1) La lógica proposicional describe las operaciones lógicas entre proposiciones como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Se definen mediante tablas de verdad.
2) La teoría de conjuntos describe conceptos como el conjunto vacío, la pertenencia, las operaciones entre conjuntos como la unión e intersección, y la correspondencia entre conjuntos y proposiciones lógicas.
3) El documento también introduce conceptos como los números naturales, el principio de inducción, familias de
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos. Define lo que es un conjunto, sus elementos y el conjunto universal. Explica que los conjuntos pueden determinarse por extensión o comprensión y presenta ejemplos de ambos casos. También introduce conceptos como subconjuntos, conjuntos potencia, unión e intersección de conjuntos, y cardinalidad de conjuntos finitos e infinitos.
Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas. Una matriz de orden "m x n" tiene m filas y n columnas. Las matrices se utilizan en cálculo numérico, sistemas de ecuaciones, ecuaciones diferenciales y derivadas parciales. La lógica matemática estudia métodos de razonamiento mediante proposiciones, operaciones lógicas, tablas de verdad y reglas de inferencia.
1) El documento habla sobre lógica matemática y teoría de conjuntos, definiendo conceptos como conjunto, elemento, universo, pertenencia, descripción de conjuntos, proposiciones, conectivos lógicos y operaciones entre conjuntos. 2) Explica los procesos de conceptualización y demostración en lógica, así como cuantificadores, tablas de verdad y métodos de demostración de implicaciones. 3) Presenta definiciones formales de varios conceptos matemáticos fundamentales como subconjuntos, conjuntos
Las leyes de de morgan son una parte de la lógica proposicional y analíticaSol Ramos
Las leyes de De Morgan establecen que la suma de variables proposicionales negadas globalmente es igual al producto de las mismas variables negadas individualmente, y viceversa para el producto y la suma. Augustus De Morgan creó estas leyes como parte de la lógica proposicional y analítica.
En este pequeño articulo se muestra una introducción a las tablas de verdad mencionando fundamentados los conectores lógicos como base de la lógica matemática y procede a trabajar con conjuntos para desarrollar habilidades con cálculos numérico y de razonamiento.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se representan. Explica diferentes formas de expresar conjuntos como extensión y comprensión. Luego describe operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Finalmente, introduce conceptos como proposiciones, tablas de verdad y tautologías.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos. Define lo que es un conjunto, sus elementos y el conjunto universal. Explica que los conjuntos pueden determinarse por extensión o comprensión y presenta ejemplos de ambos casos. También introduce conceptos como subconjuntos, conjuntos potencia, unión e intersección de conjuntos, y cardinalidad de conjuntos finitos e infinitos.
Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas. Una matriz de orden "m x n" tiene m filas y n columnas. Las matrices se utilizan en cálculo numérico, sistemas de ecuaciones, ecuaciones diferenciales y derivadas parciales. La lógica matemática estudia métodos de razonamiento mediante proposiciones, operaciones lógicas, tablas de verdad y reglas de inferencia.
1) El documento habla sobre lógica matemática y teoría de conjuntos, definiendo conceptos como conjunto, elemento, universo, pertenencia, descripción de conjuntos, proposiciones, conectivos lógicos y operaciones entre conjuntos. 2) Explica los procesos de conceptualización y demostración en lógica, así como cuantificadores, tablas de verdad y métodos de demostración de implicaciones. 3) Presenta definiciones formales de varios conceptos matemáticos fundamentales como subconjuntos, conjuntos
Las leyes de de morgan son una parte de la lógica proposicional y analíticaSol Ramos
Las leyes de De Morgan establecen que la suma de variables proposicionales negadas globalmente es igual al producto de las mismas variables negadas individualmente, y viceversa para el producto y la suma. Augustus De Morgan creó estas leyes como parte de la lógica proposicional y analítica.
En este pequeño articulo se muestra una introducción a las tablas de verdad mencionando fundamentados los conectores lógicos como base de la lógica matemática y procede a trabajar con conjuntos para desarrollar habilidades con cálculos numérico y de razonamiento.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se representan. Explica diferentes formas de expresar conjuntos como extensión y comprensión. Luego describe operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Finalmente, introduce conceptos como proposiciones, tablas de verdad y tautologías.
El documento define conceptos clave del cálculo de predicados como:
1) Un predicado puede tener una o más variables que toman valores de un dominio específico.
2) El cálculo de predicados permite representar proposiciones con estructura interna mediante el uso de relaciones y cuantificadores.
3) Las fórmulas se construyen a partir de predicados, constantes, variables, operaciones lógicas y cuantificadores universal y existencial.
El documento explica los conceptos fundamentales del cálculo de predicados, incluyendo:
1) Los predicados permiten ampliar el espectro del cálculo proposicional al trabajar con fórmulas de diversos tipos además de lo booleano.
2) Se define el cálculo de predicados como un sistema formal estructurado para el estudio de la inferencia en lenguajes formales con cuantificadores.
3) El alfabeto del cálculo de predicados incluye símbolos de constantes, variables, funciones, relaciones, y los cuantific
El documento describe las reglas y leyes lógicas de la lógica de predicados de primer orden. Presenta una lista de más de 20 reglas lógicas que describen formas válidas de razonamiento deductivo con conectivas, cuantificadores y otros símbolos lógicos. También presenta más de 10 leyes lógicas, que son enunciados siempre verdaderos independientemente de su sustitución. Las reglas y leyes forman la base de la lógica clásica de predicados.
