Aplicación de métodos no lineales para la resolución de ejercicios

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
SEDE BARINAS
ASIGNATURA: ANALISIS NUMERICO
Nombre (s) y Apellido (s): Santa Duran
C.I. 11.927.304
Carrera: Ingeniería Industrial

2. El presente trabajo da como referencia la resolución de ejercicios
relacionados con las ecuaciones no lineales, tema ya desarrollado en la
unidad anterior, esto con el fin de obtener la practica, para la resolución de
ejercicios.
La aplicación de pasos o técnicas para la obtención de un resultado final dará
la posibilidad de resolver de manera sencilla y eficaz los ejercicios de los
temas seleccionados.
INTRODUCCION

3. CONTENIDO
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS
• Ecuaciones no lineales
• Punto fijo
• Bairstow
• Bisección

4. Un sistema de ecuaciones es no lineal cuando al menos una de sus ecuaciones
no es de primer grado. La resolución de estos sistemas se suele hacer por el
método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1º Se
despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de
primer grado.

5. EJERCICIOS DE ECUACIONES NO LINEALES
2)
Solución
1)
Solución

6. Solución
4)
Solución
3)

7. Una definición general del método de punto fijo; es el método que se encarga de buscar
una raíz de una función a partir de un valor inicial, una tolerancia y un numero "n" de iteraciones.
Para tener en cuenta, en este método no es necesario el uso de intervalos.
Para que el método tenga éxito, se le debe ingresar :
Una función F(x)
un valor inicial
Una tolerancia
numero "n" de iteraciones

8. Ejercicios de ecuaciones no lineales
Método de punto fijo
1) Usar el método de interacción del punto fijo para aproximar la raíz de:
f(x) = cos x – x
f (x) comenzando con X = 0 y hasta que [Ea] ˂ 1 %
Solución:
Como ya aclaramos anteriormente, el método si converge a la raíz. Aplicando la formula interactiva
tenemos:
x1= g (X0) = Cos O = 1
Con un error aproximado de 100%
Aplicando nuevamente la formula interactiva tenemos:
x1= g(x1) = cos 1= 0540302305
y un error aproximado de 85,08 %
intuimos que el error aproximado se ira reduciendo muy lentamente. En
efecto, se necesitan hasta 13 interacciones para lograr reducir el error
aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:
X13= 07414250866 con un error aproximado igual al 0,78%.

9. 2) F (x) =0 g(x) =x
Cos x – x = 0
Solución:
g(x)= Cos (x)
Xo = 0,7
X1= Cos (0,7) ≈ 0,7648422
X2= Cos (0,7648422) ≈ 0,7214916
X10= Cos (0,7401853) ≈ 0,7383436
X11= Cos (0,7383436) ≈ 0,7395844
Error absoluto aproximado =[0,7395844 – 0,7383436]=0,0012408

10. 3) Senh X-X-1=0
g(x) senh X-1
Solución exacta= 1.729116898214375
X0= 1.7
X1= g(1.7) ≈ 1.6456319
X2= g (1.6456319) ≈ 1.4956972
X3= g (1,495697) ≈ 1.1191771
X4= g (1.1191771) ≈ 0,3678925
X5= g (0,3678925) ≈ - 0,6237525 DIVERGE
(Xh f(xo))
(X1, f(x1))
F (X1), f(x1))
F (X0), f(x0)) F (X0), f(x0))
(Xh f(xo))
F (X1), f(x1))
(X1, f(x1))
(X1, f(x1))
X0 X1 X2 X1 X0
Converge Divergencia

11. Ejercicio:
4) 𝑒 −𝑥
- x = 0 𝑒 −𝑥
- x 𝑔 𝑥 = 𝑒 −𝑥
Solución:
INTERACCION: COMPROBACION:
𝑒 −0,56487
- 0,5647 ≈ 0 ≈ 3 X 10 3
K XO
0 1
1 0,36787
2 0,69220
3 0,50047
4 0,60624
5 0,54539
6 0,57961
7 0,56011
8 0,57114
9 0,56487 ≈

12. El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente
con los métodos de Müller y Newton-Raphson. Recuérdese la forma
factorizada de un polinomio, ej: Si se divide entre un factor que no es una raíz
(por ejemplo), el cociente podría ser un polinomio de cuarto orden.

