Modulo 1 regresión y series temporales

Docente:
Esp. John Chuke Yepes L
Estadístico U de M
johnyepes6778@correo.itm.edu.co
John Chuke Yepes
ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y
SERIES DE TIEMPO

John Chuke Yepes
Programa
Unidad 1: Análisis Exploratorio de Datos-
AED
Unidad 2: Modelos Econométricos
Regresión Lineal
Unidad 3: Modelos Series Temporales –
ARIMA

John Chuke Yepes
Programa
1.1. Contextualización
1.2. Identificación de valores outliers
Unidad 1: Análisis Exploratorio de Datos-AED
1.3. Conceptos básicos de simulación
- Ventajas de la simulación
- Sistemas continuos y discretos
1.4. Concepto de variables aleatorias
- Variables aleatorias
- Distribuciones de probabilidad
- Modelos estocásticos
- Modelo Normal
1.5. Suavización
- Promedios móviles
- Suavización exponencial
- Selección del “mejor” modelo

John Chuke Yepes
Programa
2.1. Regresión –Econometría lineal simple y múltiple.
2.1.1. Mínimos cuadrados
2.1.2. Estimación y predicción
2.1.3. Diagnóstico y análisis de residuos
2.1.4. Ruido Blanco
- Pruebas de Multicolinealidad
- Pruebas Heteroscedasticidad
- Pruebas Autocorrelación serial
2.2. Modelos Económicos - Financieros
• Modelos de Elasticidades
• Modelos de Demanda
• Modelo de Oferta
• Modelo de Mercado de Capitales
2.3. Predicción
Unidad 2: Modelos de Regresión Lineal

John Chuke Yepes
Programa
Unidad 3: Modelos Series Temporales –
ARIMA
3.1. Componentes de una serie
- Estacional
- Tendencial
- Cíclico
- Aleatorio
3.2. Modelos AR(p)
- Proceso Autorregresivo
- Estacionariedad
- Pruebas de paseo aleatorio y ruido blanco
3.3. Modelos MA(q)
- Modelos Promedio móvil
- Estacionariedad
3.4. Modelos ARIMA(p,d,q)
3.5. Proyecciones

John Chuke Yepes
Programa
Bibliografía
• Gujarati, Damodor. ( 2014). Econometría. Cuarta edición
• GREENE, W. (1998). "Análisis Econométrico" (edic. 3ª). Ed.
Prentice Hall.
• PINDYCK R. y RUBINFELD, D.L. (2000). "Econometría: modelos y
pronósticos". Ed. MacGraw-Hill.
• WOOLDRIDGE, J. M. (2006). “Introducción a la econometría: un
enfoque moderno”. Thomson Learning.
• PEÑA, DANIEL. (2005). Métodos y Modelos estocásticos de
series temporales. Madrid.
• Box, George; Jenkins Gwilyn. (2015). Time Series Analysis.
Forecasting and Control .

John Chuke Yepes
Programa
para la toma de decisiones en un marco
de expectativas esperadas.
Objetivo del curso
El objetivo general del curso se basará en:
Comprender y Desarrollar
Conceptos, Técnicas, Métodos y Modelos
para el Analizar, Interpretar y predecir
diversos escenarios futuros probables

John Chuke Yepes
Programa
Capacitar en:
• Identificar las diferentes metodologías de modelos
estocásticos-estadísticos.
• Aplicar los modelos estocásticos para realizar
proyecciones con modelos paramétricos.
• En el proceso de estimación de modelos
econométricos para predecir comportamientos de
las relaciones de variables económico –financieras.
• En la modelación de Análisis de series de tiempo,
modelos ARIMA (p,d,q) para realizar
proyecciones.
Objetivos Específicos

John Chuke Yepes
Programa
Adquirir la capacidad de interpretar y
desarrollar los modelos estocásticos
para realizar las estimaciones de las
proyecciones de variables económico-
financieras para la toma de decisiones
empresariales…
Objetivo de los estudiantes

John Chuke Yepes
TIPOS DE MÉTODOS DE PRONÓSTICOS
Análisis Exploratorio de Datos -AED

