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1. El Proceso de
Generalizar en la
Escuela
El álgebra temprana en
la educación preescolar
y básica primaria
(PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS
ALGEBRAICOS)
Tutora CRISTINA DEL ROSARIO PULIDO CASTRO
IE SAN ISIDRO 1
GUAVIARE
2. Objetivo general
Aportar a docentes referentes
conceptuales y didácticos para el
diseño de actividades de aprendizaje
que favorezcan el desarrollo del
pensamiento algebraico, la
apropiación del lenguaje de las
matemáticas y la construcción de
conjeturas, a partir del proceso de
generalización, proporcionando
herramientas para comprender y
reflexionar sobre lo que significa el
algebra escolar en primaria y algunos
aportes para el trabajo en el aula.
3. Objetivos específicos
• Valorar el proceso de generalización de patrones como
una oportunidad para el desarrollo de los procesos de
razonamiento y comunicación.
• Construir elementos teórico-prácticos que le permitan
al docente hacer propuestas o adaptación de tareas
que contribuyan a la enseñanza del álgebra en la
educación básica primaria, alrededor del proceso de
generalización.
• Reconocer las posibilidades de trabajo con los
estudiantes sugeridos en los textos PREST asociados
a la generalización de patrones.
• Reflexionar sobre los retos que impone la enseñanza y
el aprendizaje del álgebra en el contexto actual, a la luz
de la política educativa y resultados de investigación.
• Reconocer las implicaciones y potencialidades de la
enseñanza y aprendizaje del álgebra en primaria para
el desarrollo del pensamiento matemático, con mayor
relevancia en los sistemas algebraicos y analíticos.
• Valorar la pertinencia y viabilidad de incluir el álgebra
en primaria en el plan de área de los establecimientos
educativos acompañados.
4. EXPLORACIÓN
Actividad práctica de generalización
Reconocimiento de ideas previas y
relación con el nuevo aprendizaje
ESTRUCTURACIÓN
Conceptualización sobre el
proceso de generalización como
ruta para el Desarrollo del
pensamiento variacional.
Algebra en primaria
Hilos conductores para trabajo en
el aula
PRÁCTICA
Actividad de consolidación –
La quinta noche, libro El diablo
de los números.
Análisis de un caso:
Producciones de los estudiantes
TRANSFERENCIA
Planeemos una clase,
incorporar orientaciones
didácticas en ambientes
de aprendizaje
VALORACION Y CIERRE
Cuestionario sobre aspectos
relevantes de la generalización en
la escuela. Reflexión
6. Leonardo y Carolina participan en la rifa
de boletas para ingresar a las funciones
de un festival de cine. Las boletas están
guardadas en sobres, cada uno de los
cuales contiene el mismo número de
boletas.
Leonardo, quien ya tenía 7 boletas, ganó
1 sobre y Carolina, quien ya tenía 2
boletas, ganó 2 sobres. Si ahora los dos
quedan con el mismo número de boletas
¿cuántas boletas contiene cada sobre?
Tomado de Vergel, R. y Rojas , P. (2018).
7. Algunas soluciones…
Número de
boletas
sobre
Número de boletas
de Leonardo
Número de
boletas de
Carolina
1 8 4
2 9 6
3 10 8
4 11 10
5 12 12
6 13 14
=
=
=
Ensayo y error
Icónica. Aislando un sobre
Leonardo:
Carolina:
Leonardo: Carolina:
8. Estructuración
El pensamiento variacional, como su nombre lo indica, pone su acento en el estudio sistemático de la noción
de variación y cambio en diferentes contextos: en las ciencias naturales y experimentales, en la vida cotidiana
y en las matemáticas mismas. (MEN, 1998, p. 64)
9. ¿Qué entiende por algebra?
El álgebra se centra en las relaciones
entre cantidades –incluyendo las
funciones-, las formas de representación
matemáticas y el análisis del cambio.
Las relaciones funcionales pueden
expresarse usando la notación
simbólica, lo que permite expresar
sucintamente ideas matemáticas
complejas y analizar el cambio con
eficacia. NCTM 2000 pp. 39.
