Modelamiento openc 2015

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MODELAMIENTO
AMBIENTAL

(Modelamiento Ambiental con Matlab y
Mecanismos de Destino del Contaminante en el
Ambiente)
21/05/2015 www.openc.amawebs.com 2

ORIENTACIONES
• El programa utilizado es el matlab 2011 o
versiones superiores.
• El curso es teórico practico.
• El profesor, supone que los estudiantes tienen
nociones de algunas técnicas de programación.

CONTENIDOS TEMÁTICOS
 Sistemas Ambientales, Naturaleza de la experimentación
científica, Situación en las Ciencias Ambientales, La
modelización como solución, Tipos de modelos,
Fundamentos de programación con Matlab, lectura y
escritura de datos externos y gráficos en 2D.
 Mecanismos de destino de contaminantes en el
medioambiente, Modelos matemáticos de transporte de
materia, cantidad de movimiento y de energía en
sistemas medioambientales: convección, difusión y
advección. Subducción y obducción, conducción y
radiación térmicas.

1.1 Sistemas Ambientales
Uno de los conceptos más ampliamente utilizados en la
investigación científica es el de sistema. La definición más
habitual de sistema es la debida a Chorley y Kennedy
(1971) que definieron sistema como un conjunto
estructurado de componentes y variables que muestran
relaciones entre ellos y operan en conjunto como un todo
complejo de acuerdo con unas pautas observadas.
En Ciencias de la Tierra y Ambientales se trabaja con
diversos conceptos derivados de este como son
ecosistema, geosistema, sistema fluvial, etc.

1.2 Naturaleza de la experimentación científica
Un experimento puede definirse como la obtención de
una serie de variables de uno o varios individuos,
previamente seleccionados de una población, con el
objeto de comprobar una hipótesis o desarrollar una
teoría.
1.3 Situación en las Ciencias Ambientales
En el conjunto de las ciencias de la Tierra y
medioambientales la observación de efectos y el
establecimiento de hipótesis resulta más difícil debido a
todo un conjunto de factores:

• Complejidad del fenómeno estudiado. Los procesos que
actúan sobre el territorio se caracterizan por su carácter
tridimensional, su dependencia del tiempo y complejidad.
Esta complejidad incluye comportamientos no lineales,
componentes estocásticos, bucles de realimentación a
diferentes escalas espaciales y temporales haciendo muy
complejo, o incluso imposible, expresar los procesos
mediante un conjunto de ecuaciones matemáticas. Las
causas de esta complejidad son variadas:

• Las relaciones no lineales implican que pequeñas
causas puedan tener como consecuencia grandes efectos.
• Discontinuidad y bimodalidad, existencia de diversos
estados de equilibrio.
• Histéresis, los procesos no son exactamente reversibles.
• Divergencia, existencia de varios efectos para una misma
causa.
• El flujo de materia o energía no se traslada de un
componente a otro sino que puede hacerlo de uno a varios
o viceversa.
• Imposibilidad de control. En otras ciencias (física,
química, etc.) es posible mantener los sistemas estudiados
en condiciones controladas de laboratorio, en las ciencias
ambientales este enfoque resulta imposible. Cualquier
intento de llevar una porción del sistema al laboratorio
implica una mutilación del mismo y la modificación total de
las condiciones de contorno.21/05/2015 www.openc.amawebs.com 8

1.4 La modelización como solución
Debido a la dificultad de llevar a cabo experimentos
auténticos que cumplan con los criterios antes
mencionados y que respondan a las necesidades prácticas
de la investigación sobre sistemas ambientales se ha
propuesto una de estas líneas, es el estudio de los
sistemas ambientales mediante modelos.
Un modelo es una representación simplificada de una
realidad compleja de forma que resulte adecuada para los
propósitos de la modelización.
Esta simplificación se basa en una serie de asunciones
acerca de cómo funciona un sistema que no son
totalmente válidas pero permiten representar el sistema de
forma más sencilla.

