Cálculo de modos de vibración de una estructura de varios grados de libertad

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL-HUANCAVELICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
"Año de la lucha contra la corrupción y la impunidad"
VALORES Y VECTORES PROPIOS APLICADOS EN EL
CÁLCULO DE MODOS DE VIBRACIÓN DE ESTRUCTURAS
(INGENIERÍAANTISÍSMICA)
CÁTEDRA: Métodos Numéricos
CATEDRÁTICO: Ing. Lincoln Condori Paytan
ESTUDIANTE: Angel Sullcaray Ichpas
CICLO: V
SECCIÓN: B
HUANCAVELICA-PERÚ-2019

DEDICATORIA
A Dios por brindarme salud para poder seguir adelante
d´ıa a d´ıa y lograr mis objetivos.
A mis padres por el apoyo incondicional en mi forma-
ción personal y universitaria para lograr ser un gran
profesional.
A mi docente por la enseñanza obtenida durante el desa-
rrollo del curso y a nosotros por el gran esfuerzo, aptitud,
unión, perseverancia y compromiso para lograr nuestras
metas.
2
MÉTODOS NUMÉRICOS INGENIERÍA CIVIL

Índice general
1 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 MARCO TEÓRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 SISTEMAS LINEALES DE VARIOS GRADOS DE
LIBERTAD SIN TORSIÓN . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 PROBLEMA DE APLICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3

0.1. INTRODUCCIÓN
La ingenier´ıa antis´ısmica, es una rama de la ingenier´ıa civil cuyo obje-
tivo es el proyecto y construcción de obras civiles de manera tal, que
puedan tener un comportamiento satisfactorio durante los sismos.
Para reducir el número de pérdidas de vidas humanas y las pérdidas
asociadas con un posible fallo de estructuras existentes debido a la
acción s´ısmica, se requiere un conocimiento adecuado de su desempeño
y vulnerabilidad s´ısmica.
En este trabajo, se evalúa los modos de vibración de una estructura de
varios grados de libertad aplicando métodos numéricos.
4

0.2. MARCO TEÓRICO
2.1. SISTEMAS LINEALES DE VARIOS GRADOS
DE LIBERTAD SIN TORSIÓN
En edificios es usualmente aceptable suponer que las masas están con-
centradas en los niveles de los pisos y que las fuerzas de inercia importantes
son solo las laterales, por ello lo que sigue se limita a tratar este caso, aun-
que varios conceptos son aplicables a otros sistemas estructurales con masas
concentradas cuyos apoyos tengan todos el mismo movimiento.
Figura 1: sistema de tres grados de libertad dinámicos.
Ecuaciones de equilibrio dinámico
Consideremos el sistema de tres grados de libertad mostrado en la figura
1, cuyos apoyos tienen un movimiento s(t) y cuyas masas m1, m2 y m3 tienen
desplazamientos u1, u2 y u3, respectivamente.Las fuerzas de inercia en este
caso son m1(ü1 + ¨s), m2(ü2 + ¨s) y m3(ü3 + ¨s). Las fuerzas en los elementos
elásticos se calculan como el producto de la matriz de rigidez natural K por
los desplazamientos laterales, es decir
Fe = Ku
5

donde, para el caso de la figura 1
K =



k11 k12 k13
k21 k22 k23
k31 k32 k33



donde kij = kji
Fe =



Fe1
Fe2
Fe3



u =



u1
u2
u3



De análoga manera las fuerzas de amortiguamiento viscoso se pueden expre-
sar como el producto de una matriz de amortiguamiento por las velocidad, o
sea como
Fa = C ˙u
Para cada masa la suma de todas las fuerzas debe ser cero.As´ı se llega a que
las ecuaciones de equilibrio dinámico son:
M ü + C ˙u + Ku = M1¨s..............(1)
M se denomina matriz de masas y, para la estrucutra de la figura 1, es igual
a:
M =



m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3



ademas
1¨s =



1
1
1



¨s =



¨s
¨s
¨s



Vibraciones libres no amortiguadas
En lugar de resolver la ecuación (1), conviene considerar primero el caso
más simple en el que no existan amortiguadores (sus efectos se incluyen
6

después en forma aproximada) y no existe movimiento del terreno, con lo
cual dicha ecuación se convierte en:
M ü + Ku = 0......(2)
Ahora bien, toda estructura puede vibrar libremente en forma tal que el des-
plazamiento de cada una de las masas con respecto a su posición de equilibrio
estático es igual al producto de una función de la posición de la masa con-
siderada por una función del tiempo, que es la misma para todas las masas.
En otras palabras, los desplazamientos se pueden expresar como
u(t) = Z.q(t)............(3)
donde para el caso de la figura 1
u =



u1(t)
u2(t)
u3(t)