Este documento presenta conceptos básicos sobre pensamiento lógico y matemático como valores de verdad, proposiciones simples y compuestas, conectores lógicos y tablas de verdad. Explica cómo usar tablas de verdad para evaluar fórmulas lógicas de dos o más proposiciones y define conceptos como tautología, contradicción y contingencia. Además, incluye ejemplos de razonamientos lógicos y su representación simbólica y evaluación mediante tablas de verdad.
Este documento presenta un resumen del curso de Matemática Aplicada a la Medicina impartido en 2010. Incluye contenidos como lógica y conjuntos, análisis combinatorio y probabilidades, sistemas de números reales y relaciones y funciones. También explica conceptos de lógica proposicional como enunciados, proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad y cuantificadores.
1. El documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional como proposiciones simples y compuestas, operadores lógicos como conjunción, disyunción, negación, condicional y bicondicional, y tablas de verdad.
2. Explica cómo determinar el valor de verdad de proposiciones simples y compuestas usando tablas de verdad y las leyes fundamentales de cada operador lógico.
3. Introduce conceptos como tautologías, contradicciones y equivalencias ló
Este documento trata sobre conjuntos y técnicas de conteo. Explica conceptos básicos de conjuntos como elementos, subconjuntos, uniones e intersecciones. También cubre operaciones con conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento. Finalmente, introduce técnicas de conteo como el diagrama de árbol y el principio de multiplicación para contar resultados de experimentos sin enumerarlos directamente.
Este documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que conectan los vértices. También define las propiedades de relaciones como reflexiva, simétrica y transitiva. Finalmente, discute formas de representar relaciones como conjuntos, grafos, diagramas de flechas y matrices.
El documento habla sobre lógica de predicados y funciones proposicionales. Define funciones proposicionales como enunciados abiertos que contienen variables, y se convierten en proposiciones cuando se sustituyen las variables. Explica cuantificadores universales y existenciales, y cómo simbolizar proposiciones con ellos. También cubre negación de cuantificadores y proposiciones con dos cuantificadores.
Este documento trata sobre los valores de verdad y los conectores lógicos en la lógica proposicional. Explica que una proposición puede ser verdadera o falsa, y que las proposiciones compuestas evalúan todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples que las componen. Luego define los principales conectores lógicos como la conjunción, disyunción, implicación, negación y bicondicional, y muestra sus tablas de verdad. Finalmente, explica conceptos como tautolog
El documento resume los conceptos fundamentales de las funciones y relaciones matemáticas. Explica qué son las relaciones de equivalencia, inversas y funcionales, y cómo se pueden representar funciones de manera verbal, algebraica, gráfica y algorítmica. También define los conceptos clave de dominio, codominio e imagen de una función.
Este documento presenta conceptos matemáticos fundamentales como números reales, la recta numérica, valor absoluto, ecuaciones e inecuaciones, exponentes, radicales y propiedades. Explica los números reales como la unión de números racionales e irracionales. Describe la recta numérica y cómo se representan números positivos y negativos. Define el valor absoluto y cómo se relaciona con magnitud y distancia. Luego, cubre ecuaciones, inecuaciones, y cómo resolverlas. Finalmente, explica exponentes, radicales, y sus prop
Este documento presenta conceptos básicos de lógica matemática como proposiciones, operadores lógicos, tablas de verdad, tautologías, contradicciones y equivalencias. También introduce notación booleana y leyes básicas de la lógica como doble negación, conmutatividad, asociatividad y distribución. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar el uso de tablas de verdad y la evaluación de expresiones lógicas.
Este documento define conceptos básicos de las relaciones lógicas y los enunciados formales. Explica que una función lógica es una expresión que relaciona elementos de dos conjuntos y puede ser verdadera o falsa. Un enunciado formal es una expresión con variables que puede ser verdadera o falsa. Una relación consiste en dos conjuntos y un enunciado formal que conecta elementos de los conjuntos. El conjunto solución de una relación incluye pares ordenados que hacen verdadero el enunciado. El documento también define relaciones
La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos son los elementos comunes a A y B. La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A o de B. La diferencia de A menos B es otro conjunto A \ B cuyos elementos son todos aquellos elementos de A que no lo sean de B.
1) La lógica de primer orden estudia la inferencia en lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo. 2) En los cálculos de predicados se tienen elementos más simples para formar expresiones atómicas que en proposiciones simples. 3) La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir prácticamente todas las matemáticas.
Este documento presenta información sobre lógica matemática y demostraciones matemáticas. Explica que la lógica se aplica en matemáticas, filosofía y otras áreas, y que las tablas de verdad son herramientas útiles para determinar la validez de razonamientos. También define conceptos como tautologías, contradicciones y demostraciones matemáticas, describiendo que estas últimas usan pasos lógicos para establecer la veracidad de una conclusión. El objetivo es enseñar a
Este documento describe conceptos básicos sobre conjuntos ordenados, incluyendo: (1) las propiedades de relaciones de orden como reflexividad y transitividad; (2) elementos distinguidos como máximos y mínimos; y (3) isomorfismos entre conjuntos ordenados definidos como funciones biyectivas que preservan el orden.
