Fundamentos de algebra matricial ccesa007
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Fundamentos de algebra matricial ccesa007
- 2. Matrices 1.- Matrices. Definición y primeros ejemplos Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo: Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). = mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 Filas de la matriz A Columnas de la matriz A Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices: - El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, - y el segundo, “j”, la columna. Así el elemento a23 está en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representarán con letras mayúsculas (A, B, C, …). Pág. 2
- 3. Matrices Observación: Los ija son llamados componentes o elementos de la Matriz. Pág. 3
- 4. Matrices El conjunto de todas las matrices de orden mxn y con elementos en K se suele denotar por: ( ){ }( ) /m n m n i j i jmxn M K K A a a K× × = = = ∈ Pág. 4
- 5. Matrices Son ejemplos de matrices los siguientes: A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su dimensión 2 x 2. ¿Qué elemento es a21? = 43 12 A − = 121 046 B − − = 001 251 042 013 C B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3. ¿Qué elemento es b23? C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su dimensión 4 x 3. ¿Qué elemento es c32? EJEMPLOS 1.- Matrices. Definición y primeros ejemplos Pág. 5
- 6. Matrices En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es m x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas. Igualdad Dos matrices A y B son iguales cuando contienen los mismos elementos, dispuestos en los mismos lugares: A = B ⇔ aij = bij ∀ i, j Lógicamente, para que dos matrices sean iguales es necesario que tengan la misma dimensión. 1.- Matrices. Definición y primeros ejemplos Pág. 6
- 7. Matrices 2.- Tipos de matrices Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es 1 x n. es una matriz fila de dimensión 1 x 4. Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1. es una matriz columna de dimensión 3 x 1. ( )9401 −=B − = 8 0 1 C Por ejemplo, • Según su dimensión: Por ejemplo, Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n. matriz cuadrada de orden 3. −− = 043 456 321 D 43 12 es una matriz cuadrada de dimensión 2 x 2 o simplemente de orden 2. Pág. 7
- 8. Matrices Matriz cuadrada de orden n: forman la diagonal principal Mismo número de filas que de columnas 8
- 9. Matrices Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz: En la matriz D, la diagonal principal está formada por 1, 5, 0. = nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 Diagonal principal La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1. En la matriz D está formada por 3, 5, -3. −− = 043 456 321 D 2.- Tipos de matrices Pág. 9
- 10. Matrices Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares. Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal. Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal. Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal. Un ejemplo de matriz diagonal es: − = 0000 0300 00450 0001 G − − = 781631 0543 0040 0001 E Triangular inferior Triangular superior −= 300 590 341 F • Según sus elementos: 2.- Tipos de matrices Pág. 10
- 11. Matrices Matriz triangular superior Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas: Matriz triangular inferior Ceros debajo de la diagonal principal Ceros encima de la diagonal principal 11
- 12. Matrices Matriz diagonal Matriz unidad Ceros fuera de la diagonal principal Ceros fuera de la diagonal principal, unos en la diagonal principal Matriz escalar Delta de Kronecker 12
- 13. Matrices Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tamaño de la matriz. Algunas matrices identidad son: = 1000 0100 0010 0001 4I = 100 010 001 3I = 10 01 2I Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero. es una matriz nula de tamaño 2x5. = 00000 00000 APor ejemplo, 2.- Tipos de matrices Pág. 13
- 14. Matrices Matrices escalonadas Fíjate en las siguientes matrices: De ellas se dice que son matrices escalonadas. En ellas se cumple que: • Si hay filas nulas, están situadas en la parte inferior de la matriz. • En las filas no nulas, el primer elemento diferente de cero es uno. • En las filas no nulas, el primer elemento diferente de cero de una fila está situado más a la derecha que el primer elemento diferente de cero de la fila inmediatamente superior. 1 1 1 0 1 6 A − = 1 5 0 0 1 2 0 0 1 B = 1 6 0 0 0 0 0 0 C = 1 5 0 0 1 2 0 0 0 D = 2.- Tipos de matrices Pág. 14
- 15. Matrices 3.-Transformaciones elementales Existen una serie de operaciones que se pueden hacer con las filas de una matriz y que permiten convertirla en una matriz escalonada: las transformaciones elementales. En general, si llamamos Fi a la fila i-ésima y Fj a la fila j-ésima, las transformaciones elementales son: • Intercambiar dos filas. Fi ↔ Fj. • Sumar a una fila los elementos correspondientes de otra fila multiplicada por un nº real k. Fi → Fi + kFj • Multiplicar todos los elementos de una fila por un número real no nulo. Fi → kFi − − 351 124 202 − − 124 351 202F2 ↔ F3 − − 351 124 202 − 351 124 8100F1 → F1 + 2F3 − − 351 124 202 F2 → 2F2 −− − 351 248 202 Ejemplo Pág. 15
