El documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con operaciones básicas con matrices, incluyendo suma, producto por escalar, transpuesta, identidad, producto punto y multiplicación de matrices. Se define cada operación y se ilustra con uno o más ejemplos numéricos.

1. Suma de matrices: Sean A={aij} y B={bij} matrices de la misma
dimensión mxn. La suma A+B es la matriz C={cij} de dimensión mxn,
donde
cij = aij + bij ,
esto es, la suma de las entradas correspondientes.
Ejemplo:
Producto de una matriz por un escalar: Sea A={aij} una matriz mxn
y r un escalar. El producto rA del escalar r y la matriz A es la matriz
B={bij} de la misma dimensión de A tal que bij = r aij
Ejemplo:
1
























221
220
151
201
130
421



































0622
01668
0024
12402
0311
0834
0012
6201
2

2. Definición (Matriz transpuesta): Sea A={aij} una matriz mxn. La
matriz transpuesta, denotada como AT, es la matriz cuyas
columnas son las filas de A. Una matriz simétrica es aquella que
es igual a su transpuesta, es decir, A=AT. Evidentemente una
matriz simétrica tiene que ser cuadrada.
Ejemplos:
Definición (Matriz Identidad): La matriz identidad de dimensión
nxn, denotada In , es la matriz cuyos elementos sobre la diagonal
principal es igual a 1, y todas las otras entradas son iguales a cero.
Ejemplo:
2









024
201
A













02
20
41
T
A














1085
860
501
A













1085
860
501
T
A











100
010
001
3I






10
01
2I

3. Multiplicación de matrices:
Un sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo
2x1 - 3x2=7
3x1 - x2=2,
tiene asociado una matriz A correspondiente a las incógnitas, y un vector
b correspondiente a los términos independientes, es decir,
Si ahora se escriben las incógnitas como un vector
se puede denotar el sistema de ecuaciones lineales
como Ax=b, es decir
Esta última ecuación sugiere la noción de multiplicación de una matriz A
por un vector columna x. Como noción preliminar, se introducirá el
concepto de producto escalar o producto punto de dos vectores.
3







2
7
b









13
32
A







2
1
x
x
x




















2
7
13
32
2
1
x
x

4. Definición (Producto punto o escalar): Sean a un vector 1xn y b un
vector nx1, es decir,
entonces el producto punto o escalar, denotado como a.b o <a,b> se
define como
Ejemplo:
4
 nn aaaaa 121  


















n
n
b
b
b
b
b
1
2
1

nnnn babababababa   112211,. 
 62401 a


















5
7
0
3
2
b
14)5)(6()7)(2()0)(4()3)(0()2)(1(,.  baba

5. Definición (Multiplicación de matrices): Sean A={aik} una matriz de
dimensión mxn y B={bkj} una matriz de dimensión nxs. El producto
AB es la matriz C={cij} de dimensión mxs, donde la entrada cij de C es
el producto punto de la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de B.
Nota: Obsérvese que el producto de dos matrices está definido
solamente cuando el número de columnas de A es igual al número de
filas de B.
Ejemplo:
(-3)(5) + (5)(0) + (8)(2) = 1
5




































36166874
1618471
4102012
1254
4046
4583
.
870
853
012
Posición
c23
Columna
3
Fila 2

6. En general, el elemento cij está dado por
Por ejemplo, si A3x4 , B4x7 , C7x3 , los productos AB3x7, BC4x3 y CA7x4
están definidos, mientras que no es posible multiplicar BA, AC y CB.
Debe observarse que el producto de matrices en general no es
conmutativa, esto es, aún cuando los productos AB y BA están
definidos, no es necesariamente cierto que AB=BA, como muestra el
siguiente ejemplo
6
sj
mi
bac
n
k
kjikij
,...,1
,...,1
;
1


 





















178
94
52
10
.
43
21






















1613
43
43
21
.
52
10

7. Algunas veces es deseable calcular una fila o una columna particular
del producto AB. El siguiente resultado permite obtenerlas:
* La j-ésima columna del producto AB=A[j-ésima columna de la matriz
B]
* La i-ésima fila del producto AB=[i-ésima fila de la matriz A]B
Ejemplos:
7
























122648
13302712
2572
1310
3414
.
062
421
























4
27
7
1
1
.
062
421
   13302712
2572
1310
3414
.421 















































3
9
1
3
1
2
.
212
321
231














































3
9
1
2
3
2
3
1
2
3
)1(
2
1
1
2

8. De este último ejemplo se puede concluir que la j-ésima columna del
producto AB puede verse como una combinación de las columnas de
la matriz A con los coeficientes de la j-ésima columna de la matriz B.
8
























122648
13302712
2572
1310
3414
.
062
421
























0
4
2
6
2
0
2
1
4
8
12
























 0
4
7
6
2
)1(
2
1
1
4
27
























0
4
5
6
2
3
2
1
4
26
30
























0
4
2
6
2
1
2
1
3
12
13