Este documento describe diferentes métodos para trazar circunferencias tangentes entre sí o a rectas sin conocer los radios, incluyendo: circunferencias que pasan por 3 puntos, 2 puntos y tangentes a 1 recta, 1 punto y tangentes a 2 rectas, tangentes a 3 rectas, 2 puntos y 1 circunferencia, 1 punto y 1 recta y 1 circunferencia, 1 punto y 2 circunferencias, y el problema de Apolonio de 3 circunferencias tangentes.

1. Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de circunferencias sin conocer el radio
2
p:p: pasa por puntopasa por punto
r:r: tangente a rectatangente a recta
c:c: tangente a circunferenciatangente a circunferencia

2. Dibujo técnico. Trazado de tangencias
1. Trazado de tangencias sin conocer el radio
Propiedades de las tangencias
TO1 O2
r
O
T
O
B
A
r
s
O
A
T2
1T
Si dos circunferencias son tangentes, el
punto de tangencia está en la recta O1O2
Si una recta es tangente a una
circunferencia, el radio en el punto de
tangencia es perpendicular a la recta
Si una circunferencia pasa por dos puntos,
el centro está en la mediatriz del segmento
Si una circunferencia es tangente a dos
rectas, el centro está en la bisectriz
2

3. RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min.
Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencia que pasa por tres puntos (ppp)
P
M
N
O
1. Se halla la mediatriz del segmento MN
2. Se halla la mediatriz del segmento NP
3. El punto O de intersección de las dos
mediatrices de MN y de NP es el centro
de la circunferencia
Dados los puntos M, N y P:
2

4. RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min.
Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta (ppr)
2. Se halla el punto D de intersección de la
recta AB con r
1. Se traza la circunferencia de diámetro AB
3. Se trazan las tangentes desde D obteniendo
F y G
1. Por B se traza la perpendicular a la recta
2. Se traza la mediatriz del segmento AB
3. El punto O es el centro de la circunferencia
solución
4. Con centro en D, y radio DF = DG se traza
una circunferencia obteniendo H y J, puntos
de tangencia de las circunferencias solución
Los puntos A y B son exteriores a r El punto B pertenece a r
m
r
J
E
F
H
G
C
D
B
1O
A
2O
r
A
O
B
2

5. RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min.
Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas (prr)
m F
E
G
D
A
L
H
B
C
J
K
s
r
2O
1O
Punto A exterior a las rectas r y s
1. Se traza m, bisectriz de r y s
2. Hallamos B, simétrico de A respecto de
la bisectriz m
4. Se halla el punto D de intersección de
la recta AB con r
3. Se traza la circunferencia de diámetro AB
5. Se trazan las tangentes desde D a la
circunferencia obteniendo F y G
4. Con centro en D, y radio DF = DG se
traza una circunferencia obteniendo H y J,
puntos de tangencia de las circunferencias
solución
2

6. RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min.
Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas (prr)
t
B C
O2
s
r
A
1O
Punto A sobre la recta s
1. Por A se traza la recta t perpendicular a la recta s
2. Se trazan las bisectrices interior y exterior del ángulo que forman las
rectas r y s
3. Los puntos O1 y O2 son los centros de las circunferencias solución
4. Los puntos de tangencia B y C se hallan trazando por O1 y O2 las
perpendiculares a la recta r
2

7. RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min.
Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencias tangentes a tres rectas (rrr)
1. Se trazan las bisectrices
interiores y exteriores de los
ángulos que forman las tres rectas
2. Las bisectrices interiores se
cortan en el punto O1
3. Las bisectrices exteriores se
cortan en los puntos O2, O3 y O4
t
r
s
C
B A
O2
O4
1
O
3
O
4. Los puntos de tangencia se
hallan trazando desde O1, O2, O3 y
O4 las perpendiculares a cada una
de las tres rectas
Sean las rectas r, s y t
2

8. RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min.
Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia (ppc)
r
D
J
G
E2O
H
C
F
B
O
A
1O
m
O
A
B
1O
1. Se traza la recta m que une O y B
2. Se traza la mediatriz del segmento AB
3. El punto de intersección entre la recta
m y la mediatriz, O1, es el centro de la
circunferencia
2. Se halla la intersección de la recta AB
con la recta DE obteniendo el punto F
1. Se traza la circunferencia de diámetro
AB obteniendo D y E como intersección
3. Se trazan tangentes desde F a la
circunferencia dato obteniendo H y J
4. Los puntos O1 y O2 están sobre r,
mediatriz de AB, y alineados con HO y
con JO respectivamente
Los puntos A y B son exteriores Un punto esta situado en la circunferencia
2

9. Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una
circunferencia (prc)
El punto A es exterior
1. Se traza por O una
perpendicular a la recta dada
obteniendo los puntos B, C y D
2. Se traza la circunferencia de
centro E que pasa por A, B y D
3. La recta AC corta a esta
circunferencia en el punto F
4. El problema se reduce a
hallar las circunferencias que
pasan por dos puntos, A y F, y
son tangentes a una recta r
(caso ya resuelto)
E
C
G J
H
N
B
L
F
ID
K
M
A
O
r
2

10. Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una
circunferencia (prc)
El punto A está en la circunferencia
1. Se une O con A y se traza la tangente s
2. Se trazan las bisectrices del ángulo que
forman r y s
3. Los puntos O1 y O2 son los centros de
las circunferencias
El punto A está en la recta
1. Se traza la perpendicular a r por A
2. Sobre m se traslada el radio R
3. Se trazan las mediatrices de OB y OC
4. Los puntos O1 y O2 son los centros de
las circunferencias
m
s
1O
2O
r
O
A
R
R
m
D
B
r
OR
A
E
C
O2
O1
2
C DB

11. Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc)
O' O'O'
B C
N
H
L
F
J
P
D
K
E
M
G
O
Q
O''
O21O
A
El punto A es exterior
1. Se traza recta O1O2 obteniendo B, C, D y E como puntos de intersección
2. Se trazan dos radios paralelos desde O1 y O2 obteniendo F y G. El punto H es la
intersección de las rectas FG y O1O2
3. Se halla J, intersección de la circunferencia que pasa por A, C y D con la recta AH
4. El problema se reduce a hallar las circunferencias que pasan por A y J, y son
tangentes a una circunferencia (caso ya resuelto)
2

12. Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc)
J
OQ
M
D
N
P
C E
G
O'
F
B
H 2OO1
A
O''
El punto A es exterior
1. Se traza la recta O1O2 obteniendo B,
C, D y E como puntos de intersección
2. Se trazan radios paralelos en
sentido contrario desde O1O2
obteniendo F y G. El punto H es la
intersección de las rectas FG y O1O2
3. Se halla J, intersección de la
circunferencia que pasa por A, C y E
con la recta AH
4. El problema se reduce a hallar las
circunferencias que pasan por A y J,
y son tangentes a una circunferencia
(caso ya resuelto)
2

13. Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc)
a
b
m
O
O'
M
C
B
D
2O
A
1O
1. Se traza la recta m que une O’ y M
2. Sobre la recta m y desde M se
traslada el radio de la otra circunferencia
de centro O obteniendo los puntos A y B
3. Se trazan las mediatrices de OA y de
OB
4. Los puntos O1 y O2 son los centros
de las circunferencias
El punto M está sobre una circunferencia
R
2

14. Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencias tangentes a tres circunferencias: Problema de Apolonio (ccc)
Dadas las circunferencias de centros O, O’ y O’’ y
de radios R, R’ y R’’
1. Se trazan con centro O’ y O’’ sendas
circunferencias de radios R’-R y R’’-R
La solución se reduce a trazar las circunferencias
que pasan por O y son tangentes a las nuevas
circunferencias (caso ya estudiado que tiene
cuatro soluciones)
La solución se reduce a hallar las circunferencias
que pasan por O y son tangentes a las nuevas
circunferencias (caso ya estudiado que tiene
cuatro soluciones)
2. Se trazan con centro O’ y O’’ sendas
circunferencias de radios R’+R y R’’+R
R'-R
R''-R
O'
R
R'
O''
R''
O
R''+R
R'+R
O'
O''
R
O
R'
R''
2

15. Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
Circunferencias tangentes a tres circunferencias: problema de Apolonio (ccc)
Dadas las circunferencias de centros O, O’ y
O’’ y de radios R, R’ y R’’
Hallamos dos de las soluciones
1. Se trazan con centro O’ y O’’ las
circunferencias de radios R’ - R y R’’ - R
2. Trazamos radios paralelos O’C y O’’D, y
hallamos E, intersección de CD y O’O’’
3. Se dibuja la circunferencia que pasa por A,
B y O que corta a la recta OE en el punto F
6. Donde se cortan O’’J y O’’K con la
mediatriz m de OF obtenemos los centros de
la solución
4. Trazamos una circunferencia que pase
por los puntos O y F y que corte a la de
centro O’’ hallando los puntos B y G
5. Las rectas FO y BG se cortan en H, desde
donde se hallan las tangencias en K y J
m
F
N
J
I
D
A
M
G
B
E
O'
O
O''
C
H
C'
K
L
2O
O1
2