- 16. Matrices Estas transformaciones permiten definir una equivalencia entre las matrices de igual dimensión. Dos matrices son equivalentes si una de ellas se obtiene a partir de la otra mediante transformaciones elementales. EJEMPLO −− = 1341 2211 1312 A −− 1341 2211 1312 −− 1341 1312 2211 −−− 1550 3110 2211 − −−− 14000 3110 2211 F1 ↔ F2 F2 → F2 – 2F1 F3 → F3 + F1 F3 → F3 + 5F2 Reducir a forma escalonada la matriz Para facilitar los cálculos posteriores, hacemos que el elemento a11 sea 1: Hacemos que el elemento a32 sea 0: Hacemos que los demás elementos de la primera fila sean 0: Que está en forma escalonada 3.-Transformaciones elementales Pág. 16
- 17. Matrices EJERCICIO 3.-Transformaciones elementales Reduce a forma escalonada las matrices: −= 0213 1014 9432 B − − = 13111031 54321 81512 D − − = 2880 4621 5131 C = 1063 752 321 A Pág. 17
- 18. Matrices 4.- Operaciones con matrices Dadas dos matrices A y B de la misma dimensión m × n, la matriz suma, A + B, es la que se obtiene sumando los elementos que en cada una de ellas ocupan la misma posición. Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí. 323232 641 714 523 402 124 312 ××× − = + − EJEMPLO De forma abreviada: (aij) + (bij) = (aij + bij) ++ ++ = + =+ mnmnmm nn mnm n mnm n baba baba bb bb aa aa BA ... ......... ... ... ......... ... ... ......... ... 11 111111 1 111 1 111 4. 1. Suma y diferencia Pág. 18
- 19. Matrices Propiedades de la suma de matrices: 323232 407 110 523 402 124 312 ××× −− − = − − EJEMPLO La existencia de elemento opuesto permite definir la matriz diferencia (resta), A – B. Es la que se obtiene al sumar A con – B: A – B = A + (– B) a) Conmutativa: A + B = B + A b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente. d) Elemento opuesto de A: La matriz –A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A. A + 0 = 0 + A A + (– A) = (– A) + A = 0 4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia Pág. 19
- 20. Matrices ( ) ( ) ( ), , ( )m nMA a B b C KC ×= = = ∈ij ij ij ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C a b c a b c a b c a b c A B C + + = + + = + + = + + = + + = + + ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ( ) ( )A B a b b a B A+ = + = + = +ij ij ij ij ( ) ( ) ( )0 0A A a a + − = + − = =ij ij Demostración: Pongamos . . .Entonces: ( ) ( ) ( )0 0 0A a a A+ = + = + =ij ij Pág. 20
- 21. Matrices Si porque: 232323 00 00 00 93 24 10 93 24 10 ××× = − + − −− − EJEMPLO 4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia ⇒ − −− − = 93 24 10 A 3 × 2 − =− 93 24 10 A 3 × 2 Opuesta de una matriz Pág. 21
- 22. Matrices 2. Calcula x, y, z en la suma: 3. Calcula a, b, c para que se cumpla la igualdad: − = − + + +− −− 602 21 021 42 614 23 a c ba c ba − −− = − −+ − −− 142 440 311 32 32 0 20 1 21 x z zy z xy yx 1. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2000 y 2001 vienen dadas por las matrices: Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos años. ¿Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total? Calcula el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001. EJERCICIOS 4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia = 3,42,021 2,31,117,15 173,13 2001A X Y Z A B C = 3,22,39,20 2,1105,14 5,07,611 2000A A B C X Y Z Pág. 22
- 23. Matrices Dada una matriz cualquiera A de dimensión m × n y un número real k, el producto k·A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual dimensión. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real). Propiedades: a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·B b) Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)·A= k·A + d·A c) Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·A d) Elemento neutro, el número 1: 1·A=A 3232 51020 15510 124 312 5 ×× −− −−− = − ⋅− EJEMPLO ⋅⋅ ⋅⋅ = ⋅=⋅ mnm n mnm n akak akak aa aa kAk ... ......... ... ... ......... ... 1 111 1 111 4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un nº real Pág. 23
- 24. Matrices 1.[ ] [ ]( ) ([ ] ) ([ ] [ ]) ( ) ( ) . 2. ( ) ( ) ( [ ]) ([ ] [ ]) ( ) ( ) . 3.( ) ([ ] ) ( [ ]) ( ) ( ). 4.1 (1 ) ( ) . ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij A a a a a a a A A A B a b a b a b a b A B A a a a A A a a A α β α β α β α β α β α β α α α α α α α α α αβ αβ α β α β α β + = + = + = + = + = + + = + = + = + = + = + = = = = = = = , ,( ) , ( ) . :ij i j ij i jA a B b Entonces= = DEMOSTRACION. Pongamos Pág. 24
- 25. Matrices 1. Si halla una matriz X que verifique la ecuación: 2·X – 4·A = B 2. Determina las matrices X e Y sabiendo que: − = = 20 01 y 10 11 BA − =− 18 21 53 YX =+− 03 42 3YX EJERCICIOS 4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un nº real Pág. 25
- 26. Matrices Producto de una matriz fila por una matriz columna. Sea A una matriz fila y B una matriz columna: ( )132 −=A = 5 2 1 B Definimos el producto de la matriz A por la matriz B (en este orden): ( ) = ⋅−=⋅ 5 2 1 132BA 2·1 + (−3)·2 + 1·5 = 2 − 6 + 5 = 1 1 x 3 3 x 1 Observa que el resultado es un número 1 x 3 3 x 1 Hemos emparejado cada elemento de A con un elemento de B, luego el número de estos elementos (nº de columnas de A y nº de filas de B) debe coincidir para poder realizar este producto. 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices Pág. 26
- 27. Matrices Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición: Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p (observa que el nº de columnas de A = n = nº de filas de B), entonces el producto A·B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo: “El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C = A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados” “Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A·B , es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B” Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación. 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices Pág. 27