John Chuke Yepes
TIPOS DE MÉTODOS DE PRONÓSTICOS

John Chuke Yepes
Programa
MÉTODOS OBJETIVOS DE PRONÓSTICOS

John Chuke Yepes
ANÁLISIS
EXPLORATORIO DE
DATOS -AED

John Chuke Yepes
Se realiza una Medición y descripción de los datos por:
- Estadística descriptiva y
- Estadística Inferencial.
Se tienen la siguientes medidas:
1. Estadística Descriptiva
1.1. Medidas de tendencia central
1.2. Medidas de variabilidad
1.3. Medidas de forma
1.4. Análisis de Correlación
2. Estadística Inferencial
2.1. Intervalos de Confianza
2.2. Pruebas de Hipótesis
2.3. Selección de Tamaño de muestra
IDENTIFICACIÓN DE VALORES OUTLIERS

John Chuke Yepes
Se realiza una Medición y descripción de los datos por:
- Estadística descriptiva y
- Estadística Inferencial.
IDENTIFICACIÓN DE VALORES OUTLIERS
Medida
Tamaño
Media
Varianza
Desviación estándar
Proporción
Correlación
Población
Parámetros
N
m
s²
s
p
r
Muestra
Estadística
n
S²
S
p
r

John Chuke Yepes
Programa
SERIE DE DATOS
Es una secuencia ordenada de observaciones cada
una de las cuales está asociada a un individuo en
un momento de tiempo.
Definición
𝒁 𝒕 : 𝒛 𝟏, 𝒛 𝟐, 𝒛 𝟑, … . , 𝒛 𝑻 ; ∀𝒕 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝑻

John Chuke Yepes
TIPOS DE DATOS
Es una secuencia ordenada de observaciones cada una de las
cuales está asociada a un INDIVIDUO o a un MOMENTO
DE TIEMPO.
Las bases de datos de corte transversales:
consisten en una muestra de individuos, familias,
ciudades, empresas, países, entre otros.
Tomada en un punto especifico del tiempo.
Los datos de series de tiempo
corresponden, según diversos autores, a un
conjunto de datos ordenados en el tiempo.
La primera característica de este grupo de datos es
que difícilmente los datos sean independientes en
el tiempo.

John Chuke Yepes
ETAPA 1
Esquema
Proceso iterativo para la construcción de modelos
Análisis Exploratorio de los datos de la Serie
ETAPA 2
Identificación del
patrón de
Evolución de la
Serie
ETAPA 3
Propuesta del
Modelo ARMA a
estimar
ETAPA 4
Estimación de
parámetros del
modelo
ETAPA 5
Validación de los
Supuesto
¿Es
adecuado
el Modelo?
ETAPA 7
Uso del Modelo
Proyecciones
No
Si

John Chuke Yepes
VARIABLES INDEPENDIENTES:
MODELOS ECONOMÉTRICOS
PROCESO ARIMA(p,d,q)
MODELOS SERIES TEMPORALES
Pruebas estadísticas
Estacionariedad: Dickey-Fuller, Correlograma
Homoscedasticidad: Normalidad de Residuales, White, ARCH
Autocorrelación: Durbin-Watson, Breush-Godfrey
Filtro Modelo
Esquema

La modelización ARIMA o Box-Jenkins:
«parte de considerar que el valor observado de una
serie (un dato de una un dato de una variable
económica) en un momento determinado de tiempo t
es una realización de una variable aleatoria
definida en dicho momento de tiempo.
Series Temporales
Por tanto,
una serie de t datos es una muestra de un vector de
t variables aleatorias ordenadas en el tiempo al que
denominamos proceso estocástico.

Objetivo
En ocasiones se pretende «proyectar» el
comportamiento de una variable en un momento
futuro t+1, a partir del patrón de evolución que la
variable tuvo en un momento pasado, por ejemplo,
en el período anterior, 𝒁 𝒕−𝟏 :
Formalmente se tiene que
𝒁 𝒕 = 𝒇(𝒁 𝒕−𝟏)+𝒂 𝒕
es decir, que el valor de la variable Z en el momento
t es función del valor tomado en el período t-1.

Contextualización
En el análisis de series de tiempo se
tiene la restricción de que las
observaciones sucesivas e individuales
que forman el conjunto de datos son
realizaciones de variables aleatorias
mutuamente independientes.

