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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
Calidad, Pertinencia y Calidez
Vicerrectorado Académico
DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS SEGUNDO SEMESTRE
DEL 2015
TEMA:
INTEGRANTES:
 KARLA FEIJOO
 ROGGER ILLESCAS
 KEVIN JIMENEZ
 GUIDO PINO
 PAUL TORRES
PROFESORA:
ING. MARIUXI MARQUEZ
CURSO:
VO7
AÑO LECTIVO
2015-2016
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
Calidad, Pertinencia y Calidez
Vicerrectorado Académico
DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
PRESENTACIÒN
Una expresión algebraica es la combinación de números y letras relacionados mediante operaciones
aritméticas para expresar una situación cualquiera o para generalizar propiedades matemáticas. Se la
obtiene transformando el enunciado, donde valores que no conocemos en una expresión algebraica, a
los valores conocidos también como variables que no conocemos lo representamos por una letra
diferente. Las expresiones algebraicas tienen un valor numérico, para un determinado valor, es el número
que se obtiene al sustituir en esta el valor numérico dado y realizar las operaciones que se indiquen. Se
clasifican en monomio, binomio, trinomio y polinomio.
La descomposición factorial, dice que factorizar, es descomponer una expresión en dos o más factores.
Los casos de factorización son binomios, trinomios y polinomios. Es una técnica que consiste en la
descripción de una expresión matemática en forma de producto. Existen distintos métodos de
factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados, el objetivo es simplificar una
expresión que reciben el nombre de factores, algunas clases de factorización son: factorizar un
polinomio, factor común monomio, factorización por agrupación de términos, factorización por tanteo
simple, factorización por tanteo especial, diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos y
factorización utilizando la fórmula cuadrática.
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DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras
suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones
algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido matemático traducidas a una
expresión algebraica:
Frase Expresión algebraica
La suma de 2 y un número 2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida)
3 más que un número x + 3
La diferencia entre un número y 5 a - 5
4 menos que n 4 - n
Un número aumentado en 1 k + 1
Un número disminuido en 10 z - 10
El producto de dos números a • b
Dos veces la suma de dos números 2 ( a + b)
Dos veces un número sumado a otro 2a + b
Cinco veces un número 5x
Ene veces (desconocida) un número conocido n multiplicado por el número conocido
El cociente de dos números
a
b
La suma de dos números x + y
10 más que n n + 10
Un número aumentado en 3 a + 3
Un número disminuido en 2 a – 2
El producto de p y q p • q
Uno restado a un número n – 1
El antecesor de un número cualquiera x – 1
El sucesor de un número cualquiera x + 1
3 veces la diferencia de dos números 3(a – b)
10 más que 3 veces un número 10 + 3b
La diferencia de dos números a – b
La suma de 24 y 19 24 + 19 = 43
19 más que 33 33 + 19 = 52
Dos veces la diferencia de 9 y 4 2(9 – 4) = 18 – 8 = 10
El producto de 6 y 16 6 • 16 = 96
3 veces la diferencia de 27 y 21 3(27 – 21) = 81 – 63 = 18
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La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado 92 – 42 = 81 – 16 = 65
El cociente de 3 al cubo y 9 33 / 9 = 27 / 9 = 3
12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12 122 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = 1,5
Es la combinación de constantes, variables y signos de operación que, entre otras cosas, pueden
definir una regla o principio general. (BALDOR & Baldor, 1999). Es decir, las expresiones
algebraicas generalmente nos permiten plantear problemas en un lenguaje matemático lo que facilita
su resolución.
DESCOMPOSICION FACTORIAL
Antes que todo factorización es la transformación de una expresión en producto de factores., hay que
decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números
complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales, que son:
1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos.
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales.
4. Trinomio cuadrado perfecto.
5. Trinomio de la forma x²+bx+c.
6. Trinomio de la forma ax²+bx+c.
7. Factor común.
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor
exponente y el divisor común de sus coeficientes. También se puede describir como buscar el factor
común entre los factores.


Caso II- Factor común por agrupación de términos
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que
tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término,
sino con dos.
Por ejemplo:
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común.
El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
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La respuesta es:
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
Se puede utilizar como:
Entonces la respuesta es:
Caso III - Trinomio cuadrado perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante
equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un trinomio
cuadrado perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que
tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos
en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término; al cerrar el paréntesis
elevamos todo el binomio al cuadrado.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Organizando los términos tenemos:
Extrayendo la raíz cuadrada del primer yúltimo término yagrupándolos en unos paréntesis separados
por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
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Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es
correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve
por medio de dos paréntesis, parecido a los productos de la forma (a-b) (a+b), uno negativo y otro
positivo.