- 28. Matrices A · B = A·B m × n n × p m × p Es posible el producto Columnas Filas La matriz producto, A·B, si existe, es la que se obtiene de la forma siguiente: El elemento de esta matriz que ocupa la fila i-ésima y la columna j-ésima es el que se obtiene de multiplicar la fila Fi por la columna Cj. ⋅⋅ ⋅⋅ = ⋅ =⋅ nmm n knk n mkm k CFCF CFCF bb bb aa aa BA ... ......... ... ... ......... ... ... ......... ... 1 111 1 111 1 111 F1 C1 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices Pág. 28
- 29. Matrices 1º.- Comprobamos que se puede realizar el producto A·B, pues el nº de columnas de A es 4 y el nº de filas de B también es 4. 3º.- Sólo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior: − − = 2352 4123 A − − = 123 202 121 140 B EJEMPLO Para multiplicar las matrices: 2º.- El resultado, según lo dicho será una matriz de dimensión 2 x 3, tiene 2 filas y 3 columnas: 2 × 4 4 × 3 − − 123 202 121 140 2 × 4 4 × 3 2 × 3 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices ⋅ − − 2352 4123 = Pág. 29
- 30. Matrices 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices = − − 123 202 121 140 2 × 4 4 × 3 2 × 3 El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir: F1 · C1 = (–3 2 1 4) · 0 1 2 3 = (−3)·0 + 2·1 + 1·2 + 4·3 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16 16F1 C1 ⋅ − − 2352 4123 Pág. 30
- 31. Matrices 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices = − − 123 202 121 140 2 × 4 4 × 3 2 × 3 F1·C2 = (–3 2 1 4) · −4 −2 0 2 16F1 C2 El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar: 16 = (−3)·(−4) + 2·(−2) + 1·0 + 4·2 = 12 − 4 + 0 + 8 = 16 ⋅ − − 2352 4123 Pág. 31
- 32. Matrices − − 123 202 121 140 2 × 4 4 × 3 2 × 3 F1·C3 = (–3 2 1 4) · 1 1 2 1 16F1 C3 16 = (−3)·1 + 2·1 + 1·2 + 4·1 = − 3 + 2 + 2 + 4 = 5 El elemento de la fila 1 y columna 3 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar: 5 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices ⋅ − − 2352 4123 = Pág. 32
- 33. Matrices Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto: − − 123 202 121 140 2 × 4 2 × 3 16 16 5 F2 C1 5 4 × 3 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices ⋅ − − 2352 4123 = Pág. 33
- 34. Matrices Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto: − − 123 202 121 140 2 × 4 2 × 3 16 16 5 F2 C2 5 –22 4 × 3 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices ⋅ − − 2352 4123 = Pág. 34
- 35. Matrices − =⋅ 11225 51616 BA Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto: − − 123 202 121 140 2 × 4 2 × 3 16 16 11F2 C3 5 5 –22 Así la matriz producto es: B · A 4 × 3 2 × 4 Observa que el producto B·A no se puede hacer: 4 × 3 ≠ 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices ⋅ − − 2352 4123 = Pág. 35
- 36. Matrices 1. Si calcula, si es posible, A·B y B·A. ¿Coinciden? 2. Lo mismo si Además, calcula A2 y A3. − = 511 203 B, 14 20 11 − − =A = 543 012 C = 1 2 1 B − = 120 111 321 A EJERCICIOS 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices − − = 62 31 A − = 12 53 B 3. Calcula todos los productos posibles entre las matrices: Pág. 36
- 37. Matrices Propiedades del producto de matrices c) Elemento neutro: la matriz identidad correspondiente. Si A es m x n: d) En general el producto de matrices no es conmutativo Pueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Ten cuidado con esta propiedad. e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula: Se dice que el conjunto de las matrices con la operación producto tiene divisores de cero, es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo. CABACBA ⋅+⋅=+⋅ )( ACABACB ⋅+⋅=⋅+ )( AIA n =⋅ AAIm =⋅ ABBA ⋅≠⋅ 12 13 32 0 0 4 2 5 120 312 × × × = − ⋅ a) Asociativa: A·(B·C) = (A·B)·C b) Distributiva respecto de la suma: 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices Pág. 37
- 38. Matrices ( ) , , ( )( ) ( [ ]) ( ) ( [ ]) ( ) ( ) ik l kl lj k ik l kl lj kl ik kl lj l k ik kl i j k ik kl i l a b c a b c a b c a b a A b C C B AB ∑ =∑ ∑ =∑= = ∑ ∑ = ∑ = ( ) ( )( ) ( [ ]) ( [ ]) ik kj kj k ik kj kj k ik kj ik kj A B C a b c a b c a b a c + = + =∑ + =∑ + ([ ] [ ]) ( ) ( )k ik kj k ik kj k ik kj k ik kja b a c a b a c AB AC = ∑ + ∑ = ∑ + ∑ = + Pág. 38
- 39. Matrices 1. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas las propiedades siguientes, que son ciertas para las operaciones con números reales?: a) (A + B)2 = A2 + B2 + 2 · A · B b) (A − B)2 = A2 + B2 − 2 · A · B c) (A + B) · (A − B) = A2 − B2 2. Determina los valores de a y b de la matriz para que A2 = A. 3. ¿Qué matrices conmutan con la matriz ? − = ba A 12 10 21 EJERCICIOS 4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices Pág. 39
- 40. Matrices Propiedades del producto de matrices (II) I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en un orden distinto al dado. II. Si A . B = 0 entonces no siempre ocurre que A = 0 ó B = 0. III. Si A . C = B . C y C ≠ 0, entonces no necesariamente A = B. IV. (A + B)2 ≠ A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten. V. (A – B)2 ≠ A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten. VI. A2 – B2 ≠ (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten. Ejemplo: Aunque ÷ ÷ 0 2 0 0 . ÷ ÷ 0 –3 0 0 = ÷ ÷ 0 0 0 0 ninguno de los factores que forman el producto es la matriz nula.
