Métodos Energéticos.pdf

1
!
!
!
!
Trabajo Externo y Energía de Deformación
Principio de Trabajo y Energía
Principio del Trabajo Virtual
Método del Trabajo Virtual:
!
!
Armaduras
Vigas y Pórticos
! Teorema de Castigliano
!
!
Armaduras
Vigas y Pórticos
DEFLECCIONES: MÉTODOS ENERGÉTICOS

2
Ue
Trabajo propio
Trabajo Externo y Energía de Deformación
Muchos métodos energéticos están basados en el principio de conservación de la energía,
que dice que el trabajo realizado por todas las fuerzas externas actuantes sobre una estructura,
Ue, es transformado completamente en trabajo interno o energía de deformación, Ui.
Ue = Ui
L
F
∆
x
F
P
x
P
F
∆
=
Como la magnitud de F es gradualmente
incrementada desde cero hasta el valor límite
F = P, la deformación final de la barra es ∆.
• Trabajo Externo de Fuerza
∆
Trabajo propio
Fdx
dUe =
∫
=
x
e Fdx
U
0
∫
∆
∆
=
0
)
( dx
x
P
Ue
∆
=
∆
=
∆
P
x
P
Ue
2
1
)
2
(
0
2

3
P
L
F'
Trabajo de
desplazamiento
x
F
∆
P
Trabajo propio
(Ue)Total = (Trabajo propio)P + (Trabajo propioF
+ (Trabajo de desplazamiento) P
∆
∆'
L
∆´
F' + P
)
'
(
)
'
)(
'
(
2
1
)
)(
(
2
1
)
( ∆
+
∆
+
∆
= P
F
P
U Total
e

4
10 mm
L
20 kN
L
x (m)
F
0.01 m
20 kN
m
N
Ue •
=
×
= 100
)
10
20
)(
01
.
0
(
2
1 3

5
Trabajo de desplazamiento
5 kN
x (m)
F
L
2.5 mm
15 kN
0.0075
Trabajo propio
L
15 kN
7.5 mm
L
15 kN
7.5 mm 0.01
20 kN
)
10
15
)(
0025
.
0
(
)
10
5
)(
0025
.
0
(
2
1
)
10
15
)(
0075
.
0
(
2
1 3
3
3
×
+
×
+
×
=
W
m
N •
=
+
+
= 100
50
.
37
25
.
6
25
.
56

6
• Trabajo External de Momento
dθ
M
θ
Md
dUe =
Trabajo de desplazamiento
θ
M
θ
M
Trabajo propio
θ'
M' + M
∫
=
θ
θ
0
Md
Ue -----(8-12)
θ
M
Ue
2
1
= -----(8-13)
Trabajo propio
'
'
'
2
1
2
1
)
( θ
θ
θ M
M
M
U Total
e +
+
=
)
14
8
(
)
'
)(
'
(
2
1
)
( −
−
−
−
+
+
= θ
θ
M
M
U Total
e

7
σε
2
1
=
o
U
• Energía de Deformación: Fuerza Axial
L
N
∆
σ
ε
∫
=
V
dV)
)(
2
1
( σε
∫
=
V
dV
E
)
(
2
1 2
σ
∫
=
V
i dV
U
U 0
∫
=
V
dV
A
N
E
2
)
(
2
1
∫
=
L
Adx
A
N
E
2
)
(
2
1
∫
=
L
dx
EA
N
)
2
(
2
ε
σ
=
E
A
N
=
σ

8
• Energía de Deformación: Flexión
σ
ε
σε
2
1
=
o
U
x dx
w
P
L
∫
=
V
dV)
)(
2
1
( σε
∫
=
V
dV
I
My
E
2
)
(
2
1
M M
dx
dθ
dθ
∫
=
V
dV
I
y
M
E
)
(
2
1
2
2
2
∫ ∫
=
L
A
dx
dA
y
I
M
E
)
)(
(
2
1 2
2
2
∫
=
L
dx
EI
M
)
2
(
2
∫
=
V
i dV
U
U 0
∫
=
V
dV
E
)
(
2
1 2
σ
I
My
=
σ
I

9
γ
τ
=
G
dx
c
dθ
γ
J
T
T
• Energía de Deformación: Torsión
τ
γ
τγ
2
1
=
o
U
∫
=
L
i dx
GJ
T
U
2
2
J
Tρ
τ =
∫
=
V
i dV
U
U 0
∫
=
V
dV
)
2
1
( τγ
∫
=
V
dV
G
)
(
2
1 2
τ
∫
=
V
dV
J
T
G
2
)
(
2
1 ρ
∫ ∫
=
L A
dx
dA
J
T
G
)
)(
(
2
1 2
2
2
ρ

10
V
V
dx
dy
γ
A
K
• Energía de Deformación: Corte
γ
τ
=
G
τ
γ
τγ
2
1
=
o
U
∫
=
V
dV )
)(
2
1
( τγ
∫
=
V
dV
G
)
(
2
1 2
τ
∫
=
V
i dV
U
U 0
∫ ∫
=
L A
dx
dA
It
Q
G
V
)
(
2
2
2
∫
=
L
i dx
GA
V
K
U
2
2
∫
= dV
It
VQ
G
2
)
(
2
1

11
Principio de Trabajo y Energía
P
L
-PL
Diagrama de M
+ ΣMx = 0: 0
=
−
− Px
M
Px
M −
=
x
P
x
V
M
i
e U
U =
∫
=
∆
L
EI
dx
M
P
0
2
2
2
1
∫
−
=
∆
L
EI
dx
Px
P
0
2
2
)
(
2
1
L
EI
x
P
P
0
3
2
6
2
1
=
∆
EI
PL
3
3
=
∆

12
dL
u
dV
U
P •
Σ
+
=
∆
•
+
∆ ∫ 0
1
1 1
)
2
1
(
Luego aplicamos la carga real P1
A
u
u
L
Principio del Trabajo Virtual
Aplicando primero la carga virtual P'
P1
A
P' = 1
1 • ∆ = Σu • dL
Desplazamientos reales
Cargas virtuales
1 • θ = Σuθ • dL
Cargas virtuales
De manera similar:
u
u
L
dL
i
e U
U δ
δ =
∆
∆1
Trabajo real

13
B
Método del Trabajo Virtual : Armaduras
• Cargas Externas
N
2
N1
N3
N
4
N5
N
6
N7 N8 N9
∆
1kN
n
2
n1
n3
n
4
n5
n
6
n7 n8 n9
Donde:
1 = Carga unitaria virtual externa actuante en el nudo y en la dirección de ∆
n = Fuerza axial virtual interna en un miembro debida a la fuerza virtual unitaria
∆ = Desplazamiento externo de nudo producido por la carga externa real
N = Fuerza axial real interna en un miembro debido a cargas reales
L = lLongitud del miembro
A = Área de la sección transversal del miembro
E = Módulo de elasticidad del miembro
P1
P2
B
AE
nNL
Σ
=
∆
•
1

14
Donde:
∆ = Desplazamiento externo de nudo debido a cambios de temperatura
α = Coeficiente de Expansión térmica de miembro
∆T = Cambio de temperatura en el miembro
Donde:
∆ = Desplazamiento externo de nudo debido a errores de fabricación
∆L = Diferencia en la longitud de un miembro debido a errores de
fabricación
L
T
n )
(
1 ∆
Σ
=
∆
• α
L
n∆
Σ
=
∆
•
1
• Efectos térmicos
1 • ∆ = Σu • dL
• Errores de fabricación y combeo
1 • ∆ = Σu • dL
dL
dL

15
Ejemplo 1
El área de la sección transversal de cada miembro de la armadura mostrada es
A = 400 mm2 y E = 200 GPa.
(a) Determinar el desplazamiento vertical del nudo C si una fuerza de 4 KN es
aplicada a la armadura en C.
(b) Si ninguna carga actúa en la armadura, ¿Cuál es el desplazamiento vertical del
nudo C si el miembro AB fue fabricado 5 mm más corto?
(c) Si la fuerza de 4 kN y el error de fabricación de acortamiento de 5 mm en la
barra AB actúan simultáneamente, hallar el desplazamiento vertical de C.
A B
C
4 m 4 m
4 kN
3 m

