Este documento describe el álgebra de Boole y las funciones lógicas. Explica conceptos como proposiciones lógicas, funciones booleanas básicas como AND, OR y NOT, postulados y propiedades del álgebra de Boole, representación circuital de funciones lógicas, y formas de representar funciones lógicas como suma de productos y producto de sumas. El documento provee una introducción completa al álgebra de Boole y las funciones lógicas fundamentales.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Antonio José de Sucre
Barquisimeto Estado Lara
Yinmary Y. Vásquez R.
19.482.641
Informática 78
2º semestre

2. ÁLGEBRA DE BOOLE Y FUNCIONES LÓGICAS
1-Definicion
El Álgebra de Boole es una parte de la matemática, la lógica y la electrónica que estudia las variables,
operaciones y expresiones lógicas. Debe su nombre a George Boole, matemático británico quien la definió a
mediados del siglo XIX. A mediados del siglo XX el trabajo de Boole es tomado por Claude Shannon para la
descripción de circuitos eléctricos, más específicamente circuitos con relés.
Esta álgebra trabaja con los dos valores provenientes de la lógica, verdadero y falso, estos son
sustituidos usualmente por los símbolos existentes en un sistema binario, 1 y 0 respectivamente.
2. Proposición Lógica
Es una frase u oración en la que se afirma o se niega algo, de modo que la idea que ella contiene será
VERDADERA o será FALSA, no pudiendo ser de otra forma.
Las frases a continuación son ejemplos de proposiciones lógicas.
“Es ingeniero”
“Es estudiante”
“Está casado”
“Tiene hijos”
Para representar una proposición lógica se utiliza usualmente una letra o un símbolo, así podemos
denominar “A” al valor de la afirmación “Es ingeniero”; “B” al valor de “Es estudiante” etc.
3. Funciones Booleanas básicas
Las funciones básicas que relacionan los valores provenientes de las proposiciones lógicas son: “y”
“o” y “no”, estas funciones son utilizadas como conectivos entre proposiciones lógicas.
Si se toman las dos primeras proposiciones lógicas planteadas, A y B, se pueden crear nuevas
proposiciones de una mayor complejidad.
a. Función Y (AND)
“Es ingeniero y estudiante”
En esta frase se utiliza el conectivo “y”, la misma sólo será verdadera, en el caso en que ambas
proposiciones que la conforman sean verdaderas. La relación entre las tres frases se escribe de la siguiente
forma:
F AB
Donde F representa el valor de la afirmación “Es ingeniero y estudiante” y la operación existente
entre las proposiciones A y B es ·.
b. Función O (OR)
“Es ingeniero o estudiante”
Esta afirmación utiliza el conectivo “o” y será verdadera si alguna (o ambas) proposiciones son

3. verdaderas. La relación entre las tres frases es la siguiente:
G A  B
Donde G representa el valor de la afirmación “Es ingeniero o estudiante”, la operación existente entre
ambas proposiciones es “+”, la misma no debe confundirse con una suma aritmética.
c. Función NO (NOT)
“NO es estudiante”
Esta frase será verdadera si la oración “Es estudiante” es falsa. Es decir, ambas siempre tendrán
valores opuestos o complementarios. La representación es la siguiente:
H B o H B'
Donde H representa el valor de la afirmación “Es estudiante”, el negar una afirmación (aplicar la
función no) es representado a través de una línea en la parte superior o por una comilla del lado derecho.
d. Representación Circuital
Las funciones descritas anteriormente tienen equivalencia con el comportamiento de circuitos
eléctricos. A continuación se muestra un breve esquema de las funciones lógicas y su equivalente circuital.
Función AND
Habrá conexión eléctrica si
está activado el interruptor A
“Y” el interruptor B.
Función OR
Habrá conexión eléctrica si
está activado el interruptor A
“O” el interruptor B.
Función NOT
Habrá conexión eléctrica si
“NO” está activado el
interruptor A.
4. Postulados y Propiedades del Álgebra de Boole
Postulados:
Son básicamente las definiciones de las
funciones lógicas y sobre ellas se fundamenta
el álgebra.
1) 0  0  0
Basado en la
función AND
2) 0 1  0
3) 1 0  0
4) 11  1
5) 0  0  0
Basado en la
función OR
6) 0  1 1
7) 1 0  1
8) 1  1  1

4. 9) 0  1
Basado en la
10) 1  0 función NOT
Propiedades:
AND
1) X  00
2) 0 X 0
3) X  X1
4) 1X X
OR
5) X  0 X
6) 0  X X
7) X  1  1
8) 1  X 1
AND+NOT
9) X X X
10) X X 0
OR+NOT
11) X  X X
12) X  X 1
NOT 13) X X
Conmutativa
14) XY YX
15) X  Y Y  X
Distributiva
16) X Y  Z  XY  XZ
17) X YZ X Y X  Z 

Asociativa
18) X YZ XY Z 
19) X  Y  Z  X  Y   Z

5. Algunas definiciones adicionales 1
a. Variable Lógica
Diferentes símbolos que representan proposiciones lógicas dentro de una expresión booleana.
b. Literales
Cantidad de apariciones (u ocurrencias) de una variable lógica dentro de una expresión. Cantidad de
veces que aparecen las variables lógicas..
c. Expresiones equivalentes
Dos expresiones son equivalentes si independientemente de los valores que tomen las variables
lógicas sus resultados son iguales entre si. Es decir, ambas son cero (falsas) o ambas son uno (verdaderas).