- 41. Matrices POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS Una de las herramientas principales en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales es el álgebra matricial. En concreto, el cálculo de potencias naturales de matrices cuadradas resulta de gran interés en el estudio de las ecuaciones diferenciales. Además, las potencias de matrices desempeñan un papel importante en diversas aplicaciones, como por ejemplo en el modelo de Leontief de entrada-salida. Si y : -PROPIEDADES.- 1.- 2.- 41
- 42. Matrices Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A. Si entonces la matriz traspuesta de A es: Si A es una matriz de dimensión m x n, su traspuesta At tendrá dimensión n x m, pues el número de columnas pasa a ser el de filas y viceversa. Propiedades: a) (At)t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial. b) (A + B)t = At + Bt c) (k ・ A)t = k ・ At d) (A · B)t = Bt · At − = 1243 7012 A − = 17 20 41 32 t A EJEMPLO 2 × 4 4 × 2 Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá la misma dimensión. 4.- Operaciones con matrices 4. 4. Trasposición de matrices Pág. 42
- 43. Matrices La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij ). entonces At = (aji ). Si A es mxn, entonces At es nxm. Pág. 43
- 44. Matrices En base a esta nueva operación, podemos definir otras dos clases de matrices: Matriz simétrica: matriz cuadrada que coincide con su traspuesta; es decir, una matriz cuadrada es simétrica si se cumple que At = A. En una matriz simétrica, los elementos son simétricos respecto a la diagonal principal. Matriz antisimétrica: matriz cuadrada cuya opuesta coincide con su traspuesta; es decir, si cumple que At = −A. Por ejemplo: En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son siempre nulos (¿por qué?), y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal. − −= 723 201 312 A − −−= 023 201 310 B es simétrica es antisimétrica (comprueba). 4.- Operaciones con matrices 4. 4. Trasposición de matrices Pág. 44
- 45. Matrices Sólo para matrices cuadradas A simétrica si y sólo si , es decir: A antisimétrica si y sólo si , es decir: ¿Cómo son los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica? Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizar utilizando la relación que tienen con sus traspuestas. 45
- 46. Matrices Sólo para matrices cuadradas A periódica si . Si p es el menor número natural que satisface , entonces decimos que A es una matriz periódica de período p. A idempotente si . A nilpotente si . Si p es el menor número natural que satisface , decimos que A es una matriz nilpotente de índice p. A involutiva si . A continuación estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad al comportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por ejemplo, desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadística y la Econometría. 46
- 47. Matrices 1. Dadas las matrices calcula 3At − Bt . 2. Obtener las matrices X e Y que verifiquen los sistemas: = 431 341 331 A −− = 016 102 211 B =− 24 51 32 YX − =− 63 01 YX a) =+ 03 12 YX =− 10 26 YX b) − =+ 20 13 2 YX − =+ 42 01 2YX c) EJERCICIOS 4.- Operaciones con matrices 4. 4. Trasposición de matrices Pág. 47
- 48. Matrices Pág. 48
- 49. Matrices Pág. 49
- 50. Matrices 5.- La matriz inversa En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas. El inverso del número 2 para el producto es un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x es igual al elemento neutro, el 1. Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Recordemos que ocurría con los números reales: En el caso de los números reales es bien fácil despejar x: Todo número real, salvo el 0, tiene inverso. x = 1 2 El inverso de un número real es otro número que multiplicado por él da el elemento neutro, el 1. Esto nos permite resolver ecuaciones del tipo: a·x = b 2·x = 6 ·2·x = ·61 2 1 2 x = 3 1 Pág. 50
- 51. Matrices Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales: nIXA =⋅ 5.- La matriz inversa 1) No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In/A, porque no hemos definido la división de matrices. 2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números). Pág. 51
- 52. Matrices Si una matriz cuadrada de orden n , A, tiene inversa se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular). y Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible. nIAA =⋅ −1 nIAA =⋅−1 Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A·B = B·A = I, siendo I la matriz unidad o identidad. La matriz inversa de A se representa por A–1. Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una). Para calcular dicha matriz inversa, podemos utilizar varios métodos. A continuación veremos dos métodos. En el tema 3 veremos otro. Por tanto, si una matriz cuadrada de orden n , A, tiene inversa, A−1 , se cumple que: 5.- La matriz inversa Pág. 52