13. 1) Dado el polinomio f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar
los valores de r y s que hacen el resido igual a cero. Considere r0 = -1 y s0 = 2.
SOLUCION
Iteración 1
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2.0 da como resultado
f3(x) = x3 - 4.5x2 + 9.25x - 16.125 Residuo = {30.75, -61.75}
Aplicando el método de Newton tenemos:
de donde
r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.763
s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403
-43.875 16.75 dr -30.75
108.125 -43.875 ds 61.75

14. Iteración 2
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -1.763x - 7.403 da como resultado
f3(x) = x3 - 1.736x2 + 7.091x - 1.776
Residuo = {51.756, 105.685}
Aplicando el método de Newton tenemos:
27.628 14.542 dr -51.756
208.148 27.628 ds -105.685
de donde
r2 = 1.7636 - 0.047 = 1.716
s2 = 7.403 - 3.469 = 3.934

15. Iteración 3
La división sintética con el polinomio f2(x)= x2 - 1.716x - 3.934 da como resultado
f3(x) = x3 - 1.783x2 + 3.622x + 1.326
Residuo = {12.654, 28.188}
Aplicando el método de Newton tenemos
de donde
r3 = 1.716 - 0.116 = 1.599
s3 = 3.934 - 1.483 = 2.450
13.834 7.441 dr -12.654
65.679 13.834 ds -28.188

16. k r s Residuo
0 -1 2 30.75 -61.75
1 1.763 7.403 51.756 105.685
2 1.716 3.934 12.654 28.188
3 1.599 2.450 2.899 8.154
4 1.333 2.186 0.760 2.522
5 1.118 2.113 0.271 0.607
6 1.027 2.023 0.043 0.111
7 1.001 2.001 0.002 0.006
8 1.000 2.000 1.139E-5 2.675E-5
En resumen,
La solución es:
f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 y f2(x) = x2 - x - 2
Las raíces de f2(x) = x2 - x - 2, son
x1 = 2
x2 = -1
Si repetimos el ejemplo pero ahora considerando el polinomio f3(x) = x3 - 2.53x2 +
2.25x - 0.625 , podemos calcular el total de las raíces del polinomio original.

17. 1º) Debemos localizar en el problema fn(x) y r0 y s0 (los valores iniciales)
2º) Ahora, utilizando el método de Newton-Rapshon (explicado en otro artículo) calculamos:
Nota: Cuando decimos residuo nos referimos al resto de la división, es decir, nos debe de dar un
cociente exacto.
3º) Se hallan las raíces f2(x) utilizando la fórmula general
Ejercicio Nro. 02

18. 5º) Ahora hacemos: :
4º) Calculamos:
6º) En caso de que el polinomio sea de grado mayor que 3, volvemos al paso 2
7º) En caso contrario, terminamos el ejercicio.
Los pasos anteriormente expuestos sirven para llegar a la solución deseada. EL objetivo final es
hallar las raíces, tanto las reales como las imaginarias.
Como no quiero que queden dudas, voy a poner un ejemplo, y lo resolveré siguiendo el orden que
hemos establecido.

19. Dado un polinomio:
Considérese r0=-1 y s0=-1
1º) Ya sabemos que son r0=-1 y s0=-1, tal como se indica arriba, y anotamos también
f5(x).
2º) Aplicamos Ruffini para sacar factor común a ese f5(x):
**Nota: Hemos obviado el cálculo por Ruffini, pues ya se ha explicado en otra lección, pero bueno,
que sepáis que sale de ahí.

20. Por tanto, las raíces de x2 +0.5x – 0.5=0 son:
x1=0.5
x2=-1
3º) Se hallan ahora las raíces de f2(x), que es la función que nos ha quedado después de hallar las
primeras raíces exactas:
Por tanto, igualando a cero:
x2 – 2x +1.25=0
x3 = 1 + 0.5i
x4 = -1- 0.5i

21. ** Las «ies» expresan la parte de la solución que es número imaginario, ya que la solución queda
con una raíz cuadrada negativa:
4º) f1(x) =(x – 2)
Por tanto, la raíz de ese polinomio, igualando a cero: x5=2
Para finalizar, planteamos todas las raíces que hemos ido encontrando:
x = [0.5, 1, (1 + 0.5i), (1 – 0.5i), 2]
Y esta será la solución al ejercicio.