Desde la perspectiva teórica de Radford
Saber algebraico: Síntesis histórica y
culturalmente codificada de hacer y
reflexionar en términos analíticos sobre
Indeterminación
Denotación
Analiticidad
Los números desconocidos
están involucrados en el
problema dado
Los números indeterminados se
nombran de diversas manera:
gestos, palabras, signos
alfanuméricos o combinación de
estos.
Las cantidades indeterminadas se
tratan si fueran conocidos y se
opera deductivamente.
características del pensamiento algebraico según
Radford (2021):
10. No es…
Es…
Generalizar: acción de abstraer de lo que es común y esencial a muchas cosas,
para formar un concepto general que las comprende todas.
Inducir
Observar Identificar
Descomponer
Hacer analogías
Abstraer
Simbolizar
11. Fases del Proceso de Generalización
1 3
2 4
PERCIBIR-VER
•Dibuje la figura que sigue.
•¿Cómo cambia una figura
respecto a la anterior?
•Cuente de distinta manera.
•¿Cuánto(s) … se necesita(n)
para formar la figura 42?
•Describa cómo cambia una figura
respecto a la que sigue.
•¿Qué observa?
•¿Por qué se da lo que observa?
•¿Qué se mantiene (¿qué es
igual?)?
EXPRESAR -
DECIR
REGISTRAR -
ESCRIBIR
• Escriba lo que ve.
• Use distintas representaciones
(verbal, simbólica, gráfica)
• ¿Qué es “este”?
•Comprobar lo hallado.
•¿Son todas las
expresiones equivalentes?
•¿Por qué se cumple lo
que observó?
VERIFICAR
¿Cuántos
bloques tiene
la figura?
Si tuvieran un
cuadrado de 39
cuadrados de lado,
¿cuántos cuadrados
habría en el borde?
Escribir el patrón que se
observa: Representaciones
gráficas (diagramas),
Representaciones verbales
o representaciones
simbólicas.
Buscar argumentos,
explicaciones del
patrón hallado,
establecer relaciones
entre diferentes
expresiones.
12. Secuencias y representaciones:
Conjunto de signos (orales, gestuales, físicos,
comportamentales, gráficos, numéricos, etc.) ordenados
– términos – que se constituyen a partir de una regla de
repetición – patrón –.
5
n 2n + 1
1 3
2 5
3 7
4 9
5 11
Corporales
Manipulativas
Figurativas
Gráfico-
numéricas
Tabulares
Numéricas
Por
recurrencia
El núcleo o unidad de un patrón de repetición es la cadena más
corta de elementos que se repiten (Font y Godino, 2003, p.817)
En un patrón por recurrencia el núcleo cambia según una
regularidad en los términos de la secuencia
Representaciones
Enactivas
3
1
Representaciones
simbólicas
Representaciones
icónicas
14. Generalización y Referentes de Calidad
“Otra herramienta necesaria para iniciar el
estudio de la variación desde la primaria la
constituye el estudio de los patrones. Éstos
incluyen escenarios en la vida práctica como
fotografías y representaciones pictóricas e
icónicas. En las matemáticas los escenarios
geométricos o numéricos también deben ser
utilizados para reconocer y describir
regularidades o patrones presentes en las
transformaciones. Estas exploraciones
permiten, en una primera instancia, hacer
una descripción verbal de la relación que
existe entre las cantidades (el argumento y
el producto terminado que se lee primero)
que intervienen en la transformación. Los
contextos de variación deben incluir
patrones aditivos y multiplicativos.” (Vasco,
s.f., citado en MEN, 1998, p. 73. Subrayado
nuestro)
El desarrollo del pensamiento variacional “se inicia con el estudio de
regularidades y la detección de los criterios que rigen esas regularidades
o las reglas de formación para identificar el patrón que se repite
periódicamente. Las regularidades (entendidas como unidades de
repetición) se encuentran en sucesiones o secuencias que presentan
objetos, sucesos, formas o sonidos, uno detrás de otro en un orden fijado o
de acuerdo a un patrón. De esta manera, la unidad que se repite con
regularidad da lugar a un patrón. Al identificar en qué se parecen y en qué
se diferencian los términos de estas sucesiones o secuencias, se desarrolla
la capacidad para identificar en qué consiste la repetición de mismo
patrón y la capacidad para reproducirlo por medio de un cierto
procedimiento, algoritmo o fórmula.” (MEN, 2006, p. 66. Resaltado
nuestro)
Así, “las actividades de generalización de patrones numéricos, geométricos y de
leyes y reglas de tipo natural o social que rigen los números y las figuras
involucran la visualización, exploración y manipulación de los números y las
figuras en los cuales se basa el proceso de generalización. Esta es una forma muy
apropiada de preparar el aprendizaje significativo y comprensivo de los
sistemas algebraicos y su manejo simbólico mucho antes de llegar al séptimo y
octavo grado. Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcción
de la expresión algebraica a través de la formulación verbal de una regla recursiva
que muestre cómo construir los términos siguientes a partir de los precedentes y
el hallazgo de un patrón que los guíe más o menos directamente a la expresión
algebraica.” (MEN, 2006, p. 67)
2
15. Estándares de competencias de 3° y 5°
Relaciones
matemáticas
Generalización
Estructura
aritmética
Procesos:
Identificar,
conjeturar,
generalizar,
representar,
justificar y
comunicar y
solucionar
problemas.
