Este documento presenta un cuaderno de estudio para el programa preliminar de ingeniería de la Universidad Técnica Federico Santa María. Incluye 10 secciones que cubren temas matemáticos fundamentales como lógica simbólica, teoría de conjuntos, funciones, geometría analítica, números naturales y reales, trigonometría, números complejos, límites y continuidad. El cuaderno proporciona los conceptos y herramientas matemáticas básicas necesarias para los estudiantes de ingeniería.
Este documento presenta una introducción a Maxima, un programa de cálculo simbólico. Explica brevemente la historia de Maxima y su relación con Macsyma, destacando que Maxima es un sucesor de Macsyma desarrollado originalmente en el MIT. A continuación, describe el objetivo de Maxima de realizar cálculos matemáticos simbólicos y numéricos y manipular expresiones algebraicas y matriciales.
Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Introduce conceptos fundamentales como estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos), espacios vectoriales, aplicaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. Explica propiedades de estas ideas y su relación, con ejemplos. El objetivo es proporcionar una introducción general a los temas básicos del álgebra lineal.
Este manual del usuario describe las características y funcionalidades del programa XLogo. Explica cómo usar la interfaz gráfica, incluyendo el editor de procedimientos y las opciones de menú. También proporciona una lista detallada de las primitivas de XLogo para movimientos, operaciones matemáticas, bucles, y más.
Este documento presenta una introducción al uso del programa de cálculo simbólico Maxima. Explica que Maxima es un sucesor del programa Macsyma desarrollado originalmente en el MIT en los años 1970. Además, proporciona instrucciones básicas sobre la instalación de Maxima en Windows, Mac y Linux, y ofrece una primera sesión de ejemplo para familiarizarse con el programa. El documento también incluye un índice general de los diferentes temas que serán cubiertos.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones del contenido de un libro de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemáticas. El libro cubre temas como números, proporcionalidad e introducción al álgebra. Incluye ejemplos, actividades y un índice general de los contenidos tratados en cada capítulo. Fue escrito por dos estudiantes de la Universidad de Chile como material de apoyo para futuros postulantes a la educación superior.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas básicas. Explica los conjuntos numéricos reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con diferentes tipos de números, y el orden para realizar operaciones cuando hay signos de agrupación.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de álgebra, geometría y trigonometría para cursos preuniversitarios. El documento está dividido en tres capítulos que cubren números reales, exponentes y radicales, ecuaciones, sistemas de ecuaciones, ángulos, triángulos, paralelogramos, volúmenes y funciones trigonométricas. El objetivo es proveer material de apoyo para cursos posteriores en el área de ingeniería.
Este documento presenta una introducción a Scilab. Explica que Scilab es un software de cómputo científico interactivo y programable de código abierto desarrollado por INRIA. Describe algunas de las características y capacidades de Scilab, como el cálculo numérico, vectores, matrices, gráficas, optimización y programación. También incluye ejemplos de uso.
Este documento presenta una introducción a Maxima, un programa de cálculo simbólico. Explica brevemente la historia de Maxima y su relación con Macsyma, destacando que Maxima es un sucesor de Macsyma desarrollado originalmente en el MIT. A continuación, describe el objetivo de Maxima de realizar cálculos matemáticos simbólicos y numéricos y manipular expresiones algebraicas y matriciales.
Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Introduce conceptos fundamentales como estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos), espacios vectoriales, aplicaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. Explica propiedades de estas ideas y su relación, con ejemplos. El objetivo es proporcionar una introducción general a los temas básicos del álgebra lineal.
Este manual del usuario describe las características y funcionalidades del programa XLogo. Explica cómo usar la interfaz gráfica, incluyendo el editor de procedimientos y las opciones de menú. También proporciona una lista detallada de las primitivas de XLogo para movimientos, operaciones matemáticas, bucles, y más.
Este documento presenta una introducción al uso del programa de cálculo simbólico Maxima. Explica que Maxima es un sucesor del programa Macsyma desarrollado originalmente en el MIT en los años 1970. Además, proporciona instrucciones básicas sobre la instalación de Maxima en Windows, Mac y Linux, y ofrece una primera sesión de ejemplo para familiarizarse con el programa. El documento también incluye un índice general de los diferentes temas que serán cubiertos.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones del contenido de un libro de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemáticas. El libro cubre temas como números, proporcionalidad e introducción al álgebra. Incluye ejemplos, actividades y un índice general de los contenidos tratados en cada capítulo. Fue escrito por dos estudiantes de la Universidad de Chile como material de apoyo para futuros postulantes a la educación superior.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas básicas. Explica los conjuntos numéricos reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con diferentes tipos de números, y el orden para realizar operaciones cuando hay signos de agrupación.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de álgebra, geometría y trigonometría para cursos preuniversitarios. El documento está dividido en tres capítulos que cubren números reales, exponentes y radicales, ecuaciones, sistemas de ecuaciones, ángulos, triángulos, paralelogramos, volúmenes y funciones trigonométricas. El objetivo es proveer material de apoyo para cursos posteriores en el área de ingeniería.
Este documento presenta una introducción a Scilab. Explica que Scilab es un software de cómputo científico interactivo y programable de código abierto desarrollado por INRIA. Describe algunas de las características y capacidades de Scilab, como el cálculo numérico, vectores, matrices, gráficas, optimización y programación. También incluye ejemplos de uso.
Este documento presenta una introducción a los materiales cerámicos. Explica conceptos clave como los tipos de enlace químico, estructuras cristalinas comunes, defectos en la red, difusión, fenómenos de superficie y soluciones. El autor describe estos temas fundamentales para comprender las propiedades y aplicaciones de los materiales cerámicos.
Este documento presenta un resumen de un curso de física I. Incluye secciones sobre conceptos fundamentales de la física como magnitudes, vectores, movimiento en una y tres dimensiones, dinámica y trabajo y energía. El documento provee ejemplos y ejercicios para cada tema cubierto.
Este documento describe diferentes métodos de clasificación automática. Introduce conceptos como similitud y disimilitud que son fundamentales para medir cuán parecidos o diferentes son los individuos. Luego describe métodos jerárquicos que buscan particiones anidadas representadas por un árbol y métodos de particionamiento que buscan una sola partición del conjunto de individuos. Finalmente, valida los resultados obtenidos y compara los diferentes métodos.
INDICE DE SEGURIDAD ALIMENTARIA POR MACRONUTRIENTESmilenagost
El Indice de Seguridad Alimentaria por Macronutrientes permite evaluar probabílisticamente la capacidad alimentaria y económica que tienen los países para garantizarle a sus habitantes la seguridad alimentaria.
Este documento presenta un curso de mecánica cuántica impartido por cuatro profesores de la Universidad de Chile. El curso consta de tres secciones principales: 1) una introducción histórica a la mecánica cuántica y sus principios fundamentales, 2) una introducción matemática a conceptos como espacios vectoriales y operadores lineales, y 3) las ecuaciones básicas de la mecánica cuántica como los postulados y las relaciones de incertidumbre.
El documento presenta un manual de usuario para un excitador de radio. Explica que el excitador puede configurarse sin computadora usando interruptores o con una computadora a través de un puerto serial. Detalla los pasos para seleccionar la frecuencia y potencia en ambos modos, así como comandos seriales para controlar el excitador y referencias de diagramas y código fuente.
Este documento presenta apuntes sobre física para las unidades I y II. La unidad I cubre conceptos básicos de vectores como magnitudes escalares y vectoriales, definiciones elementales de vectores, propiedades de vectores, componentes de vectores, vectores unitarios, producto escalar y vectorial. La unidad II trata sobre cinemática y presenta fórmulas para desplazamiento, velocidad, aceleración y rapidez.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de diseño de experimentos. Explica los diseños factoriales 2k, sus ventajas y cómo permiten estudiar el efecto de múltiples factores. Incluye un ejemplo con un diseño factorial 22 para evaluar el efecto del tamaño de broca y la velocidad sobre la vibración producida por un barrenador. Calcula los efectos de cada factor a través de la notación de Yates y determina que el tamaño de broca tiene la mayor influencia sobre la vibración.
Este documento presenta un resumen de los principales conceptos y algoritmos de resolución de problemas e inteligencia artificial. Se introducen temas como la representación del conocimiento, la lógica, la satisfacción de restricciones y diferentes técnicas de búsqueda como la búsqueda no informada, heurística y local. El documento proporciona una visión general de estas técnicas y su aplicación en la resolución de problemas.
Este documento presenta un índice general de un libro de matemáticas para la Prueba de Selección Universitaria. El índice incluye cinco secciones principales sobre números, proporcionalidad, álgebra, desarrollo algebraico y ecuaciones algebraicas. Cada sección contiene subtemas como conjuntos numéricos, porcentajes, expresiones algebraicas, factorización y sistemas de ecuaciones. El objetivo del libro es preparar a los estudiantes para la prueba de ingreso a la universidad con contenidos básicos de mate
Este documento presenta notas de clase para el curso de Control Automático 2. Incluye una introducción al curso con objetivos, bibliografía y calendario. Luego describe diferentes representaciones matemáticas de sistemas de control, incluyendo lineales, discretos y no lineales. Finalmente, presenta herramientas de álgebra lineal útiles para el análisis de sistemas, como vectores, matrices, autovalores y formas canónicas. El documento provee una guía detallada para el estudio de los conceptos teóricos del curso
Cuaderno de ejercicios de cálculo diferencialOmar Guzman
La relación dada define una función cuyo gráfica es una semicircunferencia en el cuadrante superior derecho del plano cartesiano. La función toma valores reales para valores de la variable independiente x en el intervalo [0,2] y cumple que y sea mayor o igual que 0 y menor o igual que 2.
Este documento describe los criterios para clasificar secciones de acero según su comportamiento frente a tensiones normales. Existen cuatro clases que van de más plástico a más esbelto, dependiendo de su sensibilidad al pandeo local. También presenta un algoritmo para asignar una clase a una sección a partir de un modelo de fibras, considerando factores como la esbeltez y relación de tensiones de sus componentes.
Este documento presenta el libro "Cálculo diferencial e integral I. Problemas resueltos" que contiene la solución detallada de los ejercicios presentados en el libro de teoría "Cálculo diferencial e integral I". El libro fue diseñado para estudiantes de ingeniería y presenta los ejercicios resueltos de una manera accesible y didáctica para reforzar los conceptos matemáticos aprendidos.
Este documento presenta una metodología propia llamada HEFESTO para la construcción de un data warehouse. La metodología propone conceptos clave como dimensiones, jerarquías, granularidad y tablas de hechos para el diseño del esquema del data warehouse. El documento también incluye una licencia que permite copiar y modificar el contenido siempre que se mantenga el nombre de la metodología y el estilo del logotipo.