5. d. Expresiones complementarias
Dos expresiones son complementarias si independientemente de los valores que tomen las variables
lógicas sus resultados son diferentes entre si. Es decir, si una vale 1 (es cierta) la otra valdrá cero (verdadera),
y viceversa.
1 Tomado del libro “Introducción a los Sistemas Digitales” de Omar Valero.
Una expresión complementaria se obtiene cambiando todos los ANDs por ORs, los ORs por ANDs,
los ceros por unos, los unos por ceros y complementando cada uno de los literales.
e. Expresiones duales
Una expresión dual se obtiene cambiando todos los ANDs por ORs, los ORs por ANDs, los ceros por
unos y los unos por ceros.
f. Teoremas
1) XY  XY X XY  XY X
2) X  XY X X X Y  X

3) X  XY X Y X X Y X 
 Y
4) ZX  Z XY ZX  ZY Z  X Z  X Y Z  X Z Y 
 
5) XY  XZ YZ XY  XZ X Y   Z   Z  X Y   Z 
X Y  X
Leyes de De Morgan X Y XY X  X Y Y
Estos teoremas sirven para la simplificación de funciones lógicas
.
g. Expresión Mínima
Una expresión algebraica es mínima si contiene la menor cantidad de términos posibles, y estos tienen
la menor cantidad de literales posibles.
6. Otras funciones lógicas
Si bien podemos hablar de las funciones lógicas AND, OR y NOT como las básicas del álgebra, a
través de compuertas lógicas se pueden desarrollar algunas otras funciones compuestas, a continuación se las
enumeran.
a. NAND (NOT – AND)
Consiste en realizar la operación AND y luego negar el resultado de esta.
Z AB
b. NOR (NOT – OR)
Consiste en realizar la operación OR y luego negar el resultado de esta.
Z A B
c. XOR (OR exclusivo)
Si A y B son dos variables lógicas, el resultado de esta operación será verdadero si el valor de una de
las dos variables es verdadero, será falso si ninguna o ambas variables son verdaderas.
Z AB
Esta función se puede escribir basándose en funciones básicas de las siguientes maneras:
Z AB  AB Z A B B
 A

6. d. XNOR (NOR exclusivo)
Consiste en realizar la operación XOR y luego negar el resultado de esta.
Z AB
Esta función se puede escribir basándose en funciones básicas de las siguientes maneras:
Z AB  AB Z A BA B
 
7. Representación Circuital
En los circuitos lógicos se utilizarán compuertas que realizan las funciones descritas con anterioridad,
dichas compuertas tienen la representación que se presenta a continuación:
AND OR XOR Buffer
NAND NOR XNOR NOT
La salida de cada compuerta lógica será el resultado de la operación efectuada a su(s) entrada(s), el
buffer es una compuerta que no realiza operación lógica alguna y se limita a entregar a su salida el valor
lógico existente a su entrada.
8. Representación de una Función Lógica.
Como ya se vio, las funciones básicas del álgebra son el NOT (o negación) el AND y el OR. Así,
cualquier expresión existente se puede manipular para ser representada como una serie de operaciones
producto (AND) y suma (OR) de los literales de la expresión.
De esta manera se pueden reescribir expresiones para que sean una operación suma de términos que a
su vez son productos y viceversa.
a. Suma de Productos
Una expresión se puede manipular para llevarla a la forma de suma de productos aplicando
reiteradamente la propiedad 16:
X Y  Z  XY  XZ
b. Minitérmino
En una suma de productos, se denomina minitérmino a cualquier término que contenga todas las
variables, es decir, productos de todas las variables o sus negados.
c. Suma Canónica o Expandida
Es una expresión en forma de suma de productos en la que todos sus términos son minitérminos.
Para manipular una expresión para llevarla a la forma de suma expandida se utilizan las propiedades 3 y 12.
X 1  X
Y Y 1
X XY  XY
d. Productos de Sumas
Una expresión se puede manipular para llevarla a la forma de suma de productos aplicando
reiteradamente la propiedad 17.
X YZ X Y X  Z 


