Las matrices son objetos matemáticos que representan sistemas de ecuaciones lineales. Se definen como cuadros de números ordenados en filas y columnas. Este documento presenta las definiciones básicas de matrices, incluyendo tipos como matrices cuadradas, triangulares e identidad. También introduce operaciones algebraicas clave como suma, producto y inversa de matrices, así como propiedades como asociatividad y distributividad.

1. Álgebra de Matrices
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2. En este capítulo estudiaremos, de manera formal, las matrices.
En el cálculo o resolución de sistemas de ecuaciones las hemos
utilizado expresando los sistemas en sus formas matriciales
aumentadas. Ahora podremos observar que las matrices tienen
sus propias propiedades algebraicas, las cuales nos permite
realizar cálculos, mediante sus propias rejas. Ellas también
representan ciertas funciones las cuales actúan como vectores.
MATRICES
Definición 1: Se llama matriz de orden mxn, sobre el
cuerpo de los números reales a una
"caja", "cuadro", entre otros. que contiene mxn número s
reales dispuestos en m filas y n columnas.
* A los números reales aij se les llama elemento s de la
matriz.
* El primer subíndice (i) indica la fila, el segundo (j) la
columna. Así, el elemento a32 es el que está en la tercera
fila y la segunda columna.
* Las dimensiones de la matriz son m y n.
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3. IGUALDAD DE MATRICES
Definición 2: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden
y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar. Así por ejemplo:
A=B si para todo i={1,2,...,m} y para todo j={1,2,...,n} se cumple que aij=bij.
TIPOS DE MATRICES
Definición 3: Matriz fila. Es toda matriz de orden 1xn.
Definición 4: Matriz columna. Es toda matriz de orden mx1.
Definición 5: Matriz nula . Es la que tiene todos sus elementos nulos. La
denotaremos s por (0). Toda matriz de cualquier orden posee una matriz
nula
Definición 6: Matriz opuesta de A. Es la que tiene por elementos los
opuestos de los elementos de A. La denotaremos por -A. Si A=(aij), -A=(-aij).
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4. Definición 7: Matriz traspuesta de A. Es la que se obtiene a partir
de A cambiando filas por columnas sin alterar su orden de colocación.
La denotaremos por At.
Si A=(aij), At=(aji). Si A es de orden mxn, At será de orden nxm.
Teorema 1: propiedades de la traspuesta:
Sean A y B matrices (cuyos tamaños son de tal modo que las
operaciones indicadas puedan ser realizadas) y sea un escalar.
Entonces:
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· (At)
(A · B)t = Bt · At
(Ar)t= (At)r para todos los enteros r no negativos
Definición 8: Matriz cuadrada. Es toda matriz que tiene el mismo
número de filas que columnas. Es decir m=n. En ellas podemos
distinguir:
< La diagonal principal. Son los elementos a11, a22, ..., ann.
< La diagonal secundaria. Son los elementos a1n, a2(n-1), ..., an1.
Definición 9: Submatriz de una matriz A. Es toda matriz A' obtenida
suprimiendo p filas y q columnas en A. Si A es de orden mxn,
A' será de orden (m-p)x(n-q). 4

5. Definición 10: Matriz triangular superior. En una matriz triangular
superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros.
Definición 11: Matriz triangular inferior. En una matriz triangular
inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son
ceros.
Definición 12: Matriz diagonal. En una matriz diagonal todos los
elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal
son nulos.
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6. Definición 13: Matriz escalar. Una matriz escalar es una matriz
diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son
iguales.
Definición 14: Matriz identidad o unidad. Una matriz identidad es
una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1.
Definición 15: Matriz simétrica. Una matriz es simétrica si y sólo si Aij =
Aji , una matriz cuadrada que verifica: A = At.
Definición 16: Matriz antisimétrica o hemisimétrica. Es una matriz
cuadrada que verifica: A = -At.
Definición 17: Matriz ortogonal. Una matriz es ortogonal si verifica que:
A·At = I.
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7. OPERACIONES CON MATRICES:
Definición 18: ADICIÓN DE MATRICES. Dadas dos matrices de la misma
dimensión, (o tamaño) A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como:
A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen:
sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma
posición.
Teorema 2: Propiedades de la suma de matrices
Sean A, B y C matrices del mismo tamaño y sean y escalares.
Entonces:
•Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz
dimensión m x n.
•Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
•Elemento neutro: A + 0 = A
•Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
•Elemento opuesto: A + (-A) = O
•La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están
cambiados de signo.
•Conmutativa: A + B = B + A
•Distributividad de dos matrices con respecto a un escalar (A + B) =
A+ B
•Distributividad de dos escalares con respecto a una matriz( + ) A =
A+ A 7

8. Definición 19: PRODUCTO DE MATRICE. Dos matrices A y B se dicen
multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de
filas de B. Mm x p x Mp x n = M m x n. El elemento cij de la matriz producto se
obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada
elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Teorema 2: Propiedades del producto de matrices
Sean A,B y C matrices (cuyos tamaños son de tal modo que las
operaciones indicadas puedan ser realizadas) y sea un escalar.
Entonces:
•Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C
•Elemento neutro: ImA = A=AIn si A es mxn
•Distributiva del producto respecto de la suma por la izquierda:
•A · (B + C) = A · B + A · C
•Distributiva del producto respecto de la suma por la derecha:
•(A + B)C = AC + BC
•Asosiatividad con respecto al producto de matrices y un escalar:
(AB) = ( A)B = A( B)
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9. Definición 20: Inversa de una matriz. Si A es una matriz de
nxn, una inversa de A es una matriz A-1 de nxn con la propiedad de
que:
A A-1 = I y A-1A = I
Donde I = In es la matriz identidad de nxn. Si A-1 existe, entonces A se
dice que es invertible.
Teorema 3:
Si A es una matriz invertible, entonces su inversa es única.
Teorema 4:
Si A es una matriz invertible de nxn, entonces el sistema de
ecuaciones lineales dado por Ax = b tiene la solución única x = A-1b
para cualquier b en Rn.
Teorema 5:
Si
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10. Definición 21: Operaciones elementales:
Se llaman operaciones elementales realizadas en una matriz a cualquiera de
las transformaciones siguientes:
•Cambiar entre sí dos filas (columnas). Se puede representar por
, siendo fi y fj dos filas de una matriz.
.
•Multiplicar una fila (columna) por un número real distinto de cero.
.
•Suma a una fila (columna) otra fila (columna) multiplicada por un número real.
.
Definición 22: Dos matrices A y B son equivalentes si una de ellas se puede
obtener a partir de la otra mediante operaciones elementales. Se puede
representar por A B
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