Este documento presenta un índice general de apuntes de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemática (PSU) para el año 2009. El índice incluye secciones sobre números, proporcionalidad y una introducción al álgebra, con subtemas como conjuntos numéricos, operaciones con números reales, razones, proporciones y porcentajes. El documento fue editado por dos estudiantes de la Universidad de Chile para ayudar a otros estudiantes a prepararse para la PSU de Matemática de ese año.
Este documento presenta una introducción a Scilab. Explica que Scilab es un software de cómputo científico interactivo y programable de código abierto desarrollado por INRIA. Describe algunas de las características y capacidades de Scilab, así como cómo obtenerlo e instalarlo. También menciona un libro de referencia sobre Scilab y proporciona instrucciones básicas para su uso.
Este documento es un manual introductorio sobre matemáticas básicas que incluye temas como conjuntos numéricos, ecuaciones de primer y segundo grado, polinomios, funciones trigonométricas y resolución de triángulos rectángulos. El manual presenta definiciones, propiedades y ejercicios para cada tema, con el objetivo de reforzar los conocimientos matemáticos básicos de los estudiantes de nuevo ingreso a la universidad.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas básicas. Explica los conjuntos numéricos reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con diferentes tipos de números, y el orden para realizar operaciones cuando hay signos de agrupación.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones sobre fibras ópticas:
El documento provee información sobre la historia, teoría y propiedades de las fibras ópticas. Explica los primeros experimentos con guiado de luz, los tipos de fibras, la atenuación y dispersión de la señal, y los modos de propagación en fibras de perfil de índice escalonado. Finalmente, detalla experimentos para medir parámetros geométricos y transmitir datos bidireccionalmente usando Ethernet sobre fibra.
Este documento presenta el índice general de un texto de enseñanza para el curso prefacultativo de pensamiento lógico matemático de la Facultad de Ciencias Sociales de la Universidad Mayor de San Andrés. El texto abarca temas como sistemas numéricos, exponentes, operaciones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones lineales, y reglas de contar. El objetivo es preparar a los estudiantes para afrontar las asignaturas propias de la carrera de Ciencias Sociales desde una
Este documento provee una introducción a las álgebras de Lie. Explica conceptos clave como objetos, morfismos, grupos y álgebras de Lie. También cubre temas como álgebras nilpotentes, resolubles y semisimples. Finalmente, introduce la teoría de representaciones de álgebras de Lie y cubre aspectos como derivaciones, reducibilidad de representaciones y álgebras envolventes.
Este documento presenta una introducción a los materiales cerámicos. Explica conceptos clave como los tipos de enlace químico, estructuras cristalinas comunes, defectos en la red, difusión, fenómenos de superficie y soluciones. El autor describe estos temas fundamentales para comprender las propiedades y aplicaciones de los materiales cerámicos.
Este documento presenta un resumen de un curso de física I. Incluye secciones sobre conceptos fundamentales de la física como magnitudes, vectores, movimiento en una y tres dimensiones, dinámica y trabajo y energía. El documento provee ejemplos y ejercicios para cada tema cubierto.
Este documento describe diferentes métodos de clasificación automática. Introduce conceptos como similitud y disimilitud que son fundamentales para medir cuán parecidos o diferentes son los individuos. Luego describe métodos jerárquicos que buscan particiones anidadas representadas por un árbol y métodos de particionamiento que buscan una sola partición del conjunto de individuos. Finalmente, valida los resultados obtenidos y compara los diferentes métodos.
INDICE DE SEGURIDAD ALIMENTARIA POR MACRONUTRIENTESmilenagost
El Indice de Seguridad Alimentaria por Macronutrientes permite evaluar probabílisticamente la capacidad alimentaria y económica que tienen los países para garantizarle a sus habitantes la seguridad alimentaria.
Este documento presenta un curso de mecánica cuántica impartido por cuatro profesores de la Universidad de Chile. El curso consta de tres secciones principales: 1) una introducción histórica a la mecánica cuántica y sus principios fundamentales, 2) una introducción matemática a conceptos como espacios vectoriales y operadores lineales, y 3) las ecuaciones básicas de la mecánica cuántica como los postulados y las relaciones de incertidumbre.
El documento presenta un manual de usuario para un excitador de radio. Explica que el excitador puede configurarse sin computadora usando interruptores o con una computadora a través de un puerto serial. Detalla los pasos para seleccionar la frecuencia y potencia en ambos modos, así como comandos seriales para controlar el excitador y referencias de diagramas y código fuente.
Este documento presenta apuntes sobre física para las unidades I y II. La unidad I cubre conceptos básicos de vectores como magnitudes escalares y vectoriales, definiciones elementales de vectores, propiedades de vectores, componentes de vectores, vectores unitarios, producto escalar y vectorial. La unidad II trata sobre cinemática y presenta fórmulas para desplazamiento, velocidad, aceleración y rapidez.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de diseño de experimentos. Explica los diseños factoriales 2k, sus ventajas y cómo permiten estudiar el efecto de múltiples factores. Incluye un ejemplo con un diseño factorial 22 para evaluar el efecto del tamaño de broca y la velocidad sobre la vibración producida por un barrenador. Calcula los efectos de cada factor a través de la notación de Yates y determina que el tamaño de broca tiene la mayor influencia sobre la vibración.
Este documento presenta un resumen de los principales conceptos y algoritmos de resolución de problemas e inteligencia artificial. Se introducen temas como la representación del conocimiento, la lógica, la satisfacción de restricciones y diferentes técnicas de búsqueda como la búsqueda no informada, heurística y local. El documento proporciona una visión general de estas técnicas y su aplicación en la resolución de problemas.
Este documento presenta un índice general de un libro de matemáticas para la Prueba de Selección Universitaria. El índice incluye cinco secciones principales sobre números, proporcionalidad, álgebra, desarrollo algebraico y ecuaciones algebraicas. Cada sección contiene subtemas como conjuntos numéricos, porcentajes, expresiones algebraicas, factorización y sistemas de ecuaciones. El objetivo del libro es preparar a los estudiantes para la prueba de ingreso a la universidad con contenidos básicos de mate
Este documento presenta notas de clase para el curso de Control Automático 2. Incluye una introducción al curso con objetivos, bibliografía y calendario. Luego describe diferentes representaciones matemáticas de sistemas de control, incluyendo lineales, discretos y no lineales. Finalmente, presenta herramientas de álgebra lineal útiles para el análisis de sistemas, como vectores, matrices, autovalores y formas canónicas. El documento provee una guía detallada para el estudio de los conceptos teóricos del curso
Cuaderno de ejercicios de cálculo diferencialOmar Guzman
La relación dada define una función cuyo gráfica es una semicircunferencia en el cuadrante superior derecho del plano cartesiano. La función toma valores reales para valores de la variable independiente x en el intervalo [0,2] y cumple que y sea mayor o igual que 0 y menor o igual que 2.
Este documento describe los criterios para clasificar secciones de acero según su comportamiento frente a tensiones normales. Existen cuatro clases que van de más plástico a más esbelto, dependiendo de su sensibilidad al pandeo local. También presenta un algoritmo para asignar una clase a una sección a partir de un modelo de fibras, considerando factores como la esbeltez y relación de tensiones de sus componentes.
Este documento presenta el libro "Cálculo diferencial e integral I. Problemas resueltos" que contiene la solución detallada de los ejercicios presentados en el libro de teoría "Cálculo diferencial e integral I". El libro fue diseñado para estudiantes de ingeniería y presenta los ejercicios resueltos de una manera accesible y didáctica para reforzar los conceptos matemáticos aprendidos.
Este documento presenta una metodología propia llamada HEFESTO para la construcción de un data warehouse. La metodología propone conceptos clave como dimensiones, jerarquías, granularidad y tablas de hechos para el diseño del esquema del data warehouse. El documento también incluye una licencia que permite copiar y modificar el contenido siempre que se mantenga el nombre de la metodología y el estilo del logotipo.
Este documento presenta un índice general de apuntes de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemática (PSU) para el año 2009. El índice incluye secciones sobre números, proporcionalidad y una introducción al álgebra, con subtemas como conjuntos numéricos, operaciones con números reales, razones, proporciones y porcentajes. El documento fue editado por dos estudiantes de la Universidad de Chile para ayudar a otros estudiantes a prepararse para la PSU de Matemática de ese año.
Este documento presenta una introducción a Scilab. Explica que Scilab es un software de cómputo científico interactivo y programable de código abierto desarrollado por INRIA. Describe algunas de las características y capacidades de Scilab, así como cómo obtenerlo e instalarlo. También menciona un libro de referencia sobre Scilab y proporciona instrucciones básicas para su uso.
Este documento es un manual introductorio sobre matemáticas básicas que incluye temas como conjuntos numéricos, ecuaciones de primer y segundo grado, polinomios, funciones trigonométricas y resolución de triángulos rectángulos. El manual presenta definiciones, propiedades y ejercicios para cada tema, con el objetivo de reforzar los conocimientos matemáticos básicos de los estudiantes de nuevo ingreso a la universidad.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas básicas. Explica los conjuntos numéricos reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con diferentes tipos de números, y el orden para realizar operaciones cuando hay signos de agrupación.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones sobre fibras ópticas:
El documento provee información sobre la historia, teoría y propiedades de las fibras ópticas. Explica los primeros experimentos con guiado de luz, los tipos de fibras, la atenuación y dispersión de la señal, y los modos de propagación en fibras de perfil de índice escalonado. Finalmente, detalla experimentos para medir parámetros geométricos y transmitir datos bidireccionalmente usando Ethernet sobre fibra.
Este documento presenta el índice general de un texto de enseñanza para el curso prefacultativo de pensamiento lógico matemático de la Facultad de Ciencias Sociales de la Universidad Mayor de San Andrés. El texto abarca temas como sistemas numéricos, exponentes, operaciones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones lineales, y reglas de contar. El objetivo es preparar a los estudiantes para afrontar las asignaturas propias de la carrera de Ciencias Sociales desde una
Este documento provee una introducción a las álgebras de Lie. Explica conceptos clave como objetos, morfismos, grupos y álgebras de Lie. También cubre temas como álgebras nilpotentes, resolubles y semisimples. Finalmente, introduce la teoría de representaciones de álgebras de Lie y cubre aspectos como derivaciones, reducibilidad de representaciones y álgebras envolventes.
Este documento presenta una introducción a la termodinámica. Explica que el objetivo es realizar una revisión de la termodinámica del equilibrio de manera general, huyendo de los sistemas simples como los gases perfectos. También indica que se basará en textos prestigiosos pero que buscará un nivel adecuado para la materia tratada de forma rigurosa pero accesible. Finalmente, introduce algunas definiciones básicas como la de sistema termodinámico.