7. e. Maxitérmino
En un producto de sumas, se llaman maxitérminos a los términos que contenga todas las variables, es
decir, sumas de todas las variables o sus negados.
f. Producto Canónico o Expandido
Es una expresión en forma productos de sumas en la que todos sus términos son maxitérminos.
Para manipular una expresión a fin de llevarla a la forma de producto expandido se utilizan las
propiedades 5 y 10.
0  X X
0 Y  Y
X YY X Y X Y 
 
g. La Tabla de Verdad
La tabla de la verdad es un arreglo en el que se plantean todas las combinaciones posibles de valores
de los argumentos de una función booleana.
La tabla se divide en dos partes: a la izquierda la información de las entradas (argumentos de las
funciones) y, a la derecha, las salidas o valores de las funciones. La parte izquierda se divide a su vez en
tantas columnas como variables tenga la función, en ellas se colocan todos los valores posibles de las
variables utilizando como orden el Código Binario Natural.
Teniendo esta distribución, cada una de las filas corresponde con una posible combinación de valores
de los argumentos de las funciones. Esto se relaciona directamente con los conceptos de minitérminos y
maxitérminos, recordando que éstos son términos que incluyen todas las variables de una función; así un
minitérmino (maxitérmino) sólo será “1” (“0”) en un único caso. Conociendo esto, podemos relacionar cada
fila de la Tabla de Verdad con un minitérmino o maxitérmino e identificar los mismos con el número de fila
que ocupan, desde el 0 hasta 2N-1.
h. Representaciones Abreviadas
Una de las posibles formas de representación es la propuesta por Quine McCluskey, en ella, sólo se
indican los minitérminos o maxitérminos que tenga una expresión, haciendo uso de la representación como
suma de productos o producto de sumas, respectivamente.
Si se desea representar los minitérminos existentes en una suma de productos expandida, basta con
utilizar el símbolo de sumatoria e indicar los números de los minitérminos de la expresión, siempre indicando
el orden que se estableció para las variables lógicas de la misma. En el caso de un producto de sumas se
opera de forma similar, sólo que el símbolo a utilizar corresponde al de productoria.
COMPUERTAS LOGICAS
Por ZZT
Una compuerta logica es un dispositivo que nos permite obtener resultados, dependiendo
de los valores de las señales que le ingresemos. Es necesario aclarar entonces que las
compuertas lógicas se comunican entre sí (incluidos los microprocesadores), usando el
sistema BINARIO. Este consta de solo 2 indicadores 0 y 1 llamados BIT dado que en
electrónica solo hay 2 valores equivalentes 0=0volt 1=5volt (conectado-desconectado). Es

8. decir que cuando conectamos una compuerta a el negativo equivale a introducir un cero (0)
y por el contrario si derivamos la entrada a 5v le estamos enviando un uno (1). Ahora para
comprender como se comporta cada compuerta se debe ver su TABLA DE VERDAD. Esta
nos muestra todas las combinaciones lógicas posibles y su resultado.
COMPUERTA BUFFER
La compuerta BUFFER es la más basica de todas, simplemente toma el valor que se le
entrega y lo deja pasar tal cual. Esto sirve para ajustar y aislar niveles lógicos ya que no se
pueden conectar infinita cantidad de compuertas a una misma señal, ya que el voltaje del
nivel 1 empieza a decaer y el sistema falla.
Tabla
de
verdad
A X
0 0
1 1
COMPUERTA NOT
La compuerta NOT es un tanto parecida al buffer salvo por que invierte el valor que se le
entrega. También tiene la utilidad de ajustar niveles pero tomando en cuenta que invierte la
señal.

9. Tabla
de
verdad
A X
0 1
1 0
COMPUERTA AND
La compuerta AND hace la función de multiplicación lógica. Es decir toma los valores que
le aplicamos a sus entradas y los multiplica.
Tabla de verdad
AND
A B X
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
COMPUERTA NAND
La compuerta NAND también hace la función de multiplicación, pero entrega el valor
negado. Esto es muy util, dado que si estubieramos usando una AND normal tendriamos
que usar otro chip con un NOT para negar el resultado.
Tabla de verdad
NAND
A B X
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
COMPUERTA OR

10. La compuerta OR realiza la función de suma lógica. Cuando se le aplica un uno a
cualquiera de sus entradas el resultado de salida será uno, independiente del valor de la otra
entrada. Excepto cuando las dos entradas esten en 0 la salida será 0.
Tabla de verdad
OR
A B X
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
COMPUERTA NOR
La compuerta NOR realiza la función de suma, pero entrega el resultado invertido,
ahorrandonos un NOT. Su salida será 1 solo si las dos entradas son 0.
Tabla de
verdad NOR
A B X
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
COMPUERTA X-OR
Esta compuerta XOR (or-exclusiva) se comporta de una manera especial. Su caracteristica
especial es que el resultado de salida será 1 si las dos entradas son distintas, sean 0-1 ó 1-0.
Tabla de
verdad X-OR
A B X
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

11. COMPUERTA X-NOR
Esta compuerta XNOR o Nor exclusiva, también se comporta de una manera especial. Su
caracteristica es que el resultado de salida será 1 si las dos entradas son del mismo valor,
sean 0-0 ó 1-1.
Tabla de verdad
X-NOR
A B X
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1