22. Ejercicio Nro. 03
Tabla de valores

28. Ejercicio Nro. 04
𝑓3(𝑥)= 𝑥3
−3 𝑥2 −148 𝑥 +789
= (x-6) (x – 10) (x + 13)
𝑓3(𝑥)
(𝑥− +)
= 𝑓2 𝑥 +𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜
+ = 6
𝑓 (𝑥)
(𝑥 −6)
= 𝑥2 +3x – 130
6= raíz

29. Método de la bisección. Es el método más elemental y antiguo
para determinar las raíces de una ecuación. Está basado
directamente en el teorema de Bolzano explicado con
anterioridad. Consiste en partir de un intervalo [x0,x1]tal que
f(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz
real.

30. Ejercicio Nro. 01

37. Dada f : [a, b] ⇢ R 7! R, continua, se plantea el problema de encontrar
una solución (también llamada raíz) de la ecuación f(x)=0.
Desde el punto de vista geométrico, esto
significa encontrar, en [a, b], un punto de corte
de la gráfica de la función y = f(x) con el eje de
abscisas
Ejercicio Nro. 02

38. F(x)= 4𝑥2
- 5x
Paso 1: f(x) f(xo) < 0
f(1) = 4 (1)2
- 5x= -1
f(1.6)= 4(1.6)2
- 5 (1.6) = 2.24
Paso 2: 𝑥 𝑟
=𝑥𝑖 +𝑥𝑜
2
𝑥 𝑟
=1 +1.6=
2
1.3
Paso 3: f(xi) = f(1)= -1
f (xi)= f (1.3)
f (xi) f(xi)= - 0,26
xo=xi
it xi xo xr F(xi) F(xr) F(xi) f(xr)
1 1 1.6 1.3 -1 0,26 -‘0.26
2 1 1.3 1.15 -1 -0,46 0,46
3 1.15 1.3 1.225 -0,46 -0,1235 0,0564
4 1.225 1.3 1.2625 -0,1225 0,0631 -0,0077
5 1.225 1.2629 1.2438 -0.1225 -0,0308 0,0038
6 1.2438 1.2625 1.2532 -0,0308 0,0160 -0,0005
7 1.2432 1.2532 1.2485 -0,0308 -0,0075 0,0002
8 1.2485 1.2532 1.2509 -0,0075 0,0045 0,0000
Ejercicio Nro. 03
Solución la raíz aproximada es:
X= 1.2509

39. Ejercicio Nro. 04
5𝑥3
- 5𝑥2
+ 6𝑥 − 2 0,1
a,b
Teorema del valor intermedio
P=
𝑎 +𝑏
2P=
0 +1
2
= 0,5
𝑓 𝑎 = 5(0)3
- 5(0)2
+ 6(0) − 2= -2
𝑓 𝑏 = 5(1)3
- 5(1)2
+ 6(10) − 2= 4
𝑓 𝑝 = 5(0,5)3
- 5(0,5)2
+ 6(0,5) − 2= 0,375
P2=
0 +0,5
2
= 0,25
𝑓 𝑎 = 5(0)3
- 5(0)2
+ 6(0) − 2= -2
𝑓 𝑏 = 5(0,5)3
- 5(0,5)2
+ 6(0,5) − 2= 0,375
𝑓 𝑝 = 5(0,25)3
- 5(0,25)2
+ 6(0,25) − 2= -0,7344
a b p F(a) F(b) F(p) F(a) f(p) Error
0 1 0,5 -2 4 0,375 -0,75 -
0 0,5 0,25 -2 0,375 -0,7344 1.4688 1
Error
𝑝1 −𝑝0
𝑝1
0,25 − 0,5
0,25
Error= 1

40. CONCLUSION
El estudio de las ecuaciones no lineales ha permitido la comprensión del
calculo, tomando como referencia los distintos métodos para la aplicación de
procedimientos.
Mediante esta aplicación es mas sencillo llegar al resultado final de los teoremas
mas destacados para la resolución de cada ejercicio.