aplicacion de modelos y relaciones del modulo de matematicas en la licenciatura de matematicas en

1. MODELOS REALACIONES Y VARIABLES
HISTORIA
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia,
donde fueron capaces de resolver
ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (a ), así como
ecuaciones indeterminadas como +
= con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían
cualquier ecuación cuadrática empleando
esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También
fueron capaces de resolver algunas
ecuaciones indeterminadas.
Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la
tradición de Egipto y Babilonia, aunque el
libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y
presenta muchas soluciones sorprendentes para
ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre
resolución de ecuaciones encontró, a su vez,
acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó ciencia de
reducción y equilibrio. (La palabra árabe
al-jabru que significa `reducción', es el origen de la palabra
álgebra). En el siglo IX, el matemático
al-Jwðrizmð; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra,
una presentación sistemática de la teoría
fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones
incluidas. A finales del siglo IX, el matemático
egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e
identidades del álgebra, y resolvió
problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen

2. x + y + z = 10, + = , y xz = .
CONSTANTES Y VARIABLES
CONSTANTE
En la mayoría de los cálculos intentamos encontrar un número.
Por ejemplo, el área de un terreno rectangular de 25 metros de
longitud y 40 metros de anchura (o yardas o pies) es
25 x 40 = 1000 m2
Hasta que llevemos a cabo la multiplicación, podemos
representar la respuesta por alguna letra, normalmente la x, y
escribir
25 x 40 = x
Podemos decir que "x simboliza una cantidad desconocida". La
idea fundamental del álgebra es muy simple:
VARIABLE
La cantidad desconocida x es un número como cualquier otro. Se
puede sumar, restar, multiplicar o dividir de la misma forma que
los números comunes.
A la relación matemática que implica a números conocidos
(como 25 o 40) y a desconocidos (como x) se la conoce como
una ecuación. A veces no tenemos x de una forma tan clara como
anteriormente, sino que está dentro de alguna expresión
complicada. Para obtener una solución, deberemos reemplazar la
susodicha ecuación (o ecuaciones) por otras que contengan la

3. misma información pero de forma más clara. El objetivo final es
aislar la incógnita, para que parezca aparte, para proporcionar a
la ecuación la antedicha fórmula, a saber
x = (expresión conteniendo solo números conocidos)
Una vez alcanzado esto, el número que representa la x puede
calcularse rápidamente.
Por ejemplo:
"¿Cual es el número que si lo dobla, luego le suma 5 y luego
divide esa suma por 3, obtiene 3?"
Llame a ese número x. La declaración hecha mediante palabras
puede también escribirse por medio de una ecuación:
(2x + 5)/3 = 3
El paréntesis encierra las cantidades que se manejan como un número único, y 2x significa "2
veces x". En álgebra, los símbolos (o paréntesis) colocados junto a otros se sobreentiende que
están multiplicados. Si sigue esta regla, nunca se confundirá por la similitud entre la letra x y el
signo de la multiplicación. Los programas de computadora, en cambio, normalmente representan
la multiplicación mediante *, colocado un poco más bajo que aquí.
PROPIEDADES
FACTORIZACION
DEFINICION
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por
ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio)
como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el
caso de números debemos utilizar los números primos) que, al
multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el

4. factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b
CASOS
FACTORIZACION
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el
menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy
sencilla que dice: Cuadrado del primer térmi
no más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que
olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo
esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la
que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con
un término, sino con dos.
un ejemplo:
Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos
características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
Aplicamos el caso I (Factor común)
Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el
restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar
un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de
tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y
tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al

5. segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se
resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno
negativo y otro positivo.
O en una forma más general para exponentes pares:
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el
resultado nos da r+1 factores.
Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay
que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que se
suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.
Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.
Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos
es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan
la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el
término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el
término del medio.
Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos
es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan
la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el
término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el
término del medio.
Ejemplo:

6. Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n
sea un número impar):
Quedando de la siguiente manera:
Ejemplo:
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando
de la siguiente manera:
Ejemplo:
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta
generalización.
Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la
letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término
es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el
coeficiente del primer término(4x2) :
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el
término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :
Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en
paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :

7. Queda así terminada la factorización :
Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios
eniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
EJERCICIOS
taller de factorizacion
ECUACIONES Y SUSTITUCIONES
DEFINICION
Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de
igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o
letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para
determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman
soluciones de la ecuación. Ejemplo:
La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho
valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6
es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por
ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

8. Resolver una ecuación es hallar los valores de X que la satisfacen a través de
técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el
procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse
otros métodos.
SOLUCION
Una ecuacion tiene solucion cuando se encuentra el valore de las variables, una ecuacion puede
no tener solucion, tener una unica solucion o tener infinita soluciones
ECUACION LINEAL
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando
una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir,
una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el
sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es:
y=m x+b
Donde m representa la pendiente y el valor de b determina la ordenada al origen (el punto donde
la recta corta al eje y).
Las ecuaciones en las que aparece el término xy (llamado rectangular) no son consideradas
lineales.
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
3x + 2y = 5
3x + y -5 = -7x + 4y +3
x - y + z = 15
3x - 2y + z = 20
x + 4y - 3z = 10
GRÁFICA

