Este documento presenta un problema de mecánica sobre un marco articulado con barras y un aro que rueda sobre una de las barras. Se piden las ecuaciones del movimiento, la linealización de las ecuaciones para pequeñas oscilaciones, y el cálculo de las frecuencias propias para un caso particular. Se resuelve el problema obteniendo las ecuaciones del movimiento, la condición para que el equilibrio sea estable, y las frecuencias propias del sistema.

1. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)
Mec´anica
EXAMEN FINAL EXTRAORDINARIO - REC. 4.o
PARCIAL (5 de septiembre del 2005)
Apellidos Nombre N.o Grupo
Ejercicio 2.o (puntuaci´on: 10/45) Tiempo: 60 min.
El marco ABCD de la figura est´a constituido por tres barras
iguales, articuladas en sus extremos, de masa m y longitud .
En los extremos fijos A y D, est´an dispuestos sendos muelles de
torsi´on que ofrecen un momento resistente proporcional al ´angu-
lo girado, siendo k2 el valor de la constante de proporcionalidad,
mientras que los extremos B y C permiten el giro libre. Asimismo
un aro de masa m y radio r rueda sin deslizar en todo momen-
to sobre la barra BC, estando unido su centro a un muelle de
constante k1 y longitud natural nula, tal y como se muestra en la
figura. Se pide:
1. Ecuaciones diferenciales del movimiento.
2. Linealizaci´on de las ecuaciones para peque˜nas oscilaciones
alrededor de la posici´on de equilibrio en que AB y CD est´an
en posici´on vertical y BC est´a lo m´as alto posible. Calcular el valor m´ınimo de la constante
k2 para que dicho equilibrio sea estable.
3. Para el caso en que la constante k2 valga el doble del valor calculado en el apartado
anterior y k1 = k2/ 2
, obtener las frecuencias propias de las peque˜nas oscilaciones.
θ θ
x
˙x
˙θ
˙φ
1.— Consideramos las coordenadas {θ, x} para des-
cribir el sistema. La velocidad de rotaci´on del aro vale
˙φ = ˙x/r. La expresi´on de la energ´ıa cin´etica es
T = 2
1
2
1
3
m 2 ˙θ2
+
1
2
m 2 ˙θ2
+
1
2
m ˙x2
+ 2 ˙θ2
+ 2 ˙x ˙θ cos θ +
1
2
mr2 ˙x
r
2
(1)
y la energ´ıa potencial vale
V = 2
1
2
k2θ2
+
1
2
k1x2
+2mg
2
cos θ+2mg cos θ . (2)
Por tanto la expresi´on de la Lagrangiana resulta
L = T − V =
4
3
m 2 ˙θ2
+ +m ˙x2
+ m ˙x ˙θ cos θ − k2θ2
−
1
2
k1x2
− 3mg cos θ . (3)
Derivando se obtienen las ecuaciones de Lagrange del movimiento:
0 =
8
3
m 2 ¨θ + m¨x cos θ + 2k2θ − 3mg sen θ ,
0 = 2m¨x + m ¨θ − m ˙θ2
sen θ + k1x .
(4)
673exam.tex

2. 2.— Considerando {θ, x} peque˜nos as´ı como sus derivadas, y despreciando infinit´esimos de
segundo orden se obtienen las ecuaciones linealizadas de la din´amica:
0 =
8
3
m 2 ¨θ + m¨x + 2k2θ − 3mg θ
0 = m ¨θ + 2m¨x + k1x .
(5)
Estas ecuaciones se pueden expresar matricialmente:
[M]{¨q} + [K]{q} = 0, con [M] =
8
3
m 2
m
m 2m
, [K] =
2k2 − 3mg 0
0 k1
. (6)
Para que el equilibrio sea estable la matriz [K] debe ser definida positiva, lo que exige que sea
k2 > 3
2
mg . Esta es la condici´on para que las oscilaciones alrededor de la posici´on de equilibrio
sean peque˜nas y el movimiento se pueda linealizar.
3.— En este caso vale k2 = 3mg , k1 = k2/ 2
= 3mg/ . Las frecuencias propias se obtienen
mediante la ecuaci´on caracter´ıstica,
0 = det([K] − ω2
[M]) =
3mg − 8
3
m 2
ω2
−m ω2
−m ω2
3mg/ − 2mω2
=
13
3
m2 2
ω4
− 14m2
g ω2
+ 9m2
g2
(7)
Resolviendo se obtienen las soluciones
ω1 =
21 − 3
√
10
13
g
= 0,9411
g
,
ω2 =
21 + 3
√
10
13
g
= 1,5314
g
.
(8)
2