El cálculo de predicados es una extensión del cálculo proposicional que formaliza inferencias basadas en la estructura interna de proposiciones. Un concepto fundamental son los predicados de una o más variables objetos. El cálculo de predicados es no-contradictorio y completo. Las funciones proposicionales son afirmaciones con variables proposicionales que pueden asumir valores de verdad. Los cuantificadores universal y existencial indican si una propiedad se cumple para todos o algunos elementos de un conjunto.
Este documento explica las operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Define cada operación y proporciona ejemplos numéricos para ilustrarlas. Explica cómo se representan los conjuntos y las operaciones en diagramas de Venn.
Este documento proporciona una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y proporciona ejemplos de cómo definir conjuntos explícita e implícitamente. También explica las relaciones entre conjuntos como la pertenencia, la igualdad, la inclusión y el diagrama de Venn. Además, describe operaciones básicas con conjuntos como la unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.
Este documento define y explica conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Introduce los conjuntos de números naturales, enteros, racionales, reales y complejos, y explica cómo se representan y notan los conjuntos. También define subconjuntos, conjuntos vacíos, igualdad de conjuntos, comparabilidad y operaciones básicas como unión e intersección.
El documento define conceptos clave del cálculo de predicados como:
1) Un predicado puede tener una o más variables que toman valores de un dominio específico.
2) El cálculo de predicados permite representar proposiciones con estructura interna mediante el uso de relaciones y cuantificadores.
3) Las fórmulas se construyen a partir de predicados, constantes, variables, operaciones lógicas y cuantificadores universal y existencial.
El documento explica los conceptos fundamentales del cálculo de predicados, incluyendo:
1) Los predicados permiten ampliar el espectro del cálculo proposicional al trabajar con fórmulas de diversos tipos además de lo booleano.
2) Se define el cálculo de predicados como un sistema formal estructurado para el estudio de la inferencia en lenguajes formales con cuantificadores.
3) El alfabeto del cálculo de predicados incluye símbolos de constantes, variables, funciones, relaciones, y los cuantific
El documento describe las reglas y leyes lógicas de la lógica de predicados de primer orden. Presenta una lista de más de 20 reglas lógicas que describen formas válidas de razonamiento deductivo con conectivas, cuantificadores y otros símbolos lógicos. También presenta más de 10 leyes lógicas, que son enunciados siempre verdaderos independientemente de su sustitución. Las reglas y leyes forman la base de la lógica clásica de predicados.
Este documento presenta conceptos básicos sobre pensamiento lógico y matemático como valores de verdad, proposiciones simples y compuestas, conectores lógicos y tablas de verdad. Explica cómo usar tablas de verdad para evaluar fórmulas lógicas de dos o más proposiciones y define conceptos como tautología, contradicción y contingencia. Además, incluye ejemplos de razonamientos lógicos y su representación simbólica y evaluación mediante tablas de verdad.
Este documento presenta un resumen del curso de Matemática Aplicada a la Medicina impartido en 2010. Incluye contenidos como lógica y conjuntos, análisis combinatorio y probabilidades, sistemas de números reales y relaciones y funciones. También explica conceptos de lógica proposicional como enunciados, proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad y cuantificadores.
1. El documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional como proposiciones simples y compuestas, operadores lógicos como conjunción, disyunción, negación, condicional y bicondicional, y tablas de verdad.
2. Explica cómo determinar el valor de verdad de proposiciones simples y compuestas usando tablas de verdad y las leyes fundamentales de cada operador lógico.
3. Introduce conceptos como tautologías, contradicciones y equivalencias ló
Este documento trata sobre conjuntos y técnicas de conteo. Explica conceptos básicos de conjuntos como elementos, subconjuntos, uniones e intersecciones. También cubre operaciones con conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento. Finalmente, introduce técnicas de conteo como el diagrama de árbol y el principio de multiplicación para contar resultados de experimentos sin enumerarlos directamente.
Este documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que conectan los vértices. También define las propiedades de relaciones como reflexiva, simétrica y transitiva. Finalmente, discute formas de representar relaciones como conjuntos, grafos, diagramas de flechas y matrices.
El documento habla sobre lógica de predicados y funciones proposicionales. Define funciones proposicionales como enunciados abiertos que contienen variables, y se convierten en proposiciones cuando se sustituyen las variables. Explica cuantificadores universales y existenciales, y cómo simbolizar proposiciones con ellos. También cubre negación de cuantificadores y proposiciones con dos cuantificadores.
Este documento trata sobre los valores de verdad y los conectores lógicos en la lógica proposicional. Explica que una proposición puede ser verdadera o falsa, y que las proposiciones compuestas evalúan todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples que las componen. Luego define los principales conectores lógicos como la conjunción, disyunción, implicación, negación y bicondicional, y muestra sus tablas de verdad. Finalmente, explica conceptos como tautolog
El documento resume los conceptos fundamentales de las funciones y relaciones matemáticas. Explica qué son las relaciones de equivalencia, inversas y funcionales, y cómo se pueden representar funciones de manera verbal, algebraica, gráfica y algorítmica. También define los conceptos clave de dominio, codominio e imagen de una función.