9. PROBLEMAS
1.Halle el área y perímetro del tríángulorectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros
2.
ECUACION CUADRATICA
DEFINICION
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es
decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es
posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar
las soluciones.
3.- Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente
El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la
ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho
procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo
grado es la llamada fórmula resolvent
Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor
exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una
incógnita y que se expresa en la forma canónica:
a + bx + c = 0
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente
lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:
a +b +c=0

10. con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se
conoce como ecuación bicuadrática.
La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las
ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.
GRÁFICA
FÓRMULA
a ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente
distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
x=
x= x=
son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales
del álgebra elemental.
Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):
podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:
1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo, >0 (la parábola

11. cruza dos veces el eje x);
2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es
cero, = 0 (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo, < 0 (la
parábola y el eje x no se cruzan).
PROBLEMAS
1.La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números
2.El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y
el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.
3.Halle el área y perímetro del tríángulorectángulo mostrado. Las dimensionesestán en metros
ECUACION CUBICA
DEFIFNICION
Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la
forma canónica:
a
números reales o el de los números complejos.
FORMULAS
Ecucaion cubica
ecuacion cubica
GRAFICA
ECAUCION LOGARITMICA

12. DEFINICION DE LOGARITMO Y PROPIEDADES
La Logaritmación es una operación entre dos números reales a y b, llamados base y argumento
respectivamente, que se define como sigue:
log a b = c Û ac = b, siendo a > 0 , a ¹1 y b>0
Ejemplos:
log 2 8 = 3 pues 23 = 8
log 4 16 = 2 pues 42 = 16
log 6 1 = 0 pues 60 = 1
PROPIEDADES
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar
cálculos:
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del
denominador.
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la
base de la potencia.
El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del
radicando.
En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:
DEFINICION
Una ecuación es Logarítmica cuando la incógnita está afectada por la logaritmación.
Para resolver ciertas ecuaciones logarítmicas se debe aplicar la definición de dicha operación.
Luego de obtenidos los valores, se deben verificar, descartando aquellos que no cumplan con
las condiciones de la logaritmación
Log 2(x-1) = -1
x-1 = 2-1
x= 3/2
GRAFICA

13. EJERCICIOS
a) log 6 (x+5) = 2 + 2 log 6 x
b) (log 4 x)2 + log 4 x3 + 2 = 0
c) log 5 (x+12) = log 5 (x+2) + log 5 5
ECAUCION EXPONENCIAL
Definicon y propiedades
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:
a0 = 1
a1 = a
ecuacion_exponencial003
ecuacion_exponencial004
am : an = am - n

14. an : bn = (a : b)n
Para resolver una ecuación exponencial vamos a seguir los siguientes pasos:
Uno: Si los dos miembros de la igualdad tienen distinta base, debemos reducirlos a la misma
base.
Ejemplo:
na vez que tenemos la misma base en los dos miembros, igualamos los exponentes y
resolvemos la ecuación:
Reducimos a la misma base
El primer término es una potencia elevada a potencia, y lo expresamos
Esta ecuación exponencial es una ecuación de segundo grado. Para resolverla, es necesario el
uso de incógnitas auxiliares. Así el problema se simplifica y es fácil comprobarlo.
La incógnita auxiliar para esta ecuación exponencial es:
A continuación se reemplaza con el valor de la incógnita auxiliar en la ecuación y se resuelve.
z2 + z = 72
z2 + z - 72 = 0
Esta ecuación podría resolverse mediante la fórmula general para resolver ecuaciones de
segundo grado, pero como corresponde al caso de factorización de un trinomio perfecto es
conveniente por su rapidez utilizar dicha factorización. Se debe recordar que para hacerla hay

15. Factorizando queda:
(z + 9) (z - 8) = 0
Luego se igualan ambos paréntesis a cero; se obtienen dos resultados y se elige el que sea
correcto.
z + 9 = 0 z - 8 = 0
z = -9 z = 8
De los dos resultados, el correcto es z = 8, porque 23 = 8.
(Para resolver cualquier ecuación exponencial siempre deben igualarse las bases; en este
ejercicio todas las bases deben ser 2).
Sabiendo que
z = 8; ahora se debe reemplazar el valor de la incógnita y resolver:
2(x+1) = 8
2(x+1) = 23
x + 1= 3
x=2
Comprobación:
4(x+1) + 2(x+1) = 72
4(2+1) + 2(2+1) = 72
ECAUCIONES TRIGONOMETRICAS