- 53. Matrices lo que buscamos es otra matriz de igual tamaño (orden 2) =− tz yx A 1 ⇒=⋅ − 2 1 IAA ⇒ = ⋅ − 10 01 11 21 tz yx = +−+− ++ 10 0122 tyzx tyzx Consiste en determinar A−1 planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por ejemplo queremos determinar la inversa de la matriz − = 11 21 A que debe cumplir A · A−1 = I2 y A−1 · A = I2, x + 2z = 1 y + 2t = 0 –x + z = 0 –y + t = 0 Es decir, hemos de resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, aunque en realidad son 2 sistemas de dos incógnitas cada uno (uno con x y z y otro con y y t). 5.- La matriz inversa 5. 1. Método directo Pág. 53
- 54. Matrices Se puede comprobar que también se cumple que A−1 · A = I2, luego A es invertible, tiene inversa. Resolviendo el sistema se obtiene que por lo que la matriz inversa es: − ⋅= 11 21 3 1 x + 2z = 1 y + 2t = 0 –x + z = 0 –y + t = 0 5.- La matriz inversa 5. 1. Método directo x = 1 3 y = –2 3 z = 1 3 t = 1 3 1 3 –2 3 1 3 1 3 A−1 = Pág. 54
- 55. Matrices Por ejemplo, si Y por ejemplo de 2x + 2z = 0 se obtiene x = –z, si se sustituye en la primera ecuación es –z + z = 1, es decir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene solución. = 22 11 A ⇒=⋅ − 2 1 IAA ⇒ = ⋅ 10 01 22 11 tz yx = ++ ++ 10 01 2222 tyzx tyzx Si el sistema no tiene solución, la matriz no tiene inversa. x + z = 1 y + t = 0 2x + 2z = 0 2y + 2t = 0 Por tanto A no es invertible, es singular. Este método directo sólo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamaño 2, puesto que para las de tamaño 3 obtenemos un sistemas de !9 ecuaciones con 9 incógnitas! que realmente es difícil de resolver. 5.- La matriz inversa 5. 1. Método directo No todas las matrices tienen inversa. Pág. 55
- 56. Matrices Sea A = (aij) la matriz dada e I3 la matriz unidad. Se parte del siguiente esquema: Si en el proceso aparece en el lugar de la matriz A (en la parte izquierda) alguna fila nula, la matriz no tiene inversa. Aplicar transformaciones elementales hasta llegar a la forma: Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz A−1. 5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan (A | I3) (I3 | A–1) 100 010 001 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 333231 232221 131211 100 010 001 bbb bbb bbb Pág. 56
- 57. Matrices Calcula por el método de Gauss-Jordan la inversa de la matriz i) Consideramos la matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente: ii) Se hace la matriz A triangular superior (es decir, hacemos ceros por debajo de la diagonal principal) usando transformaciones elementales en filas. − = 11 21 A EJEMPLO 5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan 1 2 1 0 –1 1 0 1 (A | I2) = En nuestro caso, basta sumar la fila 2 con la fila 1, y se obtiene: 1 2 1 0 –1 1 0 1 (A | I2) = 1 2 1 0 0 3 1 1 F2 → F2 + F1 Pág. 57
- 58. Matrices iii) Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular inferior, haciendo ceros a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecido al anterior: 5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan iv) Ya tenemos una matriz diagonal. Lo único que falta es dividir a cada fila entre el número adecuado para obtener unos en la diagonal principal, es decir, para obtener la matriz identidad en la parte izquierda: v) Una vez se tiene la matriz identidad en la parte de la izquierda, la parte derecha es la matriz inversa, es decir, llegamos a: matriz que habíamos obtenido antes por el método directo. − ⋅= 11 21 3 1 1 2 1 0 0 3 1 1 3 0 1 –2 0 3 1 1 F1 → 3F1 – 2F2 3 0 1 –2 0 3 1 1 (F1)/3 , (F2)/3 1 0 1/3 –2/3 0 1 1/3 1/3 (I2 | A–1) = 1 0 1/3 –2/3 0 1 1/3 1/3 A–1 = 1/3 –2/3 1/3 1/3 Pág. 58
- 59. Matrices Si al realizar el método de Gauss-Jordan en algún momento alguna fila es de ceros, la matriz no tiene inversa. 5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan Si calculamos por este método la inversa de resulta: Como aparece una fila de ceros, la matriz A no tiene inversa. = 22 11 A 1 1 1 0 2 2 0 1 (A | I2) = 1 1 1 0 0 0 – 2 1 F2 → F2 – 2F1 Cuanto mayor sea el orden de la matriz, mejor es este método frente al directo. Condición para que una matriz tenga inversa (según el método de Gauss) EJEMPLO Pág. 59