O en una forma más general para exponentes pares:
Ejemplo 1:
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener la raíz cuadrada de cada
término y representar estas como el producto de binomios conjugados.
Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que
completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es
el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.
Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.
Caso VI - Trinomio de la forma x2
+ bx +c
Se identifica por tener tres términos, hay una lateral con exponente al cuadrado y uno de ellos es el
término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz
cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término
independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del
medio.
Ejemplo:
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Ejemplo:
Caso VII - Suma o diferencia de potencias
La suma de dos números a la potencia n, an
+bn
se descompone en dos factores (siempre que n sea
un número impar):
Quedando de la siguiente manera:
Ejemplo:
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la
siguiente manera:
Ejemplo:
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.
Caso VIII - Trinomio de la forma ax2
+ bx + c
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del
segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término
independiente, o sea sin una parte literal, así:
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer
término(4x2
) :
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término
independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x:
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Después procedemos a colocar de forma completa el término x2
sin ser elevado al cuadrado en
paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente:
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2
:
:
Queda así terminada la factorización:
:
Caso IX - Divisores binómicos
Su proceso consiste en los siguientes pasos: Suma o diferencia de cubos: a³ ± b³
Suma de cubos
a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)
El cuadrado del primer término, [ a² ]
[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] El cuadrado del segundo término; [ b² ]
Diferencia de cubos
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]
RAZONES
Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación puede hacerse mediante una
DIFERENCIA, en tal caso se llama “razón aritmética”, o mediante una DIVISION, en tal caso se
llama “razón geométrica”
EJEMPLO:
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-En un laboratorio se realiza una mezcla con tres compuestos, para que no existan daños en el medio
ambiente. Si con el menor de ellos se utiliza 189 ml, ¿Cuál es la cantidad del otro compuesto?
X/y= 3/7 y= 189. 7/ 3= 441R//
189/y = 3/7
PROPORCION
Se llama proporción a la igualdad de dos razones, siendo la característica principal que estas razones
son iguales. Las proporciones pueden ser geométricas y aritméticas
Una proporción es una igualdad entre dos razones, y aparece frecuentemente en notación fraccionaria.
Por ejemplo:
2 = 6
5 15
Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo:
2 = 6 =
5 15
2 · 15 = 6 · 5
30 = 30
Las proporciones expresan igualdades.
Ejemplo:
2 = 8
x 16
Ahora, se multiplica cruzado.
2 · 16 = 8 · x
32 = 8x Se resuelve la ecuación.
32 = 8x
8 8
4 = x El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir:
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2 = 8
4 16
Aplicación:
Para hacer sorullitos, mi vecina usa: 3 tazas de harina de maíz por 1 taza de líquido ( que contiene
agua, azúcar, sal y mantequilla). Si ella quiere hacer 13 tazas de harina, ¿cuánto líquido debe
agregarle?
Hagamos una proporción:
Harina = harina
líquido líquido
3 tazas harina = 13 tazas
1 taza líquido x tazas líquido
x es el valor que busco; en este caso, es el líquido para las 13 tazas de harina.
3 = 13
1 x
Ahora, se multiplica cruzado.
3 · x = 13 · 1
3x = 13
Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de x.
3x = 13
3 3
x = 4.3
La x es igual a 4.3 . Por lo tanto, para 13 tazas de harina, se necesitan 4.3 tazas de líquido para poder
hacer los sorullitos.
TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON
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El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un
binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para
desarrollar la expresión:
Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un
binomio. Esto es la forma de obtener
Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia
Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde
los de numerador 1.
O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:
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Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una
fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es
la suma de los dos que tiene encima.
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan
elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo
contrario.
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus
coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.
Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton
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Ejemplos:
1) Desarrollar la potencia
Conclusiones
Las expresiones algebraicas son una combinación entre letras y números que se encuentran
unidos por diferentes signos de operaciones tales como la adicción, sustracción,
multiplicación, división y potenciación. Con las expresiones algebraicas podemos hallar
áreas y volúmenes. Están compuestos por un coeficiente y un literal, y existen 4 tipos de
signos de agrupación los cuales son: paréntesis, corchetes, llaves y vínculos.
La factorización poder realizarlas se debe encontrar dos o más expresiones que al
multiplicarse entre sí se obtiene la expresión inicial. Los casos de factorización dependen del
número de términos y sus características.
