3. Asociativa:
(p v q) v r ↔ p v (q v r)
(p ʌ q) ʌ r ↔ p ʌ (q ʌ r).
4. Distributiva:
p v (q ʌ r) ↔ (p v q) ʌ (p v r)
p ʌ (q v r) ↔ (p ʌ q) v (p ʌ r).

12. 5. Identidad: En el conjunto A existe una proposición
que siempre es verdadera, llamada
tautología y simbolizada por 1, y otra que siempre es
negativa, llamada contradicción y
simbolizada por 0, tales que:
p v 0 ↔ p y p ʌ 1 ↔ p.
La tautología y la contradicción corresponden a los
elementos neutros de la disyunción y
de la conjunción respectivamente
Complementación: Para cada proposición p, existe
en el conjunto A una
proposición ~p, llamada la negación de p, tal que:
p v (~ p) ↔ 1 y p ʌ (~ p) ↔ 0

13. http://lc.fie.umich.mx/~jrincon/elec3-cap4.pdf modulo de lógica
matemática de la UNAD.