- 60. Matrices Calcula, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz Siguiendo los pasos anteriores: −= 101 211 011 B EJEMPLO 5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan (B | I3) = F2 → F2 + F1 F3 → F3 – F1 F3 → 2F3 + F2 F2 → 2F2 – F3 F1 → 4F1 – F2 1 1 0 1 0 0 –1 1 2 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 4 –1 1 2 1 1 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 – 1 1 –1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 4 0 3 1 –2 0 0 4 –1 1 2 4 0 0 1 –1 2 0 4 0 3 1 –2 0 0 4 –1 1 2 Pág. 60
- 61. Matrices También se puede expresar, sacando factor común: 5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan = (I3 | B–1) 1 0 0 1/4 –1/4 2/4 0 1 0 3/4 1/4 –2/4 0 0 1 –1/4 1/4 2/4 1/4 –1/4 1/2 B–1 = 3/4 1/4 –1/2 –1/4 1/4 1/2 1 –1 2 B–1 = · 3 1 –2 –1 1 2 1 4 F1 4 F2 4 F3 4 4 0 0 1 –1 2 0 4 0 3 1 –2 0 0 4 –1 1 2 Pág. 61
- 62. Matrices 1. Calcular por el método de Gauss-Jordan la inversa de las matrices: 2. Dada la matriz diagonal calcula su inversa. ¿Cómo calcularías de forma rápida la inversa de una matriz diagonal cualquiera? − − − = 012 423 321 B − − = 101 210 412 C −= 500 020 003 D EJERCICIOS 5.- La matriz inversa − = 13 12 A Pág. 62
- 63. Matrices 6.- Rango de una matriz El concepto de rango se encuentra ligado al de “independencia lineal” de filas o columnas de una matriz, pero no se introducirá de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos. Baste saber que se define el rango de una matriz como el número máximo de filas o columnas linealmente independientes. Sin embargo, el cálculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizando el método de Gauss. Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que aplicamos el método de Gauss con el fin de simplificarla lo más posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor número de ceros posible, que esté en forma escalonada), realizando operaciones elementales en filas. Llamaremos rango de la matriz A y lo representaremos por Rang(A) al número de filas no nulas de la matriz tras aplicarle el método de Gauss. A continuación veremos cómo asignar a una matriz un parámetro llamado rango. Pág. 63
- 64. Matrices Rango de una matriz escalonada El rango de una matriz escalonada A es el número de filas no nulas de A. Lo denotamos por rang(A) − = 620 113 A − = 200 230 051 B = 00 00 00 64 C − = 000 230 051 D EJEMPLOS rang(A) = 2 rang(B) = 3 rang(C) = 1 rang(D) = 2 6.- Rango de una matriz Pág. 64
- 65. Matrices Rango de una matriz cualquiera Nos preguntamos ahora cómo podemos definir el rango de una matriz cualquiera. Vimos que mediante transformaciones elementales podemos transformar cualquier matriz en otra equivalente que sea escalonada. El rango de una matriz A es el rango de una matriz escalonada equivalente a A. Así que para obtener el rango de una matriz la transformamos en una matriz escalonada mediante transformaciones elementales (Las transformaciones elementales no modifican el rango). El rango de la matriz será el número de filas no nulas de la matriz escalonada. 6.- Rango de una matriz Pág. 65
- 66. Matrices Calcular el rango de las siguientes matrices: Rg(A)=1 ,sólo una fila distinta de cero. Rg(B)=2 hay 2 filas no nulas. Rg(C)=2 hay 2 filas no nulas. Rg(D)=1, sólo una fila no nula. = 22 11 A = 11 30 B −− = 211 112 011 C −−− = 321 642 D a) b) c) d) − − 220 110 011 − 000 110 011 EJEMPLOS 6.- Rango de una matriz 000 642F2 → 2F2 + F1 F2 → F2 – 2·F1 F3 → F3 + F1 F3 → F3 + 2·F2 F2 → F2 – 2·F1 00 11 F2 ↔ F1 30 11 Pág. 66
- 67. Matrices Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que el número de filas de la matriz. Propiedad: Si A es una matriz de tamaño m x n no nula se cumple que: 1 ≤ rang(A) ≤ min{m, n} 6.- Rango de una matriz De hecho se verifica que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que su número de filas y de columnas, pues el proceso para hacer el método de Gauss se puede hacer indistintamente mediante operaciones elementales en filas o en columnas. Esto permite, antes de calcular el rango de una matriz, saber entre qué valores va a estar ese rango. Por ejemplo, en el caso c) del ejemplo, como la matriz es 3x3 , el rango sólo puede ser 0, 1, 2 o 3, no hay otras posibilidades. En el caso del apartado d), como la matriz es 2 x 3, el rango sólo puede ser 0,1 o 2. (De hecho, podemos reducir esto algo más , pues una matriz sólo tiene rango cero si es la matriz nula).Resumiendo: Pág. 67
- 68. Matrices Calcular en función de k el rango de la matriz: Aplicando Gauss, Ahora es evidente que si k – 6 = 0, la última fila es nula. Por tanto, si k = 6, la última fila es nula y el rango de A es 1, Rg(A)=1, mientras que si k - 6 es distinto de cero, es decir si k es distinto de 6, hay 2 filas no nulas y el rango de A es 2, Rg(A)=2. Resumiendo: La siguiente propiedad permite relacionar el concepto de rango con el de matriz inversa visto anteriormente: Propiedad: Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇔ Rg(A) es máximo. = k A 33 211 = k A 33 211 Si k ≠ 6, entonces Rg(A) = 2 Si k = 6, entonces Rg(A) = 1 EJEMPLO 6.- Rango de una matriz F2 → F2 – 3·F1 − 600 211 k Pág. 68