El trabajo con el algebra
temprana en el aula
16. Implicaciones del generalización en el aula
Utilizar diferentes recursos y
representaciones, aceptar diversas
formas de escritura, validar
diferentes argumentos.
Aprovechar las situaciones para
desarrollar otros saberes que quiere
que aprendan sus estudiantes:
sistemas numéricos y geométricos.
Reconocer niveles de avance en
cada etapa del proceso, en el
razonamiento y la comunicación.
Trabajar despacio, preparar
preguntas para avanzar, permitir el
diálogo y las conjeturas propias.
Pericia
Gestión
de aula
Evaluación
Flexibilidad
1.Individual
Conteo -preguntas
4. Individual
Plenaria: escritura
de formulas o métodos,
planteamientos de
preguntas
3. Plenaria:
Presentación
discusión, análisis de
los métodos
2. Grupos:
confronta
soluciones
20. Como su profesor(a),
¿cómo respondería a estos
estudiantes?, ¿cómo los
orientaría para continuar
su proceso?
¿Qué piensan de las respuestas de los estudiantes?
1. Tomen al menos dos estudiantes y analicen sus
producciones, cómo razonan sobre la situación y
cómo comunican sus ideas, considerando:
Los conceptos u objetos matemáticos que
relacionan,
Las representaciones que privilegian (enactivas,
icónicas o simbólicas),
Las estrategias que utilizan en relación con las fases
del proceso de generalizar que se pueden reconocer
(ver Anexo 5),
El lenguaje matemático que manejan para expresar
sus ideas, y
Los argumentos que exponen.
2. Como su profesor(a), ¿cómo respondería a estos
estudiantes?, ¿cómo los orientaría para continuar su
proceso?
26. a.¿Qué tipo de secuencias se utilizan?,
¿Son apropiadas para el grado?
b.¿Cómo las tareas propuestas en el texto
pueden aportan al proceso de
generalización?, ¿qué actuaciones se
esperan de los estudiantes, según lo que
infiere de estas tareas?
c.¿Cuáles fases de generalización se
promueven en el centro de aprendizaje?
Ejemplifique con las tareas, consignas o
preguntas propuestas en el texto.
d.¿Qué tipo de representaciones se
observa son utilizadas? Ejemplificar.
e.Las tareas propuestas en el texto, ¿Son
una buena elección para introducir el
álgebra en primaria? Explique
Análisis
a.¿Cuál consideran, puede ser el objetivo
de la clase?
b.Qué lugar tendrá el texto en la clase:
¿Será la guía o será un apoyo?
c.¿Qué preguntas o tareas adicionales
propondría para enriquecer lo propuesto
en el texto?
d.¿Qué recomendaciones darían al
docente para aprovechar más las tareas
propuestas en el texto o para favorecer
los aprendizajes de los estudiantes en
relación con el objetivo de la clase?
e.Describa la ruta de trabajo con sus
docentes para el diseño de la clase o
guía de aprendizaje.
Propuesta
27. ¿Qué se lleva de está STS para
promover el desarrollo del
pensamiento variacional en la
educación básica primaria?