16
A B
C
4 kN
N(kN)
A
B
C
n (kN)
SOLUCIÓN
•Fuerza virtual n. Dado que se pide hallar el desplazamiento vertical
del nudo C, se aplicará una carga vertical de 1 kN en C. Entonces la
fuerza n de cada miembro se calcula usando el método de los nudos.
1 kN
0.667
-0.833 -0.833
2
+2.5 -2.5
1.5 kN
1.5 kN
4 kN
0.5 kN
0.5 kN
0
•Fuerza real N. La fueza real N de cada miembro se calcula usando
el método de los nudos.
Parte (a)

17
∆CV = +0.133 mm,
0.667
-0.833 -0.833
2
+2.5 -2.5
8
5
5
10.67
-10.41 10.41
A B
C
n (kN)
1 kN
A B
C
4 kN
N (kN)
A B
C
L (m)
=
A B
C
nNL (kN2•m)
∑
=
∆
AE
nNL
kN CV )
)(
1
(
)
10
200
)(
10
400
(
67
.
10
)
67
.
10
41
.
10
41
.
10
(
1
2
6
2
6
m
kN
m
m
kN
AE
CV
×
×
•
=
+
+
−
=
∆
−

18
Parte (b): El miembro AB fue fabricado 5 mm más corto
5 mm
∆CV = -3.33 mm,
Parte (c): Si se producen simultáneamente los efectos (a) y (b), entonces:
∆CV = 0.133 - 3.33 = -3.20 mm
∆CV = -3.20 mm,
A B
C
n (kN)
1 kN
0.667
-0.833 -0.833
)
(
)
)(
1
( L
n
CV ∆
Σ
=
∆
)
005
.
0
)(
667
.
0
( −
=
∆CV

19
Ejemplo 2
Determinar el desplazamiento vertical del nudo C para la armadura de
acero mostrada. El área de la sección transversal de cada miembro
es A = 400 mm2 y E = 200 GPa.
4 m 4 m 4 m
A
B C
D
E
F
4 m
4 kN
4 kN

20
4 m 4 m 4 m
A
B C
D
E
F
4 m
n (kN)
4 m 4 m 4 m
A
B C
D
E
F
4 m
4 kN
4 kN
N(kN)
SOLUCIÓN
•Fuerza Virtual n. Como se pide el desplazamiento vertical del nudo C
determined, se aplicará una carga vertical de 1 kN en el nudo C. La
fuerza n de cada miembro se calcula usando el método de los nudos.
•Fuerza Real N. La fuerza N en cada miembro se calcula usando el
método de los nudos.
1 kN
0.667
-0.471
-0.471
-
0
.
9
4
3
0.667
0.333
0.333
1
-0.333
4
-5.66 0
-
5
.
6
6
4
4
4 4
-4
0.667 kN
0.333 kN
0
4 kN
4 kN
0

21
∆CV = 1.23 mm,
0.667
-0.471
-0.471
-
0
.
9
4
3
0.667
0.333
0.333
1
-0.333
A
B C
D
E
F
n (kN) 1 kN
4
-5.66 0
-
5
.
6
6
4
4
4 4
-4
A
B C
D
E
F
4 kN
4 kN N(kN)
4
5.66
5.66
5
.
6
6
4
4
4 4
4
A
B C
D
E
F
L(m)
A
B C
D
E
F
nNL(kN2•m)
=
10.67
15.07
0
3
0
.
1
8
10.67
5.33
5.33
16
5.33
∑
=
∆
AE
nNL
kN CV )
)(
1
(
)
10
200
)(
10
400
(
4
.
72
)]
18
.
30
16
)
67
.
10
(
2
)
33
.
5
(
3
07
.
15
[(
1
2
6
2
6
m
kN
m
m
kN
AE
CV
×
×
•
=
+
+
+
+
=
∆
−

22
Ejemplo 3
Determinar el desplazamiento vertical del nudo C para la armadura de acero
mostrada. Debido a la radiación calórica de los muros, los miembros son sujetos a
cambios de temperatura: El miembro AD aumenta +60°C, miembro DC aumenta
+40°C y el miembro AC disminuye -20°C. También, el miembro DC se fabrica 2
mm más corto y el miembro AC, 3 mm más largo. Tomar α = 12x10 /°C, el área de
la sección transversal de cada miembro es A = 400 mm2 y E = 200 GPa.
2 m
A
B
C
D
3 m
20 kN
10 kN
muro
-6

23
2 m
A
B
C
D
3 m
n (kN)
1 kN
0.667
0
-
1
.
2
0
1
13.33 kN
23.33 kN
20 kN
23.33
0
-
2
4
.
0
4
20
20
0.667 kN
0.667 kN
1 kN
SOLUCIÓN
• Debido a cargas de fuerza
∆CV= 2.44 mm,
2 m
A
B
C
D
3 m
20 kN
10 kN
N (kN)
2
2
3
.
6
1
3
3
A
B
C
D
L (m)
31.13
0
1
0
4
.
1
2
0
60
A
B
C
D
nNL(kN2•m)
∑
=
∆
AE
nNL
kN CV )
)(
1
(
)
12
.
104
13
.
31
60
(
)
200
)(
400
(
1
+
+
=
∆CV

24
• Debido a afectos térmicos
• Debido a errores de fabricación
• Desplazamiento total
1 kN
0.667
0
-
1
.
2
0
1
A
B
C
D
n (kN)
+40
-
2
0
+60
A
B
D
∆T (oC)
C 2
2
3
.
6
1
3
3
A
B
C
D
L (m) Error de fabricación (mm)
-2
+
3
A
B
D C
L
T
n
kN CV )
(
)
)(
1
( ∆
Σ
=
∆ α
↓
=
−
−
+
+
×
=
∆ −
,
84
.
3
)]
61
.
3
)(
20
)(
2
.
1
(
)
2
)(
40
)(
667
.
0
(
)
3
)(
60
)(
1
)[(
10
12
( 6
mm
CV
)
(
)
)(
1
( L
n
kN CV ∆
Σ
=
∆
↑
−
=
−
+
−
=
∆ ,
93
.
4
)
003
.
0
)(
2
.
1
(
)
002
.
0
)(
667
.
0
( mm
CV
↓
=
−
+
=
∆ ,
35
.
1
93
.
4
84
.
3
44
.
2
)
( mm
Total
CV

25
Método del Trabajo Virtual: Flexión
w
C
A B
∆C
RB
RA
∫
∫ ∆
=
=
∆
•
L
C dx
EI
M
m
d
m )
(
)
)(
(
1 θ
Cargas virtuales
M M
dx
dθ
dθ
ρ
θ
ρ d
ds =
dx
EI
M
ds
d ≈
=
ρ
θ
1

26
Método del Trabajo Virtual: Vigas y Pórticos
w
C
A B
∆C
RB
RA
∫
∫ ∆
=
=
∆
•
L
C dx
EI
M
m
d
m )
(
)
)(
(
1 θ
w
C
A B
RB
RA
θC
∫
∫ =
=
•
L
C dx
EI
M
m
d
m )
(
)
)(
(
1 θ
θ
θ
Cargas virtuales
Cargas virtuales

27
Carga Virtual Unitaria
C
A B
w
C
A B
Método del Trabajo Virtual: Vigas y Pórticos
∆C
Carga Real
1
RA RB
x1
x2
RB
RA
x1
x2
B
RB
x2
v∆2
m∆2
x1
RA
v∆1
m∆1
• Desplazamiento Vertical
w
B
x2
RB
V2
M2
x1
RA
V1
M1
∫ ∆
=
∆
•
L
C dx
EI
M
m )
(
1

28
Momento Virtua Uitario
C
A B
w
C
A B
• Giro, rotación o pendiente
Carga Real
x1
x2
RB
RA
w
B
x2
RB
V2
M2
x1
RA
V1
M1
B
RB
x2
vθ2
mθ2
RA
vθ1
mθ1
RA
x1
x2
1
θC
RB
∫
=
•
L
C dx
EI
M
m )
(
1 θ
θ

29
Ejemplo 4
La viga mostrada está sujeta a la carga puntual P en su extremo final.
Determinar el desplazamiento y rotación del punto C. EI es constante.
2a a
A
B C
P
∆C

30
•Momento Real M
A
B
C
2a a
P
A
B
C
2a a
SOLUCIÓN
•Momento Virtual m∆
Desplazamiento de C
1 kN
x1
x2
-a
m
m∆2 = -x2
x1
x2
-Pa
M
M2 = -Px2
2
3
2
1
2
1
1
Px
M −
=
2
3P
2
P
∫ ∫
∫ −
−
+
−
−
=
=
∆
• ∆
a a
L
C dx
Px
x
EI
dx
Px
x
EI
dx
EI
M
m
2
0 0
2
2
2
1
1
1
)
)(
(
1
)
2
)(
2
(
1
1
2
1
1
x
m −
=
∆
↓
=
+
=
+
=
∆
EI
Pa
EI
Pa
EI
Pa
EI
Px
EI
Px
a
a
a
C
3
3
12
8
)
3
(
)
12
(
3
3
3
0
3
2
2
3
1