Contextualización
En general,
Este supuesto de independencia mutua se justica
por:
• La atención prestada a diversos aspectos del
experimento, incluyendo
• La extracción aleatoria de la muestra de una
población más grande,
• La asignación aleatoria del tratamiento a cada
unidad experimental,
• El supuesto de independencia no se sostiene ya
que, en general, las observaciones son
dependientes entre sí y la naturaleza de su
dependencia es de interés en sí misma.

Series Temporales
ETAPA 1
Esquema
Proceso iterativo para la construcción de modelos
Análisis Exploratorio de los datos de la Serie
ETAPA 2
Identificación del
patrón de
Evolución de la
Serie
ETAPA 3
Propuesta del
Modelo ARMA a
estimar
ETAPA 4
Estimación de
parámetros del
modelo
ETAPA 5
Validación de los
Supuesto
¿Es
adecuado
el Modelo?
ETAPA 7
Uso del Modelo
Proyecciones
No
Si

Pronóstico
Pronóstico es el proceso de estimación del patrón
de evolución de la serie temporal en el futuro en
situaciones de incertidumbre o volatilidad.
El pronóstico de una serie de tiempo consiste en hacer
una estimación de los futuros valores de las variables
(como los rendimientos, los precios de las acciones, demanda y oferta de
productos, indicadores macroeconómicos entre otras) para un
periodo de tiempo determinado.

John Chuke Yepes L
VARIABLES INDEPENDIENTES:
MODELOS ECONOMÉTRICOS
PROCESO ARIMA(p,d,q)
MODELOS SERIES TEMPORALES
Pruebas estadísticas
Estacionariedad: Dickey-Fuller, Correlograma
Homoscedasticidad: Normalidad de Residuales, White, ARCH
Autocorrelación: Durbin-Watson, Breush-Godfrey
Filtro Modelo
ESQUEMA

Contextualización
1. Pronósticos a corto plazo:
Este tipo de pronóstico se efectúa cada mes o menos,
y su tiempo de planeación tiene vigencia de un año.
2. Pronósticos a mediano plazo:
Abarca un lapso de seis meses a tres años.
3. Pronósticos a largo plazo:
El tiempo de duración es de tres años o más.

Contextualización
El uso sistemático de la información muestral
pasa normalmente por la formulación de
modelos que pueden describir el patrón de
evolución la serie.
Los modelos utilizados para describir el
comportamiento de las variables económicas de
interés, siempre responden a la misma
estructura.

PSt = Parte sistemática o comportamiento regular de la variable,
Estructura del modelo a estimar
at : Es la parte aleatoria, también denominada innovación.
𝒁 𝒕 = 𝑷𝑺 𝒕 + 𝒂 𝒕
Zt = Serie de observaciones
En los modelos de series temporales univariantes la PSt se
determina únicamente en función de la información disponible en
el pasado de la serie:
𝑷𝑺 𝒕 = 𝒇(𝒁 𝒕, 𝒁 𝒕−𝟏, 𝒁 𝒕−𝟐, 𝒁 𝒕−𝟑, … , 𝒁 𝒕−𝒌)
Contextualización
t: Secuencia cronológica-temporal para todo t=1,2,3,…., T

Contextualización
Procesos estocásticos
Un proceso estocástico es una colección o familia
de variables aleatorias {Zt, con t ∈ T}, ordenadas
según el subíndice t que en general se suele
identificar con el tiempo.
Por tanto, para cada instante t tendremos una
variable aleatoria distinta representada por
Zt
con lo que un proceso estocástico puede
interpretarse como una sucesión de variables
aleatorias cuyas características pueden variar a lo
largo del tiempo.

Contextualización
Por ejemplo,
Si se observa sólo unos pocos valores de t, tendríamos una
imagen similar a la de la figura siguiente:

Contextualización
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Un proceso estocástico es un conjunto de
variables aleatorias que representan una
misma magnitud (responden a la misma
definición) en distintos momentos del tiempo a
los que se les asocia su distribución de
probabilidad de ocurrencia.
En general,
se supone que el proceso es lineal, es decir, que
cada variable puede ser obtenida como
combinación lineal de las que la preceden.

