El documento presenta información sobre diferentes tipos de funciones y progresiones matemáticas. Explica conceptos como funciones lineales, cuadráticas, polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas, así como progresiones aritméticas y geométricas. Incluye fórmulas, ejemplos y gráficas de cada tipo de función y progresión.

1. UNIVERSIDAD INTERAMERICANA PARA EL DESARROLLO
NOMBRE DEL ALUMNO:
JESUS ERNESTO LOPEZ LOPEZ
1er CUATRIMESTRE SEPTIEMBRE – DICIEMBRE 2014
PROFESOR:
JOSE ANTONIO FERRA
MATERIA:
MATEMATICAS
TEMA INVESTIGADO:
FUNCIONES, GRAFICAS Y PROGRESIONES
LICENCIATURA:
ING EN SISTEMAS DE LA INFORMACION
JUCHITAN DE ZARAGOZA, OAX. MIERCOLES 10 DE DICIEMBRE DEL 2014

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Contenido
FUNCIONES Y GRAFICAS ................................................................................................................. 3
Concepto de Función: .................................................................................................................... 3
TIPOS DE FUNCIONES Y GRAFICAS ............................................................................................. 3
Función Lineal .................................................................................................................................. 3
Imagen de la Función Lineal: ....................................................................................................... 4
Función cuadrática ......................................................................................................................... 4
Grafica de la Función Cuadrática: .............................................................................................. 5
Funciones polinomiales ................................................................................................................ 5
Imagen de la Función Polinómica ............................................................................................... 6
Funciones Racionales .................................................................................................................... 6
Ejemplo de la Función Racional: ................................................................................................. 7
Funciones Exponenciales ............................................................................................................. 7
Ejemplo de la Función Exponencial ........................................................................................... 8
Funciones Logarítmicas ................................................................................................................ 8
Ejemplo de la Función Logarítmica ............................................................................................ 9
PROGRESIONES ............................................................................................................................... 10
Progresiones Aritméticas ........................................................................................................... 10
Imagen de la Progresión Aritmética ......................................................................................... 11
Progresión Geométrica ................................................................................................................ 12
Imagen de la gráfica de la Progresión Geométrica: 풚=풙ퟐ+ퟒ풙+ퟒ ................................. 14
CONCLUSIÓN: .................................................................................................................................... 15
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................... 16

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FUNCIONES Y GRAFICAS
Concepto de Función:
Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), que llamamos imagen o transformado.
TIPOS DE FUNCIONES Y GRAFICAS
Función Lineal
En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:
"푭(풙) = 풎풙 + 풃"
Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Algunos llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:
"푭(풙) = 풎풙"
Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:
"푭(풙)= 풎풙+풃"
Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal. Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

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Imagen de la Función Lineal: f(x)= mx + b
Función cuadrática
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:
풀= 풂풙ퟐ+풃풙+풄 " Con a ≠ 0
Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").
El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas.

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Grafica de la Función Cuadrática: f(x) = x2 + x +1
Funciones polinomiales
En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).
Formalmente, es una función: 풇∶풙 −→푷(풙)
Donde 푷(풙) es un polinomio definido para todo número real 풙; es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales, de la forma:
"푷(풙)=풂풏풙풏+ 풂풏−ퟏ풙풏−ퟏ+⋯+ 풂ퟏ풙+풂ퟎ
Donde n es un entero no negativo y an ≠ 0
Los números a0, a1,…, an se llaman coeficientes del polinomio,
El número a0 es el término independiente
El número an es el coeficiente principal y al término anxn se le conoce como termino principal

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Existe algo conocido como comportamiento asintótico: Es una descripción de lo que sucede cuando x se vuelve grade en la dirección positiva (x  ∞) o negativa (x  -∞)
Imagen de la Función Polinómica: P(x) = x3 - 2x2 – 4x + 8
Funciones Racionales
En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:
"푭(풙)= 푷(풙) 푸(풙)
Donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

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Uno de los ejemplos seria la Función Homografica, que se expresa de esta manera:
"푭(풙)= 풂풙+풃 풄풙+풃
Si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una Hipérbola Equilátera
Ejemplo de la Función Racional: 푭(풙)= 풙ퟑ+ퟐ풙 ퟐ(풙ퟐ−ퟓ)
Funciones Exponenciales
Es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
"풚=풇(풙)= 풂풙

