Este documento resume las unidades 1, 2, 3 y 4 de una clase de matemáticas sobre ecuaciones diferenciales. Introduce conceptos clave como ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, soluciones explícitas e implícitas, y métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden como variables separables, factores de integración, y variación de parámetros. También cubre ecuaciones lineales y no lineales de orden superior.

1. UNIVERSIDAD
POLITECNICA SALESIANA
NOMBRE: Alexandra Chisaguano
MATERIA: Matemáticas
TEMA: Resumen de las unidades: 1, 2, 3, 4

2. ÍNDICE
UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIDAD 2: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
UNIDAD 4: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR
UNIDAD 3 : ECUACIONES
DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN

3.  DEFINICIÓN: Es una ecuación que relaciona variables dependientes, sus derivadas y
variables independientes.
EJEMPLO:

4.  TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES:
 Ec. Diferenciales Ordinarias (EDO)
Presentan una sola variable dependiente e independiente
EJEMPLO:
𝑦" − 𝑦´ = 1
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1
 Ec. Diferenciales Parciales (EDP)
Presentan dos o más variables dependientes e independientes
EJEMPLO:

5.  Solución de una Ecuación diferencial e Intervalo de definición
Una función Y= 0 (X) es una solución de una EDO de orden “n” en un intervalo I, si sus “n”
derivadas existen en el Intervalo I, al reemplazar las en la EDO se obtiene una identidad.

6.  Soluciones Explicitas e Implícitas, Solución General y
Familia de soluciones

7.  Soluciones y Problemas con valores iniciales
Consiste en encontrar una sola solución particular Y(X) que cumplen ciertas
condiciones dadas.
TIPOS DE SOLUCIÓN:

8. PROCEDIMIENTO:
1.- Encontrar la solución n-paramétrica.
2.- Usar los valores iniciales para hallar los “n” parámetros.
3.- Escribir la solución particular.
EJEMPLO:

11.  Ecuaciones de Variables Separables
Dada la ED si f(x,y) se puede separar en dos factores g(x) y h(y),
entonces se habla de una ED de variables separables.
EJEMPLO:
Se lo puede separar de la siguiente manera:

13.  EJERCICIO:

14.  Factores de Integración: Ecuaciones diferenciales lineales
de Primer Orden. Variación de la constante o de
parámetros
 MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE PARA EDO LINEALES DE ORDEN 1
U(X) = Factor Integrante
PROCEDIMIENTO:
1.- Escribir la ED en su forma estándar.
2.- Encontrar el factor integrante
3.- Escribir u. y = 𝑢 𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥
4.- Resolver Integral y despejar Y

15.  EJEMPLO:

16.  VARIACIÓN DE LA CONSTANTE O DE PARÁMETROS
PROCEDIMIENTO:
1.- Escribir la ED en su forma estándar.
2.- Resolver la ED homogénea por variables separables.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑌 = 0
3.- Tomar C(x), C es función, reemplazar y- y´en 1.
4.- Despejar C y reemplazar en 2.

17.  EJEMPLO:

18.  Ecuaciones Diferenciales Exactas
Una ED , es exacta si existe una función, talque
PROCEDIMIENTO:
1.- Verificar que , , es exacta.
2.- Evaluar
3.- Evaluar
4.- Despejar 𝑔 𝑦 ó ℎ 𝑥
5.- Reemplazar 𝑔 𝑦 ó ℎ 𝑥 en 2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐶

19.  EJEMPLO:

20.  Aplicaciones. Modelado con Ecuaciones Diferenciales de
Primer Orden.
La matemática es una abstracción de la realidad. Es una herramienta poderosa que
nos conduce a través de la aplicación rigurosa de sus leyes y de la lógica a
soluciones precisas.
 CRECIMIENTO POBLACIONAL:
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= KP
P= Población
P(to) = Po Población inicial
 REACCIÓN DE PRIMER ORDEN:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= KA
A= Cantidad de un elemento
A(to) = Ao Cantidad inicial

21.  EJEMPLO:

22.  Series y Transformaciones
 ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Z=
𝒀
𝑿
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝑿
𝒅𝒁
𝒅𝒙
+ 𝒁

23.  EJEMPLO:

24.  ECUACIONES DE LA FORMA dy/dx = G(ax + by)
 𝒁 = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= 𝒂 + 𝒃
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 𝒁 = 𝒙 ± 𝒚
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= 𝟏 ±
𝒅𝒚
𝒅𝒙

25.  EJEMPLO:

26.  ECUACIONES DE BERNOULLI
PROCEDIMIENTO:
1.-
2.-
3.-
4-5.-

27.  EJEMPLO:

28.  ECUACIONES DE RICCATI
Es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y
desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati,
con el fin de analizar la hidrodinámica.
𝒀` = 𝑷 𝒙 + 𝑸 𝒙 𝒚𝟏 + 𝑹 𝒙 𝒚𝟐
Si se tiene una solución particular Y1:
𝒀 = 𝒀𝟏 + 𝑼
𝒀` = 𝒀𝟏` + 𝑼

29.  EJEMPLO:

30.  Ecuaciones lineales de Segundo Orden Ordinarias.
La ecuación lineal de segundo orden puede escribirse en la forma estándar
En la cual P(x), Q(x), R(x) son funciones conocidas.