; Z =



z1
z2
z3



Se dice que una estructura de esta manera vibra en sus modos naturales; el
conjunto de valores zj (que son constantes independientes de t) se denomina
forma del modo y el periodo de la función del tiempo q(t), en caso de existir,
se llama periodo natural.
Derivando la ecuación (3) se obtiene ü(t) = Z. ¨q(t) y sustituyendo en (2)
llegamos a:
MZ ¨q + KZu = 0........(4)
Por sencillez se han omitido los (t). Para la masa i el desarrolo de la última
exprtesión da
mizi ¨q + (
j
kijzi)q = 0............(5)
de donde
¨q
q
= j kijzi
mizi
El primer miembro de esta ecuación es función de t, mientras que el segundo
no, por tanto ambos deben ser constantes para que la igualdad subsista. Si
llamamos ω2 a este valor constante, obtenemos:
¨q + ω2
q = 0
cuya solución es
q = asenω(t − τ)..........(6)
7

De acuerdo con lo anterior existen modos de vibración que satisfacen las con-
diciones de la expresión (3).Estos son tales que el movimiento de cada masa
es armónico simple con periodo natural T = 2π/ω; ω se llama frecuencia
natural circular. Derivando dos veces la ecuación (6) se tiene
¨q = −ω2
asenω(t − τ) = −ω2
q
sustituyendo en la ecuación del método β de Newmark que es
a = a1 − a = 4( u − ν t)/ t2
− 2a
y considerando que q = 0, queda
(K − ω2
M)Z = 0........(7)
que es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Para que existan valores
de Z distintos de cero es necesario que el determinante del sistema se anule,
esto es, que
| K − ω2
M |= 0.....(8)
Frecuencias y modos de vibración
Matemáticamente, la expresión 8 constituye un problema de valores carac-
ter´ısticos. Desarrollando la determinante se obtiene una ecuación algebraica
de grado n cuya incógnita es ω2, siendo n el número de grados de liber-
tad(tres en el caso de la figura 1) cuya solución conduce a n valores de ω2,
es decir a n frecuencias naturales de vibración ω, que corresponden a otros
a otros periodos naturales 2π/ω. Para estructuras estables los valores de ω2
son reales y positivos, y sus ra´ıces cuadradas son las frecuencias naturales.
Se acostumbra numerar a las ω en orden creciente; as´ı la primera frecuencia
ω1(llamada frecuencia fundamental) tiene el menor valor, y la última, ωn, el
mayor. Reemplazando cada valor de la frecuencia ωj en (7) podemos obtener
vectores Zj diferentes de cero; cada uno de ellos se llama modo de vibración.
8

0.3. PROBLEMA DE APLICACIÓN
1.Determine las formas modales de la estructura, as´ı mismo utilice el
método de la bisección para encontrar las soluciones de la ecuación.
La matriz de masas es:
El valor de cada masa es igual a Wi/g (g es la aceleracion de la gravedad)
g = 9,81m/s2
= 981cm/s2
Entonces las masas son:
m1 =
500
981
= 0,5097tn.s2
/cm
m2 =
440
981
= 0,4485tn.s2
/cm
m3 =
400
981
= 0,4077tn.s2
/cm
M =



m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3


 =



0,5097 0 0
0 0,4485 0
0 0 0,4077



9

La matriz de rigideces es:
K =



k1 + k2 −k2 0
−k2 k2 + k3 −k3
0 −k3 k3



Reemplazando los valores de ki dados en el problema, obtenemos.
K =



595 −270 0
−270 585 −315
0 −315 315



De la ecuación (8),| K − ω2M |= 0.....(8), se escribe:



595 − 0,5097λ −270 0
−270 585 − 0,4485λ −315
0 −315 315 − 0,4077λ


 = 0
Desarrollando la determinante
(595−0,5097λ)[(585−0,4485λ)(315−0,4077λ)− (−315)(−315)]− (−270)[(315−
0,477x)(−270) − 0] = 0
(595 − 0,5097λ)[0,1829λ2 − 379,782λ + 85050] − 22963500 + 29721,33λ = 0
donde λ = ω2. El desarrollo de este determinante conduce a la siguiente
ecuación cúbica (polinomio caractar´ıstico):
0,0932λ3 − 302,37002λ2 + 239596,830094λ − 27641006,0142 = 0
Esta ecuación resolveremos aplicando el método de la bisección.Pero prime-
ro vamos a graficarlo para ver el rango entre la cual estan ubicadas las ra´ıces.
10

f(x) = 0,0932x3
− 302,37002x2
+ 239596,830094x − 27641006,0142 = 0
Figura 2: Gráfica de la función f(x)
Utilizando el lenguaje de programación python se realizó el seudocódigo para
hallar las raices de f(x)
# UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
# FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
# ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
# MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA INGENIERÍA
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
#DEFINIENDO LA FUNCIÓN
def f(x):
f =0.0932*x**3-302.370021197*x**2+239596.830094*x-27641006.0142
return f
11

