NEWTON

1. Metodo de Newton
Resolución aproximada de ecuaciones
Ejemplos
Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

2. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Método de Newton (gráficamente)
El método de Newton para hallar
soluciones aproximadas de la
ecuación f(x) = 0 comienza con un
valor inicial x0 para la solución.
El valor inicial se mejora hallando la
recta tangente a la gráfica de la función f
en el punto (x0,f(x0)), y reemplazando
x0 por x1, que es la intersección de la
recta tangente y el eje x.
Se repite el proceso para encontrar
una aproximación mejor de la solución.
f
x1
x0
f
x0

3. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Resolviendo ecuaciones
El método de Newton es un método
numérico para aproximar soluciones
de la ecuación f(x) = 0, cuando f es
una función derivable.
La idea del método de Newton es
empezar con una aproximación de la
raíz que se quiere hallar y mejorar la
aproximación inicial por medio de una
construcción geométrica.
f
x0

4. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Escogiendo el valor inicial
En la situación de la figura de la
derecha, la iteración de Newton, de
x0 a x1, parece que mejora mucho la
aproximación de la solución de la
ecuación f(x) = 0.
El proceso es sensible a la elección del
valor inicial x0. Con una elección
ligeramente distinta, como se muestra
en la figura de la izquierda podemos
llegar a una situación peor. La primera
aproximación, que sustituye por x1 x0
sigue siendo una mejora.
f
x1
x0
f
x0
x1
Sin embargo, repitiendo el proceso puede llevarnos de nuevo a x0 o a una
aproximación mucho peor de la solución.

5. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
El método de Newton (analíticamente)
f
x1
x0
La ecuación de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto (x0, f(x0))
es y = f’(x0)(x – x0) + f(x0).
Suponiendo que f’(x0)  0, el punto de
intersección de la recta tangente y el eje
x es
 
 
0
1 0
0
f
.
f
x
x x
x
 

Concluimos que la fórmula general del método de Newton es
La iteración puede efectuarse suponiendo que f’(xk )  0 para todo k.
 
 
1
f
.
f
n
n n
n
x
x x
x
  


6. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
f
xn+1
xn
La fórmula general de iteración es
 
 
1
f
.
f
n
n n
n
x
x x
x
  

Si consideramos la función
 
 
 
f
F .
f
x
x x
x
 

El método de Newton se define en términos de la función F: xn+1 = F(xn ).
Observemos que
x = F(x)  x = x – f(x)/f’(x)  0 = –f(x)/f’(x)  f(x) = 0.
Definición Un punto x es un punto fijo de la función F si
F(x) = x.
Conclusión Suponiendo que f’(x)  0 para todo x, los puntos fijos de F
son las soluciones de la ecuación f(x) = 0.
El método de Newton (analíticamente)

7. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Hallando puntos fijos
Sea x0 un punto dado , y F una función continua.
Supongamos que el límite
existe.
 
0
lim Fn
n
x x



Entonces
Es decir, x es un punto fijo de la función F.
F x
  F lim
n
Fn
x0
 
  lim
n
F Fn
x0
 
  lim
n
Fn1
x0
  x
Aquí se usa que la
función F es continua.
La función F puede tener varios puntos fijos. Al variar el
punto inicial x0 se pueden hallar nuevos puntos fijos. Pero no
se garantiza que se pueda hallar todos los puntos fijos por
este procedimiento.
Advertencia
Conclusión Los puntos fijos F son puntos límite del método
de Newton.

8. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Parada
Los ejemplos siguientes muestran que el método de Newton no
siempre converge. Así que ser cuidadosos al usar esta iteración. Se
pueden aproximar soluciones falsas de la ecuación f (x) = 0. Habrá
que hacer un trabajo adicional, como la aplicación del teorema de los
valores intermedios para funciones continuas, para asegurarse de
que se ha encontrado una aproximación de una solución.
Una función derivable f, un valor inicial x0, y un
número positivo . El número  determina la
precisión del cálculo.
Sea
Sea x1 = F(x0) e iterativamente xn+1 = F(xn).
Cuando |xn+1 – xn| < .
 
 
 
f
F .
f
x
x x
x
 

Entrada
Iteración
El método de Newton

9. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Ejemplos (1)
 
3
3
Aproximar 2 resolviendo la ecuación
2 0 usando el método de Newton
x
   
 
    
3 3
3
2 2
2 2 2
Sea f 2 y F .
3 3
x x
x x x x
x x
Example 1
Solution
Sea x0=2 y se define iterativamente xi+1=F(xi). Se tiene :
x0 = 2
x1 = 1.50000000
x2 = 1.296296296
x3 = 1.260932225
x4 = 1.259921861
x5 = 1.259921050
Todos los números mostrados en la aproxiamación x5 = 1.259921050
son correctos.

10. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Ejemplos (2)
Ejemplo 2
Solución
Comenzamos con x0 = 0 y definimos
iterativamente xn+1=F(xn).
La figura muestra la iteración gráficamente. La tangente (en rojo) en
el punto (0,f(0)) interseca al eje x en x=1. La tangente (en azul)
en el punto (1,f(1)) interseca al eje x en x=0.
1
Aproximar la solución de la ecuación
x3 – 2x + 2 = 0 usando el método de Newton.
   
  
     
 
3 3
3
2 2
2 2 2 2
Tenemos f 2 2 y F .
3 2 3 2
x x x
x x x x x
x x
Esto proporciona las siguientes
aproximaciones:
x0 = 0, x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1, ….
La iteración no converge!

11. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Ejemplos (3)
Ejemplo 2
Representando la función vemos que sólo
tiene una solución , que es aproximadamente
-1.8.
Comenzamos el método de Newton con el
valor inicial x0 = -2.
Se tiene x0 = -2
x1 = -1.80000000
x2 = -1.769948186
x3 = -1.769292662
x4 = -1.769292354.
En la aproximación x4 todos los
dígitos son correctos
No hay otras soluciones.
Solución
(continuación)
-2
Aproximar la solución de la ecuación
x3 – 2x + 2 = 0 usando el método de Newton.

12. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Ejemplos (4)
Ejemplo 3
Solución
La ecuación tiene una única solución
x = 0. ¿Se puede hallar por el método de
Newton?
Sea x0 un valor inicial. El método de
Newton proporciona la sucesión
x1 = -4x0
x2 = -4x1 = (-4)2x0
x3 = -4x2 = (-4)2x1 = (-4)3 x0
…
xn = (-4)n x0 para todo n = 1,2,3,…
1
5
0
x 
   
 
 
1
1 5
5
4
5
f
f , F 4 .
f 1
5
x x
x x x x x x
x
x

      

Se tiene
Conclusión
El método de Newton no
proporciona una aproximación de la
solución de la ecuación a menos que
el valor inicial sea ya la solución x=0.
Si x0  0, la sucesión no converge.