Este documento describe los sistemas estáticamente determinados y cómo predecir la deflexión en componentes cargados axialmente. Explica que la deformación unitaria depende de la fuerza aplicada dividida por el área y el módulo de elasticidad. También muestra cómo calcular el desplazamiento total como la integral de la deformación unitaria a lo largo de la barra.

1. 1
Sistemas estáticamente determinados
En muchos casos de diseño de componentes cargados axialmente, es determinante saber
predecir el comportamiento de la deflexión que sufre.
Considérese el caso general de una barra cargada axialmente como indica la figura.
La deformación unitaria en la
dirección x es:
Donde δu es la deformación
axial de un elemento
infinitesimal y δx es el
tamaño inicial del elemento
diferencial.
uB uD
B D
P1 P4 P3 P2
x dx
Px + dPP x x
dx + εx dx
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ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
ε δ
δ

2. 2
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ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
Reescribiendo (*) en términos de δu
Luego,
Donde u(l) y u(0) son desplazamientos absolutos
Nótese que la diferencia u(l) - u(0) representa el cambio de longitud Δ entre los puntos D y B.
Por consiguiente:
Sabemos de acuerdo a la ley de Hooke (para materiales elásticos lineales) que:
Luego, Donde: Px P(x)
Ax A(x)
Ex E(x)
δ ε ∙ δ
donde,
δ = u l − u 0 = ε ∙ δ
Δl = ε ∙ δ
ε =
σ
E
σ =
P
A
Δl =
P ∙ δ
A ∙ E

3. 3
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Ejemplo
Considérese la barra de sección transversal constante A,
de longitud L, con módulo de elasticidad E.
Determínese la deflexión del extremo libre causada por
la aplicación de una fuerza concentrada.
B C
Desarrollo
B C C’
P P
DCL
Del diafragma puede concluirse que tanto la fuerza P como la sección de la barra permanecen
constante en el largo L.
Luego,
Δl P ∙ δ
A ∙ E P
A ∙ E δ P ∙ L
A ∙ E
Δl Δ P ∙ L
A ∙ E
Nótese en esta ecuación que la deflexión es directamente proporcional a la carga P y el largo L es
inversamente proporcional al área A y al módulo de elasticidad E.

4. 4
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Gráficamente
P
L X
Fuerza
Deformación unitaria
L X
L X
Desplazamiento
P
A ∙ E
Δ=
P ∙ L
A ∙ E
De acuerdo al principio de transmisibilidad, la carga se
transmite de manera constante a lo largo de la barra
La deformación unitaria axial permanece constante a lo
largo de la barra puesto que el material el homogéneo y
la sección transversal el constante
El desplazamiento es creciente, depende de la distancia
al punto de empotramiento. Al inicio es cero y el valor
máximo ocurre en x=L

5. 5
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La ecuación puede presentarse convenientemente como:
Donde representa la constante de resorte o rigidez.
K representa la fuerza requerida para producir una deflexión unitaria.
Luego, para la i-ésima barra cargada axialmente o un segmento de barra de longitud Li
Análogamente definimos la flexibilidad ffff como
ffff representa la deflexión resultante de la aplicación de una fuerza unitaria.
Luego,
Δ=
P ∙ L
A ∙ E
P =
A ∙ E
L
Δ →
P
Δ
=
A ∙ E
L
k =
P
Δ
k =
A ∙ E
L
f =
1
k
=
L
F
f =
L
A ∙ E

6. 6
Una masa mmmm 2222kkkkgggg está unida a una barra de una
aleación de níquel y tiene 22220000 [[[[mmmmmmmm] de diámetro y 444400000000
[[[[mmmmmmmm]]]] de longitud.
Determine la frecuencia de vibración. Considere la masa
concentrada en un punto y desprecie el peso de la barra.
Para la barra, sea EEEE====111188880000 [[GGGGPPPPaaaa]
La frecuencia natura de vibración es:
ØØØØ====22220000
x
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f 1
2π
gΔ
Ejercicios
donde g es la aceleración de gravedad y Δ es la deflexión
estática del sistema.

