1. MÉTODO DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Dada la ecuación:

Transposición:
Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los
miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo
teniendo en cuenta que:
Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la
igualdad no varía.
En otras palabras, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro
lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando
(+6)
La ecuación quedará así:
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el
primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser
sólo constantes numéricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha).

Simplificación:
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.

2. Realizamos la simplificación del primer miembro y simplificamos el segundo
miembro, de tal forma que la ecuación simplificada será:

Despejar:
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de
la igualdad. Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos
miembros, la igualdad no varía.
En otras palabras: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado
dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo).
Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la
igualdad no varía.
En otros términos: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria)
(Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su
signo). En la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está
multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):
Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una
igualdad en la que x equivale al número
⁄
. Sin embargo, debemos
simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el
resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el
resultado.

3. En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 =
5,5263157894737)
Por tanto, simplificando, la solución es:
Resolución de ecuaciones de primer grado:
Ejemplo:
Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual
al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer
paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión
algebraica:
Se podría leer así:
“X número de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el número x de canicas menos
2 canicas”.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de
x; para ello se sigue este procedimiento:
Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los
términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier
término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

4. Que, simplificado, resulta:
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si
modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el
mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y
radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra
cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones (una a veces, que
se repite con la otra). Para la resolución de ecuaciones de segundo grado
tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:

Ecuaciones de la forma
Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven
igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:
Pasamos -16 al segundo miembro

5. Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta;
en este caso, raíz cuadrada
√
La ecuación tiene las siguientes soluciones

Ecuaciones de la forma
Tengamos:
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor
común de ambas expresiones:
(
)
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los
factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta
es la primera solución), o:
Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.
La ecuación tiene las siguientes soluciones

6. 
Ecuaciones de la forma
Si tenemos la ecuación cuadrática:
Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:
√
Si sustituimos las letras por los números, siendo:
a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado con su signo.
b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.
c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).
Para este caso
;
Por lo que:
( )
√( )
( )
√
√
( )( )

7. La ecuación tiene las siguientes soluciones

Otra solución
Si tenemos la ecuación cuadrática:
También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:
Si hallamos dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual
a c, la expresión:
Es equivalente a:
(
)(
)
Siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.
Los valores propuestos son,
y
, puesto que:
.
Luego, la igualdad:
es equivalente a:
(
)(
)
Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son
1.
2.
y

8. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más
ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar
un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del
sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que
reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema
Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales
simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe
haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser
real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un
único punto (dos ecuaciones lineales de dos incógnitas), planos en una recta (dos
ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales
de tres incógnitas).
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación,
sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser
sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la
hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una

9. incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método
reiteradamente.
Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
{
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor
coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos,
obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y
en la otra
ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.
(
)
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado
, y si ahora sustituimos esta
incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales
( )
Obtendremos

, con lo que el sistema queda ya resuelto.
Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a
continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

10. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución,
{
Si despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente
manera:
{
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda,
por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el
valor de la incógnita x,
(
)
El resultado es
Y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales,
( )
Obtendremos
, con lo que el sistema queda ya resuelto.

11. 
Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo
pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El
procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste
en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de
manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca
con el mismo coeficiente y distinto signo.
A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o
cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola
incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema
{
No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por 3 para poder cancelar la
incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original:
Obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en
este caso, nos da directamente el valor de la incógnita x:

12. El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en
cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así
que el valor de y
( )
Es igual a
.