Este documento presenta conceptos matemáticos fundamentales como números reales, la recta numérica, valor absoluto, ecuaciones e inecuaciones, exponentes, radicales y propiedades. Explica los números reales como la unión de números racionales e irracionales. Describe la recta numérica y cómo se representan números positivos y negativos. Define el valor absoluto y cómo se relaciona con magnitud y distancia. Luego, cubre ecuaciones, inecuaciones, y cómo resolverlas. Finalmente, explica exponentes, radicales, y sus prop
Este documento presenta conceptos básicos de lógica matemática como proposiciones, operadores lógicos, tablas de verdad, tautologías, contradicciones y equivalencias. También introduce notación booleana y leyes básicas de la lógica como doble negación, conmutatividad, asociatividad y distribución. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar el uso de tablas de verdad y la evaluación de expresiones lógicas.
Este documento define conceptos básicos de las relaciones lógicas y los enunciados formales. Explica que una función lógica es una expresión que relaciona elementos de dos conjuntos y puede ser verdadera o falsa. Un enunciado formal es una expresión con variables que puede ser verdadera o falsa. Una relación consiste en dos conjuntos y un enunciado formal que conecta elementos de los conjuntos. El conjunto solución de una relación incluye pares ordenados que hacen verdadero el enunciado. El documento también define relaciones
La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos son los elementos comunes a A y B. La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A o de B. La diferencia de A menos B es otro conjunto A \ B cuyos elementos son todos aquellos elementos de A que no lo sean de B.
1) La lógica de primer orden estudia la inferencia en lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo. 2) En los cálculos de predicados se tienen elementos más simples para formar expresiones atómicas que en proposiciones simples. 3) La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir prácticamente todas las matemáticas.
Este documento presenta información sobre lógica matemática y demostraciones matemáticas. Explica que la lógica se aplica en matemáticas, filosofía y otras áreas, y que las tablas de verdad son herramientas útiles para determinar la validez de razonamientos. También define conceptos como tautologías, contradicciones y demostraciones matemáticas, describiendo que estas últimas usan pasos lógicos para establecer la veracidad de una conclusión. El objetivo es enseñar a
Este documento describe conceptos básicos sobre conjuntos ordenados, incluyendo: (1) las propiedades de relaciones de orden como reflexividad y transitividad; (2) elementos distinguidos como máximos y mínimos; y (3) isomorfismos entre conjuntos ordenados definidos como funciones biyectivas que preservan el orden.
El cálculo de predicados es una extensión del cálculo proposicional que formaliza inferencias basadas en la estructura interna de proposiciones. Un concepto fundamental son los predicados de una o más variables objetos. El cálculo de predicados es no-contradictorio y completo. Las funciones proposicionales son afirmaciones con variables proposicionales que pueden asumir valores de verdad. Los cuantificadores universal y existencial indican si una propiedad se cumple para todos o algunos elementos de un conjunto.
Este documento explica las operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Define cada operación y proporciona ejemplos numéricos para ilustrarlas. Explica cómo se representan los conjuntos y las operaciones en diagramas de Venn.
Este documento proporciona una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y proporciona ejemplos de cómo definir conjuntos explícita e implícitamente. También explica las relaciones entre conjuntos como la pertenencia, la igualdad, la inclusión y el diagrama de Venn. Además, describe operaciones básicas con conjuntos como la unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.
Este documento define y explica conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Introduce los conjuntos de números naturales, enteros, racionales, reales y complejos, y explica cómo se representan y notan los conjuntos. También define subconjuntos, conjuntos vacíos, igualdad de conjuntos, comparabilidad y operaciones básicas como unión e intersección.
Este documento presenta conceptos básicos de estadística como frecuencia absoluta, frecuencia relativa, tablas de frecuencias y diagramas circulares. Explica que la frecuencia absoluta es el número de veces que se repite un dato y la frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. También define combinaciones como arreglos donde el orden no es importante y permutaciones como combinaciones ordenadas. Presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
El documento repite el nombre e información profesional de "Ing. Hernan Carrill, Docente de Cálculo" en múltiples páginas y proporciona instrucciones sobre el uso de diagramas de Venn.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Introduce conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. También define conjuntos numéricos y especiales como el conjunto vacío y conjunto potencia. Finalmente, presenta algunos problemas para practicar conceptos como expresar conjuntos por comprensión y calcular cardinalidad y operaciones entre conjuntos.
Este documento presenta 20 preguntas sobre conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Las preguntas cubren temas como la definición de conjunto, operaciones entre conjuntos como unión e intersección, diagramas de Venn y expresión de conjuntos por extensión y comprensión. El objetivo es evaluar la comprensión del estudiante sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos.
Este documento presenta las operaciones básicas con conjuntos: intersección, unión, diferencia y diferencia simétrica. Explica cada operación con definiciones, gráficas y ejemplos numéricos. Luego, proporciona ejercicios para practicar cada operación con diferentes conjuntos de números u objetos.