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Donde a € R con a > 0, a ≠ 1 y x es un número real. Esto significa que la base de la función siempre es positiva, por lo que el valor f(x) siempre es positivo; además, la base no puede ser la unidad, porque se convertiría en la función constante f(x) = 1x = 1.
Para que le podamos entender a esta función, lo vamos a graficar y veremos qué es lo que pasa.
Ejemplo de la Función Exponencial: y = 3x
Funciones Logarítmicas
En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
Esta función tiene como base base a la función f(x) = logax, siendo a > 0 y a ≠ 1.
Teniendo en cuenta la definición de logaritmo, se observa que la función logarítmica f(x) = logax, es la función inversa de la exponencial con la misma base

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f(x) = ax. Eso quiere decir que si se aplican seguidas a un mismo número se obtiene dicho número, es decir, (f o g) (x) = loga ax = x y (g o f) (x) = a loga x = x.
Al ser a función logarítmica, la función inversa de la exponencial, las tablas de valores de ambas funciones son iguales si se cambian las columnas entre sí y de ahí que sus graficas sean simétricas respecto de la recta y = x
Ejemplo de la Función Logarítmica: f(x) = Log10 (2x)

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PROGRESIONES
Progresiones Aritméticas
En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".
Por ejemplo, la sucesión matemática: 3, 5, 7, 9... es una progresión aritmética de constante 2. Así como: 5; 2; -1; -4 es una progresión aritmética de constante "-3".
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es: "풂풏= 풂ퟏ+(풏−ퟏ)풅"
El último término de la Progresión se representa de esta manera: "풂ퟐ= 풂ퟏ+풅"
Es como si escribieras:
a3 = a2 +d = a1 + d +d = a1 +2d
a4 = a3 +d = a1 + 2d + d += a1 +3d
a5 = a4 +d = a1 + 3d +d = a1 +4d
Si nos fijamos bien, observaremos que cualquier termino es igual al Primero + la diferencia de la Progresión (d) * el número de términos – 1
Hay progresiones de más términos, pero siempre podemos decir que el enésimo término es el que agarraremos, por ejemplo, en una progresión de 20 términos, el último corresponderá a a20. Y el término que ocupa el lugar 19, lo escribiremos de esta manera a20-1 = a19.

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Se llama Interpolación Aritmética a dos números cualquiera, que el efecto es encontrar una seria de números comprendidos entre ellos de forma que todos formen una Progresión Aritmética, para ellos, debemos conocer cuántos números más queremos colocar entre ellos para formar la progresión, aquí les pondré un ejemplo, para que le podamos entender:
Ejemplo:
Entre los números 5 y 37 queremos encontrar 7 números que formen una progresión, de esta manera conocemos 2 términos de la progresión:
a1 = 5 y a9 = 37
Con estos datos, partiremos para encontrar los números de la progresión faltante:
a9 = a1 + 8d  8d = a9 – a1 = 37 – 5 = 32
d= 32 / 8 = 4
Ya que sabes el 3er término, podemos armar la progresión aritmética, que quedaría de la siguiente manera:
5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37
Imagen de la Progresión Aritmética: y = 8x (Es proporcional)

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Progresión Geométrica
Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así, 5, 15, 45, 135, 405… es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo 풂풏 el término en cuestión, 풂ퟏ el primer término y r la razón: "풂풏= 풂ퟏ .풓(풏−ퟏ)"
Aquí hay un ejemplo, el cuarto elemento de la serie es:
"풂ퟒ= ퟓ.ퟑ(ퟒ−ퟏ)=ퟓ.ퟑퟑ=ퟏퟑퟓ"
Formula de Último Término de la Progresión Geométrica
De cuanto estamos estudiando podemos decir que: "풂ퟐ=풂ퟏ풙풓 " "풂ퟑ=풂ퟐ풙풓 " "풂ퟒ=풂ퟑ풙풓 " "풂ퟏퟑ=풂ퟏퟐ풙풓 " "풂풏=풂풏−ퟏ풙풓 "
Siempre sucede que un término cualquiera es igual al anterior por una cantidad constante que llamamos razón de la progresión. Lo que tenemos en (1) podemos escribir todas las igualdades en función del primer término: "풂ퟐ=풂ퟏ풙풓 " "풂ퟑ=풂ퟐ풙풓;푺풖풔풕풊풕풖풊풎풐풔 풂ퟐ 풑풐풓: 풂ퟏ풙풓 " "풂ퟑ=풂ퟏ풙풓풙풓=풂ퟏ풓ퟐ "