Este documento presenta un resumen de los antecedentes de la teleoperación y la tecnología háptica. La teleoperación ha existido desde la antigüedad cuando el hombre utilizaba herramientas para ampliar su capacidad de manipulación. En 1947 comenzaron las primeras investigaciones sobre sistemas maestro-esclavo para operar a distancia. Posteriormente se desarrolló lo que hoy se conoce como teleoperación maestro-esclavo, donde un manipulador esclavo reproduce fielmente los movimientos de un manipulador maestro
Este documento presenta un trabajo de investigación sobre los fundamentos matemáticos de la visión por computador. En la introducción, describe brevemente el campo de la visión por computador y el objetivo del trabajo, que es estudiar los algoritmos para reconstruir objetos a partir de dos imágenes calibradas utilizando un enfoque matemático riguroso. A continuación, se divide en cinco capítulos donde se modela geométricamente el proceso de formación de imágenes, se explica la geometría epipolar para el emparejamiento de puntos entre imá
Apuntes de preparación para la PRUEBA DE SELECCIÓN UNIVERSITARIAAlejandro Feliz
Este documento presenta apuntes de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemáticas. Contiene secciones sobre números, proporcionalidad, álgebra, desarrollo algebraico, ecuaciones algebraicas y sistemas de ecuaciones. Los autores son Pamela Paredes Núñez y Manuel Ramírez Panatt, estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Chile. El documento fue actualizado en marzo de 2009 y proporciona ejemplos y actividades para cada tema.
Este documento presenta apuntes de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemáticas. Contiene cinco capítulos que cubren temas como números, proporcionalidad, álgebra, desarrollo algebraico y ecuaciones algebraicas. El objetivo es entregar los conceptos fundamentales de cada tema a través de ejemplos y actividades para apoyar el estudio para la prueba.
Este documento presenta una memoria sobre geometría de superficies en R4 realizada por Gema R. Quintana Portilla bajo la dirección de Fernando Etayo Gordejuela. La memoria comienza con una introducción sobre la historia del estudio de superficies y variedades. Luego se describen conceptos básicos de geometría de superficies en R3 como formas fundamentales, geodésicas y curvatura. Finalmente, se estudian nociones de geometría intrínseca y extrínseca de superficies abstractas y su inmersión en R4,
Este documento presenta un resumen de los principales métodos numéricos para la solución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, derivadas numéricas, integrales numéricas y ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como precisión, error y convergencia, así como métodos iterativos, de interpolación y de diferenciación/integración numérica. El documento provee una introducción general a estos temas y métodos a través de ejemplos expresados en lenguaje Scheme.
Estudio de mejora del mantenimiento mediante la aplicación de la distribución...Eduardo Romero López
Este documento presenta un estudio sobre la aplicación de la distribución de Weibull al análisis de fallos históricos con el objetivo de mejorar el mantenimiento. Explica conceptos teóricos como curvas de fallos, fiabilidad, mantenibilidad y distribuciones estadísticas. Luego, muestra ejemplos prácticos del cálculo de parámetros de Weibull y ajuste de datos reales a esta distribución mediante software estadístico. Finalmente, concluye sobre la utilidad de este enfoque para la predicción de
Este documento presenta una breve introducción a C++. Explica la estructura básica de un programa en C++, incluyendo la definición de funciones, nombres de variables, tipos de variables, entrada y salida de datos, operadores aritméticos y relacionales. También cubre temas como control de flujo, funciones, matrices, clases, sobrecarga y herencia.
Este documento presenta una revisión teórica sobre control de procesos industriales continuos. Explica conceptos clave como modelos de procesos, realimentación, elementos de control, diseño de sistemas de control, clasificación de sistemas, respuesta temporal y de frecuencia, lugar de las raíces, funcionamiento y estabilidad de sistemas de control, y sistemas de tiempo discreto.
Este documento presenta una revisión teórica del control de procesos industriales continuos. Explica conceptos clave como modelos de procesos, realimentación, elementos de control, diseño de sistemas de control, clasificación de sistemas, respuesta temporal y de frecuencia, lugar de las raíces, funcionamiento y estabilidad de sistemas de control, y sistemas de tiempo discreto.
Este documento es un libro sobre fundamentos de las técnicas de mejora de las condiciones de trabajo escrito por el Dr. José Ignacio García Lloret. El libro contiene cuatro capítulos que cubren temas como conceptos de trabajo y salud, riesgos laborales, daños derivados del trabajo, y prevención y protección. El objetivo general del libro es proporcionar una introducción a estos temas importantes relacionados con la salud y seguridad en el trabajo.
Este documento presenta una metodología propia llamada HEFESTO para la construcción de un data warehouse. Explica conceptos clave como business intelligence, data warehouse, arquitectura de data warehouse y esquemas multidimensionales. Proporciona detalles sobre cada etapa del proceso ETL y la estructura de un data warehouse incluyendo tablas de hechos y dimensiones.
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
Creación de prototipo para la generación de reportes a partir de TwitterFranco Navea
Este documento presenta la memoria para optar al título de Ingeniero Civil Informático de Franco Castro Navea. Describe el contexto y proceso de gatekeeping en medios de comunicación, y propone el desarrollo de un prototipo para generar reportes a partir de Twitter que minimice la selección editorial. Explica la arquitectura de captura, procesamiento y presentación de datos, incluyendo clasificación y filtros. Finalmente, presenta resultados de un caso de prueba sobre el aborto en Chile y un modelo de evaluación.
La universidad entre la dialectica de sus actores y el poder del conocimientoFranco Navea
Este documento resume la evolución histórica de la universidad y analiza las dialécticas de poder presentes en su interior y exterior. Examina las preguntas de quién controla la universidad, para qué sirve y a quiénes sirve, reconociendo fines manifiestos y latentes. Aplica este análisis a la Universidad Técnica Federico Santa María, resaltando su origen filantrópico y los conflictos subsiguientes por el control del poder y la participación. Concluye que la discusión sobre la triestamentalidad refleja debates más amplios
El documento es una carta que solicita apoyo para un proyecto de reconstrucción de viviendas en Valparaíso tras un incendio. Explica que un grupo de voluntarios anónimos está construyendo 9 viviendas para familias afectadas. Detalla los materiales que se usarán y el trabajo realizado hasta el momento con donaciones. Solicita más aportes de materiales y mano de obra ya que el trabajo restante es abundante. Proporciona los contactos para quienes deseen colaborar.
El documento presenta el cronograma de una sesión de trabajo dividida en etapas de inicio, trabajo y plenaria. La sesión comenzó a las 11:30am con la bienvenida en la sala C226, luego los asistentes se trasladaron a diferentes salas para realizar dinámicas de presentación y recolección de ideas para vocalías. Más tarde volvieron a la sala C226, donde pegaron los resultados del trabajo y compartieron alimentos. Finalmente, los asistentes se presentaron y cada encargado expresó algunas de las ideas principales acordadas en su
Este documento presenta las directrices para el funcionamiento de las vocalías temáticas de la universidad. Estas vocalías son espacios abiertos para que la comunidad trabaje en iniciativas determinadas por sus miembros en áreas como medioambiente, triestamentalidad, multiculturalidad y más. Cada vocalía elegirá un vocero y secretario, se reunirá semanalmente en horario fijo y contará con fondos para apoyar sus actividades, las cuales pueden incluir foros, charlas y campañas. El objetivo es conformar equipos de voluntarios
Este documento argumenta que la educación debe enfocarse en la igualdad en lugar de la autoridad. Actualmente, la educación promueve estereotipos de género que dividen a la sociedad en roles de dominio masculino y sumisión femenina. Para lograr la igualdad, la educación debe desalentar los prejuicios de género, fomentar la igualdad de oportunidades independientemente del sexo, y utilizar un lenguaje no sexista que reconozca el valor de ambos géneros.
El documento discute los problemas del sistema de financiamiento de la educación superior en Chile, el cual depende principalmente del endeudamiento de las familias a través del CAE. También señala que Chile gasta poco en educación pública en comparación con otros países. Propone aumentar la financiación estatal a las universidades y obtener recursos a través de la renacionalización de los recursos naturales y una reforma tributaria para avanzar hacia una educación gratuita.
El documento discute tres temas clave sobre la educación superior en Chile: 1) El financiamiento de las universidades, que ha disminuido el apoyo estatal y obligado a las universidades a aumentar los aranceles, lo que ha llevado a una mayor privatización; 2) La democratización, proponiendo un sistema de gobierno triestamental para dar más voz a los estudiantes y funcionarios; 3) El acceso, señalando que el actual sistema (PSU) depende demasiado del nivel socioeconómico y que se necesita una educación b
El documento propone 50 iniciativas para mejorar la sustentabilidad, calidad de vida, participación estudiantil y cultura en la Universidad Tecnológica Metropolitana. Las iniciativas incluyen promover huertas urbanas, cursos de medio ambiente, reciclaje, bienestar animal, y alimentación saludable, así como reformas académicas, democratización de fondos y cargos estudiantiles, y fomento de las artes y deportes electrónicos.
[Este proyecto busca organizar un seminario interdisciplinario sobre energía y recursos naturales en Chile. El seminario contará con la participación de académicos y expertos de diferentes áreas que expondrán sobre temas relacionados a los recursos naturales, la situación energética en Chile y el mundo, y la relación entre energía, recursos naturales y desarrollo económico. El objetivo es promover el diálogo interdisciplinario para favorecer el análisis y discusión de estas problemáticas desde diferentes perspectivas.]
La propuesta busca mejorar la organización y participación estudiantil en la UTFSM a través de varias iniciativas como la creación de una Asamblea de Estudiantes, la reestructuración del Consejo de Federación para fomentar la discusión de temas relevantes, la realización de un Congreso de Estudiantes para debatir sobre financiamiento, rol de la universidad y democratización, y el fortalecimiento de la organización estudiantil a nivel regional a través de la CONFESAN y el Zonal Quinta. También propone mejorar la rend
Este documento hace un llamamiento a la creación de un Bloque para la Revolución Integral, un espacio político e ideológico internacional para coordinar a colectivos y personas que trabajan para construir una sociedad alternativa. Propone celebrar un encuentro internacional para definir los objetivos e iniciar este bloque. Su objetivo es coordinar esfuerzos transformadores de forma descentralizada y autónoma para resistir y superar el sistema actual basado en la dominación.
Proyecto de investigación informatica y sociedadFranco Navea
Proyecto que ahonda en métricas y en la percepción del uso de "tiempo libre" para estudiantes de Ingenieria civil informatica USM en el marco de "Infocambio" por una mejor calidad de vida
Cuadro resumido que presenta las variaciones reales que han experimentado, en la última década, los aranceles para los alumnos nuevos, las remuneraciones en la USM, y la referencia nacional para las mismas.
La actualización monetaria se ha realizado expresando las cifras en UTA's (Unidad Tributaria Anual, equivalente a 12*UTM de Diciembre de cada año).