La razón es una comparación entre dos cantidades esta puede venir dada en forma de
fracción. Se pueden comparar magnitudes con distintas unidades. Una proporción es una
igualdad entre dos razones. Además se la puede interpretar con la regla de tres.
El binomio de Newton se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio
elevado a una potencia cualquiera de exponente natural, se trata de una fórmula para
desarrollar la expresión.
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BIBLIOGRAFIA
(s.f.).
 BALDOR, & Baldor. (1999). Algebra de baldor . En A. Baldor, Algebra de Baldor.

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Expresiones algebraicas, descomposicion factorial, razon y proporcion y teorema del binomio de newton

  • 1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS SEGUNDO SEMESTRE DEL 2015 TEMA: INTEGRANTES:  KARLA FEIJOO  ROGGER ILLESCAS  KEVIN JIMENEZ  GUIDO PINO  PAUL TORRES PROFESORA: ING. MARIUXI MARQUEZ CURSO: VO7 AÑO LECTIVO 2015-2016
  • 2. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN PRESENTACIÒN Una expresión algebraica es la combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas para expresar una situación cualquiera o para generalizar propiedades matemáticas. Se la obtiene transformando el enunciado, donde valores que no conocemos en una expresión algebraica, a los valores conocidos también como variables que no conocemos lo representamos por una letra diferente. Las expresiones algebraicas tienen un valor numérico, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en esta el valor numérico dado y realizar las operaciones que se indiquen. Se clasifican en monomio, binomio, trinomio y polinomio. La descomposición factorial, dice que factorizar, es descomponer una expresión en dos o más factores. Los casos de factorización son binomios, trinomios y polinomios. Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados, el objetivo es simplificar una expresión que reciben el nombre de factores, algunas clases de factorización son: factorizar un polinomio, factor común monomio, factorización por agrupación de términos, factorización por tanteo simple, factorización por tanteo especial, diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos y factorización utilizando la fórmula cuadrática.
  • 3. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual. A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido matemático traducidas a una expresión algebraica: Frase Expresión algebraica La suma de 2 y un número 2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida) 3 más que un número x + 3 La diferencia entre un número y 5 a - 5 4 menos que n 4 - n Un número aumentado en 1 k + 1 Un número disminuido en 10 z - 10 El producto de dos números a • b Dos veces la suma de dos números 2 ( a + b) Dos veces un número sumado a otro 2a + b Cinco veces un número 5x Ene veces (desconocida) un número conocido n multiplicado por el número conocido El cociente de dos números a b La suma de dos números x + y 10 más que n n + 10 Un número aumentado en 3 a + 3 Un número disminuido en 2 a – 2 El producto de p y q p • q Uno restado a un número n – 1 El antecesor de un número cualquiera x – 1 El sucesor de un número cualquiera x + 1 3 veces la diferencia de dos números 3(a – b) 10 más que 3 veces un número 10 + 3b La diferencia de dos números a – b La suma de 24 y 19 24 + 19 = 43 19 más que 33 33 + 19 = 52 Dos veces la diferencia de 9 y 4 2(9 – 4) = 18 – 8 = 10 El producto de 6 y 16 6 • 16 = 96 3 veces la diferencia de 27 y 21 3(27 – 21) = 81 – 63 = 18
  • 4. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado 92 – 42 = 81 – 16 = 65 El cociente de 3 al cubo y 9 33 / 9 = 27 / 9 = 3 12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12 122 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = 1,5 Es la combinación de constantes, variables y signos de operación que, entre otras cosas, pueden definir una regla o principio general. (BALDOR & Baldor, 1999). Es decir, las expresiones algebraicas generalmente nos permiten plantear problemas en un lenguaje matemático lo que facilita su resolución. DESCOMPOSICION FACTORIAL Antes que todo factorización es la transformación de una expresión en producto de factores., hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales, que son: 1. Diferencia de cuadrados 2. Suma o diferencia de cubos. 3. Suma o diferencia de potencias impares iguales. 4. Trinomio cuadrado perfecto. 5. Trinomio de la forma x²+bx+c. 6. Trinomio de la forma ax²+bx+c. 7. Factor común. Caso I - Factor común Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. También se puede describir como buscar el factor común entre los factores.   Caso II- Factor común por agrupación de términos Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos. Por ejemplo: Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
  • 5. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN La respuesta es: En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo: Se puede utilizar como: Entonces la respuesta es: Caso III - Trinomio cuadrado perfecto Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un trinomio cuadrado perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término; al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo 1: Ejemplo 2: Ejemplo 3: Ejemplo 4: Organizando los términos tenemos: Extrayendo la raíz cuadrada del primer yúltimo término yagrupándolos en unos paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