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"풂풏=풂ퟏ풓풏−ퟏ ,풑풂풓풂 풆풏풄풐풏풕풓풂풓 풆풍 풍풖품풂풓 "풏""
Y así con los demás términos para encontrar el último término de la Progresión Geométrica.
Sumatoria de la Progresión Geométrica
Se denomina como 풔풏 a la suma de los “n” primeros términos consecutivos de una progresión geométrica: 풔풏=풂ퟏ+풂ퟐ+⋯+풂풏−ퟏ+풂풏
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r 풓.풔풏=풓.(풂ퟏ+풂ퟐ+⋯+풂풏−ퟏ+풂풏) 풓.풔풏=풓.풂ퟏ+풓.풂ퟐ+⋯+풓.풂풏−ퟏ+풓.풂풏)
Puesto que 풓.풂풊=풂풊+ퟏ 풓.풔풏=풂ퟏ+풂ퟐ+⋯+풂풏−ퟏ+풂풏
Interpolación Geométrica
Se le llama así al proceso de encontrar una seria de números, comprendidos entre ellos, tales que todos formen una progresión geométrica
Con 2 (dos) números nos basta saber cuántos términos queremos interpolar entre ellos para encontrar la razón que debemos tomar para formar la progresión.
Ejemplo:
“Queremos interpolar 4 términos entre los números 1 y 243 de forma que den lugar a una progresión geométrica, tenemos dos términos:” 풂ퟏ=ퟏ 풚 풂ퟔ=ퟐퟒퟑ
Tenemos dos términos, la razón será: 푎6 푎1= 2431=243=푟5

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Como 243=35=푟5, entonces 푟=3, luego tendremos la progresión geométrica:
1, 3, 9, 27, 81, 243
Imagen de la gráfica de la Progresión Geométrica: 풚=풙ퟐ+ퟒ풙+ퟒ

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CONCLUSIÓN:
Todas estas funciones tienen un función en específico, las cuales no han ayudado para poderle entender de qué manera podemos aprender muchas maneras de cómo resolver un problema matemático.
Gracias a las funciones más conocidas como logaritmos, exponenciales, racionales, cuadráticas y lineales encontramos resultados de manera en que le podíamos entender tanto al problema como a la operación y en el resultado si es el correcto.
En los ejercicios anteriores aprendimos como se usan todas las operaciones que nos hemos encontrados con cada tema, pero lo más importante es entenderle para que al momento en que nos pongan un ejercicio sobre estas funciones y/o progresiones, ya no se nos dificulte en hacerlo, sino que lo hagamos con una facilidad y que estemos seguros de que hicimos un excelente trabajo.
Sobre todos estos temas, lo más importante es practicarlo, porque de ellos se basa todo lo que hacemos, y sin que nos demos cuenta estamos usando estas funciones y progresiones en nuestra vida cotidiana.
Para saber más y practicar sobre estos temas, los invito a investigar, ya sea en internet, en los libros, ya que ahí vamos a encontrar la información que nosotros hemos estados buscando.

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BIBLIOGRAFIA
Concepto de Función:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml
Función Lineal:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal
Función Cuadrática:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica
Funciones Polinomiales:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3mica
http://departamentodematematicas.itam.mx/sites/default/files/u444/pres-funcpolin.pdf
Funciones Racionales:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_racional
Funciones Exponenciales:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial
http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html
Función Logarítmica:
http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
http://www.vitutor.com/fun/2/c_14.html
http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad1/u1logte30.pdf
Progresiones:
http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n
Progresiones Aritméticas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica
http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc3_Contenidos.html
http://es.slideshare.net/pepemunoz/interpolacion-aritmetica
Progresiones Geométricas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9trica
http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc4_contenidos.html
http://es.slideshare.net/pepemunoz/interpolacion-geometrica