El Ïndice de Remuneraciones nacional se ha normalizado para la referencia USM-2002, a fin de graficar la divergencia creciente (salvo un tímido intento de aproximación en el año 2009)
Para el período 2002 a 2011 se concluyen las siguientes variaciones:
las remuneraciones en la UTFSM han experimentado un aumento real de 9,47%
las remuneraciones a nivel nacional se han incrementado en un 21,75%
el arancel para alumnos nuevos ha experimentado un alza real de 61,7%
Las autoridades de la Universidad se reunieron con los dirigentes estudiantiles para discutir el aumento propuesto en las matrículas y aranceles. Las autoridades explicaron que el aumento del 2% propuesto se debe a la disminución en los aportes fiscales y el aumento en los costos operacionales. También discutieron mejoras propuestas en beneficios estudiantiles, infraestructura y el número de profesores. Los estudiantes plantearon inquietudes sobre la sede de Concepción y cambios de carrera, a lo que las autoridades respondieron
El Consejo de Federación de la Universidad Técnica Federico Santa María expresa su preocupación por los planes de aumentar las matrículas un 2% más que la inflación para los nuevos estudiantes en 2013 y descongelar los valores de matrícula existentes para actualizarlos con la inflación. La universidad justifica estos aumentos citando una posible disminución en los recursos fiscales, aumentos salariales por encima de la inflación, y proyectos de expansión futuros. El Consejo pide a los Centros de Estudiantes y profesores que discut
Acuerdos claustro casa central 02 y 03 agosto 2011
Material MAT021
1. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e ıa
Programa Preliminar para Ingenier´
ıa
Cuaderno de Estudio
Patricio Guzm´n Mel´ndez
a e
Alumno de Ingenier´ Civil Matem´tica
ıa a
Pedro Montero Silva
Alumno de Licenciatura en Ciencias menci´n Matem´tica
o a
Iv´n Sz´nt´ Narea
a a o
Profesor del Departamento de Matem´tica
a
Marzo de 2009
4. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e ıa
Departamento de Matem´tica
a
Programa Preliminar para Ingenier´
ıa
1. Introducci´n
o
El Programa Preliminar para Ingenier´ es un programa que se imparte a los alumnos destacados de IV◦
ıa
Medio de la Regi´n de Valpara´ que sienten inter´s en el ´rea de la Ingenier´ Ciencias y Tecnolog´ en
o ıso, e a ıa, ıa;
donde se les inicia en la vida y exigencia universitaria, cursando la asignatura de Matem´tica I (MAT-021) e In-
a
troducci´n a la Ingenier´ (IWI-101); ambos cursos del primer semestre acad´mico de Ingenier´ y Ciencias en la
o ıa e ıa
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e ıa.
Este Cuaderno de Estudio est´ destinado a las clases activas de Matem´tica I, que en la pr´ctica, es una de
a a a
las partes m´s importantes de la asignatura. Su prop´sito es orientar el aprendizaje a lo largo del curso apuntando a
a o
identificar los conceptos claves sobre los cuales se estructura cada unidad. Esto dar´ al estudiante una visi´n global
a o
de las herramientas entregadas en la asignatura.
Este cuaderno est´ dividido en los temas que se ver´n a lo largo del curso, y el n´mero de actividades por temas
a a u
es variable dependiendo de la importancia del mismo.
La metodolog´ a seguir consiste en que el estudiante resuelva los problemas en clases pr´cticas en donde bajo
ıa a
la supervisi´n del profesor y los ayudantes, el estudiante aplicar´ los conceptos y m´todos entregados en la clase
o a e
te´rica, y as´ podr´ resolver los diferentes tipos de problemas y aplicaciones.
o ı a
Esta metodolog´ ayudar´ al estudiante a seguir y a entender mejor los contenidos de la asignatura, pues de esta
ıa a
forma se concreta lo explicado en las clases te´ricas y adem´s se ejercita, consiguiendo afianzar los conocimientos.
o a
El hecho de que el estudiante encuentre dificultades en este cuaderno es un indicador de que no ha alcanzado el
nivel de aprendizaje esperado.
Se espera ir perfeccionando este cuaderno en todos los sentidos posibles: formato, edici´n del texto, redacci´n y
o o
niveles de dificultad de los problemas, etc.
Este Cuaderno de Estudio, en su segunda versi´n, no habr´ sido posible sin las valiosas recomendaciones
o ıa
y discusiones con el Departamento de Matem´tica de nuestra universidad. Adem´s, parte importante de las
a a
mejoras de esta versi´n se deben a las cr´
o ıticas y comentarios de los alumnos del Programa Preliminar para Ingenier´
ıa
del a˜o 2008.
n
Ayudantes del Departamento de Matem´tica:
a
Patricio Guzm´n Mel´ndez
a e
Pedro Montero Silva
Profesor del Departamento de Matem´tica:
a
Iv´n Sz´nt´ Narea
a a o
Marzo de 2009
3
5. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e ıa
Departamento de Matem´tica
a
Programa Preliminar para Ingenier´
ıa 2 PRELIMINARES
2. Preliminares
1. A Constanza se le pregunta su edad y ella responde: ”Si se a˜aden 13 a˜os al cu´druple de mi edad, se tendr´
n n a ıa
lo que falta para tener 98 a˜os”. ¿Cu´l es la edad de Constanza?
n a
2. La edad de Ricardo, padre de Pablo, es el triple. La edad de Ricardo hace cuatro a˜os era el doble de la edad
n
que tendr´ Pablo en siete a˜os. ¿Cu´l es la suma de ambas edades?
a n a
3. De dos resistencias en paralelo que difieren en 33 Ω se sabe que la resistencia equivalente es de 22 Ω. Calcular
el valor de cada resistencia.
4. Patricio vende a Diego la tercera parte de un terreno, m´s el 45 % del resto; en total vende 5700 m2 . ¿Cu´nto
a a
mide el terreno que le queda a Patricio?.
5. En un tri´ngulo rect´ngulo los catetos son entre si como 15:35 y la hipotenusa mide 65 cm. Calcular el ´rea
a a a
del tri´ngulo.
a
6. El per´
ımetro de cierto rect´ngulo es de 112 cm y su diagonal mide 40 cm. Calcular el ´rea del rect´ngulo.
a a a
7. Si cada lado de un tri´ngulo is´celes disminuye en un 18 %, ¿en cu´nto % disminuye su ´rea?.
a o a a
8. Un trazo AC ha sido dividido interiormente en el punto B de modo que AB : BC = 17 : 12. Sea M el punto
medio de BC. ¿Qu´ tanto % de AM mide BM ?.
e
9. Un cilindro tiene 15 cm de di´metro y 80 cm de altura. Encontrar el radio de un c´
a ırculo cuya ´rea sea igual
a
al 50 % de la superficie total del cilindro.
10. Suponga que el radio basal de un cono circular recto aumenta en un 15 %, mientras que su altura disminuye
en un 20 %. ¿En cu´nto % var´ la superficie basal, total y el volumen del cono?.
a ıa
11. El ancho de un anillo circular mide 8 % m´s que el radio de la circunferencia interior. ¿Qu´ tanto % del ´rea
a e a
del anillo es el ´rea del c´
a ırculo interior si el di´metro del c´
a ırculo interior es de 70 cm?.
12. Suponga que el di´metro de un c´
a ırculo mide 30 % menos que el de otro c´
ırculo conc´ntrico. Expresar el ´rea
e a
del anillo en tanto % del ´rea del c´
a ırculo interior.
13. El volumen de cierto cono es igual a la mitad del volumen de una esfera de 18 cm de radio. Calcular el radio
basal del cono si su altura mide el 35 % del radio de la esfera.
14. Considere el rect´ngulo cuya base y altura est´n en la proporci´n b : a = 27 : 21. Si la base ”b” aumenta
a a o
en 1 m y la altura ”a” en 3 m el rect´ngulo se transforma en un cuadrado. ¿Cu´nto mide la diagonal del
a a
rect´ngulo?
a
15. Considere el s´lido formado por una semiesfera en la parte superior, un cilindro en el centro y un cono en la
o
parte inferior. El radio de la semiesfera, el cilindro y el cono es de x. La altura del cono es de x y del s´lido
o
es de 5x. Si el volumen del s´lido es de 256π, encuentre el valor de x.
o
16. Un auto y un tren se mueven juntos a lo largo de trayectorias paralelas a 25 m/s, con el auto adyacente a la
parte trasera del tren. Debido a una luz roja el auto adquiere una aceleraci´n uniforme de -2,5 m/s2 (el auto
o
est´ desacelerando) y llega al reposo. Permanece en reposo durante 45 s y luego acelera hasta llegar a una
a
rapidez de 25 m/s.
¿A qu´ distancia de la parte posterior del tren se encuentra el auto cuando este alcanza la rapidez de 25 m/s,
e
suponiendo que la rapidez del tren permanece constante?.
4
6. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e ıa
Departamento de Matem´tica
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Programa Preliminar para Ingenier´
ıa
17. Un adolescente tiene un auto que acelera a 3 m/s2 y desacelera a 4 m/s2 . En un viaje a una tienda acelera
desde el reposo hasta los 12 m/s, maneja con rapidez constante durante 5 s y luego se detiene en una esquina.
Acelera despu´s hasta los 18 m/s, maneja con rapidez constante durante 20 s, desacelera durante 2 s, continua
e
durante 4 s a esta rapidez y luego se detiene al llegar a la tienda.
a) ¿Cu´nto dura el recorrido y cu´nta distancia recorre?
a a
b) Si usted camina a 1,5 m/s ¿cu´nto tardar´ en llegar a la tienda?
a ıa
18. La l´
ınea de Watt’s S.A., productora de mermeladas requiere determinar el n´mero de m´quinas a utilizar
u a
durante los siguientes tres a˜os para su producci´n de mermelada de frambuesa.
n o
La demanda de mermelada de frambuesa para los siguientes tres a˜os, en toneladas, es:
n
A˜o 1
n A˜o 2
n A˜o 3
n
30 50 40
En la siguiente tabla se pueden ver los ingredientes en la producci´n de una tonelada de mermelada, y tambi´n
o e
la velocidad de procesamiento de cada ingrediente en la m´guina que cuesta $15.000.000 que se desea comprar:
a
Ingredientes Pulpa de Frambuesa Agua Otros
Procesamiento 0,5 ton/hr 0,1 ton/hr 0,7 ton/hr
La m´quina es capaz de procesar 0,6 ton/hr. Por otro lado, las condiciones operacionales son: ocho horas por
a
turno, cinco d´ a la semana y cuatro semanas al mes. Se debe operar doce meses al a˜o.
