Este documento presenta un problema de punto de equilibrio para una fábrica de playeras. Explica cómo formular el problema como un sistema de ecuaciones para determinar el número de playeras que maximiza las ganancias. Se describen los pasos para tabular los valores de costos e ingresos para diferentes niveles de producción y graficar las ecuaciones resultantes, encontrando que el punto de equilibrio ocurre cuando se producen 850 playeras.

1. Problemas de razonamientoG. Edgar Mata Ortizlicmata@hotmail.comhttp://www.forismagna.com/2.1

2. Problemas que se resuelven mediante sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitasEjemplo 1.1. Proceso de solución tomando como incógnita cualquiera de las cantidades desconocidas. 2.1

3. Método gráficoExisten métodos algebraicos para resolver problemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, sin embargo, el método gráfico es muy interesante para que el estudiante tenga una versión visual de lo que sucede cuando resuelve un problema de dos ecuaciones con dos incógnitas.Vamos a partir de un problema típico de este método: Problemas de punto de equilibrio.

4. EjemploLa fábrica de playeras “Litvinchuk” tiene costos fijos de $17,000 mensuales y variables de $100 por pieza. El precio de venta de las playeras es de $120 por pieza. Encuentra las funciones de costo e ingresoDetermina el costo, el ingreso y la ganancia si se fabrican; 0, 300, 500 y 1000 piezas.Determina, gráficamente, el punto de equilibrio.

5. Procedimiento de soluciónEn este problema tenemos cuatro cantidades desconocidas:El número de playeras fabricadasEl número de playeras vendidasEl costo total de fabricaciónLos ingresos por la venta de las playerasPodríamos agregar la ganancia, aunque se calculará posteriormente y no se empleará para la resolución del problema1

6. Procedimiento de soluciónPara simplificar el modelo se considera que las playeras fabricadas y las vendidas son iguales, es decir, se vende todo lo que se fabrica.La simplificación de modelos matemáticos hace que no reflejen fielmente la realidad, pero a cambio hace más sencillo entenderlo.Siempre podemos refinar el modelo posteriormente.1

7. Procedimiento de soluciónCon el modelo simplificado tenemos:Cantidad de playeras fabricadas = xCantidad de playeras vendidas = xCosto total por la fabricación de x playeras:Costo total = Costo fijo + Costo variableAbreviado: CT = CF + CVCosto variable = Número de piezas fabricadas por costo unitario de fabricación: CV = NPF (CUF) 2

8. Procedimiento de soluciónSustituyendo:CT = CF + NPF (CUF)CT = 17000 + x (100)3Costo fijoCosto unitario de fabricaciónNúmero de piezas fabricadas

9. Procedimiento de soluciónEl ingreso (I) es más sencillo, simplemente se multiplica el número de piezas vendidas (NPV), recordar que es igual al número de piezas fabricadas = x, por el precio de venta (PV)I = NPV (PV)I = x (120)Simplificando: I = 120x3Costo unitario de fabricaciónNúmero de piezas vendidas

10. Procedimiento de soluciónUno de los pasos más importantes es el planteamiento del sistema de ecuaciones.En este caso simplemente se omiten las siglas “CT, I” sustituyéndose por “y”Obtenemos:y = 100x + 17000y = 120xCuando modelamos un problema real, en la medida que hacemos abstracción, nos alejamos del hecho en estudio.4

11. Procedimiento de soluciónUna vez planteadas las ecuaciones se resuelve el sistema por el método gráfico.Los pasos son:5.1. Despejar “y” en ambas ecuaciones5.2. Tabular dando valores a “x” y calculando los valores correspondientes de “y”5.3. Trazar las gráficas5.4. Encontrar el punto de intersección5

12. Procedimiento de solución5.1. En este problema en particular las ecuaciones ya están despejadas.5.2. Los valores que se toman para “x” pueden ser elegidos arbitrariamente, sin embargo, en este ejercicio se nos piden valores específicos: 0, 300, 500 y 1000.Estas tabulaciones permitirán contestar la segunda pregunta del problema6

13. Procedimiento de soluciónAl tabular, respondemos una de las preguntas del problema y agregamos un valor x=14007

14. Procedimiento de soluciónCon los valores obtenidos en la tabulación debemos graficar.En el mismo plano cartesiano trazamos:La función de costo y = 100x + 17000Y la función de ingreso y =120xLa gráfica está en la siguiente diapositiva.8

15. Procedimiento de solución8

16. Procedimiento de solución8El punto de equilibrio es el nivel de producción y ventas que hace la ganancia igual a cero, es decir, cuando no hay pérdidas ni ganancias.Este punto de equilibrio se encuentra en el punto de intersección de las dos rectas.Se determina a simple vista.¿Qué coordenadas tiene el punto de intersección de las dos rectas?

17. Procedimiento de solución9El método gráfico puede no ser muy preciso, sin embargo, es posible obtener la solución.La solución es: x = 850, y = 102000

18. Gracias por su atención