1.5 Tipos de modelos
• Verbal: responde a una descripción del sistema y su funcionamiento utilizando
el lenguaje humano. Suele ser la fase previa al desarrollo de cualquier modelo.
• Icónico: se basa en la representación de los componentes del sistema
mediante símbolos. Los mapas serían un buen ejemplo.
• Físico: basado en prototipos construidos para estudiar el sistema.
• Matemático: Son los más utilizados actualmente y se basan en la
representación del estado de los componentes de un sistema mediante un
conjunto de ecuaciones matemáticas. Pueden ir desde un conjunto de
ecuaciones simples a programas complejos que incluyen una gran cantidad de
ecuaciones y reglas, por tanto, requieren un ordenador para su resolución.

1.6 Algunas sugerencias para la construcción de
modelos
Los pasos básicos para elaborar un modelo son:
Paso 1 Establezca claramente las hipótesis en que se
basará el modelo. Estas deben describir las relaciones
entre las cantidades por estudiarse.
Paso 2 Defina completamente las variables y
parámetros que se usarán en el modelo.
Paso 3 Use las hipótesis formuladas en el paso 1
para obtener ecuaciones que relacionen las cantidades
del paso 2.

1.7 ¿Cuándo Modelar?
1. No exista un sistema real, sea caro o peligroso o sea
imposible construir y manipular un prototipo.
2. La experimentación con el sistema real sea peligrosa,
costosa o pueda causar incomodidades.
3. Existe la necesidad de estudiar el pasado, presente y futuro
de un sistema en tiempo real, expandido o contraído (control
de sistemas en tiempo-real, cámara lenta, crecimiento de
poblaciones, efectos colaterales de fármacos, etc.).
4. Cuando sea posible validar los modelos y sus soluciones de
una forma Satisfactoria.
5. Cuando la precisión esperada del modelamiento por un
ordenador sea consistente con los requisitos de un problema
concreto.
6. Puede experimentarse sobre el sistema, pero motivos éticos
lo impiden (Ejemplo: sistemas biológicos humanos).

1.9 Verificación, validación y certificación
Validación: es el proceso que confirma que el modelo
es una representación adecuada del sistema original y
es capaz de imitar su comportamiento de una forma
razonablemente precisa en el dominio previsto para sus
aplicaciones.
Verificación: es el procedimiento para asegurar la
consistencia de la estructura del modelo con respecto a
las especificaciones del mismo, es decir, para confirmar
que el modelo es una representación fidedigna del
modelo definido.
Certificación: Por organismos independientes
(nacionales o internacionales) para asegurar la
credibilidad y aceptabilidad de los modelos.

ENSAYO 1
Un granjero posee 100 Has. de terreno en las que sólo puede plantar
cereales o caña de azúcar. El problema es determinar cuál debe ser su
política de explotación óptima, teniendo en cuenta los recursos disponibles.
Solución
Fines
– maximizar el beneficio
Características
– Variables que describen los costes de producción, personal, maquinaria,
precios de materias primas y de venta de productos.
– Procesos que tienen lugar en el proceso de cosecha
Hipótesis
– “El costo de combustibles se mantendrá en el periodo de estudio”
– “Los trabajadores no hará huelgas”
Puntos fuertes y débiles del modelo
– Fuertes: modelo matemático
– Débiles: experiencia, semillas, etc.
• Posibles mejoras
– Función de medida del beneficio

INTRODUCCION AL MATLAB
• Matlab es un lenguaje de programación de alto
nivel, que integra la computación, la visualización
y la programación en un ambiente muy fácil de
usar. En donde los problemas y las soluciones
son expresados en una notación matemática muy
familiar.
• Matlab tiene muy poderosa aplicación en los
siguientes campos:
– Matemáticas, estadística y computación
– Desarrollo de algoritmos
– Modelado, simulación y diseño de prototipos
– Gráficas científicas y de Ingeniería
– Desarrollo de aplicaciones, incluyendo la construcción de la
interfaz gráfica con el usuario.

• MATLAB, proviene de la simplificación de Matrix
laboratory, debido a que originalmente fue diseñado
para proveer acceso fácil al trabajo con matrices.
• Desde hace algunos años Matlab se ha convertido en
la herramienta mas utilizada en el ambiente
universitario en cursos introductorios y avanzados de
Matemáticas e Ingeniería. En la industria Matlab es
una herramienta muy útil en cuanto a análisis,
Desarrollo e investigación de la productividad.
• Matlab está constituido por una familia de
aplicaciones específicas llamadas toolboxes. De
acuerdo con el campo en el cual el usuario va a
implementar su aplicación, selecciona la Toolbox
necesaria.

Sistema Matlab
• El lenguaje de programación: Es un lenguaje de arreglos
matriciales de alto nivel, con control de flujo de
sentencias, funciones, estructuras de datos,
entradas/salidas, y especiales características de
programación orientada a objetos
• Ambiente de trabajo: Este es el kit de herramientas que
uno puede tener disponible como usuario o programador
de Matlab. Incluye facilidades para manejo de variables en
el ambiente de trabajo y exportación e importación de
datos
• Manejador de Gráficos: Este incluye un elevado nivel de
comandos para la visualización de datos en dos y tres
dimensiones, procesamiento de imágenes, animaciones y
presentación de gráficos

SIMULINK
Este es uno de los programas que acompaña a
Matlab, es un sistema interactivo para simulación
de sistemas dinámicos no lineales. Este programa
controlado con el mouse nos permite modelar un
sistema dibujando diagramas de bloques en la
pantalla
Cuando dibujamos un bloque en la pantalla,
Simulink genera un programa en C

» help, help tema, help win
» dir
» diary fichero (formato de texto)
• Comentarios: %
• Edición de líneas de comando
• Cortar y Pegar
MATLAB - Comandos básicos

Variables
• Asignar
» a = 3, b = 4
• Listar
» ans
» who
» whos
• Eliminar
» clear b
 Guardar
» save fichero
 Recuperar
» load fichero

Constantes y cadenas
• Número p: pi
• Unidad imaginaria : i,j
• Precisión: eps
• Infinito: Inf
• Indeterminación: NaN
 Formatos numéricos
»format long
»format short
»format rat
 Cadenas de caracteres
»'Esto es una cadena’
»Esto no

Funciones
• help elfun
u sin
u cos
u tan
u exp
• ezplot (x3+1)/x
-2 0 2
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
(x3+1)/x
PRACTICA 1:EJEMOLOS EJERCICIOS DE AULA

Números Complejos
 Módulo y argumento
» abs(z)
» angle(z)
 Representación gráfica
» plot(z,'*')
» compass(z)
 Forma binómica
» z = 3 + 4i
 Parte real e imaginaria
» real(z)
» imag(z)
 Complejo conjugado
» conj(z)

Vectores
• Edición
» u = [1 2 3]
» v = [1,2,3]
» w = [1;2;3]
» w =[1 2 3]
• Progresivos
» 0:0.1:10
» linspace(0,1,11)
• Normas
» norm(v,2)
» norm(v,1)
» norm(v,inf)
-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

Operaciones con vectores
• Suma: u+v
– de comps.: sum(u)
• Productos
– por escalar: 2*u
– escalar: dot(u,v)
– elemental: u.*v
– matricial: u*w, w*u
– de comps.: prod(u)
• Transpuesta: u'
• Voltear
» fliplr(x)
» flipud(x')
• Funciones
» x = -1:0.01:1
» y = tanh(x)
» plot(x,y)

Matrices
• Edición
» A = [1,2;3,4]
» B=[-1-2-3-4]
• Elemento: A(2,1)
• Fila: A(2,:)
• Columna: A(:,1)
• Bloques
» M = [A,B;B,A]
• Submatrices
» M41= M(1:3,2:4)
» fil = [1,2,4]
» col = [1,3,4]
» M32= M(fil,col)

Operaciones con matrices
• Suma y resta: + -
• Producto: * .*
• Potencia: ^ .^
• Cociente izq.: / ./
• Cociente der.: .
• Transpuesta: ' .'
• Determinante
» det(A)
• Inversa
» inv(A)
• Rango
» rank(A)

• Identidad de orden n: eye(n)
• Nula de tamaño m×n: zeros(m,n)
• Matriz de unos: ones(m,n)
• Matriz aleatoria: rand(m,n)
• Matriz de Hilbert: hilb(n)
• Matriz de van der Monde: vander(x)
Matrices usuales

Polinomios
• Coeficientes p=[2/3 -5 34/3 -7]
• Valor de p en x: polyval(p,x)
• Raíces: roots(p)
• Multiplicación: conv(p,q)
• División con resto: [q,r] =
deconv(p,d)
7xx5xxp 3
3423
3
2
)(
PRACTICA 2: EJERCICOS DE AULA Y DE CASA21/05/2015 www.openc.amawebs.com 29

ENTRADA/SALIDA DE DATOS EN LA VENTANA DE COMANDOS
Ingresar los vectores/matrices
REPASO DE LO APRENDIDO
>> A = [1 2 3 ; 5 6]
>> B = [3 ; -2 ; 1]
>> C = [1 -2 3 -4]
>>save ABC A B C
>>clear A C
>>A
>>load ABC A C
>>A
>> save B.dat B /ascii
>> load b.dat

>> x = input('Ingrese x: ')
>> format rat
>>x
>>format long
>>x
>>format long e
>>x
>>format hex
>>x
>>format short e
>>x
>>format short
>>x
>> disp('El valor de x = '),disp(x)

Tipo de
línea
Tipo de puntos Color
-
:
--
-.
.
^
p
d
+
<
>
v
*
o
x
s
r: rojo
g: verde
b: azul
k: negro
m:
magenta
y: yellow
c: cyan
El comando plot, nos permite graficar en dos
dimensiones, mostraremos aquí algunas variantes
para tipo de trazado y color
Títulos
title,
xlabel, ylabel
text, gtext
GRAFICOS EN 2D

Ejemplos
th = [0: .02:1]*pi;
subplot(221), polar(th,exp(-th))
subplot(222), semilogx(exp(th))
subplot(223), semilogy(exp(th))
subplot(224), loglog(exp(th))
pause, clf
subplot(221), stairs([1 3 2 0])
subplot(222), stem([1 3 2 0])
subplot(223), bar([2 3; 4 5])
subplot(224), barh([2 3; 4 5])
pause, clf
y = [0.3 0.9 1.6 2.7 3 2.4];
subplot(221), hist(y,3)
subplot(222), hist(y,0.5 + [0 1 2])

Curvas planas
• Cartesianas
– ezplot
– fplot
– plot
• Polares
– polar
• Paramétricas
– plot
0.25
0.5
0.75
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
PRACTICA 3: EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE AULA Y CASA

GRAFICO con ezplot
A) ezplot( @sin, [0 2*pi] )
La función matemática graficada es:………………………
B) ezplot( @(x,y) x.ˆ4+y.ˆ4-1, [-1 1] ), axis equal
C)
x= @(t) exp(-t).*cos(8*t);
y= @(t) exp(-t).*sin(8*t);
ezplot(x,y,[0 3])

D) ezplot3(@cos, @sin, @(t) exp(-t/8), [0 40], 'animate')
E) ezcontour(@(x,y) 4*x.^2-x.*y+y.^2, [-1 1 -2 2] )
F) ezcontourf(@(x,y) sin(3*x-y).*sin(x+2*y), [-pi pi])
PRACTICA 4: EJEMPLOS Y EJERCIOS DE AULA Y DE CASA

1.11 Representación simple de un modelo matemático.

MECANISMO DEL DESTINO DE CONTAMIANTE EN EL
AMBIENTE

PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA

1.12 Matemática del transporte de Materia difusión y advección

DIFUSIÓN MOLECULAR

Esta ecuación describe el comportamiento del gráfico anterior
La solución analítica de la forma 1-D la ecuación anterior, para una masa
de contaminante de masa M es:

PRÁCTICA DE INVESTIGACION Y/O CONCLUSIONES
1. INSTRUCCIONES: (Debe ser presentado con su apellidos y nombres,
fecha, en una hoja impresa, con tamaño Arial 10 en negrita para los
subtitulo y Arial 8 para el texto).
Pensar un ejemplo modelos de Dispersión de contaminantes en océano,
atmosfera, etc. Indicar, en cada caso, brevemente: Fines, Características,
Hipótesis, Puntos fuertes y débiles del modelo, Posibles mejoras.
2. Usar el MATLAB para realizar las siguientes operaciones:
1. Adicionar un 1 a cada elelmento del vector [2 3 -1].
2. Multiplicar a cada elemento del [1 4 8] por 3.
3. Encontrar el producto de dos vectores [1 2 3] y [0 -1 1]. (Answer: [0 -2 3])
4. Sacar la raiz de cada elemento del vector [2 3 1].
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