ıas n
Para los siguientes tres a˜os determine el n´mero de m´quinas requeridas y el costo de adquirilas.
n u a
19. Forestal Minin S.A. es una empresa forestal que opera en la octava regi´n. Esta requiere determinar el n´mero
o u
de m´quinas para un nuevo aserradero que permitir´ explotar un fundo forestal en la zona de Tehualco.
a a
El fundo cuenta con 1.100 hect´reas las cuales ser´n explotadas en los siguientes tres a˜os seg´n el siguiente
a a n u
plan:
A˜o 1
n A˜o 2
n A˜o 3
n
Demanda (Hect´reas)
a 300 360 440
El rendimiento esperado por hect´rea es de 15 toneladas por madera procesada.
a
Las m´quinas existentes en el mercado tienen una capacidad de procesamiento de 0,7 ton/hr. Cada m´quina
a a
tiene un costo de $20.000.000 y requiere para su operaci´n un operario capacitado por turno cuyo costo total
o
anual es de $3.000.000. Los costos operacionales asociados a insumos, energ´ y personal son proporcionales a
ıa
las toneladas de madera procesada y se han estimado en $1.500 por tonelada procesada.
Por otro lado, las condiciones operacionales del aserradero son: ocho horas por turno, cinco d´ a la semana
ıas
y cuatro semanas al mes. El aserradero deber´ operar los doce meses al a˜o.
a n
Para los siguientes tres a˜os determine:
n
a) N´mero de m´quinas requeridas
u a
b) Costo total considerando los gastos de inversi´n y operaci´n.
o o
5
7. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
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Departamento de Matem´tica
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Programa Preliminar para Ingenier´
ıa 3 LOGICA SIMBOLICA Y TEOR´ DE CONJUNTOS
´ ´ IA
3. L´gica Simb´lica y Teor´ de Conjuntos
o o ıa
3.1. L´gica Simb´lica
o o
1. Demuestre, utilizando tablas de verdad y/o propiedades, las siguientes equivalencias.
a) (p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q) b) (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
c) [p ∧ (p ∨ q)] ⇔ p d) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p
e) [p ∧ (p ∨ q)] ⇔ (p ∧ q) f) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ (p ∨ q)
g) (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p) h) (p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ q) ⇒ F ]
i) [p ∧ q ⇒ r] ⇔ [(p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)] j) [p ⇒ (q ∧ r)] ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)]
k) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [(p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)] l) [p ∨ q ⇒ r] ⇔ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)]
2. Demuestre que las siguientes expresiones son tautolog´
ıas.
a) p ⇒ (p ∨ q) b) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
c) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) d) (p ⇒ q) ⇒ [(p ∨ r) ⇒ (q ∨ r)]
3. Simplifique las siguientes expresiones.
a) [p ⇒ (q ∧ r)] ⇒ (p ⇒ q) b) (p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)]
c) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p d) p ⇒ [q ⇒ (p ⇒ q)]
4. Sean p y q proposiciones l´gicas. Se define p × q por la siguiente tabla.
o
p q p×q
V V F
V F V
F V V
F F V
Demuestre que se cumple que:
a) p ≡ p × p.
b) p ∨ q ≡ (p × q) × (p × q).
c) p ∧ q ≡ (p × q) × (q × q).
5. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera, q es verdadera y r es falsa. Hallar el valor de verdad de
[(p ⇒ q) ⇒ (p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q)
6. Si p ∧ q ⇒ r es falsa, determinar el valor de verdad de
(p ∨ q) ⇔ (r ∨ p)
6
8. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e ıa
Departamento de Matem´tica
a
Programa Preliminar para Ingenier´
ıa 3.1 L´gica Simb´lica
o o
7. Si la proposici´n p ⇒ q es falsa. Determine el valor de verdad de la proposici´n
o o
[p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ r) ∧ q]
8. Encontrar el valor de verdad de la proposici´n:
o
[(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] ⇒ [q ∨ (p ⇒ r)]
sabiendo que p ⇒ (q ∨ r) es falsa.
9. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r si se sabe que la proposici´n compuesta
o
{[(p ⇔ q) ⇔ (p ∨ r)] ∧ [p ⇒ (q ∧ r)]}
es verdadera.
10. Sean p, q, r y s proposiciones l´gicas. Se definen los conectivos
o y de la siguiente forma:
p q≡p⇒q
r s≡r∨s
Encuentre el valor de verdad de la siguiente proposici´n:
o
[p ∧ (p r)] ∨ [(p q) ∨ (s p)]
11. Para cada una de las siguientes definiciones obtenga su negaci´n.
o
a) S ⊂ R es acotado si:
(∃M ∈ R+ )(∀x ∈ S)(|x| ≤ M ).
b) Una funci´n f : I ⊆ R −→ R es inyectiva en I si:
o
(∀x, y ∈ I)(f (x) = f (y) ⇒ x = y).
c) Una funci´n f : A −→ B es sobreyectiva si:
o
(∀y ∈ B)(∃x ∈ A)(y = f (x)).
d ) Una funci´n f : R −→ R es continua en x0 ∈ R si:
o
(∀ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R)(|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ).
12. Dadas las siguientes funciones proposicionales
p(x) : x2 + y ≤ xy
q(x) : x+y ≤1
a) Determine el valor de verdad de la proposici´n (∀x ∈ N)(∃y ∈ Z)(p(x, y) ⇒ q(x, y)).
o
b) Escriba la negaci´n de la proposici´n anterior.
o o
13. Para x ∈ R considere las siguientes funciones proposicionales:
p(x) : x2 − 3x − 10 ≥ 0
q(x) : 3x + 1 ≥ 13
Determine todos los x ∈ R de modo que la proposici´n p(x) ∨ q(x) sea verdadera.
o
7
9. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e ıa
Departamento de Matem´tica
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Programa Preliminar para Ingenier´
ıa 3 LOGICA SIMBOLICA Y TEOR´ DE CONJUNTOS
´ ´ IA
3.2. Teor´ de Conjuntos
ıa
1. Sean A, B, C ⊆ U. Demuestre que:
a) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c b) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c
c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) d) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)
e) A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac f) A⊂B ⇒ A∩B =A y A∪B =B
2. Sean A, B, C ⊆ U.Simplifique utilizando propiedades.
a) [A ∩ (A ∩ B)c ] ∪ [B ∪ (B ∩ C c )]c ∪ B c
b) [A ∩ (A − B)] ∪ B
c) [(A ∩ B c ) ∩ (A − B c )]c ∪ Ac
3. Sean A, B, C ∈ U. Demuestre lo que:
a) A − B = A − (A ∩ B).
b) A ∩ B = ∅ ⇔ (A ∪ B) ∩ B c = A.
c) A ∩ C = ∅ ⇔ (A − B) − C = A − (B − C).
d) A ∩ B ∩ C = ∅ ⇔ [(A − B) − (B − C) − (C − A)] = A ∪ B ∪ C.
4. Considere los conjuntos:
a) A = {x ∈ R / 5 ≤ |x|} b) B = {x ∈ R / x2 + 6 = 7x}
c) C = {x ∈ R / − 7 ≤ x ≤ 3} d) D=∅
e) E=R
Determine: B ∩ C, A ∩ C, A ∪ B, B ∪ C, A ∪ E, B ∩ E, D − A y A − C.
5. Considere los conjuntos P = {x N / 2x2 − 3x + 1 = 0} y C = {x Z / x ≥ −3 ∧ x < 7}.
a) Determine expl´ ıcitamente los conjuntos P y C.
b) Calcule |P | + |C| y |P ∪ C|.
6. Dadas las siguientes funciones proposicionales
p(x) : 2x − 10 ≥ 20
q(x) : |x| < 40
a) Determine expl´
ıcitamente los conjuntos
A = {x ∈ R / p(x) ∧ q(x) es Verdadero }
B = {x ∈ R / p(x) ⇒ q(x) es Falso }
b) Encuentre A − B.
8
10. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e ıa
Departamento de Matem´tica
a
Programa Preliminar para Ingenier´
ıa 3.2 Teor´ de Conjuntos
ıa
7. Sean A, B ⊂ U. Se define la diferencia sim´trica entre A y B como A B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}. Observar
e
que el conjunto A B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B pero no a los dos.
Sean A, B, C ⊂ U. Demuestre las siguientes propiedades:
a) A B = (A − B) ∪ (B − A) b) A B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
c) A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) d) (A B) (B C) = A C
e) A B=C⇔A C=B
8. Sea A ⊂ U un conjunto. Se define el conjunto potencia de A, denotado por P(A), como el conjunto cuyos
ımbolos viene dado por P(A) = {B ⊂ U / B ⊂ A}.
elementos son todos los subconjuntos de A. Escrito en s´
Sean A, B ⊂ U. Entonces se cumple que:
a) P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).
b) P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B).
c) P(A) = P(B) ⇔ A = B.
9. Se entender´ por |P | como el n´mero de elementos del conjunto P. Sean A y B conjuntos disjuntos, es decir,
a u
conjuntos que cumplen con A ∩ B = ∅, entonces se tendr´ que |A ∪ B| = |A| + |B|.
a
Sean A, B, C ⊂ U. Demuestre que:
a) Si A ∩ B = ∅ entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
b) Si A ∩ B ∩ C = ∅ entonces |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Indicaci´n: Para a) escriba los conjuntos A ∪ B y B como uni´n de conjuntos disjuntos.
o o
10. Se realiz´ una encuesta a 160 Sansanos de primero a˜o respecto a la lectura de libros de ciencias: Matem´tica
o n a
(M ), F´ısica (F ) y Qu´
ımica (Q), obteniendo los siguientes resultados: 65 leen M , 70 leen F , 73 leen Q, 30 leen
M y F , 109 leen F o Q, 106 leen M o Q, 105 leen M o F y finalmente 40 no leen (no porque no sepan leer,
sino porque no tienen inter´s).
e
Determine:
a) N´mero
u de Sansanos que leen los 3 libros.
b) N´mero
u de Sansanos que lee 1 solo libro.
c) N´mero
u de Sansanos que leen libros de Matem´tica o F´
a ısica, pero no ambas.
d) N´mero
u de Sansanos que leen libros de F´ ısica y Qu´
ımica.
11. Una encuesta realizada a 100 personas sobre sus deportes favoritos revel´ que 50 practican f´tbol, 79 prac-
o u
tican f´tbol o tenis, 68 practican f´tbol o handball, 68 practican tenis o handball, 35 practican handball, 45
u u
practican tenis y finalmente 6 personas practican los tres deportes.
Determine:
a) N´mero
u de personas que practican f´tbol.
u
b) N´mero
u de personas que practican f´tbol y tenis.
u
c) N´mero
u de personas que practican handball o tenis pero no f´tbol.
u
d) N´mero
u de personas que a lo menos practican tres de estos deportes
e) N´mero
u de personas que no practican tenis.
9
11. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e ıa
Departamento de Matem´tica
a
Programa Preliminar para Ingenier´
ıa 4 FUNCIONES
4. Funciones
4.1. Propiedades de Funciones
1. Sea p > 0 e I = [−p, p]. Considere la funci´n f : I ⊆ R −→ R. Obtenga la negaci´n de las siguientes
o o
definiciones.
a) Una funci´n f se dice par en I si:
o
(∀x ∈ I)(f (−x) = f (x)).
b) Una funci´n f se dice impar en I si:
o
(∀x ∈ I)(f (−x) = −f (x)).