Una muestra de n datos será una
muestra de un vector de n variables
aleatorias ordenadas en el tiempo
( z1 .. zt .. zn ).
Se denomina proceso estocástico al
conjunto de estas variables { zt } donde
t = 1,2,3,..., T.

Conocer el proceso teórico implica:
Conocer la función de distribución conjunta del
vector de variables aunque, bajo normalidad, con su
vector de medias y su matriz de varianzas-
covarianzas.
• Función de medias: mt = E [zt ]
• Funcion de Varianzas: 𝝈 𝟐
= Var [zt ]
• Función de autocovarianzas:
Cov ( t , t +k) = E [( zt - mt ) ( zt+k - mt+k ]
• Función de autocorrelación:
r(t, t+k) = Cov ( t , t +k) / st st+k
Estos elementos pueden ser inferidos a partir de las
observaciones pero solo cuando se cumple una serie de
condiciones

Las condiciones que deben verificarse para que la inferencia a partir
de una única realización sea posible son dos:
• Estacionariedad. ( Proceso Estacionario)
Implica que las variables integrantes del proceso tienen media y
varianza constantes y finitas, y que la covarianza entre pares de
ellas solo depende de su separación temporal.
Implica que la covarianza entre pares de variables del
proceso tiende a reducirse cuanto mayor es su separación
temporal.
Es decir la relación se hace nula.
• Ergodicidad.

Función de distribución.
Para conocer la función de distribución de un proceso
estocástico es necesario conocer las funciones de
distribución univariantes de cada una de las variables
aleatorias del proceso,
f [Zti ]; ti
y las funciones bivariantes correspondientes a todo
par de variables aleatorias del proceso,
f [Zti ; Ztj ];  (ti; tj)
y todas las funciones trivariantes,

En resumen, la función de distribución
de un proceso estocástico incluye todas
las funciones de distribución para
cualquier subconjunto finito de
variables aleatorias del proceso:
f [Zt1 ; Zt2 ; : : : ; Ztn];  (t1; t2; : : : ; tT); siendo T finito

• E [zt ] = mt
• Var [zt ] = s2
t = E[Zt – m]2 = o
• Cov ( t , t +k) = Cov ( t , t - k) = E[Zt - m][Zt-k-m]=k
• rk = k / o
MOMENTOS DEL PROCESO ESTOCÁSTICO.
Como suele ser muy complejo determinar las
características de un proceso estocástico a través de
su función de distribución se suele recurrir a
caracterizarlo a través de los dos primeros
momentos.

John Chuke Yepes L
IDENTIFICACIÓN DEL PATRÓN DE
EVOLUCIÓN
Las funciones de autocorrelación miden
la relación lineal entre los valores de las
variables aleatorias separadas de una
cierta distancia en el tiempo.
La Estimación de estas funciones
permiten determinar la forma del patrón
del proceso estocástico.
Para determinar el patrón de evolución
de una serie se emplea la función de
autocorrelación

John Chuke Yepes L
La función de Autocovarianza
tk
YYEYYCov tktttttt
,....,2,1
)])([(),(,

  mm 
Función de autocorrelación simple –FAC- (FAS)
ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
2
kt
2
t
tkttt
tk,t
k,t
k,t
)Y(E)Y(E
)]Y)(Y[E
mm
mm



r


o
2
0
,
)(
)])([(
m
mm


r


 
t
kttk
kt
YE
YYE

John Chuke Yepes L
IDENTIFICACIÓN DEL PATRÓN DE
EVOLUCIÓN
El Correlograma

John Chuke Yepes L
ANÁLISIS DEL CORRELOGRAMA
Una serie de datos tendrá TENDENCIA
si r1 es cercana a 1 y las sucesivas
r2,......rk caen lentamente a cero en forma
exponencial.
Correlograma de una serie de datos con TENDENCIA
Correlograma de una serie de datos ESTACIONARIA
Una serie de datos será ESTACIONARIA
si la primera r1 presenta un valor próximo
a 1, y a partir de la segunda caen
drásticamente (rápidamente) a cero.

