Movimiento armónico simple

TRABAJO Y ENERGIA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO
SIMPLE Y DE ROTACION

EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Es un movimiento vibratorio bajo la acción de
una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en
ausencia de todo rozamiento.
Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical
se representa gráficamente por la función seno. Ésta representa un
movimiento vibratorio llamado movimiento armónico simple, que es
aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son
directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este
desplazamiento.
Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del
desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de
una circunferencia.
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia
con velocidad uniforme, su proyección (Q) sobre cualquiera de los
diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple. Cada
vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la
circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro
fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve
a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará
un movimiento oscilatorio rectilíneo.
Para representar gráficamente (en una función) el movimiento
armónico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos
medidos como fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es
el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la
circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del
mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la variación del tiempo t,
se traduce como una variación del sin x, donde x es el ángulo que forma
el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al
tiempo).

MOVIMIENTO ROTACIONAL
Es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo extenso de
forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una
distancia constante de un punto fijo. En un espacio tridimensional, para
un movimiento de rotación dado, existe una línea de puntos fijos
denominada eje de rotación.
Cinemática de rotación.
Consideremos el movimiento de una partícula en el plano XY, girando
alrededor del eje Z en una trayectoria circular de radio r, como se indica
en la figura 1. Para indicar la posición en el tiempo t se requiere conocer
sólo a la posición angular q (t) (medida en radianes en el SI). Si el
movimiento alrededor del eje Z es en el sentido contrario al de las
manecillas del reloj, el desplazamiento angular en un intervalo de tiempo,
corresponde al cambio en la posición angular:

Esta expresión es similar a la desplazamiento a lo largo de una línea
recta, sin embargo se debe tener cierto cuidado con la determinación de
las posiciones angulares para evitar algunas confusiones. Por ejemplo, si
la partícula gira una vuelta, la posición final es igual a la inicial, pero la
posición angular resulta ser igual a la posición angular inicial más el
ángulo correspondiente a una vuelta; de tal manera que el desplazamiento

angular va relacionado con el número de vueltas.

Movimiento en una trayectoria circular en el plano XY.
De manera análoga a la velocidad en el movimiento a lo largo de una
línea recta, definimos a la velocidad angular w para el movimiento de
rotación como el desplazamiento angular por unidad de tiempo:
Las unidades en el SI para la velocidad angular son de radianes por
segundo (rad/s).

SISTEMA MASA-RESORTE

El sistema masa resorte está compuesto por una masa puntual, un
resorte ideal una colgante y un punto de sujeción del resorte. Se puede
considerar como masa puntual una esfera de material muy denso, como
el hierro o el acero, también de plomo, lo general es un portapesas al que
se le agregan masas.

El resorte ideal puede ser un resorte de alto coeficiente de
elasticidad y que no se deforme en el rango de estiramiento del resorte,
por lo general se utilizan resortes de acero. masa-resorte La ecuación de
fuerzas del sistema masa resorte es: m a = - k x donde x es la posición
(altura) de la masa respecto a la línea de equilibrio de fuerzas del sistema,
k es la constante de elasticidad del resorte y m la masa del cuerpo que es
sometido a esta oscilación. Esta ecuación puede escribirse como:m d2 x/d
t2 = - k x cuya solución es x = Am sin ( w t + ø), donde: Am es la
máxima amplitud de la oscilación, w es la velocidad angular que se
calcula como ( k /m) 0,5. La constante ø es conocida como ángulo de
desface que se utiliza para ajustar la ecuación para que calce con los
datos que el observador indica.

