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UNIDAD #2. POLINOMIOS
Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras combinados con los signos de
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Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por sumas y/o restas de dos o más
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SUMA Y RESTA DE MONOMIOS
La suma o resta de monomios se puede realizar si son semejantes, es decir, si tienen la
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DIVISIÓN DE MONOMIOS
La división de dos monomios es otro monomio que tiene:
– Por coeficiente, el cociente de los coefi...
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ACTIVIDAD 2
1. Halla el valor numérico de la expresión 3 ⋅ x −5 cuando x toma los valores.
2. Calcula el valor de las e...
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3. Completar las siguientes tablas
4. Realiza las siguientes operaciones.
a) 3a ⋅ 2a = c) 2x ⋅ 3x ⋅ 4x = e) x ⋅ x ⋅ x =...
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8. Opera y reduce, eliminando los paréntesis. Fíjate en el ejemplo.
Ejemplo:
2 ⋅ (2x − 3) = 2 ⋅ 2x − 2 ⋅ 3 = 4x – 6
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UNIDAD #3. FACTORIZACIÓN
Es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión
dada;...
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Caso 3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto:
La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que...
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X2
+ 5x + 6 = (x )(x )
En el primer binomio, después de x, se pone el signo (+) porque el segundo término del
trinomio ...
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- Factorizar x2
- 5x – 14
Así: x2
- 5x – 14 = (x - )(x + )
En el primer binomio se pone ( - ) por el signo de - 5x
En e...
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Hay otra manera de Factorizar este tipo de trinomio:
Buscar dos números que multiplicados del el primer termino y otros...
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Caso 7. Factorización de binomio de cubos
Los binomio de cubos son de la forma a3
± b3
en donde a y b son números reale...
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xviii. 64x2
-64x+16
xix. 81x2
y2
-72xy+16
xx. 2x2
+ 7x + 3
xxi. 2y2
+ 9y + 4
xxii. 3z2
- 14z - 5
xxiii. 4x2
- 29x + 7
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  1. 1. “¡Feliz el hombre que no sigue el consejo de los malvados, ni se detiene en el camino de los pecadores, ni se sienta en la reunión de los impíos, sino que se complace en la ley del Señor y la medita de día y de noche!”. Salmos 1 1:2 INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA
  2. 2. 2 Identificar relaciones entre propiedades del lenguaje numérico y algebraico Utilizar y comprender las expresiones algebraicas. Obtener el valor numérico de una expresión algebraica. Identificar monomios. Distinguir entre monomios y polinomios. Realizar operaciones con monomios. Construir expresiones algebraicas equivalentes a una ex presión algebraica dada. Usar procesos educativos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas. Identificar diferentes métodos para resolver polinomios Analizar los métodos de factorización y su aplicación.
  3. 3. 3 UNIDAD # 1: INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA El álgebra es la rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas. Vamos a tener en cuenta algunas características importantes:  El lenguaje numérico expresa la información matemática solo con números.  El lenguaje algebraico expresa la información matemática mediante números y letras.  Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas.  El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números y operar.  Los monomios son expresiones algebraicas formadas por productos de letras y números.  El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman.  Un polinomio es la suma algebraica de monomios.  Una ecuación es una igualdad algebraica que solo se verifica para algún valor de las letras.  Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que tiene una sola incógnita y su grado es 1.