31
A
B
C
2a a
P
A
B
C
2a a
•Momento Virtual mθ •Momento Real M
Giro de C
x1
x2
-1
m
x1
x2
-Pa
M
M2 = -Px2
1 kN•m
a
2
1
a
2
1
2
1
1
Px
M −
=
2
3P
2
P
M2 = -Px2
a
x
m
2
1
1 −
=
θ
a
x
m
2
1
1 −
=
θ
1
2 −
=
θ
m 1
2 −
=
θ
m 2
1
1
Px
M −
=
∫
∫
∫ −
−
+
−
−
=
=
•
a
a
L
C dx
Px
EI
dx
Px
a
x
EI
dx
EI
M
m
m
kN
0
2
2
1
1
2
0
1
0
)
)(
1
(
1
)
2
(
)
2
(
1
)
)(
1
( θ
θ
),
(
6
7
)
2
)(
1
(
)
3
8
)(
4
)(
1
(
)
2
)(
1
(
)
3
)(
4
)(
1
(
2
2
3
0
2
2
2
0
3
1
EI
Pa
Pa
EI
a
a
P
EI
Px
EI
x
a
P
EI
a
a
C =
+
=
+
=
θ

32
∆C
2a a
A
B C
P
),
(
6
7 2
EI
Pa
C =
θ
↓
=
∆
EI
Pa
C
3
3
θ C
•Conclusión

33
Ejemplo 5
Determinar el desplazamiento y la rotación del punto B en la viga de
acero mostrada. Asumir E = 200 GPa, I = 250x106 mm4.
A
5 m
B
3 kN/m

34
SOLUCIÓN
A
5 m
B
1 kN
x
1 kN
x
v
m∆
∆
∆
∆
-1x =
x
•Momento Real M
A
5 m
B
3 kN/m
x
3x
2
x
V
M
=
−
2
3 2
x
Desplazamiento Vertical de B
-1x = =
−
2
3 2
x
EI
m
kN
x
EI
x
EI
dx
x
x
EI
dx
EI
M
m
kN
L
B
3
2
5
0
4
5
0
3
5
0
2
0
375
.
234
)
8
3
(
1
2
3
1
)
2
3
)(
(
1
)
)(
1
(
•
=
=
=
−
−
=
=
∆ ∫
∫
∫ ∆
↓
=
=
×
×
•
=
∆
−
,
69
.
4
00469
.
0
)
10
250
)(
10
200
(
375
.
234
4
6
6
3
mm
m
m
m
kN
m
kN
B

35
SOLUCIÓN
•Momento Virtual mθ
A
5 m
B
-1 =
x
•Momento Real M
A
5 m
B
3 kN/m
=
−
2
3 2
x
Giro en B
x 1 kN•m
x
v
mθ
θ
θ
θ 1 kN•m
x
3x
2
x
V
M
-1 = =
−
2
3 2
x
EI
m
kN
x
EI
x
EI
dx
x
EI
dx
EI
M
m
m
kN
L
B
3
2
5
0
3
5
0
5
0
2
2
0
5
.
62
)
6
3
(
1
2
3
1
)
2
3
)(
1
(
1
)
)(
1
( =
=
=
−
−
=
=
• ∫ ∫
∫ θ
θ
,
00125
.
0
)
10
250
)(
10
200
(
5
.
62
4
6
6
2
rad
m
m
kN
m
kN
B =
×
×
•
=
−
θ

36
Ejemplo 6
Determinar el desplazamiento y la rotación del punto B de la viga de
acero mostrada. Tomar E = 200 GPa, I = 60x106 mm4.
A C D
B
5 kN
14 kN•m
2 m 2 m 3 m

37
A
C
D
B
5 kN
14 kN•m
2 m 2 m 3 m
A
C D
B
2 m 2 m 3 m
•Momento Real M
0.5 kN
0.5 kN
x3
x2
6 kN
1 kN
1
1
1 5
.
0 x
m =
∆
x1
2
2 5
.
0 x
m =
∆
m∆ M
14
x3
•Momento Virtual m
1 kN
x1 x2
M1 = 14 - x1
M2 = 6x2
1
1 5
.
0 x
m =
∆ 2
2 5
.
0 x
m =
∆
M1 = 14 - x1
M2 = 6x2
Desplazamiento de B
∫ ∆
=
∆
L
B dx
EI
M
m
kN
0
)
)(
1
(
∫
∫
∫ +
+
−
=
3
0
3
2
0
2
2
2
2
0
1
1
1 )
0
)(
0
(
1
)
6
)(
5
.
0
(
1
)
14
)(
5
.
0
(
1
dx
EI
dx
x
x
EI
dx
x
x
EI
2
0
3
2
2
0
3
1
2
1
2
0
2
2
2
2
0
1
2
1
1 )
3
3
)(
1
(
3
5
.
0
2
7
)(
1
(
)
3
(
1
)
5
.
0
7
(
1 x
EI
x
x
EI
dx
x
EI
dx
x
x
EI
+
−
=
+
−
= ∫
∫
↓
=
=
=
=
∆ ,
72
.
1
00172
.
0
)
60
)(
200
(
667
.
20
667
.
20
mm
m
EI
B

38
A
C
D
B
5 kN
14 kN•m
2 m 2 m 3 m
A
C D
B
2 m 2 m 3 m
•Momento RealM
0.25 kN
x3
x2
6 kN
1 kN
x1
mθ
M
14
x3
•Momento Virtual mθ
x1 x2
M1 = 14 - x1
M2 = 6x2
1 kN•m 0.25 kN
0.5
-0.5
mθ1 = 0.25x1
mθ2 = -0.25x2
M1 = 14 - x1
M2 = 6x2
mθ1 = 0.25x1
mθ2 = -0.25x2
Giro de B
∫
=
•
L
B dx
EI
M
m
m
kN
0
)
)(
1
( θ
θ ∫
∫
∫ +
−
+
−
=
3
0
3
2
0
2
2
2
2
0
1
1
1 )
0
)(
0
(
1
)
6
)(
25
.
0
(
1
)
14
)(
25
.
0
(
1
dx
EI
dx
x
x
EI
dx
x
x
EI
∫
∫ −
+
−
=
2
0
2
2
2
2
0
1
2
1
1 )
5
.
1
(
1
)
25
.
0
5
.
3
(
1
dx
x
EI
dx
x
x
EI
2
0
3
2
2
0
3
1
2
1
)
3
5
.
1
(
1
)
3
25
.
0
2
5
.
3
(
1 x
EI
x
x
EI
−
+
−
=
,
000194
.
0
)
60
)(
200
(
333
.
2
333
.
2
rad
EI
B =
=
=
θ

39
Ejemplo 7
Dada la estructura mostada. Determinar el desplazamiento y el giro del punto
C. Tomar E = 200 GPa, I = 200x106 mm4.
20 kN
Rótula
30 kN•m
A
B
C
4 m 3 m
2EI EI

40
20 kN
EI
Rótula
30 kN•m
A
B
C
4 m 3 m
2EI
30 kN•m
B
C
30/3 = 10 kN
10 kN
20 kN
10 kN
30 kN
30 kN
30 kN
120 kN•m
A B
M (kN•m) x (m)
-120
30

41
•Momento Real M
Desplazamiento de B
A B
C
4 m 3 m
20 kN 30 kN•m
2EI EI
M (kN•m)
30
-120 M1 = -30x1
x1 x2
M2 = 10x2
10 kN
30 kN
120 kN•m
A
B
C
4 m 3 m
2EI EI
1 kN
0 kN
1 kN
4 kN•m
M (kN•m)
x1 x2
-4 m1 = -x1 m2 = 0
∑∫
=
∆
L i
i
i
i
B dx
I
E
M
m
0
2
)
30
)(
(
4
0
1
1
1 +
−
−
= ∫ EI
dx
x
x
4
0
)
3
30
(
2
1 3
x
EI
=
↓
=
×
=
= m
EI
008
.
0
10
40
32
32
3