Este documento contiene la evaluación de un estudiante de primer grado en diferentes asignaturas como español, matemáticas, exploración de la naturaleza y sociedad y formación cívica. Incluye preguntas y ejercicios sobre estas materias con el fin de evaluar el progreso del estudiante.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjuntos, subconjuntos, uniones, intersecciones y operaciones complementarias. También presenta teoremas clave sobre propiedades de conjuntos y cómo representar conjuntos de validez de funciones proposicionales usando operaciones de conjuntos.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjuntos, subconjuntos, uniones, intersecciones y operaciones complementarias. También presenta teoremas clave sobre propiedades de conjuntos y cómo representar conjuntos de validez de funciones proposicionales usando operaciones de conjuntos.
Este documento introduce conceptos básicos sobre conjuntos y números reales. Explica que un conjunto es una colección de objetos con al menos una característica en común, y define operaciones como la unión, intersección y diferencia entre conjuntos. También describe la correspondencia entre números reales y puntos en una recta numérica, e introduce los números irracionales como aquellos puntos cuya coordenada no puede ser expresada como un número racional.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, elementos, subconjuntos, conjunto potencia, igualdad de conjuntos, unión de conjuntos, diferencia y complemento, leyes de De Morgan, álgebra de conjuntos, producto cartesiano, operaciones generalizadas sobre familias de conjuntos, partición y cardinalidad.
Este documento describe diferentes técnicas de conteo y probabilidad. Explica métodos para determinar el número de resultados posibles de un experimento sin tener que enumerarlos directamente, como el análisis combinatorio. También describe las tablas de verdad para diferentes conectivos lógicos como la negación, disyunción, conjunción e implicación. Finalmente, define conceptos de probabilidad como experimento, espacio muestral, eventos simples y compuestos, y métodos para calcular probabilidades como la regla de adición y multiplicación.
Este documento describe diferentes técnicas de conteo y probabilidad. Explica métodos para determinar el número de resultados posibles de un experimento sin tener que enumerarlos directamente, como el análisis combinatorio. También describe las tablas de verdad para diferentes conectivos lógicos como la negación, disyunción, conjunción e implicación. Finalmente, define conceptos de probabilidad como experimento, espacio muestral, eventos simples y compuestos, y métodos para calcular probabilidades como la regla de adición y multiplicación.
El documento explica los conceptos de condición necesaria, condición suficiente y condición necesaria y suficiente en lógica proposicional. Una proposición q es una condición necesaria para p si q debe ser verdadera para que p sea verdadera. Una proposición p es una condición suficiente para q si p siendo verdadera implica que q también es verdadera. Una proposición p es una condición necesaria y suficiente para q si p y q son verdaderas o falsas juntas.
1) El documento habla sobre lógica matemática y teoría de conjuntos, definiendo conceptos como conjunto, elemento, universo, pertenencia, descripción de conjuntos, proposiciones, conectivos lógicos y operaciones entre conjuntos. 2) Explica las tablas de verdad como una técnica para determinar el valor de verdad de una proposición a partir de los valores de sus componentes. 3) Presenta definiciones clave como subconjunto, cardinalidad, conjuntos finitos e infinitos que son fundamentales en teoría de conjuntos.
El documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de conjuntos, incluidas las definiciones de conjunto, subconjunto, conjunto universal, determinación de conjuntos, conjunto de potencia, igualdad de conjuntos, unión e intersección de conjuntos, diferencia y complemento, álgebra de conjuntos, producto cartesiano, operaciones generalizadas, partición y cardinalidad.
Este documento resume conceptos clave de la teoría de conjuntos, incluyendo:
1) Un conjunto es cualquier colección de objetos llamados elementos.
2) Un subconjunto contiene todos los elementos de otro conjunto más grande.
3) Las operaciones básicas con conjuntos incluyen la unión, intersección, diferencia y complemento.
4) El álgebra de conjuntos define reglas para manipular operaciones entre conjuntos.
Conjuntos Unidad III Estructuras Discretas IYormanP
Este documento describe los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo: (1) La definición de un conjunto y cómo se representan sus elementos; (2) Las propiedades de los conjuntos como subconjuntos, conjuntos universales y conjuntos vacíos; y (3) Operaciones básicas con conjuntos como la unión e intersección.
Este documento resume conceptos clave de la teoría de conjuntos, incluyendo:
1) Un conjunto es cualquier colección de objetos llamados elementos.
2) Un subconjunto contiene todos los elementos de otro conjunto mayor.
3) Las operaciones básicas con conjuntos incluyen la unión, intersección, diferencia y complemento.
4) El producto cartesiano y las particiones son formas de relacionar varios conjuntos.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de conjuntos, incluyendo el concepto de conjunto, conjunto vacío, igualdad de conjuntos, subconjuntos, superconjuntos, cardinalidad, y operaciones entre conjuntos como unión e intersección. Explica estos conceptos a través de definiciones, ejemplos y diagramas de Venn.
Teoria de conjuntos y Algebra Booleanabrigith piña
George Cantor creó la teoría de conjuntos a mediados del siglo XIX. Posteriormente, Bertrand Russell demostró que la teoría de Cantor era inconsistente. Más adelante, Zermelo y otros sentaron las bases para la teoría axiomática moderna de conjuntos.