  4. 4. 4 Aplicaciones del Algebra Las aplicaciones del Algebra en la ciencia, la ingeniería y en la vida cotidiana son numerosas ya que la solución de muchos problemas en la física, ingeniería, química, biomédica, graficas computarizada, procesamiento de imágenes requieren de herramientas o métodos dados por el Algebra. La importancia de la matemática en el desarrollo científico y tecnológico de la humanidad, está determinado por la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de objetos reales ya sea de la ciencia o de la técnica. Con las técnicas clásicas de solución de sistemas de ecuaciones lineales, que se pueden hacer a lápiz y papel y con el avance de la tecnología, el Algebra también se puede explotar desde lo numérico lo que hace necesario trabajar con cierta parte de la matemática clásica y con el uso de herramientas computacionales para operar los objetos o elementos del Algebra. Problema básico para la introducción al algebra son los siguientes: La suma de dos números es 36, y uno de los números es el triple del otro. De forma algebraica se expresa de la siguiente manera De acuerdo a la ecuación formada, se despeja la variable en cuestión “X” 3X + X = 36 4X = 36 X = 36/4 = 9 Respuesta: Un numero es el 9 y el otro el triple que el 27
  5. 5. 5 Diferencia entre el lenguaje numérico y algebraico El lenguaje que utilizamos habitualmente se llama lenguaje usual, y es con el que escribimos y/o hablamos. También usamos el lenguaje numérico, en el que empleamos números y signos aritméticos. Lenguaje usual Lenguaje numérico La suma de dos más cuatro es seis. Diez menos tres es siete. Ocho dividido entre dos es cuatro. 2 + 4 = 6 10 − 3 = 7 8/2 = 4 Además del lenguaje escrito y el lenguaje numérico, se utilizan letras, normalmente minúsculas, para designar a un número cualquiera y para sustituir números. El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos se llama lenguaje algebraico. La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se denomina Álgebra, algunas de las letras más usuales son: x, y, z, a, b, c, m, n, t, r, s, y representan a cualquier número. Lenguaje usual Lenguaje numérico La suma de dos números Un número aumentado en cuatro unidades El triple de un número a + b x+4 3.m
  6. 6. 6 ACTIVIDAD 1 1. Completar la siguiente tabla: 2. Escribe con lenguaje numérico o algebraico, según corresponda 3. Completar la siguiente tabla encontrando el valor de la variable “X”
  7. 7. 7
  8. 8. 8 UNIDAD #2. POLINOMIOS Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras combinados con los signos de las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división y potenciación. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar las operaciones que se indican. MONOMIOS Un monomio es la expresión algebraica más simple y está formada por productos de letras y números. •Los números se denominan coeficientes. •Las letras se denominan parte literal. Ejemplos de monomios: 2 ⋅ x; 5 ⋅ x 2; −x; x; −3 ⋅ y 2; 3 ⋅ a ⋅ b REGLAS PARA ESCRIBIR MONOMIOS  El factor 1 no se pone: 1 ⋅ x ⋅ y es igual que x ⋅ y.  El exponente 1 no se indica: −3 ⋅ x 1 ⋅ y 2 es igual que −3 ⋅ x ⋅ y 2. El signo de multiplicación no se pone ni entre los números ni entre las letras: 2 ⋅ a ⋅ b2 es igual que 2ab2
  9. 9. 9 Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por sumas y/o restas de dos o más monomios no semejantes. • Cada uno de los sumandos se denomina término. • Un término puede tener coeficiente y parte literal, o solo coeficiente y/o parte literal. • Existen términos que solo tienen números, son los términos independientes. • Los polinomios también se pueden clasificar por grados. El término de mayor grado determina el grado del polinomio sumando los exponentes de su parte literal. Ejemplo:
  10. 10. 10 SUMA Y RESTA DE MONOMIOS La suma o resta de monomios se puede realizar si son semejantes, es decir, si tienen la misma parte literal. El resultado es otro monomio que tiene por coeficiente la suma o resta de los coeficientes y la misma parte literal. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS La multiplicación entre monomios es otro monomio que tiene: – Por coeficiente, el producto de los coeficientes (números). – Por parte literal, el producto de las partes literales (letras). Para estos procedimientos hay que recordar el producto de potencias de la misma base, la multiplicación de números enteros y la regla de los signos. X2 + X3 = X2+3 = X5