  • 6. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría. Caso IV - Diferencia de cuadrados Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, parecido a los productos de la forma (a-b) (a+b), uno negativo y otro positivo. O en una forma más general para exponentes pares: Ejemplo 1: La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener la raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados. Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual. Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx +c Se identifica por tener tres términos, hay una lateral con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio. Ejemplo:
  • 7. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN Ejemplo: Caso VII - Suma o diferencia de potencias La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar): Quedando de la siguiente manera: Ejemplo: La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera: Ejemplo: Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización. Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así: Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término(4x2 ) : Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x:
  • 8. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente: Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 : : Queda así terminada la factorización: : Caso IX - Divisores binómicos Su proceso consiste en los siguientes pasos: Suma o diferencia de cubos: a³ ± b³ Suma de cubos a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²) Se resuelve de la siguiente manera El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b) El cuadrado del primer término, [ a² ] [ - ] el producto de los 2 términos [ ab ] [ + ] El cuadrado del segundo término; [ b² ] Diferencia de cubos a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) Se resuelve de la siguiente manera El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b) El cuadrado del 1er termino, [ a² ] [ + ] el producto de los 2 términos [ ab ] [ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ] RAZONES Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación puede hacerse mediante una DIFERENCIA, en tal caso se llama “razón aritmética”, o mediante una DIVISION, en tal caso se llama “razón geométrica” EJEMPLO:
  • 9. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN -En un laboratorio se realiza una mezcla con tres compuestos, para que no existan daños en el medio ambiente. Si con el menor de ellos se utiliza 189 ml, ¿Cuál es la cantidad del otro compuesto? X/y= 3/7 y= 189. 7/ 3= 441R// 189/y = 3/7 PROPORCION Se llama proporción a la igualdad de dos razones, siendo la característica principal que estas razones son iguales. Las proporciones pueden ser geométricas y aritméticas Una proporción es una igualdad entre dos razones, y aparece frecuentemente en notación fraccionaria. Por ejemplo: 2 = 6 5 15 Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo: 2 = 6 = 5 15 2 · 15 = 6 · 5 30 = 30 Las proporciones expresan igualdades. Ejemplo: 2 = 8 x 16 Ahora, se multiplica cruzado. 2 · 16 = 8 · x 32 = 8x Se resuelve la ecuación. 32 = 8x 8 8 4 = x El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir:
  • 10. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN 2 = 8 4 16 Aplicación: Para hacer sorullitos, mi vecina usa: 3 tazas de harina de maíz por 1 taza de líquido ( que contiene agua, azúcar, sal y mantequilla). Si ella quiere hacer 13 tazas de harina, ¿cuánto líquido debe agregarle? Hagamos una proporción: Harina = harina líquido líquido 3 tazas harina = 13 tazas 1 taza líquido x tazas líquido x es el valor que busco; en este caso, es el líquido para las 13 tazas de harina. 3 = 13 1 x Ahora, se multiplica cruzado. 3 · x = 13 · 1 3x = 13 Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de x. 3x = 13 3 3 x = 4.3 La x es igual a 4.3 . Por lo tanto, para 13 tazas de harina, se necesitan 4.3 tazas de líquido para poder hacer los sorullitos. TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON
  • 11. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para desarrollar la expresión: Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b) Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1. O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:
  • 12. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima. Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula: Por ejemplo si quiero calcular Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario. Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia. Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton
  • 13. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN Ejemplos: 1) Desarrollar la potencia Conclusiones Las expresiones algebraicas son una combinación entre letras y números que se encuentran unidos por diferentes signos de operaciones tales como la adicción, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Con las expresiones algebraicas podemos hallar áreas y volúmenes. Están compuestos por un coeficiente y un literal, y existen 4 tipos de signos de agrupación los cuales son: paréntesis, corchetes, llaves y vínculos. La factorización poder realizarlas se debe encontrar dos o más expresiones que al multiplicarse entre sí se obtiene la expresión inicial. Los casos de factorización dependen del número de términos y sus características. La razón es una comparación entre dos cantidades esta puede venir dada en forma de fracción. Se pueden comparar magnitudes con distintas unidades. Una proporción es una igualdad entre dos razones. Además se la puede interpretar con la regla de tres. El binomio de Newton se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural, se trata de una fórmula para desarrollar la expresión.
  • 14. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN BIBLIOGRAFIA (s.f.).  BALDOR, & Baldor. (1999). Algebra de baldor . En A. Baldor, Algebra de Baldor.