De la ecuación anterior se puede despejar el periodo de oscilación
del sistema que es dado por: T = 2 pi (m/k)0,5 A partir de la ecuación de
posición se puede determinar la rapidez con que se desplaza el objeto: Vs
= valor absoluto de ( dx /dt). Vs = |Am (k/m)0,5 * cos(wt + ø) | El signo
de la evaluación del término trigonométrico define el sentido en que se

mueve la masa, si es positivo hacia arriba en caso contrario hacia abajo.
También la rapidez se puede calcular en términos de la posición del
objeto respecto a la línea de equilibrio, a saber: Vs2 = (Am2 - x2)
Determinación de la línea de equilibrio Para determinar la línea de
equilibrio en el sistema masa resorte, en el laboratorio se toma el sistema
montado, se sujeta el portapesas por la parte baja y se va bajando
lentamente, hasta que se llegue al equilibrio. cuando el resorte ya no se
estira más, el centro de masa de la masa colgante se encuentra en la línea
de equilibrio. En la condición de equilibrio la fuerza ejercida por la
atracción gravitacional sobre la masa colgante es cancelada por la fuerza
que ejerce el resorte a ser deformado. A partir de esta posición de
equilibrio se puede realizar un estiramiento lento hasta llegar a la
amplitud máxima deseada y esta es la que se utilizará como Am de la
ecuación de posición del centro de masa de la masa colgante. Si se toma
como posición inicial la parte más baja, la constante de desface será -
pi/2, pues la posición se encuentra en la parte más baja de la oscilación.
Todo lo anterior supone que luego del estiramiento a partir de la posición
de equilibrio el tiempo en que se suelta la masa es t 0 0 s.

PENDULO SIMPLE Y OSCILACIONES

Fundamentos Teóricos
Péndulo simple: sistema mecánico que se mueve en un
movimiento oscilatorio. Un péndulo simple se compone de una masa
puntual suspendida por una cuerda ligera supuestamente inextensible de
longitud L, donde el extremo superior de la cuerda está fijo, como se
muestra a continuación:

TIPOS DE PENDULOS

Péndulo ideal, simple o matemático: Se
denomina así a todo cuerpo de masa m (de
pequeñas dimensiones) suspendido por
medio de un hilo inextensible y sin peso.
Estas dos últimas condiciones no son reales
sino ideales; pero todo el estudio que
realizaremos referente al péndulo, se
facilita admitiendo ese supuesto .

Péndulo físico: Si en el extremo de un hilo suspendido sujetamos un
cuerpo cualquiera, habremos construido un péndulo físico. Por esto,
todos los péndulos que se nos presentan (columpios, péndulo de reloj,
una lámpara suspendida, la plomada) son péndulos físicos.

OSCILACIONES

Oscilación simple es la trayectoria descrita entre dos posiciones
extremas (arco AB).
Oscilación completa o doble oscilación es la trayectoria realizada desde
una posición extrema hasta volver a ella, pasando por la otra extrema
(arco ABA). Angulo de amplitud o amplitud (alfa) es el ángulo formado
por la posición de reposo (equilibrio) y una de las posiciones extremas.

HIDROSTATICA

Principio de Arquímedes

El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que:
«Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe
un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que
desaloja». Esta fuerza recibe el nombre de empuje hidrostático o
de Arquímedes, y se mide en newton (en el SIU). El principio de
Arquímedes se formula así:

Donde E es el empuje , ρf es la densidad del fluido, V el «volumen
de fluido desplazado» por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente
en el mismo, g la aceleración de la gravedad y m la masa, de este modo,
el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de
la gravedad existente en ese lugar. El empuje (en condiciones normales y
descritas de modo simplificado) actúa verticalmente hacia arriba y está
aplicado en el centro de gravedad del fluido desalojado por el cuerpo;
este punto recibe el nombre de centro de carena.

Principio de Bernoulli

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli
o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de
un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto
por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en
un fluido ideal (sin viscosidad nirozamiento) en régimen de circulación

por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece
constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier
momento consta de tres componentes:

1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un
fluido posea.
3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la
presión que posee.
La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio
de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

Donde:

 = velocidad del fluido en la sección considerada.
 = densidad del fluido.
 = presión a lo largo de la línea de corriente.
 = aceleración gravitatoria
 = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de
referencia.
Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:

 Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea
de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no
viscosa' del fluido.
 Caudal constante
 Flujo incompresible, donde ρ es constante.
 La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un
flujo irrotacional

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba
expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.
Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de
agua en tubería.

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