El documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de descomposición LU, el método de factorización de Cholesky, el método de Gauss-Seidel y el método de Jacobi. Explica los pasos involucrados en cada método y provee un ejemplo numérico para ilustrar el método de factorización de Cholesky.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
CABUDARE – EDO. LARA
ANALISIS NUMERICO
Alumno:EliasHidalgoBriceo
CI: 25.526218
A.N

2. Sistemas de Ecuaciones
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también
conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un
conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde
cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
3x1 +2x2-x3 =0
-X1 +X2- 4X3 =2
-5X1+2X2+4x3=2
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las
variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de
señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente
en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales
de análisis numérico.
Representación gráfica
La intersección de dos planos que no son paralelos coincidentes es una recta.
Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano
bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por
una recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas

3. representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al
mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no
tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional,
siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un
único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario,
la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá
infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o
superficie.
Para sistemas de 4 o más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que
dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.
Método de Eliminación Gaussiana
El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones
lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones
de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse
de manera directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de
ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la
relación de al menos una ecuación por cada variable.
Antes de ilustrar el método con un ejemplo, es necesario primeramente conocer las
operaciones básicas de renglón las cuales son presentas a continuación:
1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante diferente
de cero.
2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra ecuación
3. El orden de las ecuaciones es intercambiable.

4. Ejemplo

6. Metodo de Descomposicion LU
El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede
factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular
superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran operaciones sobre los
coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes bi de
manera eficiente.
Dada la ecuación matricial
Ax=Lux=b
Queremos la solución para un determinando A y b. Los pasos son los siguientes:
1. Primero, resolvemos para y
2. Segundo, resolvemos para x
Nótese que ya tenemos las matrices L y U. La ventaja de este método es que es
computacionalmente eficiente, porque podemos elegir el vector b que nos parezca
y no tenemos que volver a hacer la eliminación de Gauss cada vez.
Factorización L-U con pivotación: Al utilizar la técnica de triangulación de Gauss
para obtener la descomposición L-U de una matriz A podemos encontrarnos con el
mismo problema de encontrar un coeficiente en la diagonal que sea 0 o un mal
condicionamiento. Podemos entonces utilizar la misma técnica de pivotación :
buscar el siguiente elemento en la columna que sea distinto de 0 o, mejor aún, el
de mayor valor absoluto.
Pero una vez obtenida la descomposición L-U, si queremos aplicarla a resolver un
sistema de ecuaciones, tendremos que tener en cuenta la “historia” o registro de
las pivotaciones efectuadas para aplicar al vector de términos independientes.
Esto se realiza mediante la matriz de permutación P, que consiste en efectuar
sobre la matriz identidad, las mismas permutaciones de filas que se vayan
efectuando sobre la matriz que se está triangulando por Gauss.
Al mismo tiempo se efectúan las mismas permutaciones sobre los elementos
subdiagonal de la matriz L.
Así, si tenemos, por ejemplo, el sistema:
AX=B

7. y L y U son las matrices obtenidas de la matriz A como descomposición L-U por
triangulación de Gauss con pivotaciones recogidas en la matriz de permutación P,
es fácil comprobar que :
LU=PA (LU)X=P(AX)=PB=NUEVOB
Por tanto los procesos de sustitución descendente y ascendente los aplicamos
a : LD=NUEVOB UX=D
Factorización De Cholesky
El método de Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una matriz A es
simétrica y definida positiva en lugar de factorizarse como LU, puede ser factorizada
como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular
inferior, es decir los factores triangulares resultantes son la traspuesta de cada uno.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de
Cholesky
A =










97922555
2255515
55156
y C=










100
150
100
Solución:
En el métodode Choleskyel primerpasoesencontrarla matrizL usandolas fórmulas
ii
i
j
kjijki
ki
l
lla
l





1
1
y 



1
1
2
k
j
kjkkkk lal

8. La primera ecuación se usa para elementos fuera de la diagonal y la segunda para
elementos en la diagonal principal.
Entonces.
61111  al = 2.4495
4495.2
15
11
21
21 
l
a
l = 6.1237
4495.2
55
11
31
21 
l
a
l = 22.454 Ya sabemosque l12 = 0
22
212222 1237.655 lal = 4.1833
1833.4
)454.22)(1237.6(55
22
312132
32




l
lla
l = 20.916
De igual formal13 = l23 = 0 y
)916.20454.22(979)( 222
32
2
313333  llal = 6.1106
La matrizL es igual a











1106.6916.20454.22
01833.41237.6
004495.2
L
En el métodode CholeskyU= LT

9. 










1106.600
916.201833.40
454.221237.64495.2
U
El siguiente paso es encontrar el vector D de la misma manera que en el método de
descomposición de LU
ii
i
j
jiji
i
l
dlc
d





1
1
4495.2
100
11
1
1 
l
c
d =40.8246
1833.4
)8246.40)(1237.6(150
22
1212
2




l
dlc
d =-
23.9045
1106.6
)9045.23)(916.20()8246.40)(454.22((100)(
33
2321313
3




l
dldlc
d =-51.826
Finalmente se calcula el vector de incógnitas comenzando por la última x.
ii
n
ij
jiji
i
u
xud
x



1
33
3
3
u
d
x  =-8.481
22
3232
2
u
xud
x

 = [-23.9045-(20.916)(-8.481)]/4.1833 =
36.690
11
3132121
1
)(
u
xuxud
x

 = [40.8246 – ((6.1237)(36.69)+(22.454)(-8.481))]/2.4495 = 2.685

10. El resultado se puede comprobar multiplicando A por X y el resultado debe ser igual a
C.
Método De Gauss Seidel
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para
resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los
matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar
al método de Jacobi.
Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que
produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el
sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los
elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si
la matriz es diagonalmente dominanteo si es simétrica y, a la vez, definida positiva
Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se
repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño
como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en
notación matricial
Metodo deJacoby
En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver
sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax=b. El algoritmo toma su nombre del
matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar
fórmulas como iteración de punto fijo.
El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar
de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal Desafortunadamente,
el método requiere un número infinito de operaciones, ya que la eliminación de cada
elemento no cero