31.  Funciones Linealmente Independientes y Dependientes. El
Wronskiano
Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x),…,fn(x) es linealmente independiente en un
intervalo IV si existe constantes, C1, C2, …, Cn no todas cero, tales que C1f1(x) + C2f2(x) +
…..+Cnfn (x)=0
Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el
intervalo, se dice que es linealmente independiente.
El wronskiano es una función llamada por el matemático polaco Józef Hoene-Wronski,
especialmente importante en el estudio de la ecuaciones diferenciales ordinarias.

32.  Definición de Ecuaciones Lineales de segundo Orden.
Teorema de Existencia y Unicidad. Solución general .
Sistema fundamental de soluciones. Problemas con valor
inicial.

33.  Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes
constantes
 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES:
Si Y1 y Y2 son solución particular linealmente independientes, entonces
constituyen un conjunto fundamental de soluciones.
 SOLUCIÓN GENERAL: EC. HOMOGÉNEA
Si Y1 y Y2 son conjunto fundamental de soluciones, entonces la solución general de
la Ec. Homogénea es:
𝑌 = 𝐶1𝑌1 + 𝐶2𝑌2

34.  REDUCCIÓN DE ORDEN:
Si se tiene una ED 𝑎2 𝑥 𝑦" + 𝑎1(𝑥)𝑦` + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 y una solución particular Y1.
Se puede hallar otra sol. Y2 linealmente independiente con:

35.  Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes
constantes. (Método de coeficientes Indeterminados y
Variación de parámetros)

36.  VARICIÓN DE PARAMETROS

37.  EJEMPLO:

38.  Definición de Ecuaciones lineales de n-
ésimo orden.
Una ecuación diferencial de orden n se denomina lineal si es lineal respecto a ña
variable dependiente Y, y a todas sus derivadas hasta el orden n, de modo que se
puede expresar de la forma:
Donde Po, P1, ….Pn son funciones definidas en un intervalo (a,b) de la recta real.

39.  Ecuaciones Lineales homogéneas con coeficientes
constantes. Teorema de existencia y unicidad. Solución
general. Sistema fundamental de soluciones. Problemas
con valor inicial.

41.  TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD: CASO HOMOGÉNEO

42.  ECUACIONES CARACTERISTICAS
1.- Raíces reales distintos :
𝑌 = 𝐶1𝑒 𝑚1𝑥 + 𝐶2𝑒 𝑚2𝑥
2.- Raíces reales iguales :
𝑌 = 𝐶1𝑒 𝑚1𝑥
+ 𝐶2𝑥𝑒 𝑚1𝑥
3.- Raíces complejas conjugadas :
𝑌 = 𝑒&𝑥
(𝐶1 cos 𝐵𝑥 + 𝐶 2𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥)

43.  EJEMPLO:

44.  Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes
constantes (Método de Anulador y Variación de
Parámetros).

45.  METODO DEL ANULADOR
PROCEDIMIENTO:
1.- Escribir la ED en su forma estándar.
2.- Determinar en anulador de g(x).
3.- Aplicar el anulador a ambos lados de la ecuación.
𝐿(𝑎2𝑦" + 𝑎1𝑦` + 𝑎0𝑦) =0
4.- Resolver la ED obtenida.
5.- Deducir Yp comparando con Yc.
6.- Hallar los coeficientes indeterminados.

46.  OPERADOR ANULADOR
 𝑳 𝒈 𝒙 = 𝟎
 𝒂𝟐𝒚" + 𝒂𝟏𝒚` + 𝒂𝟎𝒚 = 𝒈(𝒙)
 𝑳(𝒂𝟐𝒚" + 𝒂𝟏𝒚` + 𝒂𝟎𝒚) =0
g(x) ANULADOR
𝑿 𝒏−𝟏
𝑫 𝒏
𝑿 𝒏−𝟏 𝒆&𝒙 ( 𝑫 − &) 𝒏
𝒆&𝒙
𝐬𝐞𝐧 𝐁𝐱
𝒆&𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝐁𝐱 (𝑫 𝟐
−𝟐&𝑫 + & 𝟐
+ 𝑩 𝟐
)^n

47.  EJEMPLO:

48.  CONTINUACIÓN DEL EJERCICIO:

49.  VARIACIÓN DE PARÁMETROS

50.  EJEMPLO:

51.  BIBLIOGRAFÍA :
 R. Klean Nagle, E. B. (2005). En E. B. R. Klean Nagle, Ecuaciones Diferenciales y
Problemas con valores en la frontera (págs. 1-1992). México: Pearson Educación
de México.
 (1996). En I. C. Jover, Ecuaciones Diferenciales (págs. 192-404). Monterrey:
Departamento de Matemáticas de Monterrey .