16. TALLER GENERAL
1,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10
11.
12
13.
13
14
15.
16
17.
18.
19.

17. 20
21
22.
23.
SISTEMAS DE ECUACIONES
SISTEMA DE 2X2
DEFINICION
Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es
encontrar su solución común.
La solución de un sistema es un par de números , tales que reemplazando x por e y por
se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.
x = 2, y = 3
SITEMA DE 3X3
sitema 3x3

18. FÓRMULAS
FUNCIONES
DEFINICION
Una funcion es un tipo especial de relacion entre elementos de
dos conjuntos. Un conjunto inicial llamado Dominio y un
conjunto Final llamado Imagen, una funcion asigna a cada
elemento del dominio un elemento de la Imagen
Para que una relacion sea funcion se deben cumplir dos
condiciones
Una función es una relación entre dos variables numéricas,
habitualmente las denominamos x e y; a una de ellas la llamamos
variable dependiente pues depende de los valores de la otra para
su valor, suele ser la y; a la otra por tanto se la denomina variable
independiente y suele ser la x.
GRAFICA
CLASES

19. Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable
independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x - 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar
operaciones.
5x - y - 2 = 0
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.

20. f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Función afín.
La función afín es del tipo:
y = mx + n
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
11
función
Función lineal.
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de
coordenadas.
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
gráfica

21. Función identidad.
f(x) = x
Su gráfica es la bhttp://www.vitutor.co.uk/fun/images/identidad.gifisectriz del primer y tercer
cuadrante.
Funciones cuadráticas

22. f(x) = ax² + bx +c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
eje
2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² - 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² - 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² - 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
Representar la función f(x) = x² - 4x + 3.
1. Vértice
V(2, -1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² - 4x + 3 = 0
ecuación
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)

23. Gráfica
Funciones a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
El dominio lo forman todos los números reales menos el 4
Función parte entera de x
Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente

24. inferior.
f(x) = E (x)
x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Función mantisa
Función que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera.
f(x) = x - E (x)
x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2
f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0
Función signo
f(x) = sgn(x)
Función signo
Funciones en valor absoluto.
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los
siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es
negativa se cambia el signo de la función.
4 Representamos la función resultante.

25. D= R

26. D=R
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
Función racional
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el
denominador.
Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

27. Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.

28. Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que
hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
CRITERIOS
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
Función radical de índice impar
El dominio es R.
Dominio de una función irracional de índice impar
Dominio de la función irracional de índice impar
Función radical de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o
igual que cero.

29. Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada
del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Función exponencial
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la
potencia se llama función exponencial de base a y exponente x.
x y = 2x
-3 1/8
-2 1/4
-1 1/2
01
12
24
38
graph of exponential function

30. Propiedades de la función exponencial
Dominio: R.
Recorrido: R +.
Es continua.
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva todaac a 1(ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a >1.
Decreciente si a < 1.
Las curvas y = e y = son simétricas respecto del eje OY.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
x log
1/8 -3
1/4 -2

31. 1/2 -1
10
21
42
83
Logarithmic Function
Propiedades de las funciones logarítmicas
Dominio: R +
Recorrido: R
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Funciones trigonométricas
Función seno
f(x) = sen x

32. Dominio: Erre
Recorrido: [-1, 1]
Período: Propiedades
Continuidad: Continua en Propiedades
Impar: sen(-x) = -sen x
Función coseno
f(x) = cos x
Dominio: Erre
Recorrido: [-1, 1]
Período: Propiedades
Continuidad: Continua en Propiedades
Par: cos(-x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x

33. Dominio: Propiedades
Recorrido: Erre
Continuidad: Continua en Propiedades
Período: Propiedades
Impar: tg(-x) = -tg x
Función cotangente
f(x) = cotg x

34. Dominio:
Recorrido
Continuidad: Continua en
Período:
Impar: cotg(-x) = -cotg x
Función secante
f(x) = sec x

35. Dominio:
Período:
Continuidad: Continua en
Par: sec(-x) = sec x
Función cosecante
f(x) = cosec x

36. Dominio:
Período:
Continuidad: Continua en
Impar: cosec(-x) = -cosec x
PROPIEDADES
PRINCIPIOS BÁSICOS DE TRIGONOMETRIA

37. RELACIONES TRIGONOMETRICAS
DEFINICIONES
EJERCICIOS
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
EJERCICIOS
Razones trigonométricas del ángulo doble
EJERCIOS

38. Razones trigonométricas del ángulo mitad
EJERCICICOS

39. Transformaciones de sumas en productos
EJERCICIOS
Transformaciones de productos en sumas
EJERCICIO

40. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES
Relación seno coseno
Relación secante tangente
Relación cosecante cotangente
EJERCICIOS

41. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

42. DEFINICION
En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y
por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en
todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para
trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades
trigonométricas fundamentales.
EJEMPLOS
Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1.
2.

43. 3.
Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.
4.
5.

44. 6.
7.

45. EJERCICIOS
BIBLIOGRAFIA
TALLER