- 69. Matrices 1. Calcula el rango de A según los valores de k: ¿Para qué valores de k tiene A inversa? 2. Calcula el rango de las matrices: − − = k A 15 311 121 = 012 101 A −= 240 101 120 B − = 1000 1112 0100 1112 C − − = 13111031 54321 81512 D EJERCICIOS 6.- Rango de una matriz Pág. 69
- 70. Matrices 7.- Aplicaciones de las matrices Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables. Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes: Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B). 2 unid. 5 unid. 10 unid. Color N 0,04 0,08 0,12 Color F 0,03 0,05 0,08 Color N Color F 2 unid. 700000 50000 5 unid. 600000 40000 10 unid. 500000 500000 EJEMPLO Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente: Pág. 70
- 71. Matrices Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices: Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión. Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación se expresa con un 0. Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente. 7.- Aplicaciones de las matrices 2 unid 5 unid 10 unid N F = 5000004000050000 500000600000700000 A 2 unid 5 unid 10 unid N F = 08,012,0 05,008,0 03,004,0 B Pág. 71
- 72. Matrices En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas. Grafo Grafo simple Grafo dirigido. 7.- Aplicaciones de las matrices Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar: * Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unan un punto consigo mismo, ni líneas paralelas, es decir, líneas que conectan el mismo par de puntos. * Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada línea, mediante una flecha. Estos tipos de grafo pueden verse en la figura: Pág. 72
- 73. Matrices Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que: 7.- Aplicaciones de las matrices 0000 0001 0100 1010 A B C D A B C D * un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la columna j mediante una línea que los una directamente. * un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una línea que los una directamente. La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior será: Pág. 73
- 74. Matrices 1. Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos: 2. Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia: EJERCICIOS 7.- Aplicaciones de las matrices 0110 0001 1000 1110 A B C D A B C D 000 101 010 A B C A B C Pág. 74
- 75. Matrices mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa =+++ =+++ =+++ 2211 22222121 11212111 mmnmm n n baaa baaa baaa 21 222221 111211 Matriz aumentada asociada, para resolver el sistema de ecuaciones lineales. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: 75
- 76. Matrices 2x1 + 6x2 + x3 = 7 x1 + 2x2 – x3 = –1 5x1 + 7x2 – 4x3 = 9 − −− − −− ⇒ 9475 7162 1121 9475 1121 7162 12R − −− − −− ⇒⇒ +− +− 14130 10 1121 14130 9320 1121 2 9 2 3 5 2 22 1 31 21 RRR RR −− −− ⇒⇒ + 5100 10 1121 00 10 1121 2 9 2 3 2 55 2 11 2 9 2 3 3 311 2 32 RRR 5 2 9 2 3 12 3 32 321 = =+ −=−+ x xx xxx x3 = 5, x2 = –3, x1 = 10 76
- 77. Matrices Resolver mediante el método de Gauss-Jordan x1 + 3x2 – 2x3 = – 7 4x1 + x2 + 3x3 = 5 2x1 – 5x2 + 7x3 = 19 −− −− −− −− − − −− − −− ⇒⇒ ⇒ +− +− − − +− +− 0000 3110 2101 3110 3110 7231 3311110 3311110 7231 19752 5314 7231 32 12 311 1 211 1 31 21 3 2 4 RR RR R R RR RR Entonces: x2 – x3 = –3 x1 + x3 = 2 Haciendo x3 = t, tenemos x2 = –3 + t, x1 = 2 – t. 77
- 78. Matrices Resolver: x1 + x2 = 1 4x1 − x2 = −6 2x1 – 3x2 = 8 − − −− ⇒ 1600 210 101 832 614 111 0 + 0 = 16 !! ⇒ No tiene soluciones. 78
- 79. Matrices Vectores fila: u1 = (a11 a12 … a1n), u2 = (a21 a22, … a2n),…, um = (am1 am2 … amn) = mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 A = = = mn n n n mm a a a a a a a a a 2 1 2 22 12 2 1 21 11 1 ,,, vvv Vectores columna: El rango de una matriz A m × n, es el máximo número de vectores fila linealmente independientes. −− − −− − − − − − = ⇒⇒ − + +− +− 0000 210 3111 1420 2840 3111 8753 8622 3111 2 1 3 2 24 1 322 1 31 21 R RR RR RR A ⇒rang A = 2. 79
- 80. Matrices AX = 0 Siempre hay soluciones (consistente) Solución única X = 0 (solución trivial) rang(A) = n Infinitas soluciones Rang(A) < n n – r parámetros 80
- 81. Matrices AX = B, B≠0 Inconsistente rang(A) < rang(A│B) Consistente rang(A) = rang(A│B) Solución única rang(A) = n Infinitas soluciones rang(A) < n n – r parámetros 81