42
•Momento Real M
Giro a la izquierda de B
A B
C
4 m 3 m
20 kN 30 kN•m
2EI EI
M (kN•m)
30
-120 M1 = -30x1
x1 x2
M2 = 10x2
10 kN
30 kN
120 kN•m
A
B
C
4 m 3 m
2EI EI
0 kN
0
1 kN•m
M (kN•m)
x1 x2
m1 = -1 m2 = 0
I
IB dx
I
E
mM
∑∫
=
θ 0
2
)
30
)(
1
(
4
0
1
1 +
−
−
= ∫ EI
dx
x
4
0
)
2
30
(
2
1 2
x
EI
=
1 kN•m
-1 -1
rad
EI
003
.
0
10
40
120
120
3
=
×
=
=

43
•Momento Real M
Giro a la derecha de B
A B
C
4 m 3 m
20 kN 30 kN•m
2EI EI
M (kN•m)
30
-120 M1 = -30x1
x1 x2
M2 = 10x2
10 kN
30 kN
120 kN•m
A
B
C
4 m 3 m
2EI EI
1/3 kN
1/3 kN
4/3 kN•m
M (kN•m)
x1 x2
D
DB dx
I
E
mM
∑∫
=
θ ∫
∫ +
−
+
−
−
=
3
0
2
2
2
4
0
1
1
1
)
10
)(
3
1
(
2
)
30
)(
3
(
EI
dx
x
x
EI
dx
x
x
3
0
4
0
)
9
10
2
10
(
1
)
3
10
(
2
1
3
2
2
2
3
1 x
x
EI
x
EI
+
−
+
=
1 kN•m
-4/3 m1 = -x1/3 m2 = -1 + x2/3
-1
rad
EI
EI
0023
.
0
10
40
67
.
91
)
30
45
(
1
67
.
106
3
=
×
=
+
−
+
=

44
20 kN
EI
Rótula
30 kN•m
A
B
C
4 m 3 m
2EI
∆B = 8 mm θDB = 0.0023 rad
Curva Deflectada
rad
θIB =0.003

45
Ejemplo 8
(a) Determinar el desplazamiento horizontal y el giro del punto C de la
estructura mostrada.
(b) Dibujar el diagrama de momentos flectores y la curva elástica.
E = 200 GPa
I = 200(106) mm4
A
B C
5 m
6 m
2 kN/m
4 kN
1.5 EI
EI

46
A
B C
5 m
6 m
2 kN/m
4 kN
x1
x2
1
x2
x1
M2= 12 x2
12 kN
16 kN
12 kN
m2= 1.2 x2
m1= x1
1.2 kN
1 kN
1.2 kN
•Momento Real M
M1= 16 x1- x1
2
M2= 12 x2 m2= 1.2 x2
m1= x1
M1= 16 x1- x1
2
∫ ∫
∫ +
−
=
=
∆
• ∆
6
0
5
0
2
2
2
1
2
1
1
1 )
12
)(
2
.
1
(
1
)
16
)(
(
5
.
1
1
1 dx
x
x
EI
dx
x
x
x
EI
dx
EI
M
m
L
CH
∫
∫ +
−
=
5
0
2
2
2
6
0
1
3
1
2
1 )
4
.
14
(
1
)
16
(
5
.
1
1
dx
x
EI
dx
x
x
EI
→
+
=
=
+
=
+
−
=
∆ ,
8
.
28
)
200
)(
200
(
1152
600
552
)
3
4
.
14
(
1
)
4
3
16
(
5
.
1
1
5
0
3
2
6
0
4
1
3
1
mm
EI
EI
x
EI
x
x
EI
CH
1.5 EI
EI
A
C
1.5 EI
EI

47
A
C
A
B C
5 m
6 m
2 kN/m
4 kN
x1
x2
x2
x1
M2= 12 x2
12 kN
16 kN
12 kN
m2= 1-x2/5
m1= 0
1/5 kN
0
•Momento Real M •Momento Virtual mθ
M1= 16 x1- x1
2
1 kN•m
1/5 kN
M2= 12 x2 m2= 1-x2/5
m1= 0
M1= 16 x1- x1
2
∫ ∫
∫ −
+
−
=
=
•
6
0
5
0
2
2
2
1
2
1
1 )
12
)(
5
1
(
1
)
16
)(
0
(
5
.
1
1
1 dx
x
x
EI
dx
x
x
EI
dx
EI
M
m
L
C
θ
θ
∫ −
+
=
5
0
2
2
2
2 )
5
12
12
(
1
0 dx
x
x
EI
,
00125
.
0
)
200
)(
200
(
50
50
)
3
5
12
2
12
(
1
5
0
3
2
2
2
rad
EI
x
x
EI
C +
=
=
=
×
−
=
θ
1.5 EI
EI
1.5 EI
EI

48
+
+
60
60
M , kN•m
16
-12
-
+
V , kN
4
A
B C
5 m
6 m
2 kN/m
4 kN
12 kN
16 kN
12 kN
∆CH = 28.87 mm
θC = 0.00125 rad ,

49
Ejemplo 9
Determinar el desplazamiento vertical y el giro de C en la estructura
dada. Tomar E = 200 GPa, I = 15x106 mm4.
5 kN
3 m
60o
2 m
A
B
C

50
•Momento Virtual m∆ •Momento Real M
3 m
B
C
30o
Desplazamiento de C
3 m
B
C
30o
x1
1 kN
x1
1 kN
C
30o
n∆1
v∆1
m∆1 = -0.5x1
1.5 m
1.5 kN•m
1 kN
m∆1 = -0.5x1
x1
5 kN
1.5 m
M1 = -2.5x1
x1
5 kN
C
30o
N1
V1
7.5 kN•m
M1 = -2.5x1
x2
2 m
A
1.5 kN•m
m∆2 = -1.5
x2
5 kN
2 m
A
7.5 kN•m
M2 = -7.5
x2
1.5 kN•m
1 kN
v∆2
n∆2 m∆2 = -1.5
x2
7.5 kN•m
5 kN
N2
V2
M2 = -7.5
∫ ∆
=
∆
•
L
CV dx
EI
M
m
1 ∫
∫ −
−
+
−
−
=
2
0
2
1
1
3
0
1 )
5
.
7
)(
5
.
1
(
1
)
5
.
2
(
)
5
.
0
(
1
dx
EI
dx
x
x
EI
)
15
)(
200
(
75
.
33
75
.
33
)
25
.
11
(
1
)
3
25
.
1
(
1 2
0
3
0
2
2
3
1
=
=
+
=
∆
EI
x
EI
x
EI
CV = 11.25 mm ,

51
•Momento Virtual mθ •Momento Real M
3 m
B
C
30o
x1
1.5 m
1 kN•m
x2
2 m
A
1 kN•m
mθ1 = -1
mθ2 = -1
2 m
A
3 m
B
C
30o
x1
5 kN
1.5 m
7.5 kN•m
x2
7.5 kN•m
5 kN
M1 = -2.5x1
M2 =- 7.5
x1
5 kN
C
30o
N1
V1
∫
=
•
L
C dx
EI
M
mθ
θ
1 ∫
∫ −
−
+
−
−
=
2
0
2
1
1
3
0
)
5
.
7
)(
1
(
1
)
5
.
2
(
)
1
(
1
dx
EI
dx
x
EI
)
15
)(
200
(
25
.
26
25
.
26
)
5
.
7
(
1
)
2
5
.
2
(
1 2
0
3
0
2
2
1
=
=
+
=
EI
x
EI
x
EI
C
θ = 0.00875 rad,
Giro de C
1 kN•m
x1 C
30o
nθ1
vθ1
1 kN•m
mθ1 = -1 M1 = -2.5x1
x2
1 kN•m
nθ2
vθ2
mθ2 = -1
x2
7.5 kN•m
5 kN
N2
V2
M2 = -7.5

52
Energía de Deformación Virtual debido a Carga Axial, Flexión, Torsión, Corte y Temperatura
• Carga Axial
Donde
n = Carga axial virtual interna causada por la carga virtual unitaria externa
N = Fuerza axial interna en el miembro causada por las cargas reales
L = Longitud del miembro
E = Módulo de elasticidad del material
d∆
∫
∫ =
∆
=
L
i dx
EA
N
n
d
n
U )
(

53
• Flexión
Donde
n = Momento virtual interno causado por la carga virtual unitaria externa
M = Momento interno en el miembro causado por las cargas reales
E = Módulo de elasticidad del material
I = Momento de iercia de la sección transversal, calculado respecto al eje neutro
dθ
∫
∫ =
=
L
i dx
EI
M
m
d
m
U )
(
θ