Este documento resume conceptos básicos sobre números reales y operaciones con conjuntos. Explica la definición de conjunto, operaciones como unión, intersección, diferencia y complemento. Luego introduce los números reales, desigualdades y el valor absoluto. Finalmente, cubre desigualdades con valor absoluto y operaciones generalizadas con conjuntos.
El documento describe los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo:
1) Los elementos de un conjunto se denominan miembros o elementos.
2) Se utilizan símbolos como ∈ para indicar pertenencia y ∉ para indicar no pertenencia a un conjunto.
3) Los conjuntos se pueden definir enumerando sus elementos entre llaves.
Este documento define conceptos matemáticos como conjuntos, operaciones entre conjuntos (unión, intersección, complemento), números reales, desigualdades y valor absoluto. Explica que un conjunto está formado por elementos con características comunes y que la unión de conjuntos incluye todos los elementos de cada conjunto, la intersección solo los elementos comunes, y el complemento los elementos que no pertenecen. También define números reales, desigualdades, y cómo resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto considerando valores positivos y negativos.
trashed-1692833915-Unidad 1-Lógica Proposicional y Teoría intuitiva de Conjun...RODRIGOACUA55
Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional y teoría intuitiva de conjuntos. Introduce las nociones de proposición, conectivos lógicos, tablas de verdad y cuantificadores. Explica las operaciones lógicas de negación, conjunción, disyunción e implicación. También define conceptos de conjuntos como subconjuntos, igualdad e intersección.
Este documento describe conceptos básicos de conjuntos y relaciones entre conjuntos. Define conjuntos, subconjuntos, conjuntos vacíos, conjuntos potencia, igualdad de conjuntos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y leyes como las de De Morgan. También cubre cardinalidad de conjuntos finitos y teoremas relacionados.
Un par ordenado consiste en dos números escritos entre paréntesis donde el primer número representa el eje x y el segundo el eje y en un plano cartesiano. Un par ordenado (a, b) es igual a otro par ordenado (c, d) si y solo si a es igual a c y b es igual a d, garantizando que el orden de los números sea el mismo. Los pares ordenados se usan comúnmente para representar puntos en un plano cartesiano y son fundamentales en conceptos matemáticos como funciones, relaciones binarias y el producto cartesiano de
Este documento describe los diferentes niveles estructurales de las proteínas, incluyendo la estructura primaria, secundaria, terciaria y cuaternaria. También explica los tipos de estructura secundaria como hélice alfa y conformación beta, y cómo se forman las estructuras proteicas globulares y fibrosas. Además, clasifica las proteínas según su función biológica, como enzimas, proteínas de transporte, contráctiles, estructurales y reguladoras.
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las transacciones con bancos rusos clave y la prohibición de la venta de aviones y equipos a Rusia. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Este documento trata sobre el tratamiento de latinismos y locuciones latinas en la ortografía española. Explica que según la nueva ortografía de 2010, los latinismos completamente adaptados al español se escribirán sin resalte y siguiendo las reglas de acentuación españolas, mientras que los no adaptados se escribirán en cursiva. También establece que las locuciones latinas deben escribirse siempre en cursiva y sin tildes, aunque sean de uso común, para indicar su origen forá
El documento habla sobre la importancia de la privacidad y la seguridad en línea en la era digital. Explica que los usuarios deben tomar medidas para proteger su información personal en Internet, como usar contraseñas seguras y software antivirus actualizado. También enfatiza que las empresas deben implementar políticas claras sobre cómo protegen los datos de los clientes y ser transparentes en el uso y almacenamiento de información personal.
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La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
Triduo Eudista: Jesucristo, Sumo y Eterno Sacerdote; El Corazón de Jesús y el...
Teoría elemental de conjuntos
1. Teoría elemental de conjuntos
Lógica proposicional
Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de
verdad (1) o falsedad (0).
Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es
verdadera cuando p es falsa
y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".
A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar
diversas operaciones lógicas para construir
nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad
en función de los valores de
las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de
verdad de dichas operaciones.
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:
p p'
1 0
0 1
A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos
proposiciones p,q y sus tablas de verdad:
Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son
verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.
Se escribe p q, y se lee "p y q".
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
2. Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las
dos p o q es verdadera,
y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "p o q".
p q p q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y
sólo una de las dos p o q es verdadera,
y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p o q pero
no ambas". Se usa muy poco.
p q p q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando
la condición suficiente p es verdadera y la
condición necesaria q es falsa. Se escribe p q, y se lee "si p
entonces q".
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el
mismo valor de verdad,
3. y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "si y sólo si p
entonces q".
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es
siempre 1 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'.
Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es
siempre 0 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'.
Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de
verdad; suelen estar relacionadas con
incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa".
Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en
función de las proposiciones elementales
que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p q es una
tautología. Por ejemplo, las proposiciones
p q
y
q' p'
son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los
razonamientos por reducción al absurdo.
Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la
teoría de conjuntos.
4. Números naturales : principio de inducción
Admitivos como intuitivo el concepto de número natural; así, podemos enumerar
los números naturales en orden creciente:
N = { 1,2,3,4,5, ... }
Cuando se quiere demostrar que una proposición relativa a números naturales es
cierta, se necesita el Principio de Inducción:
"Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es
cierta; supongamos que
m S
y que
n S n+1 S
Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }"
(es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir de m;
normalmente se usa con m = 1).
Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposición es cierta para n+1, es
necesario usar que la proposición
se verifica para todo k < n+1; en ese caso se utiliza el Principio de Inducción
completa:
"Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es
cierta; supongamos que
m S
y que
m,m+1, ... ,n S n+1 S
Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }"
5. Ejercicio: pruébese por inducción la fórmula del binomio de Newton
(Indicación: utilícense las propiedades de los números combinatorios).
Teoría de Conjuntos
NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre
si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.
Ejemplos de conjuntos:
o : el conjunto vacío, que carece de elementos.
o N: el conjunto de los números naturales.
o Z: el conjunto de los números enteros.
o Q : el conjunto de los números racionales.
o R: el conjunto de los números reales.
o C: el conjunto de los números complejos.
Se puede definir un conjunto:
o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por
6. extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
o A := {1,2,3, ... ,n}
o B := {p Z | p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es
una parte de B),
y se denota A B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir,
a A a B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A B y
B A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad
característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que A y A A;
B A es un subconjunto propio de A si A y B A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A,
y se denota (A).
Entonces, la relación B A es equivalente a decir B (A). Ejemplos:
Si A = {a,b} entonces (A) = { ,{a},{b},A}.
Si a A entonces {a} (A).
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de
uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A B := {a A |
a B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A B :=
(A B) A
7. Si A (U), a la diferencia U A se le llama complementario de A respecto de
U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
o ' = U .
o U ' = .
o (A')' = A .
o A B B' A' .
o Si A = { x U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x U |
p(x) es una proposición falsa}.
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son
elementos de A o de B,
es decir: A B := { x | x A x B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que
son elementos de A y de B,
es decir: A B := {x | x A x B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que
A B = A B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las
siguientes propiedades :
PROPIEDADES UNION INTERSECCION
1.- Idempotencia A A = A A A = A
2.- Conmutativa A B = B A A B = B A
3.- Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C
4.- Absorción A ( A B ) = A A ( A B ) = A
5.- Distributiva A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
6.- Complementariedad A A' = U A A' =
Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección
tenga una estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
8. o A = A , A = ( elemento nulo ).
o A U = U , A U = A ( elemento universal ).
o ( A B )' = A' B' , ( A B )' = A' B' ( leyes de Morgan ).
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el
conjunto de pares ordenados:
A B := { (a,b) : a A b B}
Dos pares (a,b) y (c,d) de A B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados
cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica
A B = C D ( A = C B = D )
Se llama grafo relativo a A B a todo subconjunto G A B.
Dado un grafo G relativo a A B, se llama proyección de G sobre A al conjunto
ProyAG := { a A : (a,b) G, b B}
Análogamente se define la proyección ProyBG de G sobre B.
Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos.
Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se tiene un conjunto Ai ,
entonces se define el conjunto { Ai : i I }
y se denomina familia de conjuntos indicada por I. También se suele denotar por {
Ai } i I .
De forma análoga se define una familia de elementos ( ai ) i I .
Dada una familia de conjuntos { Ai } i I se definen:
o i I Ai := { a : a Ai , i I }
o i I Ai := { a : a Ai , i I }
o i I Ai := { (ai) : ai Ai , i I }
9. Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo válidas para familias de
conjuntos, y en particular las leyes de Morgan :
( i I Ai )' = i I A'i , (i I Ai )' = i I A'i
DIAGRAMAS DE VENN
Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con
una línea que encierra a sus elementos.
Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el
fin de obtener una idea más intuitiva.
A B
A B
A B
10. A B
A B
RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA
PROPOSICIONAL
Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica
Proposicional.
Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y
por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características
(es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto);
entonces se tiene la siguiente correspondencia:
conjuntos A B A = B A B A B A' A B A B
proposiciones a b a b a b a b a' a b' a b
Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto
universal con una tautología.
Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden
reescribir en términos de lógica
proposicional y viceversa; a modo de ejemplo:
11. A ( A B ) = A a ( b c ) a
A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) a ( b c ) ( a b ) ( a c )
( A B )' = A' B' ( a b )' a' b'
PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Los símbolos (cuantificador universal) y (cuantificador existencial) se utilizan en
Matemáticas para
enunciar proposiciones logicas relativas a objetos matemáticos.
Sea A un conjunto y p(x) una proposición o propiedad que hace referencia a un
elemento x.
(1) Cuantificador universal : La expresión
x A p(x)
se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la proposición
{ x A : p(x) } = A
(2) Cuantificador existencial : La expresión
x A | p(x)
se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la proposición
{ x A : p(x) }
La negación de cualquiera de las dos proposiciones anteriores se realiza negando la
proposición p(x)
y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa.
Así, la negación de la proposición " x A p(x)" es " x A | p(x)' ", mientras
que
la negación de " x A | p(x)" es " x A p(x)' "
Conjuntos finitos : Combinatoria
12. La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se dedica al estudio de los
conjuntos finitos.
Puesto que la propiedad principal de estos conjuntos es que se puede representar su
número de elementos
mediante un número natural (llamado cardinal de dicho conjunto), la tarea básica de
la Combinatoria es
precisamente el cálculo del cardinal de dichos conjuntos.