7. 7
x
ØØØØ22220000 mmmmmmmm
R
P
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E=180[GPa]
Δl x =
P ∙ δx
A ∙ E
=
P
A ∙ E
δx =
P ∙ L
A ∙ E
f =
1
2π
g
Δ
=
20[N] ∙ 0,4[m] ∙ 4
π ∙ 20 ∙ 10/0 1 ∙ 180 ∙ 102[Pa]
Δl x = L = 1,41 × 10/4[m]
f =
1
2π
10 m
6s1
1,41 × 10/4[m]
= 1338[Hz]
Desarrollo
DCL
El extremo de la barra sufre un desplazamiento de
1,41 × 10/4[m]
Obtenido Δ determinamos la frecuencia natural del
sistema

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Ejercicio
Tres esferas se encuentran suspendidas como indica la
figura. Considere E = 160 [GPa]
l1 = l2 = l3 = 2 [m]
A1 = 2 [mm2] ; m1 = 4 [kg]
A2 = 3 [mm2] m2 = 8 [kg]
A3 = 4 [mm2] m3 = 12 [kg]
Determine distribución de fuerzas en los alambres.
Deformación unitaria axial.
Desplazamientos
l1
l2
l3
A1
m1
A2
m2
A3

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Desarrollo
DCL General DCL 1 DCL 2 DCL 3

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Deformación unitaria axial
ε σ
E
=
P
A ∙ E
εA =
PA + P1 + P0
AA ∙ E
=
240[N]
2[mm1] ∙ 10/C ∙ 200 ∙ 102[Pa]
= 6 ∙ 10/D[−]
ε1 =
P1 + P0
A1 ∙ E
=
200[N]
3[mm1] ∙ 10/C ∙ 200 ∙ 102[Pa]
= 3,3 ∙ 10/D[−]
ε0 =
P0
A0 ∙ E
=
120[N]
4[mm1] ∙ 10/C ∙ 200 ∙ 102[Pa]
= 1,5 ∙ 10/D[−]
Desplazamientos
Δl x =
P ∙ δ
A ∙ E
ΔlA=
(PA + P1 + P0)
AA ∙ E
∙ L = εA ∙ 1[m] = 12 ∙ 10/D[m]
Δl1=
(P1+P0)
A1 ∙ E
∙ L = ε1 ∙ 1[m] = 6,6 ∙ 10/D[m]
Δl0=
P0
A0 ∙ E
∙ L = ε0 ∙ 1[m] = 3 ∙ 10/D[m]

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Gráficamente

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Ejercicio
Considérese la barra de la figura, que se compone de cuatro partes de distinto diámetro. Está
sometida a las cargas que se indican, condición que la mantiene en equilibrio estático.
Determine los diagramas de fuerza, deformación unitaria axial y desplazamiento.
Considere E=200 [Gpa]
A1 = 50 [mm2] ; P1 = 20.000 [kN]
A2 = 80 [mm2] P2 = - 40.000 [kN]
A3 = 50 [mm2] P3 = 30.000 [kN]
A4 = 25 [mm2] P4 = -10.000 [kN]

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Desarrollo

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Desarrollo
Los cambios de sección y de reacción resultante permiten definir cinco tramos en los que la
deformación unitaria axial será distinta. Para cada uno de los tramos de la barra evaluamos la
deformación unitaria axial
εA −20 ∙ 100[N]
50[mm1] ∙ 200 ∙ 100[MPa]
= −2 ∙ 10/0[−]
ε1 =
20 ∙ 100[N]
80[mm1] ∙ 200 ∙ 100[MPa]
= 1,25 ∙ 10/0[−]
ε0 =
20 ∙ 100[N]
50[mm1] ∙ 200 ∙ 100[MPa]
= 2 ∙ 10/0[−]
εD =
−10 ∙ 100[N]
50[mm1] ∙ 200 ∙ 100[MPa]
= −1 ∙ 10/0[−]
εI =
−10 ∙ 100[N]
25[mm1] ∙ 200 ∙ 100[MPa]
= −2 ∙ 10/0[−]
ε =
P
A ∙ E