John Chuke Yepes L
Correlograma de una serie de datos ESTACIONAL
Una serie de datos será ESTACIONAL
si la autocorrelación r1, se repite en
periodos de secuencias de igual
amplitud, por ejemplo 12 periodos, r12.
ANÁLISIS DEL CORRELOGRAMA
Una serie de datos será ALEATORIA si
las autocorrelaciones r1,r2,......rk son
cercanas estadísticamente a cero y su
comportamiento se encuentra dentro de
los límites.
Correlograma de una serie de datos ALEATORIA

John Chuke Yepes
PROCESO ESTACIONARIO
Un proceso estocástico es estacionario
en sentido estricto o fuerte cuando la
distribución de probabilidad conjunta
de cualquier parte de la secuencia de
variables aleatorias es invariante del
tiempo
Definición
)z,...,z,z(F)z,...,z,z(F kt1ttkt1tt  

John Chuke Yepes
SUPUESTOS DE UN PROCESO
ESTACIONARIO
Un proceso estocástico es estacionario (se
encuentra en equilibrio estocástico) en
sentido débil si los momentos del primero y
segundo orden de la distribución
(esperanzas, varianzas, covarianzas) son
constantes a largo del tiempo.
Definición
sm
mm
22
tt
t
)z(E
,)z(E
    mm  ,ZZE tttt

John Chuke Yepes
Modelos Autorregresivos
La expresión genérica de un Modelo Autorregresivo,
de orden p, AR(p) sería la siguiente:
𝒁 𝒕 = 𝝁 + 𝝓 𝟏 𝒁 𝒕−𝟏 + 𝝓 𝟐 𝒁 𝒕−𝟐 + 𝝓 𝟑 𝒁 𝒕−𝟑 + ⋯ + 𝝓 𝒑 𝒁 𝒕−𝒑 + 𝒂 𝒕
𝝓 𝒑(𝑳)𝒁 𝒕 = 𝝁 + 𝒂 𝒕
𝝓 𝒑(𝟏 − 𝝓 𝟏 𝑳 − 𝝓 𝟐 𝑳 𝟐 − 𝝓 𝟑 𝑳 𝟑 − ⋯ − 𝝓 𝒑 𝑳 𝒑)𝒁 𝒕 = 𝝁 + 𝒂 𝒕
Operador Rezago
o
𝑳𝒁 𝒕 = 𝒁 𝒕−𝟏
𝑳 𝒑
𝒁 𝒕 = 𝒁 𝒕−𝒑

John Chuke Yepes
Modelos Autorregresivos Series Temporales
Sea un proceso AR(1):
Procesos AR(1)
𝝓 𝟏 < 𝟏
Entonces,
será condición necesaria y suficiente, para que el
proceso estocástico pueda ser considerado
estacionario, que f1 sea, en valor absoluto, menor
que la unidad.
𝒁 𝒕 = 𝝁 + 𝝓 𝟏 𝒁 𝒕−𝟏 + 𝒂 𝒕

John Chuke Yepes
Procesos AR(1) 𝒁 𝒕 = 𝝁 + 𝝓 𝟏 𝒁 𝒕−𝟏 + 𝒂 𝒕

John Chuke Yepes
Procesos AR(1)
En esta ecuación tenemos dos constantes :
m y f1 ;
Si un modelo AR(1) es estacionario, entonces su esperanza y
su varianza son constantes en el tiempo y se tiene que:
𝑬 𝒁 𝒕 = 𝝁 + 𝝓 𝟏 𝑬 𝒁𝒕−𝟏 + 𝑬 𝒂 𝒕 = 𝝁 + 𝝓 𝟏 𝑬 𝒁 𝒕−𝟏 =(1-𝝓 𝟏) 𝝁 =
𝝁
𝟏−𝝓 𝟏
Esperanza
Varianza
V 𝒁 𝒕 = 𝝓 𝟐
𝑽 𝒁 𝒕−𝟏 + 𝑽 𝒂 𝒕 =1
𝝈 𝟐
=
𝝈 𝟐
𝟏 − 𝝓 𝟐𝒁
1
𝒂
𝒂 𝒕~𝑹𝑩(𝟎; 𝝈 𝟐
)