  11. 11. 11 DIVISIÓN DE MONOMIOS La división de dos monomios es otro monomio que tiene: – Por coeficiente, el cociente de los coeficientes. – Por parte literal, el cociente de las partes literales. Recordar la división de potencias de la misma base, la división de números enteros y la regla de los signos. x5 / x2 = x5−2 = x3
  12. 12. 12 ACTIVIDAD 2 1. Halla el valor numérico de la expresión 3 ⋅ x −5 cuando x toma los valores. 2. Calcula el valor de las expresiones para los determinados valores
  13. 13. 13 3. Completar las siguientes tablas 4. Realiza las siguientes operaciones. a) 3a ⋅ 2a = c) 2x ⋅ 3x ⋅ 4x = e) x ⋅ x ⋅ x = b) 5a ⋅ (−5a2 ) = d) (−3a) ⋅ (−4a2 ) = f) (−4x ) ⋅ (3x2 ) = 5. Realiza las siguientes operaciones. a) x + x + x + x + x + x = d) 5a − 2a − 4a = b) x2 + x2 = e) 2x3 − x3 = c) 5ab + 3ab − 2ab = f) 6p + 2p + 5p = 7 6. Escribe dos monomios semejantes y súmalos. a) x + ........ + ........ = c) ........ + 2x 3 + ........ = b) ........ + ........ + 3a = d) ........ + ........ + 3xy = 8 7. Escribe otro monomio semejante y réstalos. a) 6x − ........ = c) 8ab − ........ = b) ........ − 5x2 = d) ........ − 3xy =
  14. 14. 14 8. Opera y reduce, eliminando los paréntesis. Fíjate en el ejemplo. Ejemplo: 2 ⋅ (2x − 3) = 2 ⋅ 2x − 2 ⋅ 3 = 4x – 6 a) 2 ⋅ (x + 1) = c) 2 ⋅ (x − 2) = b) 3 ⋅ (x2 + x) + 5x = d) −4 ⋅ (x2 − x) − 2x = 9. Realizar las siguientes divisiones
  15. 15. 15 UNIDAD #3. FACTORIZACIÓN Es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores. Caso 1. Factorización por factor común (caso monomio): se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C. Ejemplos: Descomponer (o factorizar) en factores a 2 + 2a . El factor común en los dos términos es “a” por lo tanto se ubica por delante del paréntesis a( ). Dentro del paréntesis se ubica el resultado de: 𝒂 𝟐 𝒂 + 𝟐𝒂 𝒂 = 𝒂 + 𝟐 Por lo tanto el resultado de la factorización es: a 2 + 2a = a ( a + 2 ) Caso 2. Factorización por factor común (caso polinomio) y agrupación de términos Factor común por agrupación de términos En este caso observamos que hay que descomponer la siguiente expresión: a (x + y ) + b (x + y ) Estos dos términos tienen como factor común el binomio (x + y ), por lo que se pone como coeficiente de un paréntesis y en el otro el resultante después de haber dividido dicho coeficiente. 𝑎( 𝑥 + 𝑦) (𝑥 + 𝑦) + 𝑏(𝑥 + 𝑦) (𝑥 + 𝑦) = 𝑎 + 𝑏 Por lo tanto el resultado es
  16. 16. 16 Caso 3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto: La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. Ejemplo Factorizar m2 + 2m + 1 √ 𝑚2 = 𝑚 𝑦 √1 = 1 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑚2 + 2𝑚 + 1 = (𝑚 + 1)(𝑚 + 1) = (𝑚 + 1)2 Caso 4. Factorización de un trinomio de la forma X2 +bX+c Se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio. En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término. Si los dos factores binomios tienen en medio signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio, mismos que serán los segundos términos de los binomios. Si los dos factores binomios tienen en medio signos distintos, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor es el segundo término del segundo binomio. Ejemplos: - Factorizar x2 + 5x + 6 Este trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x2 , o sea x:
  17. 17. 17 X2 + 5x + 6 = (x )(x ) En el primer binomio, después de x, se pone el signo (+) porque el segundo término del trinomio (+) 5x tiene signo (+). En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar (+ 5x) por (+ 6), y como (+) por (+) da (+), entonces: x 2 + 5x + 6 (x + )(x + ) Dado que en estos binomios hay signos iguales, buscamos dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Dichos números son 2 y 3, luego: x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) - Factorizar x2 - 7x + 12 Se tiene: x2 - 7x + 12 = (x - )(x - ) En el primer binomio se pone ( - ) por el signo de (- 7x) . En el segundo se pone ( - ) porque multiplicando( - 7x) por (+ 12) se tiene que( - ) por (+) da ( - ). Como en los binomios hay signos iguales, buscamos dos números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 12. Dichos números son 3 y 4, luego: x2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) - Factorizar x2 + 2x - 15 Se tiene: x2 + 2x - 15 = (x + )(x - ) En el primer binomio se pone ( + ) por el signo de + 2x En el segundo se pone ( - ) porque multiplicando (+ 2x) por (- 15) se tiene que (+) por (-) da ( - ) . Como en los binomios tenemos signos distintos, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15. Dichos números son 5 y 3. El 5, que es el mayor, se escribe en el primer binomio: x2 + 2x - 15 (x + 5)(x - 3)
  18. 18. 18 - Factorizar x2 - 5x – 14 Así: x2 - 5x – 14 = (x - )(x + ) En el primer binomio se pone ( - ) por el signo de - 5x En el segundo se pone (+) porque multiplicando - 5x por - 14 se tiene que (-) por ( -) da (+) Como en los binomios tenemos signos distintos, se buscan dos números cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 14. Dichos números son 7 y 2. El 7, que es el mayor, se escribe en el primer binomio: x2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2) Caso 5. Factorización de un trinomio de la forma aX2 +bX+c En este caso se tienen 3 términos: El primer término es un cuadrado perfecto, o sea que tiene raíz cuadrada exacta, el segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, sin una parte literal, así: Para factorizar una expresión de esta forma; primero se coge el término al lado de x2 , (en este caso el 4) y se multiplica por toda la expresión, dejando el segundo término igual pero en paréntesis y dejando todo esto en una fracción. Usando como denominador el término que estamos multiplicando, multiplicándolo con el 1. Luego separamos en dos fracciones el término Y después procedemos a eliminar las fracciones
  19. 19. 19 Hay otra manera de Factorizar este tipo de trinomio: Buscar dos números que multiplicados del el primer termino y otros el tercer término, los cuales al multiplicar entre ellos y luego sumar den como resultado el segundo termino de la siguiente forma: 4 . 1 = 4 3 . 3 = 9 4x2 9 4x 3 = 12x 1x 3 = 3x 15x Se multiplican de forma directa, y estos resultados al sumarse tendrán que dar el resultado del segundo termino. 4x2 9 4x 3 = 12x 1x 3 = 3x 15x Estos números se acomodan de forma cruzada en los paréntesis para terminar la factorización (4x + 3)(x + 3) Caso 6. Factorización por diferencia de cuadrados Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo. (x2 + y2 ) = (x – y )(x + y ) Si los términos poseen coeficientes: Ejemplo 9x2 – 36y2 = (3x – 6y)(3x + 6y)
  20. 20. 20 Caso 7. Factorización de binomio de cubos Los binomio de cubos son de la forma a3 ± b3 en donde a y b son números reales. La factorización se realiza aplicando la siguiente formula a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ) El binomio es la diferencia o suma de las raíces cúbicas de cada término de la suma o diferencia de cubos y el trinomio es muy semejante a un trinomio cuadrado perfecto, pero el término cruzado no es multiplicado por dos. ACTIVIDAD 3 1. Factorizar i. 4a + 4b + xa + xb = ii. 4a + 4b + xb + xa = iii. 4a - 4b + xa - xb = iv. 4a - 4b - xb + xa = v. 4a - 4b - xa + xb = vi. 4a - 4b + xb - xa = vii. -4a - 4b - xa - xb = viii. 4x2 a + 3y + 12ax + yx = ix. 4a - 7x2 a + ya + 4z - 7x2 z + yz = x. 4x3 - 4x2 + x - 1 = xi. 4x2 -20xy+25y2 xii. 25x2 +30x+9 xiii. 100x2 -60cxy+9c2 y2 xiv. 100x6 -160xy+64y2 xv. 9x2 -36xy+36y2 xvi. 36y2 -48y+16 xvii. 4a2 -32a+64
  21. 21. 21 xviii. 64x2 -64x+16 xix. 81x2 y2 -72xy+16 xx. 2x2 + 7x + 3 xxi. 2y2 + 9y + 4 xxii. 3z2 - 14z - 5 xxiii. 4x2 - 29x + 7 xxiv. 5x2 + 12x - 9 xxv. x2 + 6x + 8 xxvi. x2 + 8x + 15 xxvii. y2 - 13y + 40 xxviii. n2 + n - 20 xxix. x2 - 2x - 15 xxx. m2 - 12m + 27 xxxi. x2 - 2x - 24 xxxii. x2 + 20x + 75 xxxiii. y2 + 16y - 80 xxxiv. x2 - 25x + 100

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