54
• Torsión
Donde
t = Torsor interno virtual causado por la carga virtual unitaria externa
T = Torsor interno en el miembro causado por las cargas reales
G = Módulo elástico de corte del material
J = Momento polar de inercia de la sección transversal del miembro,
J = πc4/2, donde c es el radio de la sección transversal
dθ
∫
∫ =
=
L
i dx
GJ
T
t
d
t
U )
(
θ

55
• Corte
Donde
v = Corte virtual interno en el miembro, expresado como una función de x, causado
por la carga virtual unitaria externa
V = Corte interno en el miembro expresado como una función de x, causado ´por
las cargas reales
K = Factor de forma del área de la sección transversal:
K = 1.2 para sección transversal de forma rectangular
K = 10/9 para sección transversal de forma circular
K ≈ 1 para flanges y vigas I, donde A es el área del alma
G = Módulo elástico de corte de la sección transversal
A = Área de la secci´n transversal del miembro
dυ
∫
∫ =
=
L
i dx
GA
KV
v
d
v
U )
(
υ

56
• Axial ∫ ∆
=
L
i dx
T
n
U )
(α
• Flexión ∫
∆
=
L
i dx
c
T
m
U )
2
α
Desplazamiento por temperatura:
Donde
∆Τ = Diferencia de temperaturas:
- Entre el eje neutro y la temperatura ambiente, para axial
- Entre los dos extremos de la viga, para flexión
α = Coeficiente de expansión térmico
d∆
dθ

57
• Temperatura
dx
T1
T2
T2 > T1
dx
y
c
T
y
d )
2
(
)
(
∆
=α
θ
dx
c
T
d )
2
(
)
(
∆
=α
θ
∫
= θ
md
Utemp
∫
∆
=
L
temp dx
c
T
m
U
0
)
2
(α
T2
c
c
T1
∆T = T2 - T1
c
T
2
∆
=
β
T1
T2
y
y
c
T
2
∆
y
T2 > T1
T1
O
dθ
2
2
1 T
T
Tm
+
= dθ
M
M

58
Ejemplo 10
Para la viga mostrada, determinar:
(a) Si P = 60 kN se aplica en el punto medio C de la viga, hallar el desplazamiento
vertical de C debido a flexión y a cortante.
(b) Si la temperatura en la fibra superior de la viga es de 55 oC, en la fibra inferior
es de 30 oC y en el ambiente es de 25 oC. Hallar el desplazamiento vertical de
C y el desplazamiento horizontal del apoyo movil B. Tomar 2c = 260 mm
(c) Si los casos (a) y (b) actúan simultáneamente ¿Cuál es el desplazamiento vertical
de C?
Tomar α = 12x10-6/oC, E = 200 GPa, G = 80 GPa, I = 200x106 mm4 y A = 35 x103 mm2.
La sección transversal es de forma rectangular.
A B
C
2 m 2 m

59
A B
1 kN
x
x
A B
C
2 m 2 m
P
SOLUCIÓN
∫
=
∆
L
i
i
flexión dx
EI
M
m
∫
=
2
/
0
)
2
)(
2
(
2
L
EI
dx
Px
x 2
/
0
)
3
4
(
2 3 L
Px
EI ×
=
)
200
)(
200
(
48
)
4
(
60
48
3
3
=
=
EI
PL
= 2 mm,
∆corte =∫
L
i
i
dx
GA
V
Kv
∫
=
2
/
0
)
2
)(
2
1
(
2
L
GA
dx
P
K
)
35000
)(
80
(
4
)
4
)(
60
(
2
.
1
4
2
2
/
0
=
=
=
GA
KPL
GA
KPx L
= 0.026 mm,
corte
flexión
C ∆
+
∆
=
∆ = 2 + 0.026 = 2.03 mm
P/2
P/2
M
diagrama
PL/4
x x
x
P
2 x
P
2
P/2
P/2
V
diagrama
• Parte (a) :
0.5 kN
0.5 kN
m
diagrama 0.5x 0.5x
1
0.5
0.5
v
diagrama

60
•Parte (b) : Desplazamiento vertical de C
SOLUCIÓN
A B
1 kN
x
x
m
diagrama
0.5 kN
0.5 kN
0.5x 0.5x
1
TAmb = 25 oC ,
T1=55oC
T2=30oC
260 mm
Perfil de temperaturas
5
.
42
2
30
55
=
+
=
m
T
∆C = -2.31 mm ,
∫
∆
=
∆
L
C dx
c
T
m
kN
0
2
)
(
)
)(
1
(
α
- Flexión
∫
∆
=
2
0
)
5
.
0
(
2
)
(
2 dx
x
c
T
α 2
0
)
2
5
.
0
(
)
10
260
(
)
25
)(
10
12
(
2
2
3
6
x
−
−
×
−
×
=
A B
C
2 m 2 m
55 oC,
30 oC
260 mm

61
A B
1 kN
• Parte (b) : Desplazamiento horizontal de B
x
0
0
TAmb = 25 oC ,
T1=55oC
T2=30oC
260 mm
Perfil de temperaturas
5
.
42
2
30
55
=
+
=
m
T
∆HB = 0.84 mm
∫ ∆
=
∆
L
BH dx
T
n
kN )
(
)
)(
1
( α
- Axial
∫
∆
=
4
0
)
1
(
)
( dx
T
α
4
0
)
)(
25
5
.
42
)(
10
12
( 6
x
−
×
= −
1 kN
1 1
n
diagrama
∆BH = 0.84 mm
∆Cv = 2.31 mm ,
A B
C
2 m 2 m
55 oC
30 oC
260 m
A Curva deflectada B
C

62
P
A
B
C 55 oC
30 oC
260 m
• Parte (c) :
∆C = -2.03 + 2.31 = 0.28 mm
A B
C
∆C = 2.03 mm
P
=
A B
55 oC,
30 oC
∆C = 2.31 mm
+
∆HB = 0.84 mm

63
Ejemplo 11
Determinar el desplazamiento horizontal del punto C del pórtico. Si la
temperatura en la fibra superior del miembro BC is 30 oC, en la fibra inferior
es 55 oC y en el ambiente es de 25 oC.Tomar α = 12x10-6/oC, E = 200 GPa,
G = 80 GPa, I = 200x106 mm4 y A = 35x103 mm2 para los dos miembros. La
sección transversal es de forma rectangular. Incluir la energía de
deformación debida a efectos axiales y a corte.
A
B C
5 m
6 m
2 kN/m
4 kN
1.5 EI,1.5AE, 1.5GA
EI,AE,GA
260 mm

64
B C
Momento, m (kN•m)
A
B C
Corte, v (kN)
A
5 m
6 m
A
C
B
Carga Virtual
1
x2
x1
1.2 kN
1 kN
1.2 kN
1.2
1
1.2
1
1
1
-1.2
-1.2
6
6
1x1
1.2x2
B C
Axial, n (kN)
A
+
+

65
B C
Shear, V (kN)
A
B C
Axial, N (kN)
A
A
B C
5 m
6 m
2 kN/m
4 kN
x1
x2
12 kN
16 kN
12 kN
Carga Real
12
4
12
4
16
4
16 - 2x1 -12 -12
60
16x1 - x1
2
12x2
60 B C
Moment, M (kN•m)
A

66
•Debido a Axial
x1
x2
AE
1.5AE
5 m
6 m
B C
Axial Virtual, n (kN)
A
1.2
1
1.2
1
B C
Axial Real, N (kN)
A
12
4
12
4
∑
=
∆
i
i
i
i
i
CH
E
A
L
N
n
kN )
)(
1
(
AE
AE
)
5
)(
4
)(
1
(
5
.
1
)
6
)(
12
)(
2
.
1
(
+
=
AE
m
kN •
=
2
6
.
77
→
=
=
×
×
•
=
∆ −
−
,
0111
.
0
)
10
(
109
.
1
)
10
200
)(
10
35000
(
6
.
77 5
2
6
2
6
mm
m
m
kN
m
m
kN
HC

67
•Debido a Corte
x1
x2
1.5GA
5 m
6 m
GA
B C
Corte Virtual, v (kN)
A
1
1
-1.2
-1.2
B C
Corte Real, V (kN)
A
16
4
16 - 2x1 -12 -12
∫
=
∆
L
HC dx
GA
V
K
kN
0
)
(
)
)(
1
(
υ
2
5
0
1
6
0
1 )
12
)(
2
.
1
(
2
.
1
5
.
1
)
2
16
)(
1
(
2
.
1 dx
GA
dx
GA
x
∫
∫
−
−
+
−
=
GA
m
kN
x
GA
x
x
GA
•
=
+
−
=
2
5
0
2
6
0
2
1
1
4
.
134
)
4
.
14
)(
2
.
1
(
)
2
2
16
)(
5
.
1
2
.
1
(
→
=
=
×
×
•
=
∆ −
−
,
048
.
0
)
10
(
8
.
4
)
10
35000
)(
10
80
(
4
.
134 5
2
6
2
6
mm
m
m
m
kN
m
kN
HC

68
•Debido a Flexión
x1
x2
1.5EI
5 m
6 m
EI
B C
Momento Virtual, m (kN•m)
A
6
6
1x1
1.2x2
B C
Momento Real, M (kN•m)
A
60
16x1 - x1
2
12x2
60
∫
=
∆
L
HC dx
EI
mM
kN
0
)
)(
1
(
∫
∫ +
−
=
5
0
2
2
2
6
0
1
2
1
1
1 )
12
)(
2
.
1
(
1
)
16
)(
(
5
.
1
1
dx
x
x
EI
dx
x
x
x
EI
EI
m
kN
x
EI
x
x
EI
3
2
5
0
3
2
6
0
4
1
3
1 1152
)
3
4
.
14
(
1
)
4
3
16
(
5
.
1
1 •
=
+
−
=
→
+
=
=
×
×
•
=
∆
−
,
8
.
28
0288
.
0
)
10
200
)(
10
200
(
1152
4
6
2
6
3
mm
m
m
m
kN
m
kN
HC

69
T1=30oC
T2=55oC
260 mm
Perfil de
temperaturas
•Debido a la Temperatura
∆HC = 0.0173 m = 17.3 mm
Tm= 42.5oC
- Flexión
- Axial
∆HC = 0.00105 m = 1.05 mm
A
B C
5 m
x1
x2
260 mm
30oC
55oC
TAmb = 25oC
B C
m (kN•m)
A
6
6
1x1
1.2x2
B
C
n (kN)
A
1.2
1
1.2
1
+
+
2
5
0
3
6
2
0
)
10
260
(
)
30
55
)(
10
12
)(
2
.
1
(
2
)
(
)
)(
1
( dx
x
dx
c
T
m
kN
L
CH ∫
∫ −
−
×
−
×
=
∆
=
∆
α
2
5
0
6
0
)
25
5
.
42
)(
10
12
)(
1
(
)
(
)
)(
1
( dx
dx
T
n
kN
L
CH ∫
∫ −
×
=
∆
=
∆ −
α

70
A
B C
2 kN/m
4 kN
•Desplazamiento Total
HC Temp
CH Flexión
HC Total HC Axial HC Corte )
(
)
(
)
(
)
(
)
( ∆
+
∆
+
∆
+
∆
=
∆
= 0.01109 + 0.048 + 28.8 + (17.3 + 1.05) = 47.21 mm
∆HC = 47.21 mm

71
P1 P2 Pi + dPi
P
∆
Teorema de Castigliano
∆Pi + d∆Pi
U
U*
i
i
dP
P
U
dU
∂
∂
=
U = U*
Pi
i
i
i
dP
dP
P
U
∆
=
∂
∂
)
(
dU = dU*
Ui = f (P1, P2,…, Pn)
i
Pi
P
U
∂
∂
=
∆
P1 P2 Pi
∆Pi
dPi
(dPi)∆Pi = dU*
i
i
dP
P
U
dU
∂
∂
=
P
∆

72
• Carga Axial ∫
∂
∂
=
∆
L
i
Pi dx
AE
N
P
)
2
(
2
∫ ∂
∂
=
L i
dx
AE
N
P
N
)
(
n∆
• Flexión )
2
(
2
∫
∂
∂
=
∆
L
i
Pi dx
EI
M
P ∫ ∂
∂
= dx
EI
M
P
M
i
)
(
m∆
• Corte ∫
∂
∂
=
∆
L
i
Pi dx
GA
KV
P
)
2
(
2
∫ ∂
∂
= dx
GA
V
P
V
K
i
)
(
v∆
Desplazamiento por:
Donde
∆ = Desplazamiento externo de la armadura, viga o pórtico
P = Fuerza extern aplicada a la armadura, viga o pórtico en la dirección de ∆
N = Fuerza axial interna en el miembro causada por la carga P y las cargas
sobre la armadura, viga o pórtico.
M = Momento interno en la viga o pórtico expresado como una función de x,
causado por la carga P y las cargas reales sobre la estructura.
V = Corte interno en la viga o pórtico causado por la carga P y las cargas reales
sobre la estructura.

73
• Axial )
)
(
(∫ ∆
∂
∂
=
∆
L
i
Pi dx
T
N
P
α ∫ ∆
∂
∂
= dx
T
P
N
i
)
)(
( α
n∆
• Flexión ∫
∆
∂
∂
=
∆
L
i
Pi dx
c
T
M
P
)
)
2
(
( α ∫
∆
∂
∂
= dx
c
T
P
M
i
)
2
)(
( α
Desplazamientos por Temperatura:
Donde
∆Τ = Diferencia de temperaturas:
- Entre el eje neutro y la temperatura ambiente, para axial
- Entre las dos fibras extremas, para flexión
α = Coeficiente de expansión térmica
m∆

74
• Flexión )
2
(
2
∫
∂
∂
=
L
i
Mi dx
EI
M
M
θ ∫ ∂
∂
=
L i
dx
EI
M
M
M
)
(
mθ
Giro, rotación o pendiente:
Donde
θ = Giro externo de la viga o pórtico
Mi = Momento externo aplicado a la viga o pórtico en la dirección de θ
M = Momento interno de la viga o pórtico, expresado como una función de x,
causado por la carga P y las cargas reales actuantes en la estructura
i
Mi
M
U
∂
∂
=
θ

75
Teorema de Castigliano: Armaduras
N
2
N1
N3
N
4
N5
N
6
N7 N8 N9
P
∑ ∂
∂
=
∆ i
i
i
L
AE
N
P
N
)
(
Donde:
∆ = Desplazamiento externo de nudo de la armadura
P = Fuerza externa aplicada a la armadura en la dirección de ∆
N = Fuerza interna del miembro causado por la carga P y las cargas sobre la armadura
E = Módulo de elasticidad del miembro
P1
P2
B

76
Ejemplo 12
Determinar el desplazamiento vertical del punto C de la armadura mostrada. El área de la
secció n transversal de todos los miembros de la armadura es A = 400 mm2 y E = 200 GPa.
A B
C
4 m 4 m
4 kN
3 m

77
=
A B
C
L
P
N
N )
(
∂
∂
A
B
C
N: Carga Virtual P
A
B
C 4 kN
5 m
3 m
4 m 4 m
N: Carga Real
SOLUCIÓN
2
+2.5 -2.5
P
0.667P
-0.833P -0.833P
0
∑ ∂
∂
=
∆
AE
L
P
N
N
VC )
(
1.5 kN
1.5 kN
4 kN
0.5P
0.5P
10.656
-10.41 10.41
)
10
200
)(
10
400
(
67
.
10
)
67
.
10
41
.
10
41
.
10
(
1
2
6
2
6
m
kN
m
m
kN
AE ×
×
•
=
+
+
−
∆VC =
−
∆VC = 0.133 mm,
2
+2.5 -2.5
0.667P
-0.833P -0.833P
+

78
Ejemplo 13
Determinar el desplazamiento vertical del punto C de la armadura de
acero mostrada. Asumir A = 400 mm2 y E = 200 GPa.
4 m 4 m 4 m
A
B C
D
E
F
4 m
4 kN
4 kN

79
=
A
B C
D
E
F
L
P
N
N )
(
∂
∂
A
B C
D
E
F
N: Carga Virtual P
A
B C
D
E
F
4 kN 4 kN
N: Carga Real
4 m 4 m
4 m
4 m
5
.
6
5
7
m
SOLUCIÓN
P 0.667P
0.333P
0
4
-5.657
0
-
5
.
6
5
7
4
4
4 4
-4
4 kN
4 kN
0 0.667P
-0.471P
-0.471P
-
0
.
9
4
3
P
0.667P
0.333P
0.333P
1P
-0.333P
∑ ∂
∂
=
∆
AE
L
P
N
N
VC )
(
)
10
200
)(
10
400
(
4
.
72
)]
18
.
30
16
)
67
.
10
(
2
)
33
.
5
(
3
07
.
15
[
1
2
6
2
6
m
kN
m
m
kN
AE ×
×
•
=
+
+
+
+
∆VC =
−
∆VC = 1.23 mm,
4
-5.657
0
-
5
.
6
5
7
4
4
4 4
-4
0.667P
-0.471P
-0.471P
-
0
.
9
4
3
P
0.667P
0.333P
0.333P
1P
-0.333P
10.67
15.07
0
3
0
.
1
8
10.67
5.33
5.33
16
5.33
+