- 82. Matrices 21122211 2221 1211 det aaaa aa aa −==A . det 332112322311 312213322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaa aaaaaaaaaaaa aaa aaa aaa −− −++= =A Determinantes 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11det aa aa a aa aa a aa aa a + −+=A Expansión por cofactores a lo largo de la primera fila. 82
- 83. Matrices 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa C aa aa C aa aa C =−== 333231 232221 131211 det aaa aaa aaa =A det A = a11C11 + a12C12 + a13C13 El cofactor de aij es Cij = (–1)i+ j Mij donde Mij se llama menor. ... O por la tercera fila: det A = a31C31 + a32C32 + a33C33 Podemos expandir por filas o columnas. 83
- 84. Matrices = 351 306 742 A 131211 742 351 306 742 det CCC ++==A 35 30 )1( 351 306 742 )1( 1111 11 ++ −=−=C 31 36 )1( 351 306 742 )1( 2121 12 ++ −=−=C 51 06 )1( 351 306 742 )1( 3131 13 ++ −=−=C 84
- 85. Matrices 120)6(3)23(6 51 42 )1(3 35 74 )1(6 306det 3221 232221 =−−−= −+−= ++= ++ CCCA 120)]1(0)5(6[7)]1(3)3(6[4)]5(3)3(0[2 51 06 )1(7 31 36 )1(4 35 30 )1(2det 312111 =−+−−−= −+−+−= +++ A 131211 742 351 306 742 det CCC ++==A Más corto desarrollando por la segunda fila... 85
- 87. Matrices det AT = det A 41 43 75 det −= − =A 41 47 35 det −= − =T A Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × n son idénticas, entonces det A = 0. = 229 224 226 A 0 229 224 226 det ==A 87
- 88. Matrices Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0. Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz A n × n, entonces: det B = −det A AB det 312 706 914 914 706 312 det −= − −= − = 88
- 89. Matrices Si B se obtiene de una matriz A n × n multiplicando una fila (columna) por un número real k, entonces: det B = k det A A B A det)( det filaésima-ladelargoloacofactorespordetdeexpansión 2211 2211 kCaCaCak CkaCkaCka i ininiiii ininiiii =+++= +++= 80)21(80 12 11 285 24 11 85 164 81 5 1620 85 −=−== == ．． ． 89
- 90. Matrices Si A y B son matrices n × n, entonces det AB = det A ⋅ det B. − − = − = 53 43 , 11 62 BA − − = 96 2212 AB det AB = −24, det A = −8, det B = 3, det AB = det A ⋅ det B. 90
- 91. Matrices det A = 45 = det B = 45. BA = −−− − = ⇒ +− 2411 703 215 414 703 215 313 RR Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz A n × n, entonces: det B = det A 91
- 92. Matrices = 333231 2221 11 0 00 aaa aa a A 33221132332211 3332 22 11 )．0( 0 det aaaaaaa aa a a =− ==A − − = 2427 0495 0062 0003 A 144)2(．)4(．6．3 2427 0495 0062 0003 det =−− = − − =A − = 400 060 003 A 7246)3( 400 060 003 det −=−= − = ．．A matriz diagonal matriz triangular inferior 92
- 93. Matrices Supongamos que A es una matriz n × n. Si ai1, ai2, …, ain son los elementos de la i-ésima fila y Ck1, Ck2, …, Ckn son los cofactores de la k-ésima fila, entonces: ai1 Ck1 + ai2 Ck2 + …+ ain Ckn = 0, para i ≠ k Igualmente, si a1j, a2j, …, anj son los elementos de la j-ésima columna y C1k, C2k, …, Cnk son los cofactores de la k-ésima columna, entonces: a1j C1k + a2j C2k + …+ anj Cnk = 0, para j ≠ k 93
- 94. Matrices Demostración Sea B la matriz que obtenemos de A al cambiarle los elementos de la i-ésima fila por los de su k-ésima fila: bi1 = ak1, bi2 = ak2, …, bin = akn B tendrá entonces dos filas idénticas de modo que det B = 0, y: kninkiki knknkkkk CaCaCa CaCaCa +++= +++== 2211 2211det0 B 94
- 96. Matrices Inversa de un matriz Sea A una matriz n × n. Si existe una matriz n × n B tal que AB = BA = I donde I es la matriz identidad n × n, entonces se dice que A es una matriz no singular o invertible. Y B es la matriz inversa de A. Si A carece de inversa, se dice que es una matriz singular. Sean A, B matrices no singulares. (i) (A-1)-1 = A (ii) (AB)-1 = B-1A-1 (iii) (AT)-1 = (A-1)T 96
- 97. Matrices Sea A una matriz n × n. La matriz formada por la transpuesta de la matriz de cofactores correspondientes a los elementos de A: se llama adjunta de A y se denota por adj A. = nnnn n n T nnnn n n CCC CCC CCC CCC CCC CCC 21 22212 12111 21 22221 11211 Matriz adjunta 97
- 98. Matrices A A A adj det 11 =− = = A A A AA det00 0det0 00det )adj( 332313 322212 312111 333231 232221 131211 CCC CCC CCC aaa aaa aaa Encontrar la matriz inversa: Sea A una matriz n × n. Si det A ≠ 0, entonces: Para n =3: 98
- 104. Matrices mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa =+++ =+++ =+++ 2211 22222121 11212111 , 21 22221 11211 = mnmm n n aaa aaa aaa A ,2 1 = nx x x X = mb b b 2 1 B AX = B Si m = n, y A es no singular, entonces: X = A-1B 104
- 108. Matrices 0 0 0 2211 2222121 1212111 =+++ =+++ =+++ nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene solo la solución trivial (ceros) si y solo si A es no singular. Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene una solución no trivial si y solo si A es singular. 108
- 109. Matrices Pág. 109