John Chuke Yepes
Procesos AR(1)
La función de autocovarianzas asume la forma:
𝜸 𝒌 = 𝝓 𝒌
𝜸 𝟎1
Mientras que la función de autocorrelación -FAC
satisface la siguiente ecuación:
𝝆 𝒌 = 𝝓 𝒌
1
La fórmula del coeficiente de determinación: R²
𝑹 𝟐
= 𝟏 −
𝝈 𝟐
[𝑨𝑹 𝟏 ]
𝝈 𝟐
= 𝝆 𝟐
= 𝝓 𝟐
1 1 1
𝒂
𝒛

John Chuke Yepes
Ejercicios
1. Sea el proceso Autorregresivo de orden 1: AR(1); definido
por la ecuación siguiente:
𝒁 𝒕 = 𝟒 + 𝟎, 𝟓𝒁 𝒕−𝟏 + 𝒂 𝒕 𝒂 𝒕~𝑹𝑩(𝟎; 𝝈 𝟐)
Determine :
a. La función de autocorrelación –FAC
b. Determine que patrón presente la serie Zt.
Donde:

John Chuke Yepes
Ejercicios
2. Sea el proceso Autorregresivo de orden 1: AR(1); definido
por la ecuación siguiente:
𝒁 𝒕 = −𝟎, 𝟓𝒁 𝒕−𝟏 + 𝒂 𝒕
𝒂 𝒕~𝑹𝑩(𝟎; 𝝈 𝟐)Donde:
Determine :

John Chuke Yepes
Son, en módulo, mayores que la unidad. Esta condición implica
las siguientes relaciones sobre los coeficientes del proceso:
  2
1 21 0B B Bf f    
2 1
2 1
2
1
1
1
f f
f f
f
 
 

𝒁 𝒕 = 𝝁 + 𝝓 𝟏 𝒁 𝒕−𝟏 + 𝝓 𝟐 𝒁 𝒕−𝟐 + 𝒂 𝒕
Siendo:
La representación del proceso estocástico, la condición de
estacionariedad se verifica cuando las raíces de su ecuación
característica:
Procesos AR(2)

John Chuke Yepes
Procesos AR(2)
La FAC del AR(2), que satisface la ecuación en diferencias:
𝝆 𝒌 = 𝝓 𝟏 𝝆 𝒌−𝟏 + 𝝓 𝟐 𝝆 𝒌−𝟐
Queda determinada por los dos primeros valores de
𝝆 𝟏 =
𝝓 𝟏
𝟏 − 𝝓 𝟐
𝝆 𝟐 = 𝝓 𝟐 +
𝝓 𝟐
𝟏 − 𝝓 𝟐
1
𝝆 𝟏 = 𝝓 𝟏 + 𝝓 𝟐 𝝆 𝟏
𝝆 𝟐 = 𝝓 𝟏 𝝆 𝟏 + 𝝓 𝟐
En particular;
Si K  3

𝒁 𝒕 = 𝟎, 𝟗𝒁 𝒕−𝟏 − 𝟎, 𝟐𝒁 𝒕−𝟐
Procesos AR(2)
Ejercicios
𝒂 𝒕~𝑹𝑩(𝟎; 𝝈 𝟐)
Determine :

𝒁 𝒕 = 𝟎, 𝟖𝒁 𝒕−𝟏 − 𝟎, 𝟔𝒁 𝒕−𝟐
Procesos AR(2)
Ejercicios
𝒂 𝒕~𝑹𝑩(𝟎; 𝝈 𝟐)
Determine :

𝒁 𝒕 = 𝟎, 𝟕𝒁 𝒕−𝟏 − 𝟎, 𝟏𝒁 𝒕−𝟐
Procesos AR(2)
Ejercicios
𝒂 𝒕~𝑹𝑩(𝟎; 𝝈 𝟐)
Determine :

𝒁 𝒕 = −𝟎, 𝟔𝟓𝒁 𝒕−𝟏 + 𝟎, 𝟐𝒁 𝒕−𝟐
Procesos AR(2)
Ejercicios
𝒂 𝒕~𝑹𝑩(𝟎; 𝝈 𝟐)
Determine :

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