Para dicho cálculo se necesita definir los llamados números combinatorios:
(1) Números factoriales: se define n! mediante la ley de recurrencia
n! = n · (n-1)!
y la condición inicial 0! := 1. De forma iterativa, se tiene
n! = n · (n-1) · (n-2) · ... · 3 · 2 · 1
n! es el número de permutaciones de n elementos, es decir, es el número total de
formas de ordenar n elementos
de todas las formas distintas posibles.
(2) Coeficientes binomiales: se definen por la fórmula
El número "n sobre k" es el número de combinaciones de n elementos tomados
de k en k, es decir,
el número de subconjuntos distintos de k elementos que tiene un conjunto con n
elementos.
Los coeficientes binomiales tienen dos propiedades básicas:
(a)
13. (b)
Como aplicación de los números combinatorios y del Binomio de Newton,
podemos contar el número total de
subconjuntos que tiene un conjunto A con n elementos, es decir, el cardinal de
partes de A; para ello, notemos
que el número de tales subconjuntos se obtiene sumando el número de
subconjuntos de 0 elementos más los de
1 elemento, más los de 2 elementos, y así hasta los de n elementos, es decir:
Pero esta cantidad corresponde a desarrollar mediante el binomio de Newton la
expresión
(1+1)n = 2n
Así pues se obtiene que # (A) = 2n si # A = n.
( UFRN ) Se A, B e C são conjuntos tais que
, então, é igual a:
(A) 40
(B) 50
(C) 60
(D) 70
(E) 80
A simbologia n(A) = 10 nos diz que o conjunto "A" possui 10 elementos.
14. Este exercício fica barbadinha quando fazemos os diagramas Venn-Euler de tais conjuntos. Como
temos três conjuntos, e existe a intersecção entre eles, o desenho que iremos trabalhar será o
seguinte:
Vamos ver a primeira informação do exercício, . O conjunto "A" já sabemos
qual é, agora, o conjunto , como seria?
Portanto, ao subtrairmos de dentro do conjunto "A" todo este verde que está acima, teremos o
seguinte conjunto:
Como diz a informação, , neste espaço rosa, temos 15 elementos.
A segunda informação:
15. A terceira informação:
Até o momento, temos a seguinte configuração:
Note que a soma destes elementos é 15 + 20 + 35 = 70.
A quarta informação:
16. Esta informação nos diz que a soma de TODOS elementos presentes no desenho vale 120.
Como na informação anterior, tínhamos 70 elementos presentes nas "bordas" do diagrama, e no
total temos 120 elementos, concluímos que o centro deste diagrama, terá 50 elementos.
O que o exercício pede é , que é justamente a união das três
intersecções:
17. Productos notables
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación.También sabemos que los valores que se multiplican se
llamanfactores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente yque es preciso
saberfactorizarlas a simple vista;es decir,sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muyutilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de
factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2
+ 2ab + b2
= (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad,más el doble de la primera cantidad
multiplicada por la segunda,más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces,para entender de lo que hablamos,cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab +
b2 debemos identificarla de inmediato ysaber que podemos factorizarla como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2
– 2ab + b2
= (a – b)2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad,menos el doble de la primera
cantidad multiplicada por la segunda,más el cuadrado de la segunda cantidad.
18. Demostración:
Entonces,para entender de lo que hablamos,cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2
– 2ab +
b2
debemos identificarla de inmediato ysaber que podemos factorizarla como (a – b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2
– b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad,menos el cuadrado de
la segunda
Demostración:
Entonces,para entender de lo que hablamos,cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a –
b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2
– b2
Otros casos de productos notable (o especiales):
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2
+ (a + b)x + ab = (x + a) (x +
b)
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2
+ 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
19. ¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
Así, tenemos:
x2
+ 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces,para entender de lo que hablamos,cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2
+ (a + b)x +
ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2
+ (a – b)x – ab = (x + a) (x –
b)
Demostración:
Entonces,para entender de lo que hablamos,cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2
+ (a – b)x –
ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2
– (a + b)x + ab = (x – a) (x –
b)
Demostración:
Entonces,para entender de lo que hablamos,cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2
– (a + b)x +
ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
mnx2
+ ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx
+ b)
20. En este caso,vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).
Demostración:
Entonces,para entender de lo que hablamos,cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx2
+ ab + (mb +
na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).
Cubo de una suma
a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
= (a + b)3
Entonces,para entender de lo que hablamos,cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3
+ 3a2
b + 3ab2
+
b3
debemos identificarla de inmediato ysaber que podemos factorizarla como (a + b)3
.
Cubo de una diferencia
a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
= (a – b)3
Entonces,para entender de lo que hablamos,cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3
– 3a2
b + 3ab2
–
b3
debemos identificarla de inmediato ysaber que podemos factorizarla como (a – b)3
.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo
representa:
Producto notable Expresión algebraica Nombre
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Binomio al cuadrado
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Binomio al cubo
a2 b2 = (a + b) (a b) Diferencia de cuadrados
a3
b3
= (a b) (a2
+ b2
+ ab) Diferencia de cubos
a3
+ b3
= (a + b) (a2
+ b2
ab) Suma de cubos
a4
b4
= (a + b) (a b) (a2
+ b2
) Diferencia cuarta
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado