Modelos compartimentados y su relación con la matriz de segunda generación, así como el número de reproducción básica y efectiva. Se presentan también parámetros y estadísticas para la región centroamericana así como proyecciones para Guatemala y Panamá.

1. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Modelos Matem´aticos aplicados al COVID-19
Pedro Morales-Almaz´an
Departamento de Matem´atica
Universidad de California, Santa Cruz
pmorale5@ucsc.edu, @p3d40
Universidad de Panam´a
2 de julio, 2020
Pedro Morales-Almaz´an Departamento de Matem´atica
Modelos COVID19

2. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Plan
1 Modelos Compartimentados
2 N´umero de Reproducci´on B´asico
3 An´alisis de Datos
4 Proyecciones
5 Referencias
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3. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Modelos Compartimentados
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4. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Modelos Compartimentados
Se divide a la poblaci´on en grupos o compartimentos y se expresa
la din´amica entre ellos por medio de ecuaciones diferenciales
acopladas.
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5. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Ejemplo: SIR
S: Susceptibles, I: Infectados, R: Recuperados
Modelo SIR
dS
dt
= −β
S
N
I
dI
dt
= β
S
N
I − γI
dR
dt
= γI
β: Contactos promedios, γ: Frecuencia de infecci´on
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6. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Figura: Soluciones a un Modelo SIR
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7. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Par´ametros y condiciones iniciales
Par´ametros: β, γ, N
Condiciones Iniciales: S(0), I(0), R(0)
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8. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Modelos Compartimentados en General
Para n compartimentos se define el vector de estado:
x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))
Modelo Compartimentado
dxi
dt
= Hi (x)
donde los primeros m < n contienen infectados.
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9. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
N´umero de Reproducci´on B´asico
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10. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
N´umero de Reproducci´on B´asico
Definici´on
R0 es el n´umero promedio de contagios secundarios.
Mide la reproducci´on libre.
• R0 > 1 El brote resulta en epidemia.
• R0 = 1 El brote es estable.
• R0 < 1 El brote desaparece.
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11. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Modelos Compartimentados
dxi
dt
= Fi (x) − Vi (x)
Fi : aparici´on de nuevas infecciones en i
Vi : flujo de infecciones entre i y dem´as compartimentos infecciosos.
F, V matrices Jacobianas de los compartimentos infectados.
Matriz de Segunda Generaci´on
G = FV −1
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12. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
N´umero de Reproducci´on B´asico
G = (gij ) contiene los contagios secundarios promedio en i
generados por j
N´umero de Reproducci´on B´asico
R0 = ||G||
||G|| = valor propio m´as grande (Radio Espectral)
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13. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Ejemplo: SIR
x1 = I , x2 = S , x3 = R
dx1
dt
= β
S
N
I − γI, F1 = β
S0
N
, V1 = γ
Matriz de Segunda Generaci´on, N´umero de Reproducci´on
G =
β S0
N
γ
, ||G|| =
β
γ
= R0
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14. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Ecuaci´on Lokta-Euler
g: Distribuci´on del intervalo generacional.
i: Incidencia de infecciones nuevas
R0 = g(τ)
i(t − τ)
i(t)
dτ
−1
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15. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
An´alisis de Datos
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16. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
An´alisis de Datos
• Estimaci´on de Par´ametros
• Proyecciones
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17. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Casos Totales Centroam´erica
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18. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Datos Diarios Centroam´erica
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19. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Tiempo de Duplicaci´on (d´ıas)
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20. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Letalidad (Actuales)
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21. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Letalidad (Concluidos)
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22. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Letalidad (Desfase de 15 d´ıas)
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23. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
N´umero de Reproducci´on Efectiva
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24. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Proyecciones
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25. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Modelo Compartimentado
Figura: Diagrama de un modelo SEIRD
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26. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Sistema de Ecuaciones Diferenciales
dS
dt
= −β
ES
N
dE
dt
= β
ES
N
− αE
dI
dt
= αE − γI
dR
dt
= γ(1 − µ)I
dD
dt
= γµI
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27. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Par´ametros
γ = 1/T:Tasa de recuperaci´on (T obtenida de art´ıculos)
β = R0γ: Contactos promedios (R0 estimado de los datos)
α = 1/ : Tasa de latencia ( obtenida de art´ıculos)
µ: Letalidad (Estimada de los datos)
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28. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Guatemala: Casos
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29. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Guatemala: Muertes
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30. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Panam´a: Casos
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31. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Panam´a: Muertes
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32. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Referencias
• Park, Sang Woo, et al. “A practical generation-interval-based
approach to inferring the strength of epidemics from their
speed.” Epidemics 27 (2019): 12-18.
• Lauer, Stephen A., et al. “The incubation period of
coronavirus disease 2019 (COVID-19) from publicly reported
confirmed cases: estimation and application.” Annals of
internal medicine 172.9 (2020): 577-582.
• Diekmann, Odo, J. A. P. Heesterbeek, and Michael G.
Roberts. “The construction of next-generation matrices for
compartmental epidemic models.” Journal of the Royal
Society Interface 7.47 (2010): 873-885.
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33. Modelos Compartimentados N´umero de Reproducci´on B´asico An´alisis de Datos Proyecciones Referencias
Preguntas
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