2. Considere la funci´n f : I ⊆ R −→ R y A ⊆ I. Obtenga la negaci´n de las siguientes definiciones.
o o
a) Una funci´n f se dice creciente en A si:
o
(∀x, y ∈ A)(x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)).
b) Una funci´n f se dice decreciente en A si:
o
(∀x, y ∈ A)(x ≥ y ⇒ f (x) ≥ f (y)).
3. Sea f : A −→ B, A0 ⊆ A y B0 ⊆ B . Demostrar las siguientes propiedades:
a) [f (A0 )]c = f (Ac ).
0
b) [f −1 (B0 )]c = f −1 (B0 ).
c
4. Sea f : A −→ B una funci´n. Sean A0 ⊆ A y B0 ⊆ B. Demostrar las siguientes propiedades:
o
a) A0 ⊆ f −1 (f (A0 )) y que se da la igualdad si f es inyectiva.
b) f (f −1 (B0 )) ⊆ B0 y que se da la igualdad si f es sobreyectiva.
Recomendaci´n: Para ilustrar estas propiedades considere las funciones f (x) = x2 y g(x) = x, y luego haga
o
los c´lculos para ambas funciones con los conjuntos A0 = [0, 1] y B0 = [−1, 1].
a
5. Sea f : A −→ B y B0 , B1 ⊂ B. Demostrar las siguientes propiedades:
a) B0 ⊆ B1 ⇒ f −1 (B0 ) ⊆ f −1 (B1 ).
b) f −1 (B0 ∪ B1 ) = f −1 (B0 ) ∪ f −1 (B1 ).
c) f −1 (B0 ∩ B1 ) = f −1 (B0 ) ∩ f −1 (B1 ).
d ) f −1 (B0 − B1 ) = f −1 (B0 ) − f −1 (B1 ).
Recomendaci´n: Para ilustrar estas propiedades elija una funci´n (como f (x) = x) y luego haga los c´lculos
o o a
con B0 y B1 elegidos adecuadamente.
10
12. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e ıa
Departamento de Matem´tica
a
Programa Preliminar para Ingenier´
ıa 4.1 Propiedades de Funciones
6. Sea f : A −→ B y A0 , A1 ⊆ A. Demostrar las siguientes propiedades:
a) A0 ⊆ A1 ⇒ f (A0 ) ⊆ f (A1 ).
b) f (A0 ∪ A1 ) = f (A0 ) ∪ f (A1 ).
Recomendaci´n: Para ilustrar estas propiedades elija una funci´n (como f (x) = x) y luego haga los c´lculos
o o a
con A0 y A1 elegidos adecuadamente.
7. Sea f : A −→ B y A0 , A1 ⊆ A. Demostrar las siguientes propiedades:
a) f (A0 ∩ A1 ) ⊆ f (A0 ) ∩ f (A1 ). La igualdad se tiene si f es inyectiva.
b) f (A0 − A1 ) ⊆ f (A0 ) − f (A1 ). La igualdad se tiene si f es inyectiva.
Recomendaci´n: Para ilustrar estas propiedades elija dos funciones, una inyectiva y otra no, y luego haga
o
todos los c´lculos con A0 y A1 elegidos adecuadamente.
a
8. Sean f y g funciones biyectivas. Demuestre que:
a) f ◦ g y g ◦ f son biyectivas.
b) (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .
9. Sea f : I ⊆ R −→ R. Muestre:
a) Si f es una funci´n estrictamente creciente en I entonces la funci´n es inyectiva.
o o
b) Si f es una funci´n estrictamente decreciente en I entonces la funci´n es inyectiva.
o o
11
13. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e ıa
Departamento de Matem´tica
a
Programa Preliminar para Ingenier´
ıa 4 FUNCIONES
4.2. Estudio de Funciones
1. Para las siguientes funciones: grafique y determine si presenta alg´n tipo de paridad; determine su dominio
u
y recorrido; ¿es biyectiva la funci´n? si no lo es, encuentre un intervalo maximal de modo que lo sea; y, si es
o
posible, determine su funci´n inversa y luego graf´
o ıquela.
5x + 3
a) f (x) = −x2 + 3x + 10 b) g(x) = x2 + 4x + 5 c) h(x) =
x−4
4 x−2 4x − 2
d) f (x) = 2(x − 1) + e) g(x) = | | f) h(x) =
x−1 x+7 x+2
x
g) f (x) = h) g(x) = x 1 − x2 i) h(x) = 2− 2 − x2
|x| − 1
√
1 x x
j) f (x) = √ k) g(x) = √ l) h(x) = √
3 + x2 − 4 1+ x x+1−1
x2 + x + 1
m) f (x) = |x − 2| + 2 n) g(x) = |x2 − 8x + 7| − 2 o) h(x) =
x − 1 + |x|
x|x| , |x| < 1 x−1 , x<1
p) f (x) = q) g(x) =
√
x/|x| , |x| ≥ 1 x−1 , x≥1
2. Halle las composiciones f ◦ g y g ◦ f de las siguientes funciones, y luego indique sus dominios y recorridos.
√
a) f (x) = x2 g(x) = x.
b) f (x) = 1 − x g(x) = x − x2 .
2
3x + 4 , 0≤x≤2 x , 2≤x≤5
c) f (x) = g(x) =
x+1 , 2<x<4 4 , 5 < x < 12
2x − 2 , −3≤x≤6 x , − 10 ≤ x ≤ 7
d ) f (x) = g(x) =
10 , 6 < x ≤ 10 x2 , 7 < x ≤ 15
3. Encuentre f ◦ f ◦ f de las siguientes funciones.
1 1 x
a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) = √
x 1+x 1 + x2
4. Para cada problema encuentre la funci´n y = f (x) que satisface la condici´n dada:
o o
a) f (x + 1) = x2 − 3x + 2.
1 1
b) f (x + ) = x2 + 2 con x = 0.
x x
1
c) f ( ) = x + 1 + x2 con x > 0.
x
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e ıa
Departamento de Matem´tica
a
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ıa 4.2 Estudio de Funciones
1 x
5. Sean f (x) = y g(x) = funciones. Sea
x2 +1 1+x
f (x + h) − (f ◦ g)(x + h)
P (h) = f (x+h)
(f · g)(x + h) − g(x+h)
a) Calcule A(h) en funci´n de h y x.
o
b) Calcule A(1) y A(−1).
6. Sea U el conjunto universo. Considere la funci´n que a un conjunto finito le asigna el n´mero de elementos.
o u
a) Escriba esta funci´n en t´rminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada
o e
b) ¿Es biyectiva esta funci´n?
o
7. Considere la funci´n que a un elemento de los n´meros reales le asigna su valor absoluto.
o u
a) Escriba esta funci´n en t´rminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada
o e
b) ¿Es biyectiva esta funci´n?
o
8. Sea p > 0 y f : [0, p] ⊆ R −→ R una funci´n. Se define:
o
a) La extensi´n par de f como:
o
f (x) , 0≤x≤p
Pf (x) =
f (−x) , − p ≤ x < 0
b) La extensi´n impar de f como:
o
f (x) , 0≤x≤p
If (x) =
−f (−x) , − p ≤ x < 0
Pruebe que la extensi´n par de f es una funci´n par, y que su extensi´n impar es una funci´n impar.
o o o o
9. Para a, b, c, d ∈ R considere la funci´n definida por:
o
ax + b
f (x) =
cx + d
a) ¿Qu´ condiciones deben satisfacer los par´metros a, b, c, d ∈ R para que f tenga inversa?
e a
b) Halle el dominio de f −1 y determine una expresi´n para ella.
o
c) Las funciones de esta forma reciben el nombre de Transformaciones de M¨bius. Pruebe que la com-
o
posici´n de transformaciones de M¨bius es una transformaci´n de M¨bius.
o o o o
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e ıa
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a
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ıa 4 FUNCIONES
ex − e−x
10. El Seno Hiperb´lico de x viene dado por sinh x =
o y el Coseno Hiperb´lico viene dado por
o
2
ex + e−x
cosh x = . Demuestre las siguientes propiedades:
2
a) cosh x > 0 ∀x ∈ R y sinh x ≥ 0 si y solo si x ≥ 0.
b) El seno hiperb´lico es una funci´n impar y el coseno hiperb´lico es una funci´n par.
o o o o
c) cosh x + sinh x = ex y cosh x − sinh x = e−x .
d ) cosh2 x − sinh2 x = 1.
e) sinh (x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y.
f ) cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y.
g) Sea n ∈ N, entonces (cosh x + sinh x)n = cosh nx + sinh nx.
11. Una funci´n f se dice convexa en I ⊆ R si
o
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ I ∀λ ∈ [0, 1]
f se dice c´ncava si −f es convexa. Muestre que las siguientes funciones son convexas en R:
o
a) f (x) = x b) g(x) = |x| c) h(x) = |x|2
Adem´s muestre que las funciones lineales son convexas.
a
12. Sean f (x) = ax + b y g(x) = cx + d con a, c = 0. Muestre que f · g es convexa si a y c tienen el mismo signo,
y si tienen el signo contrario son c´ncavas.
o
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e ıa
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a
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ıa 4.3 Problemas de Modelado
4.3. Problemas de Modelado
1. Una hoja tiene un ´rea de impresi´n de 25 cm2 rodeados por m´rgenes de 2 cm a cada lado y 4 cm en la
a o a
parte superior e inferior. Exprese el ´rea total de la hoja.
a
2. Encuentre el ´rea de un rect´ngulo inscrito en la semielipse x2 + 4y 2 = 4 con y ≥ 0, si un lado debe estar
a a
sobre el eje x.
3. Encuentre la capacidad de una canaleta para aguas de lluvia construida en una plancha de lat´n de 6 m de
o
largo y 80 cm de ancho.
