Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, el método de Gauss-Seidel y el método de Jacobi. Explica los pasos involucrados en cada método y cómo pueden usarse para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
DECANATO DE INGENIERIA ELECTRICA
BARQUISIMETO EDO. LARA
Métodos de Eliminación
AUTOR: José Duran
Asignatura: Análisis Numérico
Facilitador: Prof: Domingo Méndez
Julio, 2017

2. Gauss-Jordan: Un sistema de ecuaciones (lineales) es un
conjunto de ecuaciones (lineales) con varias incógnitas. Generalmente,
las incógnitas aparecen en varias ecuaciones. “Lo que hace una
ecuación con varias incógnitas es relacionarlas entre sí” Resolver un
sistema consiste en encontrar los valores de todas las incógnitas para
los cuales se verifican todas las ecuaciones que conforman el sistema.
Si alguna de las ecuaciones no se verifica, entonces no se trata de una
solución.
• Si hay una única solución (un valor para cada incógnita) decimos
que el sistema es compatible determinado (SCD).
• Si hay varias (en este caso hay infinitas) soluciones, decimos
que es compatible indeterminado (SCI).
• Si no hay ninguna, y esto ocurre cuando dos o más ecuaciones
no pueden verificarse al mismo tiempo, decimos que es incompatible
(SI). Ejemplo: Resolver el siguiente sistema utilizando el Método de
Gauss – Jordan
Solución

3. Descomposición de LU
Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper",
que en español se traducen como "Inferior" y "Superior". Estudiando el
proceso que se sigue en la descomposición LU es posible comprender
el porqué de este nombre, analizando cómo una matriz original se
descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.
La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los
coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para
calcular la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra lineal.
Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].
[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la
diagonal. [U] es una matriz diagonal superior en la que sobre la
diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.
El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es
decir obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular
superior [U].
PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
(MATRIZ [U])
Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.

4. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es
necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote. Dicho
factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el
número pivote. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el
pivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra en la
posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en cero).
Esto es:
- factor * pivote + posición a cambiar
PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
(MATRIZ [L])
Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros
los valores de arriba de cada pivote, así como también convertir en 1
cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de "factor" explicado
anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal
según corresponda en cada uno. Esquemáticamente se busca lo
siguiente: Originalmente se tenía: Debido a que [A] = [L][U], al
encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuación y se
tiene lo siguiente: Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera
que Ax = LUx = b.
PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL
MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU
Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior
U.
Resolver Ly = b (para encontrar y).
El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de
nombre "y". Realizar Ux = y (para encontrar x). El resultado del paso
anterior se almacena en una matriz nueva llamada "x", la cual brinda
los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.
FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY
En matemáticas, la factorización o descomposición de Cholesky
toma su nombre del matemático André-Louis Cholesky, quien encontró

5. que una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta
como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la
matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de
Cholesky de la matriz original positiva definida. El resultado de
Cholesky ha sido extendido a matrices con entradas complejas. Es una
manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales y se deriva de
la factorización LU con una pequeña variación.
Cualquier matriz cuadrada A con pivotes no nulos puede ser
escrita como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz
triangular superior U; esto recibe el nombre de factorización LU. Sin
embargo, si A es simétrica y definida positiva, se pueden escoger los
factores tales que U es la transpuesta de L, y esto se llama la
descomposición o factorización de Cholesky. Tanto la descomposición
LU como la descomposición de Cholesky son usadas para resolver
sistemas de ecuaciones lineales. Cuando es aplicable, la
descomposición de Cholesky es dos veces más eficiente que la
descomposición LU.
MÉTODO DE GAUSS SEIDEL
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo
resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de
ecuaciones con el que se va a trabajar:
De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de
la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:

6. Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las
fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar
el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn;
esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se tiene que:
Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las
variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el
siguiente valor para x2:
Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3,
mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así
sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso
arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual
conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor
comprensión esto se simbolizará de esta forma:
Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos
últimos datos en vez de ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda

7. lista de valores para cada una de las incógnitas, lo cual se simbolizará
así:
En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos,
respecto a cada una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a
continuación:
El proceso se vuelve a repetir hasta que:
Donde se debe prefijar convenientemente.

8. MÉTODO DE JACOBI
En la iteración de Jacobi, se escoge una matriz Q que es
diagonal y cuyos elementos diagonales son los mismos que los de la
matriz A. La matriz Q toma la forma:
y la ecuación general se puede escribir como
Qx(k) = (Q-A)x(k-1) + b
Si denominamos R a la matriz A-Q:

9. la ecuación se puede reescribir como:
Qx(k) = -Rx(k-1) + b
El producto de la matriz Q por el vector columna x(k) será un
vector columna. De modo análogo, el producto de la matriz R por el
vector columna x(k-1) será también un vector columna. La expresión
anterior, que es una ecuación vectorial, se puede expresar por n
ecuaciones escalares (una para cada componente del vector). De este
modo, podemos escribir, para un elemento i cualquiera y teniendo en
cuenta que se trata de un producto matriz-vector:
Si tenemos en cuenta que en la matriz Q todos los elementos
fuera de la diagonal son cero, en el primer miembro el único término no
nulo del sumatorio es el que contiene el elemento diagonal qii, que es
precisamente aii. Más aún, los elementos de la diagonal de Rson cero,
por lo que podemos eliminar el término i=j en el sumatorio del segundo
miembro. De acuerdo con lo dicho, la expresión anterior se puede
reescribir como:
de donde despejando xi
(k) obtenemos:
que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del
vector x(k) en función de vector anterior x(k-1) en la iteración de Jacobi.
En la figura se presenta un algoritmo para el método de Jacobi.

10. Figure: Implementación del método de Jacobi.
El método de Jacobi se basa en escribir el sistema de ecuaciones en la
forma:
Partimos de una aproximación inicial para las soluciones al sistema de
ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación. De esta forma,
se genera una nueva aproximación a la solución del sistema, que en
determinadas condiciones, es mejor que la aproximación inicial. Esta
nueva aproximación se puede sustituir de nuevo en la parte derecha de
la ecuación y así sucesivamente hasta obtener la convergencia.