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Para cada uno de los cinco tramos reconocidos anteriormente determinamos la elongación que
sufre la barra
Δ= ΔlA + Δl1 + Δl0 + ΔlD + ΔlI
= −2 ∙ 10/0 ∙ 1 m + 1,25 ∙ 10/0 ∙ 2 m + 2 ∙ 10/0 ∙ 0,5 m +
= −2,5 ∙ 10/0[m]
Δl1 = -2 [mm]
Δl2 = 2,5 [mm]
Δl3 = 1 [mm]
Δl4 = -1 [mm]
Δl5 = -3 [mm]
Δl6 = 0
Luego,
= εA LA + ε1L1 + ε0L0 + εDLD + εILI + εCLC
+ −1 ∙ 10/0 ∙ 1 m + (−2 ∙ 10/0) ∙ 1,5[m]
Donde Δl6 corresponde al tramo entre la aplicación de la última carga a derecha y el borde
derecho de la barra. En este tramo la elongación es nula

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X
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Gráficamente
Deformación axial unitaria
Δllll[[[[mmmmmmmm]]]]
X
ε·11110000-3[-]
Elongación

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Ejemplo
Un pilote de madera uniforme, que ha sido hincado a
una profundidad L en arcilla, soporta una carga F en su
parte superior. Esta carga es resistida íntegramente por
la fricción f a lo largo del pilote que varía de manera
parabólica tal como se muestra en la figura.
Determine el acortamiento total del pilote en términos
de F, L, A y E

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Desarrollo
Mediante un elemento del poste ubicado a una distancia
y elaboramos el DCL
M F B k L0
PMA −F B ky1dy
3 y0
3
ky0
PM1 ky1dy M
3
Determinación de k
Es posible determinar k evaluando las ecuaciones de
equilibrio en y=L
PFM 0
F B kL0
3 0
k 3F
L0
PMA
PM1
F
F
−F
kL0
3

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Evaluando Py2 obtendremos el mismo resultado pero con signo opuesto.
Δl =
PM
AM ∙ EM
dy =
1
A ∙ E
−
F ∙ y0
L0 dy
Q
= −
F
AEL0 ∙
yD
4
R
L
0
= −
FL
4AE
Luego,
PMA = −F +
3 ∙ F
L0
L0
3
−
y0
3
= −
F ∙ y0
L0
PM1 = k ∙
y0
3
=
3 ∙ F
L0 ∙
y0
3
=
F ∙ y0
L0
La deformación total se obtiene evaluando, a lo largo de toda la longitud, la integral que
considera la carga en función de la posición y.

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Δl y − F ∙ yD
4AEL0
PM y
k ∙ y0
3
F ∙ y0
L0
ε y
PM
AE
1
AE
∙
F ∙ y0
L0
y y
PM y
Δl y
-F
FL
4AE
-F

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Ejemplo
Determine la deflexión del extremo libre de la barra
estática, causada por su propio peso w [N/m]. El área de
la sección transversal es constante. Suponga E conocido.
Desarrollo
Convenientemente definimos un sistema de referencia
orientado hacia abajo y partiendo desde el punto de
empotramiento
El peso propio actúa como una carga dependiente de la
posición x. Cuando x sea igual a 0 la carga P será igual al
peso de la barra.
Cuando x sea igual a L, la carga P será igual a cero.

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ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
El área A y el módulo de elasticidad E permanecen constantes a lo largo de la barra. Solo la carga
P varía en función de x
Δl x =
P
A ∙ E
dx
=
1
AE
w L − x dx
=
1
AE
w Lx −
x1
2
R
x
0
P x = w ∙ (L − x)
Δl x =
1
AE
w Lx −
x1
2
Δl x = L =
1
AE
w L1 −
L1
2
=
wL1
2AE

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Gráficamente
La carga en función de la posición x se comporta como una línea recta en tanto que el
comportamiento de la deflexión es parabólico.
Δl x
1
AE
w Lx
x1
2
wL1
w ∙ L 2AE
P x Δl x
w ∙
L x
x x