80
Ejemplo 14
Determinar el desplazamiento vertical de C en la armadura de acero
mostrada. Tomar A = 400 mm2 y E = 200 GPa.
2 m
A
B
C
D
3 m
20 kN
10 kN
muro

81
2 m
A
B
C
D
3 m
N: Carga Virtual P
2 m
A
B
C
D
3 m
20 kN
10 kN
N: Carga Real
3
.
6
1
m
13.333 kN
23.333 kN
20 kN
23.333
0
-
2
4
.
0
3
6
20
20
SOLUCIÓN
P
0.667P
0
-
1
.
2
P
0
1P
0.667 P
0.667P
1P
)
12
.
104
13
.
31
60
(
1
+
+
=
∆
AE
CV
∆VC= 2.44 mm,
∑ ∂
∂
=
∆
AE
L
P
N
N
VCc )
(
)
10
200
)(
10
400
(
25
.
195
2
6
2
6
m
kN
m
m
kN
×
×
•
=
−
31.126
0
1
0
4
.
1
2
4
0
60
23.333
0
-
2
4
.
0
3
6
20
20
0.667P
0
-
1
.
2
P
0
1P
+
L
P
N
N )
(
∂
∂
A
B
C
D

82
w
C
A B
Teorema de Castigliano: Vigas y Pórticos
∆C
∫ ∂
∂
=
∆
L
dx
EI
M
P
M
)
(
P
x1
x2
RB
RA
• Desplazamiento
w
B
x2
RB
V2
M2
x1
RA
V1
M1
Donde:
∆ = Desplazamiento externo del punto causado por cargas reales actuando en la
viga o pórtico
P = Fuerza externa aplicada a la viga o pórtico en la dirección de ∆
M = Momento interno en la viga o pórtico, expresado como una función de x,
causado por la fuerza P y las otras cargas actuantes en la estructura

83
w
A B
∫ ∂
∂
=
L
dx
EI
M
M
M
)
'
(
θ
• Giro
x1
x2
RB
RA
M´
θ
w
B
x2
RB
V2
M2
x1
RA
V1
M1
Donde:
θ = Giro externo de la tangente de un punto causado por cargas reales actuantes
sobre la vig o pórtico
M' = Momento externo aplicado a la viga o pórtico en la dirección de θ
M = Momento interno de una viga o pórtico, expresado como una función de x,
causado por la carga P y las cargas actuantes sobre la estructura

84
Ejemplo 15
La viga mostrada está sujeta a la acción de la carga P en su extremo.
Determinar el desplazamiento y giro de C. EI es constante.
2a a
A
B C
P
∆C

85
A
B
C
2a a
SOLUCIÓN Desplazamiento de C
∫ ∂
∂
=
∆
L
C dx
EI
M
P
M
)
( ∫
∫ ∂
∂
+
∂
∂
=
a
a
dx
M
P
M
EI
dx
M
P
M
EI 0
2
2
2
2
0
1
1
1
)
)(
(
1
)
)(
(
1
∫
∫ −
−
+
−
−
=
a
a
dx
Px
x
EI
dx
Px
x
EI 0
2
2
2
2
0
1
1
1
)
)(
(
1
)
2
)(
2
(
1
,
)
3
)(
(
1
)
3
)(
4
(
1 3
3
2
3
1
0
2
0
EI
Pa
x
P
EI
x
P
EI
a
a
C =
+
=
∆
x1
x2
-Pa
M2 = -Px2
2
1
1
Px
M −
=
2
3P
2
P
P
M
diagrama

86
A
B
C
2a a
P
Giro de C
x1 x2
a
M
P
2
5
.
1 +
a
M
P
2
5
.
0 +
M
A
x1
a
M
P
2
5
.
0 +
V1
M1
)
2
5
.
0
( 1
1
a
Mx
Px +
−
=
C
P
x2
M
V2
M2
M
Px −
−
= 2
∫
∫ ∂
∂
+
∂
∂
=
a
a
C dx
M
M
M
EI
dx
M
M
M
EI 0
2
2
2
2
0
1
1
1
)
)(
(
1
)
)(
(
1
θ
∫
∫ −
−
−
+
−
−
−
=
a
a
dx
M
Px
EI
dx
a
Mx
Px
a
x
EI 0
2
2
2
0
1
1
1
1
)
)(
1
(
1
)
2
5
.
0
)(
2
(
1
,
6
7
2
3
2
)
2
)(
(
1
)
3
)(
4
(
1 3
2
3
2
2
3
1
0
2
0
EI
Pa
EI
Pa
EI
Pa
x
P
EI
x
P
EI
a
a
C =
+
=
+
=
θ
0
0

87
Ejemplo 16
Determinar el desplazamiento y giro de B de la viga de acero mostrada.
Tomar E = 200 GPa, I = 250x106 mm4.
A
5 m
B
3 kN/m

88
SOLUCIÓN
x
A
5 m
B
3 kN/m
Desplazamiento de B
∫ ∂
∂
=
∆
L
B dx
EI
M
P
M
)
(
)
(
EI
m
kN 3
2
375
.
234 •
=
)
10
250
)(
10
200
(
375
.
234
4
6
6
3
m
m
kN
m
kN
−
×
×
•
=
∆B = 0.00469 m = 4.69mm,
P
=
−
−
2
3 2
x
Px
x
3x
2
x
V
M
P
∫ −
−
−
=
5
0
2
)
2
3
)(
(
1
dx
x
Px
x
EI
0
∫
=
5
0
3
2
3
1 x
EI
)
8
3
(
1 5
0
4
x
EI
=

89
x
A
5 m
B
3 kN/m
Rotación de B
∫ ∂
∂
=
L
B dx
EI
M
M
M
)
'
(
θ
EI
m
kN 3
2
5
.
62 •
=
)
10
250
)(
10
200
(
5
.
62
4
6
6
3
m
m
kN
m
kN
−
×
×
•
=
θB = 0.00125 rad,
=
−
−
2
3
'
2
x
M
∫ −
−
−
=
5
0
2
)
2
3
'
)(
1
(
1
dx
x
M
EI
0
∫
=
5
0
2
2
3
1 x
EI
)
6
3
(
1 5
0
3
x
EI
=
x
3x
2
x
V
M M´
M´
A B
Curva deflectada
θB = 0.00125 rad
∆B = 4.69mm,

90
Ejemplo 17
Determinar el desplazamiento y giro de B en la viga de acero mostrada.
Tomar E = 200 GPa, I = 60x106 mm4.
A C D
B
5 kN
14 kN•m
2 m 2 m 3 m

91
A
C
D
B
14 kN•m
2 m 2 m 3 m
P
x3
x2
x1
M
diagrama
14
2
0
2
0
)
3
3
)(
1
(
)
3
5
.
0
2
7
)(
1
(
3
2
3
1
2
1 x
EI
x
x
EI
+
−
=
)
60
)(
200
(
667
.
20
667
.
20
=
=
EI
SOLUCIÓN Desplazamiento de B
∫ ∂
∂
=
∆
L
B dx
EI
M
P
M
)
(
)
(
5
1
1
1
2
0
1
)
2
2
7
14
(
)
2
(
1
dx
P
x
x
x
EI
+
−
= ∫
∫ +
+
2
0
2
2
2
2
)
2
2
7
)(
2
(
1
dx
Px
x
x
EI
5
∫
∫ +
−
=
2
0
2
2
2
1
2
1
2
0
1 )
3
(
1
)
5
.
0
7
(
1
dx
x
EI
dx
x
x
EI
∆B = 0.00172 m = 1.72 mm,
2
2
7 P
+
2
2
7 P
−
V
diagrama
)
2
2
7
(
P
+
−
)
2
2
7
(
P
−
−
2
2
7 2
2
2
Px
x
M +
=
2
2
7
14 1
1
1
Px
x
M +
−
=
∫
+
3
0
3
)
0
)(
0
( dx

