El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, y métodos iterativos como Jacobi y Gauss-Seidel. Explica que estos métodos involucran transformaciones elementales de la matriz para triangularizarla o descomponerla de manera que pueda resolverse el sistema de ecuaciones.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERECTORADO ACADÉMICO
SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVO A DISTANCIA
Estudiante:
Estiwer Guevara C.I. 26.006.619
Cabudare, Noviembre de 2016.

2. El proceso de eliminación de Gaussisana o
de Gauss, consiste en realizar
transformaciones elementales en el sistema
inicial (intercambio de filas, intercambio de
columnas, multiplicación de filas o columnas
por constantes, operaciones con filas o
columnas, . . .), destinadas a transformarlo en
un sistema triangular superior, que se
resuelve por remonte. Además, la matriz de
partida tiene el mismo determinante que la
matriz de llegada, cuyo determinante es el
producto de los coeficientes diagonales de la
matriz.

3. Problema de la
eliminación Gaussiana
Se debe
dividir
entre el
pivote
Si es un
número
muy
pequeño
Error de
redondeo
sobre la
respuesta
final

4. • Este método
propone la
eliminación
progresiva de
variables
En el sistema de
ecuaciones
• solo una
ecuación con
una incógnita.
Hasta tener
• Una vez resuelta
esta se procede
por sustitución
regresiva hasta
obtener
Los valores de
todas las variables

5. El proceso de eliminación de Gauss -
Jordán consiste en realizar
transformaciones elementales en el
sistema inicial, destinadas a
transformarlo en un sistema diagonal.
El número de operaciones
elementales de este método, es
superior al del método de Gauss
(alrededor de un 50% más).

6. Es un método
computacionalmente
bueno
Cuando se tiene que
resolver varios sistemas
con una misma matriz A
Permite resolverlos
simultáneamente

7. El método de Descomposición LU se
basa en demostrar que una matriz A
se puede factorizar como el producto
de una matriz triangular inferior L con
una matriz triangular superior U,
donde en el paso de eliminación sólo
se involucran operaciones sobre los
coeficientes de la matriz, permitiendo
así evaluar los términos
independientes bi de manera
eficiente.

8. La implementación
de el algoritmo de
la descomposición
de LU tiene sus
variantes
En cuanto a los
valores iniciales de
la diagonal que
tomen las matrices
L y U

9. Si los valores de la
diagonal de la matriz
L tiene números 1,
se refiere a
Descomposición
Doolitle.
Si los valores de la
diagonal de la matriz
U tiene números 1, se
refiere a
Descomposición de
Crout.

10. Una matriz simétrica es aquella donde Aij =
Aji para toda i y j, En otras palabras, [A] =[A]
T. Tales sistemas ocurren comúnmente en
problemas de ambos contextos: el
matemático y el de ingeniería. Ellos ofrecen
ventajas computacionales ya que sólo se
necesita la mitad de almacenamiento y, en la
mayoría de los casos, sólo se requiere la
mitad del tiempo de cálculo para su
solución. Al contrario de la Descomposición
LU, no requiere de pivoteo.

11. Se basa en demostrar que si
Una matriz A es simétrica y definida
positiva
En lugar de factorizarse como LU
Puede ser fctorizada como el producto de
una matriz triangular inferior
Y la traspuesta de matriz triangular inferior
Son la traspuesta de cada uno. A= L . LT

12. Esta factorización se usa ampliamente
en los programas de computadora para
determinar valores propios de una
matriz, para resolver sistemas lineales y
para determinar aproximaciones por
mínimos cuadrados. En muchas
aplicaciones el número de filas (M) de
una matriz de coeficientes A mxn puede
ser 3 al número de columnas (N).

13. • Qmxn ® QT . Q =
INxNUna matriz
Ortogonal
• U = RNxNUna matriz
Triangular
Superior
Para encontrar las matrices Q y R se
utiliza un método basado en
Transformaciones Sucesivas de

14. Un método iterado de resolución del sistema Ax =
b es aquel que genera, a partir de un vector
inicial x0, una sucesión de vectores x1, x2, . . .
xn.. "Un método iterado se dirá que es
consistente con el sistema Ax = b, si el límite x de
la sucesión (xn), en caso de existir, es solución
del sistema. Se dirá que el método es
convergente si la sucesión generada por
cualquier vector inicial x0 es convergente a la
solución del sistema".Es evidente que si un
método es convergente es consistente, sin
embargo, el recíproco no es cierto..

15. El Método de Gauss Seidel emplea valores
iniciales y después itera para obtener
estimaciones refinadas de la solución; es
particularmente adecuado para un gran
número de ecuaciones, lo cual en cierto modo
lo hace un método más comúnmente usado. La
fórmula utilizada para hallar los xi viene dada
por el despeje de cada una de las xi en cada
una de las ecuaciones y se les da un valor
inicial a cada xi de cero.

16. Mientras que en el
método de Jacobi
todas las
componentes nuevas
del vector se calculan
antes de llevar a cabo
la sustitución.
En el método de
Gauss-Seigel el
nuevo valor de xi
depende de los
valores
actualizados de
X1, X2, … Xi-1
En el método de
Gauss-Seidel los
valores actualizados
de xi sustituyen de
inmediato a los
valores anteriores.

17. Desventaja
del método
Gauss-Seigel
No siempre
converge a la
solución
exacta
Algunas veces
lo hace de
manera muy
lenta

18. El Método de Jacobi transforma una matriz
simétrica en una matriz diagonal al eliminar de
forma simétrica los elementos que están fuera de
la diagonal. Desafortunadamente, el método
requiere un número infinito de operaciones, ya
que la eliminación de cada elemento no cero a
menudo crea un nuevo valor no cero en el
elemento cero anterior. Si A es diagonalmente
dominante, entonces la sucesión que resulta de la
iteración de Jacobi converge a la solución de Ax =
b para cualquier vector inicial Xo.

19. sustituimos
estos
valores en
la ecuación
Partimos de
una
aproximación
inicial Xo para
las soluciones
Xi al sistema
de ecuaciones
proporciona
las nuevas
componente
s del vector x
(k) en
función de
vector
anterior x (k-
1)
en la
iteración de
Jacobi, en
su
respectivo
algoritmo
No se usan
en forma
inmediata
sino que se
retienen para
la siguiente
iteración.
con base
en un
conjunto
de las x
anteriores