4. Se ha fabricado un envase de lata (un cilindro con tapas) con capacidad de 1 litro. Determine en funci´n del
o
radio basal la cantidad de material utilizado en su fabricaci´n.
o
5. Considere un cilindro recto con tapa cuyo radio basal mide R cm y su altura mide H cm. Determine el
volumen del cilindro en funci´n de su radio sabiendo que su superficie lateral es de 15 cm2 .
o
6. Un rect´ngulo con lados paralelos a los ejes coordenados tiene un v´rtice en el origen, uno en el eje x positivo,
a e
uno en el eje y positivo y su cuarto v´rtice en el primer cuadrante sobre la recta 2x + y = 100. ¿Cu´l es el
e a
a
´rea m´xima de dicho rect´ngulo?
a a
7. Un hotel que cobra 80 d´lares diarios por habitaci´n hace promociones a grupos que reserven entre 30 y 60
o o
habitaciones. Si se reservan entre 30 y 60 habitaciones el precio disminuye un d´lar por cada cuarto. En estas
o
condiciones ¿cu´ntas habitaciones producen el ingreso m´ximo?
a a
8. Un nadador est´ en un punto A en la orilla de un estanque circular de centro O, de 200 m de di´metro. El
a a
nadador desea llegar a un punto B que est´ diametralmente opuesto a ´l. Para hacerlo, camina hasta el punto
a e
P de la orilla de modo que el ´ngulo AOP = 60◦ , y despu´s nada en l´
a e ınea recta de P a B. El nadador camina
con una rapidez de ´ngulo de 50 m/min y nada con una rapidez de 100 m/min. Determine la distancia
a
recorrida como funci´n del tiempo.
o
9. Un empleado dispone de dos opciones para ocupar un puesto en una empresa de la uni´n europea. En un
o
puesto le pagan 12, 5 euros en una hora m´s 0, 75 euros por unidad producida. En el otro puesto le pagan
a
9, 20 euros en una hora m´s 1, 30 euros por unidad producida.
a
a) Exprese los salarios en una hora en t´rminos de el n´mero de unidades producidas para cada una de las
e u
opciones.
b) ¿C´mo usar´ esta informaci´n para seleccionar la opci´n correcta si su objetivo fuera obtener el mayor
o ıa o o
sueldo por hora?
10. Considere un alambre de largo L. A una distancia x de uno de sus extremos, al alambre se le hace un corte
dej´ndolo en dos partes. Con una parte se forma una circunferencia. A la otra parte, a un distancia y de uno
a
de sus extremos, se le hace un corte dej´ndolo en dos partes. Con una parte de hace un tri´ngulo equil´tero
a a a
y con la otra un cuadrado.
a) Encuentre una f´rmula, A(x, y), que calcule la suma de las ´reas.
o a
b) Si y = x, determine el dominio y recorrido de la funci´n A(x).
o
c) Grafique A(x).
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ıa 4 FUNCIONES
11. Considere la siguiente figura:
a) Encuentre el volumen, V (x), del s´lido en funci´n de la altura x.
o o
b) Determine el dominio y recorrido de V (x).
c) Grafique V (x).
12. Considere la siguiente figura:
a) Encuentre el ´rea achurada, A(x), en funci´n de la base x.
a o
b) Determine el dominio y recorrido de A(x).
c) Grafique A(x).
13. Considere la siguiente figura:
a) Encuentre el volumen del cono, V (x), en funci´n de la altura x.
o
b) Determine el dominio y recorrido de V (x).
c) Grafique V (x).
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ıa 4.3 Problemas de Modelado
14. Para a, b > 0 considere la siguiente figura:
a) Encuentre el ´rea, A(x), del rect´ngulo inscrito en el tri´ngulo en funci´n de x.
a a a o
b) Grafique la funci´n A(x) cuyo dominio es el intervalo [0, 2a]. ¿Cu´l es su recorrido?
o a
c) ¿Cu´l es el ´rea m´xima del rect´ngulo inscrito?
a a a a
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5. Geometr´ Anal´
ıa ıtica
5.1. La Recta
1. Hallar la ecuaci´n de la recta que pasa por el punto A(1, 5) y tiene pendiente 2.
o
2. Hallar la ecuaci´n de la recta cuya pendiente es −3 y cuya intercepci´n con el eje Y es −2.
o o
3. Hallar la ecuaci´n de la recta que pasa por los puntos C(4, 2) y B(−5, 7).
o
4. Los v´rtices de un cuadril´tero son A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0). Hallar la ecuaci´n de la recta de sus
e a o
lados.
5. Encontrar la recta que pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(−2, 2) y
C(3, −4).
6. Hallar la ecuaci´n de la recta cuya pendiente es −4 y que pasa por el punto de intersecci´n de las rectas
o o
2x + y − 8 = 0 y 3x − 2y + 9 = 0.
7. Determine el valor de las constantes A y B de modo que los puntos (−3, 1) y (1, 6) pertenezcan a la recta
Ax − By + 4 = 0.
8. Halle el valor de la constante k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0.
9. Determine el valor de la constante k para que la recta k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta
3x − 2y − 11 = 0.
10. Grafique que las rectas 2x − y − 1 = 0, x − 8y + 9 = 0, 2x − y − 8 = 0 y x − 8y + 3 = 0, y luego pruebe forman
un paralel´gramo.
o
11. Las coordenadas del punto P son (2,6), y la ecuaci´n de la recta L es 4x + 3y = 12. Determinar la distancia
o
del punto P a la recta L siguiendo los siguientes pasos:
a) Halle la pendiente de L.
b) Halle la ecuaci´n de la recta L que pasa por P y es perpendicular a L.
o
c) Determine las coordenadas del punto P que es el punto de intersecci´n entre L y L .
o
d ) Calcule la distancia entre el punto P y P .
12. Hallar la distancia de la recta 4x − 5y + 10 = 0 al punto (2, −3).
13. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x − 4y + 8 = 0 y 6x − 8y + 9 = 0.
18
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ıa 5.1 La Recta
14. Hallar la ecuaci´n de la recta paralela a la recta 5x + 12y = 12 que es 4 unidades distante de ella. ¿Es unica
o ´
esta soluci´n? Justifique geom´tricamente.
o e
15. Hallar la ecuaci´n de la recta que pasa por el punto (3, 1) tal que la distancia, de esta recta, al punto (−1, 1)
√ o
es 2 2. ¿Es unica esta soluci´n? Justifique geom´tricamente.
´ o e
16. Determine el ´rea del tri´ngulo cuyos v´rtices son los puntos A(1, 1), B(5, 4) y C(3, 7).
a a e
17. Considere el tri´ngulo cuyos v´rtices son C(−2, 1), L(4, 7) y G(6, −3).
a e
a) Hallar la ecuaci´n de la recta de sus lados.
o
b) Determine el valor de sus alturas.
c) Determine su centro de gravedad.
d ) Encuentre su ´rea.
a
e) ¿Qu´ tipo de tri´ngulo es?
e a
18. Hallar el ´rea del tri´ngulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuaci´n es 5x + 4y + 20 = 0.
a a o
19. Determinar el valor de la constante k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un
5
tri´ngulo rect´ngulo de ´rea 2 unidades cuadradas.
a a a
20. El tri´ngulo ABC con v´rtice C = (3, 4) tiene un ´rea de 10 cm2 . Los otros dos v´rtices est´n sobre la recta
a e a e a
L1 : x − 2y = 0. Si se sabe que L2 , que pasa por C y tiene pendiente m2 = −2, es una transversal de gravedad
del tri´ngulo ABC, determine los v´rtices A y B.
a e
21. Demuestre que el ´rea del tri´ngulo formado por el eje Y y las rectas y = m1 x + b1 e y = m2 x + b2 , con
a a
m1 = m2 , viene dada por:
1 (b2 − b1 )2
A=
2 |m2 − m1 |
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5.2. C´nicas
o
5.2.1. Circunferencia
1. Determine la ecuaci´n de las siguientes circunferencias:
o
a) Centro es el punto (2, −6) y su radio es 6.
b) El segmento de recta que une A(1, 1) y B(−8, 6) es un di´metro.
a
c) El centro est´ en el punto (4, 2) y la circunferencia pasa por el punto (−1, −1).
a
d ) La circunferencia es tangente a la recta 3x − 4y = 32 y el centro est´ en el punto (0, 7).
a
2. Hallar la ecuaci´n de las siguientes circunferencias.
o
a) La circunferencia pasa por los puntos (0, 0), (3, 6) y (7, 0).
b) La circunferencia pasa por los puntos (2, −2), (−1, 4) y (4, 6).
c) La circunferencia pasa por los puntos (4, −1), (0, −7) y (−2, −3).
3. Halle la ecuaci´n de la recta tangente a las siguientes circunferencia en los puntos dados.
o
a) x2 + y 2 − 2x − 6y − 3 = 0 P0 = (−1, 6)
2 2
b) x + y + 2x − 2y − 39 = 0 P0 = (4, 5)
4. Demostrar que las circunferencias C1 : x2 + y 2 − 3x − 6y + 10 = 0 y C2 : x2 + y 2 − 5 = 0 son tangentes. Hallar
la ecuaci´n de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto en com´n y que pasa por el punto (7, 2).
o u
Adem´s compruebe que el centro de esta circunferencia est´ sobre la recta de los centros de C1 y C2 .
a a
5. Hallar la ecuaci´n de la cirunferencia que para por el punto (−10, −2) y por las intersecciones de la circun-
o
ferencia x2 + y 2 + 2x − 2y − 32 = 0 y la recta x − y + 4 = 0.
6. Hallar los valores de a ∈ R de modo que la circunferencia de ecuaci´n x2 + y 2 − 2ax + a2 − 1 = 0 y la recta
o
con interceptos en los puntos (0, 2) y (2, 0):
a) Se corten en un unico punto.
´
b) Se corten en dos puntos.
c) No se corten.
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ıa 5.2 C´nicas
o
5.2.2. Par´bola
a
1. Escriba la definici´n de la Par´bola como un lugar geom´trico y luego deduzca su ecuaci´n.
o a e o
2. Hallar la ecuaci´n de las siguientes par´bolas.
o a
a) V´rtice en el origen y foco en el punto (3, 0).
e
b) V´rtice en el origen y que tiene como directriz la recta y − 5 = 0.
e
c) Foco en el punto (3, 4) y tiene como directriz la recta x − 1 = 0.
d ) V´rtice en el punto (2, 0) y foco en el origen.
e
3. En los siguientes ejercicios lleve la ecuaci´n a su forma can´nica y luego determine: coordenadas del v´rtice y
o o e
del foco, ecuaciones de la directriz y del eje, y la longitud del lado recto.
a) 4y 2 − 48x − 20y = 71
b) 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0
c) y 2 + 4x = 7
d ) 4x2 + 48y + 12x = 159
e) y = ax2 + bx + c
4. Hallar la ecuaci´n de la par´bola cuyo eje es paralelo al eje x y que pasa por los puntos (0, 0), (8, −4) y (3, 1).
o a
5. Determine la ecuaci´n de la par´bola cuyo v´rtice est´ en el punto (4, −1), como eje la ecuaci´n y + 1 = 0, y
o a e a o
que pasa por el punto (−3, 3).
6. Considere la ecuaci´n de la par´bola y 2 = 4px. Demuestre que la ecuaci´n de la recta tangente a una par´bola
o a o a
en el punto P0 (x0 , y0 ) es: y0 y = 2p(x + x0 ).
7. Determine la ecuaci´n de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes par´bolas:
o a
a) y 2 − 4x = 0 P0 (1, 2)
2
b) y + 4x + 2y + 9 = 0 P0 (−6, 3)
2
c) x − 6x + 5y − 11 = 0 P0 (−2, 1)
21
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a
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ıa 5 GEOMETR´ ANAL´
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5.2.3. Elipse
1. Escriba la definici´n de la Elipse como un lugar geom´trico y luego deduzca su ecuaci´n.
o e o
2. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los v´rtices y focos, la longitud de los ejes mayor y
e
menor, y finalmente grafique.
a) 9x2 + 4y 2 = 36
b) 4x2 + 9y 2 = 36
c) 16x2 + 25y 2 = 400
d ) x2 + 3y 2 = 6
3. Hallar la ecuaci´n de la elipse cuyos v´rtices son los puntos (4, 0) y (−4, 0), y sus focos son los puntos (3, 0)
o e
y (−3, 0).
4. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuaci´n sabiendo que
√ √ o
pasa por los puntos ( 6, −1) y (2, 2).
√
5. Hallar la ecuaci´n de la elipse que pasa por los puntos (1, 3), (−1, 4), (0, 3 −
o 3/2) y (−3, 3); y tiene sus ejes
paralelos a los ejes coordenados.
6. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuaci´n a su forma can´nica y luego determinar: coordenadas
o o
de los v´rtices, focos y centro, longitudes de los ejes mayor y menor, y finalmente grafique.
e
a) x2 + 4y 2 − 6x + 16y + 21 = 0
b) 4x2 + 9y 2 + 32x − 18y + 37 = 0
c) x2 + 4y 2 − 10x − 40y + 109 = 0
d ) 9x2 + 4y 2 − 8y − 32 = 0
7. Considere la ecuaci´n de la elipse b2 x2 + a2 x2 = a2 b2 . Demuestre que la ecuaci´n de la recta tangente a una
o o
elipse en el punto P0 (x0 , y0 ) es: b2 x0 x + a2 y0 y = a2 b2 .
8. Determine la ecuaci´n de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes elipses:
o
a) 2x2 + 3y 2 = 5 P0 (1, −1)
2 2
b) 6x + 2y = 14 P0 (1, 2)
2 2
c) 3x + y = 21 P0 (2, 3)
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o
5.2.4. Hip´rbola
e
1. Escriba la definici´n de la Hip´rbola como un lugar geom´trico y luego deduzca su ecuaci´n.
o e e o
2. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los focos, v´rtices y centro, longitudes del lado
e
transverso y conjugado, y finalmente grafique.
a) 9x2 − 4y 2 = 36
b) 4x2 − 9y 2 = 36
c) 16x2 − 25y 2 = 400
d ) x2 − 3y 2 = 6
3. Determine la ecuaci´n de las siguientes hip´rbolas y luego graf´
o e ıquelas.
a) Focos en los puntos (−7, 3) y (−1, 3) y su longitud del lado transverso es de 4 unidades.
b) Los v´rtices de una hip´rbola vienen dados por los puntos (2, 0) y (−2, 0), y sus focos son los puntos
e e
(3, 0) y (−3, 0).
c) La hi´rpola pasa por el punto (3, −1), su origen est´ en el centro, su eje transverso est´ sobre el eje x y
e √ a a
la ecuaci´n de una de sus as´
o ıtotas es 2x + 3 2y = 0.
d ) La hi´rpola pasa por el punto (2, 3), su origen est´ en el centro, su eje transverso est´ sobre el eje y y la
e √ a a
ıtotas es 2y − 7y = 0.
ecuaci´n de una de sus as´
o
4. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuaci´n a su forma can´nica y luego determinar: coordenadas
o o
de los v´rtices, focos y centro, longitudes de los ejes transverso y conjugado, ecuaci´n de sus as´
e o ıntotas y
finalmente grafique.
a) x2 − 9y 2 − 4x + 36y − 41 = 0
b) x2 − 4y 2 − 2x + 1 = 0
c) 9x2 − 4y 2 + 54x + 16y + 29 = 0
d ) 3x2 − y 2 + 30x + 78 = 0
5. Considere la ecuaci´n de la elipse b2 x2 − a2 x2 = a2 b2 . Demuestre que la ecuaci´n de la recta tangente a una
o o
hip´rbola en el punto P0 (x0 , y0 ) es: b2 x0 x − a2 y0 y = a2 b2 .
e
6. Determine la ecuaci´n de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes hip´rbolas:
o e
a) 3x2 − y 2 = 2 (1, 1)
2 2
b) x − 9y = 7 (4, −1)
2 2
c) x − y = 5 (3, 2)
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25. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
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5.3. Lugares Geom´tricos
e
1. Un punto se mueve de tal manera que su distancia a la recta x + y + 1 = 0 es siempre igual a su distancia al
punto (-2,-1). Hallar la ecuaci´n de su lugar geom´trico.
o e
2. Hallar la ecuaci´n del lugar geom´trico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta
o e
x − 2 = 0 es siempre 3 unidades mayor que su distancia al punto (−1, −3).
3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del punto (2, −2) es siempre igual a un tercio de la distancia
del punto (4, 1). Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico.
o e
4. Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia del punto (1, 2) es siempre igual al doble
de su distancia de la recta 3x + 4y − 1 = 0. Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico.
o e
5. Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia
o e
de la recta x + 3 = 0 es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1, 1).
6. Haller e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico del centro de una circunferencia que es siempre tangente
o e
a la recta y = 1 y a la circunferencia x2 + y 2 = 9.
7. Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia
o e
de la recta y + 8 = 0 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0, −2).
8. Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico de un punto que se mueve tal manera que su distancia al
o e
punto (6, 0) es siempre igual al doble de su distancia a la recta 2x − 3 = 0.
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26. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
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6. N´ meros Naturales
u
6.1. Inducci´n
o
1. Demuestre que el producto de 3 naturales consecutivos es siempre divisible por 6.
2. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que:
o
1
1 + 4 + 7 + . . . + (3n − 2) = n(3n − 1)
2
3. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que:
o
1 2
13 + 23 + 33 + . . . + n3 = n (n + 1)2
4
4. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que:
o
1
12 + 32 + 52 + . . . + (2n − 1)2 = n(4n2 − 1)
3
5. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que:
o
5 + (4n − 1)5n+1
1 · (5) + 2 · (5)2 + 3 · (5)3 + . . . + n · (5)n =
16
6. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se tiene que:
o
1 1 1 n(n + 3)
+ + ... + =
1·2·3 2·3·4 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2)
7. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que [n(n + 1)]2 es divisible por 4.
o
8. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que (xn − y n ) es divisible por (x − y).
o
9. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N mayor que 2 y par se tiene que (2n − 1) es divisible por 3.
o
10. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 4n3 + 8n es divisible por 12.
o
11. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 8n3 + 10n es divisible por 6.
o
12. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 32n − 1 es divisible por 8.
o
13. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7.
o
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e ıa
Departamento de Matem´tica
a
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ıa 6 ´
NUMEROS NATURALES
14. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 22n+1 − 9n2 + 3n − 2 es divisible por 54.
o
15. Demuestre que la desigualdad n2 ≥ 6n + 5 es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentre dicho n0 .
16. Demuestre que la desigualdad 5n > n2 + 25 es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentre dicho n0 .
17. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que n2 + n + 2 es un n´mero par.
o u
18. Calcule la suma 3 + 9 + 33 + ... + (22n−1 + 1) y demuestre que ∀n ∈ N la suma de los t´rminos es siempre
e
divisible por 3.
19. Sea {un }n∈N una sucesi´n definida por recurrencia tal que u1 = 0 y un+1 = (1+x)un −nx en donde x ∈ R{0}.
o
1
Probar que un = [1 + nx − (1 + x)n ] ∀n ∈ N.
x
20. Demuestre utilizando inducci´n que ∀k ∈ N se cumple que:
o
1 1 1 k+1
+ ... + + =
1·2 k · (k + 1) (k + 1) · (k + 2) k+2
21. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que:
o
n
k+j−1 n+j
=
j j+1
k=1
22. Considere que una funci´n f : R → R tiene la propiedad f (xy) = f (x) + f (y). Demostrar por inducci´n que
o o
f (an ) = nf (a) ∀n ∈ N.
1 1 1 1 √
23. Demuestre que para todo n´mero natural mayor o igual que 2 se cumple √ + √ + √ + · · · + √ > n
u
1 2 3 n
n 1 1 1
24. Demuestre que para todo n´mero natural n vale la siguiente desigualdad
u < 1 + + + ··· + n ≤ n.
2 2 3 2 −1
25. Sea {un }n∈N la sucesi´n de Fibonacci. Es decir u1 = 1, u2 = 1 y un+1 = un + un−1 para n = 2, 3, . . .
o
n
a) Calcule uk .
k=1
b) Demuestre que un+2 · un = u2 + (−1)n+1 .
n+1
26. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que:
o
n
(−1)k nk 1
=
(k + 2)(k + 3) (n + 2)(n + 3)
k=0
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ıa 6.2 Sumatorias
6.2. Sumatorias
1. Calcule las siguientes sumatorias.
n n n n
a) k b) k2 c) k3 d) k4
k=1 k=1 k=1 k=1
n
2. Calcular f (k) si:
k=1
3
a) f (k) = 2k−1 + 8k 3 − 6k 2 b) f (k) = k 3 + k
2
3. Si para k = 1, . . . , 200 se tiene que ak viene dado por
1 k
(3) , k = 1, . . . , 99
ak =
(k + 1)2 , k = 100, . . . , 200
200
calcule ak
k=1
n
2k − 1
4. Calcule usando la identidad:
k(k + 2)2
k=1
n
3 1 1 3 2n + 3
= −
2 k(k + 2)2 4 2 (n + 1)(n + 2)
k=1
Ayuda: 2k − 1 = 2k − 1 + k 2 + 2k + 5 − k 2 − 2k − 5
5. Calcule las siguientes sumatorias.
n n n
k 1
a) b) 2 + 2k
c) kak , a = 1
(k + 1)! k
k=1 k=1 k=1
n n n+1
k · 2k
d) e) k · (k!) f) (k + 1)(−3)k
(k + 2)!
k=1 k=1 k=1
n+1 k n n
k+2 1 k4 + k2 + 1 1
g) h) i) √ √
k(k + 1) 2 k4 + k k(k + 1)( k + 1 + k)
k=1 k=1 k=1
n n n
n (−1)k k+2 n (−1)k
j) k) l)
k k+1 k(k + 1)2k k (k + 1)(k + 2)
k=1 k=1 k=0
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6. Calcule las siguientes sumatorias.
n 2 n n
n 1 1
a) b) 1+ 2 + c) (k 2 + 1)k!
k k (k + 1)2
k=0 k=1 k=1
n n m
2k 1 1
d) 4 + k2 + 1
e) f) log (1 + )
k k(k + 1) k
k=1 k=1 k=n
n n n
2k + 1 n
g) (−1)k (n − k)!(n + k)! h) i) (a + bk)
k 2 (k + 1)2 k
k=0 k=1 k=1
n
n 2
j) k
k
k=1
n
1
7. Sea x = xk . Demuestre que ∀n ∈ N vale la siguiente identidad:
n
k=1
n n
((xi − x)2 + xi (x − 1)) = x2 − nx
i
i=1 i=1
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