#M´ETODO DE FALSA POSICI´ON
def FALSA(a,b):
cont = 0
tol = 1e-10
error=0.1
raiz = 0
print("===============================RESULTADOS======"
"============================")
print(’|’,"I. N◦".center(5),’|’,"raiz".center(13),’|’,
"a".center(13),’|’,"b".center(13),’|’,"error".center(22),’|’)
while error>=tol:
c = (a+b)*(0.5)
raiz = c
fa=f(a)
fc=f(c)
print(’|’,str(cont).center(5),’|’,str(round(raiz,6)).center(13),
’|’,str(round(a,4)).center(13),’|’,str(round(b,4)).center(13),
’|’,str(round(error,8)).center(22),’|’)
if (fa*fc<0) :
b = c
elif (fa*fc>0):
a = c
error=abs(fc)
cont = cont+1
print("La raiz de f(x) es = ",raiz)
#RESULTADOS
FALSA(130,140)
12

Figura 3: Los resultados de la iteraci´on para los l´ımites [130,140]
λ1 = 138,55816
13

λ2 = 1031,3247
14

λ3 = 2073,430676
Entonces los valores propios son:
λ1 = 138,558
λ2 = 1031,33
λ3 = 2073,43
15

Se procede a cálcular los vectores propios(modos de vibración). Se reem-
plazan los valores de λ en la ecuación 7.
(K − ω2
M)Z = 0........(7)
Para λ = 138,55816



595 − 0,5097(138,558) −270 0
−270 585 − 0,4485(138,558) −315
0 −315 315 − 0,4077(138,558)






z1
z2
z3



=



0
0
0






524,376906 −270 0
−270 522,856665 −315
0 −315 258,509838






z1
z2
z3



=



0
0
0



524,376906z1 − 270z2 = 0
−270z1 + 522,856665z2 − 315z3 = 0
−315z2 + 258,509838z3 = 0
Para z1 = 1
z2 = 1,94214
z3 = 2,36654
Para λ = 1031, 3247



595 − 0,5097(1031, 33) −270 0
−270 585 − 0,4485(1031, 33) −315
0 −315 315 − 0,4077(1031, 33)






z1
z2
z3



=



0
0
0






69,3338 −270 0
−270 122,4509 −315
0 −315 −105,4711






z1
z2
z3



=



0
0
0



69,3338z1 − 270z2 = 0
−270z1 + 122,4509z2 − 315z3 = 0
−315z2 − 105,4711z3 = 0
Para z1 = 1
z2 = 0,2568
z3 = −0,7669
16

Para λ = 2073,4307



595 − 0,5097(2073,43) −270 0
−270 585 − 0,4485(2073,43) −315
0 −315 315 − 0,4077(2073,43)






z1
z2
z3



=



0
0
0






−461,8276 −270 0
−270 −344,9337 −315
0 −315 −530,3377






z1
z2
z3



=



0
0
0



−461,8276z1 − 270z2 = 0
−270z1 − 344,9337z2 − 315z3 = 0
−315z2 − 530,3377z3 = 0
Para z1 = 1
z2 = −1,7105
z3 = 1,0159
Como λ = ω2, recordando que el periodo es T = 2π/ω, se obtienen los si-
guientes resultados:
ω2
1 = 138,55816 → ω1 = 11,77seg−1 → T1 = 0,534seg
ω2
2 = 1031, 3247 → ω2 = 32,114seg−1 → T2 = 0,196seg
ω2
3 = 2073,4307 → ω3 = 45,54seg−1 → T3 = 0,138seg
y teniendo los siguientes datos
Z1 =



1
1,942
2,367



; Z2 =



1
0,257
−0,767



; Z3 =



1
−1,711
1,016



17

se procede a realizar el diagrama de modos de vibraci´on de la estructura
la cual se muestra en la siguiente ﬁgura.
Figura 6: modos de vibrar la estructura del problema 1
18

0.4. CONCLUSIONES
Para el cálculo de los valores propios se utilizó el lenguaje de progra-
mación python, ya que el polinomio caracter´ıstico resultó de grado 3 y
no era sencillo resolverlo con cálculos manuales.
La estrucutura tiene tres modos de vibrar, cada una con un periodo de
vibración (T) dado.
El mayor desplazamiento de los pisos de la estructura se da cuando el
periodo de vibración es mayor.
19

0.5. BIBLIOGRAFÍA
diseño s´ısmico de edificios.Enrique Bazán y Roberto Meli.
cálculo y diseño sismo resistente de edificios. Aplicación de la norma
NCSE-02 H.Barbat, S.Oller, J.C.Vielma
Texto de guia ingenier´ıa antis´ısmica.Ivan Richard Goytia Torrez, Ro-
lando Villanueva Inca
20

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