92
A
C
D
B
14 kN•m
2 m 2 m 3 m
5 kN
x3
x2
x1
M
diagrama
SOLUCIÓN Giro de B
∫ ∂
∂
=
L
B dx
EI
M
M
M
0
)
'
(
θ
1
1
2
0
1
)
4
'
14
(
)
4
(
1
dx
M
x
x
EI
+
−
= ∫
∫
+
3
0
3
)
0
)(
0
( dx
∫ −
−
+
2
0
2
2
2
2
)
4
'
6
)(
4
(
1
dx
x
M
x
x
EI
0
0
4
'
6
M
−
V
diagrama
M´
4
'
1
M
−
)
4
'
1
(
M
−
−
)
4
'
6
(
M
−
−
14
1
1 )
4
'
1
(
14 x
M
M −
−
=
2
2 )
4
'
6
( x
M
M −
=
1
2
1
2
0
1 )
25
.
0
5
.
3
(
1
dx
x
x
EI
−
= ∫
)
60
)(
200
(
333
.
2
333
.
2
=
=
EI
θB = 0.000194 rad,
2
0
2
0
)
3
5
.
1
(
1
)
3
25
.
0
2
5
.
3
(
1
3
2
3
1
2
1 x
EI
x
x
EI
−
+
−
=
∫ −
+
2
0
2
2
2 )
5
.
1
(
1
dx
x
EI
∆B = 1.72 mm
θB = 0.000194 rad
A C D
B

93
Ejemplo 18
Determinar el desplazamiento de l punto B en la viga de acero mostrada.
Tomar E = 200 GPa, I = 200x106 mm4.
20 kN
Rótula
10 kN•m
A
B C
4 m 3 m 3 m
I 2I

94
20 kN
P
x2
= (22.5 + P)x3 - (75 + 6P)
= -(2.5 + P)x1
= 10 - 2.5x1
SOLUCIÓN
75 + 6P
22.5 + P
2.5 kN
0
P
10 kN•m
2.5 kN
0
2.5 kN
10 kN•m
2.5 kN
V1
M1
x1 P
2.5 kN V2
M2
x2
75 + 6P
22.5 + P
V3
M3
x3
x1 x3
20 kN
10 kN•m
A
B C
4 m 3 m 3 m
I 2I

95
20 kN
10 kN•m
A
B C
4 m 3 m 3 m
I 2I
= (22.5 + P)x3 - (75 + 6P)
= -(2.5 + P)x2
= 10 - 2.5x1
10 kN•m
2.5 kN
V1
M1
x1
75 + 6P
22.5 + P
V3
M3
P
2.5 kN V2
M2
x2
x3
x2
P x3
x1
∫ ∂
∂
=
∆
L
B dx
EI
M
P
M
)
(
3
3
3
3
0
3 )
6
75
5
.
22
(
)
6
(
2
1
dx
P
P
x
x
x
EI
−
−
+
−
+ ∫
2
2
2
3
0
2
1
1
4
0
)
5
.
2
(
)
(
2
1
)
5
.
2
10
(
)
0
(
1
dx
P
x
x
x
EI
dx
x
EI
−
−
−
+
−
= ∫
∫
0
0 0
∫
∫ +
−
+
+
=
3
0
3
3
2
3
3
0
2
2
2 )
450
210
5
.
22
(
2
1
)
5
.
2
(
2
1
0 dx
x
x
EI
dx
x
EI
)
200
)(
200
(
315
315
75
.
303
25
.
11
=
=
+
=
∆
EI
EI
EI
B = 7.875 mm,
0

96
Ejemplo 19
Determinar el desplazamiento de la rótula B y el giro del lado derecho de B
para la viga de acero mostrada.
Tomar E = 200 GPa, I = 200x106 mm4.
3 m 4 m
20 kN
Rótula
30 kN•m
A
B
C
2EI
EI
5 kN/m

97
20 kN
SOLUCIÓN
3 m 4 m
30 kN•m
A
B
C
2EI
EI
5 kN/m
P
M´
30 kN•m
A B
5 kN/m
15 kN
17.5 kN
2.5 kN
B
C
2EI
P
M´
17.5 kN
P + 17.5
4(P + 17.5) + M´

98
20 kN
= (P + 17.5)x2 - 4(P+17.5) - M´
1
2
1
5
.
2
2
5
30 x
x
−
−
=
3 m 4 m
30 kN•m
A
B
C
2EI
EI
5 kN/m
x1 x2
P
M´
2.5 kN P + 17.5
4(P + 17.5) + M´
x1
30 kN•m
A
5x1
2.5 kN V1
M1
C
2EI
4(P + 17.5) + M´
P + 17.5
x2
V3
M3
∫ ∂
∂
=
∆
L
B dx
P
M
M
EI
)
(
1
∫ −
−
−
−
+
+
=
4
0
2
2
2
2 )
4
)(
'
70
4
5
.
17
(
2
1
0 dx
x
M
P
x
Px
EI
0
20 20
• Desplazamiento de la rótula B
↓
=
=
=
= ,
10
01
.
0
)
200
)(
200
(
2
800
2
800
mm
m
EI

99
20 kN
= (P + 17.5)x2 - 4(P+17.5) - M´
1
2
1
5
.
2
2
5
30 x
x
−
−
=
3 m 4 m
30 kN•m
A
B
C
2EI
EI
5 kN/m
x1 x2
P
M´
2.5 kN P + 17.5
4(P + 17.5) + M´
x1
30 kN•m
A
5x1
2.5 kN V1
M1
C
2EI
4(P + 17.5) + M´
P + 17.5
x2
V3
M3
∫ ∂
∂
=
∆
L
B dx
M
M
M
EI
)
'
(
1
∫ −
−
−
−
+
+
=
4
0
2
2
2 )
1
)(
'
70
4
5
.
17
(
2
1
0 dx
M
P
x
Px
EI
0
20 20
• Giro del lado derecho de la rótula B
rad
EI
3
10
75
.
3
)
200
)(
200
(
2
300
2
300 −
×
=
=
=

100
Ejemplo 20
Determinar el desplazamiento horizontal y el giro del apoyo móvil C del pórtico.
Tomar E = 200 GPa, I = 200x106 mm4
A
B C
5 m
6 m
2 kN/m
4 kN
1.5 EI
EI

101
A
B C
5 m
6 m
2
kN/m
1.5 EI
EI
12 kN
Desplazamiento horizontal de C
P
SOLUCIÓN
2
)
5
6
5
36
( x
P
+
=
12 + P
5
6
5
36 P
+
5
6
5
36 P
+
A
2x1
12 + P
5
6
5
36 P
+
x1
V1
M1
C P
5
6
5
36 P
+
V2
M2
x2
2
1
1
)
12
( x
x
P −
+
=
x1
x2
∫ ∂
∂
=
∆
L
i
i
HC dx
EI
M
P
M
)
( ∫
∫ +
+
−
+
=
5
0
2
2
2
2
1
2
1
1
1
6
0
1 )
5
6
5
36
)(
5
6
(
1
)
12
(
)
(
5
.
1
1
dx
Px
x
x
EI
dx
x
x
P
x
x
EI
∫
∫ +
−
=
5
0
2
2
2
6
0
1
3
1
2
1 )
4
.
14
(
1
)
16
(
5
.
1
1
dx
x
EI
dx
x
x
EI
)
200
)(
200
(
1152
600
552
)
3
4
.
14
(
1
)
4
3
16
(
5
.
1
1 5
0
6
0
3
2
4
1
3
1
=
+
=
+
−
=
∆
EI
EI
x
EI
x
x
EI
HC = + 28.8 mm ,
4
4

102
A
B
C
5 m
6 m
2
kN/m
1.5 EI
EI
12 kN
4 kN
Giro de C
5
'
12
M
−
x1
x2
M´
5
'
12
M
−
16
2
)
5
'
12
(
' x
M
M −
+
=
4 N
5
'
12
M
−
V2
M2
x2
M´
2
1
1
16 x
x −
=
A
2x1
16
5
'
12
M
−
x1
V1
M1
∫ ∂
∂
=
L
i
i
C dx
EI
M
M
M
0
)
'
(
θ ∫
∫ −
+
−
+
−
=
5
0
2
2
2
2
1
2
1
1
6
0
)
5
'
12
'
)(
5
1
(
1
)
16
(
)
0
(
5
.
1
1
dx
x
M
x
M
x
EI
dx
x
x
EI
∫ −
+
=
5
0
2
2
2
2 )
5
12
12
(
1
0 dx
x
x
EI
)
200
)(
200
(
50
50
)
3
5
12
2
12
(
1 5
0
3
2
2
2
=
=
×
−
=
EI
x
x
EI
C
θ = + 0.00125 rad ,
0
0
0

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